bài tập ôn tập tham khảo học kỳ i

Câu hỏi: Các bước tìm tham số m để một đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị hàm số tại số điểm đã chỉ ra?. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị C và trục tung..

Trang 1

Vấn đề 1: Bài toán liên quan đến đồ thị.

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C)

- Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị (C).

- Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình f x m ( ) ; = 0?

o Biến đổi phương trình f x m ( ) ; = 0 về dạng f x ( ) ( ) = g m

o Trong đó:

 y f x = ( ) có đồ thị (C).

 y g m = ( ) là một đường thẳng d song song với trục hoành.

o Số nghiệm của phương trình f x ( ) ( ) = g m chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường

g m

=CĐ( )

g m

>CĐ( )

g m

=CT( )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x3− 3 x2− + = m 1 0

3 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 2 x3− 6 x2+ 2 m + = 2 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y=

3

13

có đồ thị (C)

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x3− 12 x + 4 m − = 4 0.

BTVN: Cho hàm số y=x3− 6 x2+ − 9 1 x có đồ thị (C).

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x3− 6 x2+ 9 x+m=0.

3 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: − + x3 6 x2− 9 x+2m=0.

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x4− 2 x2 có đồ thị (C).

Trang 2

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: − + x4 2 x2+2m-4=0.

3 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x4− 2 x2-2+m=0.

BTVN: Cho hàm số y=− + x4 2 x2 có đồ thị (C).

2 Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x4− 2 x2-2+m=0.

Ví dụ 5: Cho hàm số

11

x y x

−

=+ có đồ thị (C).

11

x x

−+ =m.

11

x x

−+ -1+m=0.

21

x y x

−

=

− có đồ thị (C).

21

x x

−

− =m.

21

x x

−

− -1+2m=0.

Câu hỏi: Các bước biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị?

Dạng 2: Tìm tham số m để đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị (C)

2 Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

3 Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

4 Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất

Trang 3

Ví dụ 2: Cho hàm số y=2 x4− 4 x2+ 2 có đồ thị (C).

2 Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt

3 Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

4 Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

BTVN 1: Cho hàm số y=− 2 x3+ 6 x có đồ thị (C).

2 Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

3 Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

4 Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất

BTVN 2: Cho hàm số y=− 2 x4+ 4 x2 có đồ thị (C).

2 Tìm tham số m để đường thẳng y=m+1 cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt

3 Tìm tham số m để đường thẳng y=1-2m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

4 Tìm tham số m để đường thẳng y=-4m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Câu hỏi: Các bước tìm tham số m để một đường thẳng song song trục hoành cắt đồ thị hàm số tại số điểm đã

chỉ ra?

Vấn đề 2: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C)

o Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thi (C) và đường thẳng d: y g x = ( ).

o Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d?

Cách giải:

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x ( ) = g x ( ) (*).

- Bước 2: Số nghiệm pt (*) bằng với số giao điểm của (C) và d.

o Nếu pt (*) có một nghiệm thì (C) cắt d tại một điểm

o Nếu pt (*) có hai nghiệm thì (C) cắt d tại hai điểm

o Nếu pt (*) có ba nghiệm thì (C) cắt d tại ba điểm

o Nếu pt (*) có bốn nghiệm thì (C) cắt d tại bốn điểm

o Nếu pt (*) vô nghiệm thì (C) không cắt d

Chú ý: Cách tìm giao điểm của hai đồ thị (C)

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x ( ) = g x ( ) (*).

- Bước 2: Số nghiệm pt (*) bằng với số giao điểm của (C1) và (C2)

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số

1

x y x

+

=

− và đường thẳng y=-5x+2.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y x = −3 6 x2+ + 8 1 x và đường thẳng x+y-1=0.

Ví dụ 4: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y x = − + +4 x2 2 1 x và đường thẳng 2x-y+1=0.

Trang 4

=

− và đường thẳng x-y=0.

2. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y x = +3 3 x2+ − 3 x 4 và đường thẳng 3x-y-4=0

3. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y x = −3 3 x2+ 1 và đường thẳng y=x-2.

4. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = 4 x3− 3 x và đường thẳng y=x+2.

Ví dụ 5: Tìm giao điểm của hai đường cong:

− −

=+ , y x = −2 4

5 y x = + −2 2 x 3, y = − − + x2 x 2 6 y=2 x3+ 3 x2+ 1, y=2x2+1

Câu hỏi: Các bước tìm giao điểm của đường thẳng d và đường cong (C)

Dạng 2: Biện luận số giao điểm theo tham số m.

o Cho hàm số y f x m = ( ; ) có đồ thi (C1) và đường thẳng d: y g x m = ( ; ).

o Tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d?

Cách giải:

- Bước 1:

o Lập phương trình hoành độ giao điểm: f x m ( ; ) = g x m ( ; ) (*).

o Thu gọn phương trình hoành độ giao điểm

- Bước 2:

o Số nghiệm pt (*) bằng với số giao điểm của (C) và d

o Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm biện luận số giao điểm theo m

44

y x

=

− có đồ thị (C) và đường thẳng d: y=mx+1 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị

(C) tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y x = −3 3 x2+ ( 2 m − 3 ) x cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

BTVN:

Câu 1: Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y

22

x x

−

=+ tại hai điểm phân biệt.

Câu 2: Tìm m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y

22

x x

−

=+ tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác

nhau

Câu 3: Tìm m để đồ thị hàm số y mx = 3− 2 ( m − 1 ) x2+ + ( 1 m x ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Trang 5

Câu 4: Tìm m để đường thẳng

83

tại 3 điểm phân biệt

Câu 5: Tìm m để đồ thị hàm số y x = −4 2 mx2+ 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Ví dụ 3: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=

11

x x

−+ luôn luôn cắt đường thẳng (d): y=m-x với mọi giá trị

m

Ví dụ 4: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=

2 41

y x

++ tại hai điểm

x x

+

=

− tại hai điểm phân biệt thuộc hai

nhánh khác nhau

Câu hỏi: Các bước biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d

Câu hỏi: Các bước chứng minh đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?

Vấn đề 3: Phương trình tiếp tuyến.

o Có hai dạng phương trình tiếp tuyến

 Tiếp tuyến tại điểm M x y ( 0; 0)

nằm trên đồ thị (C) của hàm số

 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

o Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và hệ số góc của tiếp tuyến

 Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn về tính chất của hệ số góc

 Tìm tham số m thỏa mãn về tính chất của hệ số góc

• Các dạng phương trình tiếp tuyến:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M x y ( 0; 0) thuộc đồ thị hàm số

Bước 1:

 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y ( 0; 0)

có dạng: y f x x x = '( )(0 − 0) + y0 (1).

Bước 2:

o Nếu đề cho x0thì ta tính y0 sau đó tính hệ số góc là f x '( )0 .

o Nếu đề cho y0 thì ta tính x0 sau đó tính hệ số góc là f x '( )0 .

Bước 3:

 Thế x0, y0 và f x '( )0 vào phương trình y f x x x = '( )(0 − 0) + y0 thu gọn ta được pttt

Trang 6

• Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d

o Bước 1: Ta giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm giao điểm của d và (C).

o Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm vừa tìm được

Ví dụ 1: Cho hàm số y x = +3 3 x2− 4 có đồ thị (C)

1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -2

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -4

3. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục tung

4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành

BTVN: Cho hàm số y = − − x3 3 x2+ 4 có đồ thị (C)

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 4

Ví dụ 2: Cho hàm số y x = −4 2 x2+ 1 có đồ thị (C)

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 1

BTVN: Cho hàm số y = − + x4 2 x2− 1 có đồ thị (C)

21

x y x

+

=

− có đồ thị (C)

1. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng

5

2

BTVN: Cho hàm số

2

x y x

−

=+ có đồ thị (C)

Trang 7

4. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành.

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C

tại điểm được chỉ ra:

a ( ) C y f x : = ( ) = x4- 6 x2+ 5 tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f x '' ( )0 = 0

b ( ) C y f x : = ( ) = - x3 6 x2+ 9 x + 1 tại điểm có hoành độ x

+ tại điểm có hoành độ x0, biết f x ' ( )0 = 5.

BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C

tại điểm được chỉ ra:

tại điểm có hoành độ x0, biết f x '' ( )0 = − 1.

c ( ) C y f x : = ( ) = x3- 3 x2+ 2 tại điểm có hoành độ x

x 1

+

=

− Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là

nghiệm của phương trình: 3y' x 1 0 ( ) + = .

Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đt hàm số

1

x y x

BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến của( ) C

tại các giao điểm của( ) C

với các đường được chỉ ra:

Trang 8

o Nếu đề cho hệ số góc k thì ta giải phương trình f x '( )0 =k để tìm x

0 rồi tính y0

o Nếu đề cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì:

 Tiếp tuyến có hệ số góc k=a

 Ta giải phương trình f x '( )0 =k=a để tìm x

0 rồi tính y0

o Nếu đề cho tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì:

 Tiếp tuyến có hệ số góc k a = − 1 hay k=−1a

là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C)

Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến D của ( ) C

, biết rằngDcó hệ số góckđược chỉ ra:

BTVN: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước

Trang 9

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước

Ví dụ 4 Viết phương trình tiếp tuyếnDcủa ( ) C

, biết D tạo với chiều dương trục hoành Oxmột góca

Chú ý: Nếu đường thẳng d: y=kx+m hợp với chiều dương trục Ox một góc α thì k = tan α .

( )

3 2

Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyếnDcủa ( ) C

, biếtDtạo với đường thẳng dmột góca:

Chú ý: Cho d: y=kx+m và d’: y=k’x+m’ Nếu d và d’ hợp với nhau một góc a thì

'tan

Ví dụ 6 Tính diện tích tam giác chắn hai trục tọa độ bởi tiếp tuyến của đồ thị ( ) C

tại điểm được chỉ ra:

b C y = x - x + tại điểm Bcó x =B 0.

Ví dụ 7 Tìm mđể tiếp tuyến của đồ thị ( ) C

tại điểm được chỉ ra chắn hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

S =

Trang 10

M song song với đường thẳng y=1-12x.

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm háy xuất phát từ điểm A

• Điều kiện để hai đường tiếp xúc nhau

- Điều kiện cần và đủ để hai đường ( ) C1 : y = f x ( )

là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

3 2

13

3 2

2

1

3 13

1. Viết pt tiếp tuyến với đt hàm số y = − 2 x3+ 6 x2− 5, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;-13).

2. Viết pt tiếp tuyến với đt hàm số

1

x y x

+

=+ , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;3).

Trang 11

o Thế vào (1), ta được: x3− 3 x3+ = ⇔ − 16 0 2 x3+ = 16 0

⇔ − 2 x3 = − ⇔ 16 x3 = ⇔ = 8 x 2

Vậy với x=2, suy ra m=6

BTVN:

1. Tìm m để hàm số y = − + x3 mx m + tiếp xúc với trục Ox

2. Tìm m để đồ thị hàm số y = − + x3 ( 2 m + 1 ) x2− − m 1 tiếp xúc với đường thẳng y=2mx-m-1.

tiếp xúc với ( ) C2

Û phương trình ax2+ + = bx c px q + có nghiệm kép.

Vấn đề 4: Bài toán tham số m về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Dạng 1 Tìm tham số m để hàm số bậc ba luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên ¡

Phương pháp:

 Tập xác định: D=¡ Tính y’ theo biến x

 Để hàm số luôn luôn đồng biến trên ¡ ⇔ y’≥0, ∀ ∈ x ¡

00

luôn luôn nghịch biến trên tập xác định của hàm số

3. Tìm m để các hàm số y = mx3 + 3x2 + 3mx nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

4. Chứng minh rằng không có giá trị m để hàm số y=x3− + ( m 1) x2 − (2 m2 − 3 m + 2) x + 2 ( m m − 1) luôn luôn đồng biến trên ¡ với mọi m.

BTVN :

1. Tìm m để hàm số y=2 x3− 3( m + 2) x2+ 6( m + 1) x − 3 m + 5 luôn luôn đồng biến trên ¡ .

2. Tìm m để hàm số y=4 x3+ + ( m 3) x2 + mx luôn luôn đồng biến trên tập xác định của nó

3. Chứng minh rằng hàm số y = − + x mx3 2− (2 m2− + m 1) x m + luôn luôn nghịch biến với mọi m.

Trang 12

Dạng 2 : Tìm tham số m để hàm số y=

ax b

cx d

++ (đk c ≠ 0, ad bc − ≠ 0) luôn luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ > ∀ ∈ y ' 0, x D.

 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ < ∀ ∈ y ' 0, x D.

Ví dụ

1. Tìm m để hàm số y=

11

mx x

mx

x m

−+ luôn luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

2. Chứng minh rằng hàm số y=

22

mx

x m

+

− luôn luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.

Vấn đề 5: Bài toán tham số m về cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm m để hàm số bậc ba có cực trị (có cực đại và có cực tiểu):

Cách giải:

- Tập xác định: D=¡ .

- Tính đạo hàm y’=….Cho y’=0 (*)

- Để hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔

00

Trang 13

y y

Chú ý : Nếu bài toán chỉ yêu cầu định m để hàm số đạt cực trị (tức đạt cực đại hoặc cực tiểu) tại x0 thì ta áp

dụng điều kiện sau:

Hàm số đạt cực trị tại x0 khi va chỉ khi

0

'( ) 0''( ) 0

Trang 14

0( ) 4 2 0 (*)

- Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ

khi pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0(0) 0

2

0( ) 4 2 0 (*)

ax bx

x ax b x

0(0) 0

Vấn đề 5: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số thỏa điều kiện cho trước

Dạng 1: Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ là các số nguyên

- Gọi M(x;y) là điểm thuộc đồ thị (C) có tọa độ là các số nguyên

- Để x, y nguyên ⇔ B chia hết cho (cx+d) (hay cx+d là ước của B)

1 2

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	911,49 KB