Về một bài toán conic hay

Chứng minh rằng HM, IJ, KL đồng quy.. Tương tự, ta suy ra X là tâm đẳng phương của A, B và C.

Bài toán:

Cho 3 điểm A, B, C trên mặt phẳng Gọi a là ellip có tiêu điểm A, B, b là ellip có tiêu điểm

A, C, c là ellip có tiêu điểm B, C; a cắt b tại H, M , a cắt c tại I, J , b cắt c tại K, L Chứng minh rằng HM, IJ, KL đồng quy

Lời giải:

Đặt AH + BH = z, AH + CH = y, CK + BK = x

−y + z + x

y + z − x 2 Gọi các giao điểm của (A) và (B) là W, F , giao điểm của (A) và (C) là G, E, giao điểm của (B) và (C) là N, S

Gọi X là giao điểm của L0K0 và L00K00, G0 là giao điểm của L00K00 với (L, LL0), H0 là giao điểm

Tương tự, T0K0//T H0 Lại có T0K0 = T H0 và T0K00 = T G0 Suy ra hai tam giác T0K0K00 và

T H0G0 vị tự với nhau qua phép vị tự tâm X ⇒ G0H0//L0L00//K0K00 ⇒ \G0H0L0 = \L0L00X =

\

X nằm trên trục đẳng phương của (A) và (B) Tương tự, ta suy ra X là tâm đẳng phương của (A), (B) và (C)

1

Z1◦ Z2 : (K) → (L) ⇒ X ∈ KL, hay KL đi qua tâm đẳng phương của 3 đường tròn (A), (B)

và (C) Hoàn toàn tương tự, ta suy ra IJ, M H đi qua X

Vậy IJ, M H, KL đồng quy tại tâm đẳng phương của (A), (B) và (C) (đpcm)

2