Bài giảng kinh tế lượng

- Econo + Metric Khái niệm: KTL nghiên cứu những mối quan hệ Kinh tế Xã hội; thông qua việc xây dựng, phân tích, đánh giá các mô hình để cho ra lời giải bằng số, hỗ trợ việc ra quyết đi

KINH TẾ LƯỢNG - ECONOMETRICS

Tham khảo và nâng cao

[3] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, (1998), Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, NXB GD.( Tái bản các năm 2002, 2005)

[4] Nguyễn Quang Dong, (2002), Kinh tế lượng - Chương trình nâng cao,

BÀI MỞ ĐẦU

1 Khái niệm về Kinh tế lượng (Econometrics)

- Nhiều định nghĩa, tùy theo quan niệm của mỗi tác giả

- Econo + Metric

Khái niệm: KTL nghiên cứu những mối quan hệ Kinh tế Xã hội; thông qua

việc xây dựng, phân tích, đánh giá các mô hình để cho ra lời giải bằng số, hỗ trợ việc ra quyết đinh

Econometrics – Pragmatic Economics

- KTL sử dụng kết quả của :

+ Lý thuyết kinh tế

+ Mô hình toán kinh tế

+ Thống kê, xác suất

2 Phương pháp luận (các bước tiến hành)

2.1 Đặt luận thuyết về vấn đề nghiên cứu

- Xác định phạm vi, bản chất, tính chất của các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng

- Xác định mô hình lý thuyết kinh tế hợp lý

2.2 Xây dựng mô hình kinh tế toán:

+ Mỗi đối tượng đại diện bởi một hoặc một số biến số

+ Mỗi mối quan hệ: Phương trình, hàm số, bất phương trình…

+ Giá trị các tham số : cho biết bản chất mối quan hệ

2.3 Xây dựng mô hình kinh tế lượng tương ứng

Mô hình kinh tế toán: phụ thuộc hàm số

Mô hình kinhtế lượng: phụ thuộc tương quan và hồi quy

2.4 Thu thập số liệu

- Số liệu được dùng : từ thống kê

2.5 Uớc lượng các tham số của mô hình

- Kiểm định tính chính xác của mô hình

- Nếu không phù hợp : quay lại các bước trên

Biến đổi, xây dựng mô hình mới để có kết quả tốt nhất

2.7 Dự báo

- Dựa trên kết quả được cho là tốt : dự báo về mối quan hệ, về các đối tượng trong những điều kiện xác định.

2.8.Kiểm soát và Đề xuất chính sách

Dựa vào kết quả phân tích của mô hình mà đề xuất chính sách kinh tế

Ví dụ: Nghiên cứu tính quy luật của tiêu dùng.

Xây dựng một luận thuyết kinh tế về tiêu dùng

Trong tác phẩm: Lý thuyết về việc làm, lãi suất và tiền tệ, Keynes viết:” Luật tâm lý cơ bản là một người sẽ tăng tiêu dùng khi thu nhập của người đó tăng lên, song không thể tăng nhiều bằng mức tăng của thu nhập”

Xây dựng mô hình kinh tế toán tương ứng

Mô hình trên thường được gọi là Hàm tiêu dùng của Keynes và phải

thoả mãn điều kiện:

0 <β2 < 1Xây dựng mô hình kinh tế lượng tương ứng

Mô hình kinh tế lượng tương ứng có dạng:

Y i = β1 + β2 X i + u i

Trong đó ui là sai số ngẫu nhiên

Thu thập số liệu thống kê

Có số liệu sau về tổng mức tiêu dùng cá nhân ( Y ) và tổng thu nhập gộp GDP ( X ) của Mỹ giai đoạn 1980 – 1991 ( đơn vị: tỷ USD ) tính theo giá cố

Nguồn: Báo cáo kinh tế của tổng thống Mỹ, 1993

Ước lượng mô hình

Dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất, tìm được các uoc lượng sau:

β ˆ 1 = -231,8 β ˆ 2 = 0,7194Như vậy ước lượng của hàm tiêu dùng là:

Yˆi = -231,8 + 0,7194XiKiểm định mô hình:

Yˆ1994 ≈ -231,8 + 0,7194*6000 = 4084,6 tỷ USD

Từ đó có thể xây dưng tiếp các dự báo bằng khoảng tin cậy

Kiểm soát hoặc đề xuất chính sách

Chẳng hạn chính phủ Mỹ tin rằng nếu có được tổng mức tiêu dùng cá nhân

là 4000 tỷ USD thì sẽ duy trì được tỷ lệ thất nghiệp ở mức 6,5% Từ đó để duy trì được tỷ lệ thất nghiệp nói trên cần phải có được GDP là:

GDP ≈ ( 4000 + 231,8 )/ 0,7194 ≈ 5882 tỷ USD

3 Số liệu dùng trong KTL

3.1 Phân loại

- Số liệu theo thời gian

- Số liệu theo không gian

Chú ý: Đặc điểm chung của các số liệu kinh tế xã hội là kém tin cậy

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1 Phân tích hồi qui – Regression Analysis

1.1 Định nghĩa

Phân tích hồi qui là phân tích mối liên hệ phụ thuộc giữa một biến gọi là biến phụ thuộc (biến được giải thích, biến nội sinh) phụ thuộc vào một hoặc một

số biến khác gọi là (các) biến giải thích (biến độc lập, biến ngoại sinh, biến hồi qui).

1.2 Ví dụ Tiêu dùng và Thu nhập

- Biến giải thích / hồi qui (regressor(s)) ký hiệu là X, hoặc X 2 , X 3…

- Biến giải thích nhận những giá trị xác định, trong điều kiện đó biến phụ thuộc là một biến ngẫu nhiên

Phân tích hồi qui nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa biến phụ thuộc Y

mà thực chất là một biến ngẫu nhiên, phụ thuộc vào các giá trị xác định của (các) biến giải thích như thế nào

X = X i → (Y/X i)

1.3 Mục đích hồi qui

- Ước lượng trung bình biến phụ thuộc trong những điều kiện xác định của biến giải thích

- Ước lượng các tham số

- Kiểm định về mối quan hệ

- Dự báo giá trị biến phụ thuộc khi biến giải thích thay đổi

(*)Hồi qui : qui về trung bình

1.4 So sánh với các quan hệ toán khác

- Quan hệ hàm số : x ↔ y

- Quan hệ tương quan ρxy

- Quan hệ nhân quả X → Y→ X

2 Mô hình hồi qui Tổng thể

- Tổng thể : toàn bộ những cá thể mang dấu hiệu nghiên cứu

- Phân tích hồi qui dựa trên toàn bộ tổng thể

Giả sử biến phụ thuộc Y chỉ phụ thuộc một biến giải thích X

2.1 Hàm hồi qui tổng thể (PRF : Population Regression Function).

Xét quan hệ hồi qui:

X = X i → (Y/X i) Biến ngẫu nhiên Y trong điều kiện X

Nếu: hàm hồi qui tổng thể có dạng tuyến tính

E(Y/X i ) = β1 + β 2Xi

β1 và β2 được gọi là các hệ số hồi quy ( regression coefficient)

Trong đó: β1 = E(Y/Xi = 0): hệ số chặn (INPT : intercep term)

- Xét giá trị cụ thể Y i ∈ (Y/X i ), thông thường Y i ≠ E(Y/X i)

- Đặt u i = Y i – E(Y/X i) : là sai số ngẫu nhiên (nhiễu, yếu tố ngẫu nhiên:

random errors)

- Tính chất của SSNN : + Nhận những giá trị dương và âm

+ Kì vọng bằng 0: E(u i) = 0 ∀ i

Bản chất của SSNN : đại diện cho tất cả những yếu tố không phải biến

giải thích nhưng cũng tác động tới biến phụ thuộc:

+ Những yếu tố không biết

+ Những yếu tố không có số liệu

+ Những yếu tố không ảnh hưởng nhiều đến biến phụ thuộc

+ Sai số của số liệu thống kê

+ Sai lệch do chọn dạng hàm số

+ Những yếu tố mà tác động của nó quá nhỏ không mang tính hệ thống

2.4 Mô hình hồi quy tổng thể – ( PRM: Population regression model )

Y i = β 1 + β 2 X i + u i i= 1;N

3 Mô hình hồi qui mẫu

- Không biết toàn bộ Tổng thể, nên dạng của PRF có thể biết nhưng giá trị

βj thì không biết

- Mẫu : một bộ phận mang thông tin của tổng thể

- W = {(X i , Y i ), i = 1÷ n} được gọi là một mẫu kích thước n, có n quan sát (observation).

3.1 Hàm hồi qui mẫu (SRF : Sample Regression Function)

- Trong mẫu W, tồn tại một hàm số mô tả xu thế biến động của biến phụ

thuộc theo biến giải thích về mặt trung bình, Yˆ= f ˆ X( ) gọi là hàm hồi qui mẫu (SRF)

- Hàm hồi qui mẫu có dạng giống hàm hồi qui tổng thể

Nếu PRF có dạng E(Y/X i ) = β1 + β2Xi

Thì SRF có dạng Yˆ i = βˆ1+ βˆ2X i

- Vì có vô số mẫu ngẫu nhiên, nên có vô số giá trị của βˆ1và βˆ2→ β ˆjlà biến ngẫu nhiên

- Với một mẫu cụ thể w kích thước n, β ˆjsẽ là con số cụ thể.

3.2 Phần dư

- Thông thường Y i ≠ Yˆ i , đặt e i = Y i – Yˆ i và gọi là phần dư (residual).

- Bản chất của phần dư e i giống sai số ngẫu nhiên u i

i

Yˆ, βˆ1,βˆ2, e i là ước lượng điểm tương ứng của E(Y/X i ), β1, β2, ui

3.3 Mô hình hồi quy mầu – ( SRM: Sample regression model )

Yˆi = β ˆ 1 + β ˆ2 X i + e i

Chương 2 ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUI ĐƠN

1 Mô hình

- Mô hình hồi qui đơn ( Simple regression ) là mô hình một phương trình

gồm một biến phụ thuộc (Y) và một biến giải thích (X).

- Mô hình có dạng: PRF E(Y/X i )= β1 + β2 Xi

PRM Y i = β1 + β2 Xi + u i

- Với mẫu W = {(X i , Y i ), i = 1÷ n}, tìm βˆ1,βˆ2 sao cho SRF: Yˆ i = βˆ1+ βˆ2X i

phản ánh xu thế biến động về mặt trung bình của mẫu

2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất( Ordinary least squares -OLS)

2

) ˆ

β ˆ 1∑Xi + β ˆ 2∑Xi 2 = ∑XiYi

Đặt: X = (∑Xi)/n ; Y = (∑Yi)/n ; X Y = (∑XiYi)/n ; X2 = (∑Xi2)/n

n i i i

x

y x

1 2 1

→ yˆi = βˆ2xi gọi là hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ.

SRF đi qua điểm trung bình mẫu ( X , Y )

Trung bình của các giá trị ước lượng bằng trung bình mẫu Yˆ =Y

1

ˆ = 0

3 Các giả thiết cơ bản của OLS

Một ước lượng sẽ dùng được khi nó là tốt nhất Để ước lượng OLS là tốt nhất thì tổng thể phải thỏa mãn một số giả thiết sau:

Giả thiết 1: Mô hình hồi quy có dạng tuyến tính đối với tham số.

Giả thiết 2: Biến giải thích là phi ngẫu nhiên

Giả thiết 3: Trung bình của các sai số ngẫu nhiên bằng 0 E(u i ) = 0 ∀ i

Giả thiết 4: Phương sai sai số ngẫu nhiên bằng nhau Var(u i ) = σ2 ∀ i

Giả thiết 5: Các sai số ngẫu nhiên không tuơng quan Cov(u i , u j ) = 0 ∀ i ≠ j

Giả thiết 6: SSNN và biến giải thích không tương quan Cov(u i , X i ) = 0 ∀ i

Giả thiết 7: Các giá trị của biến giải thích phải khác nhau càng nhiều càng tốt

Var(X) > 0

Giả thiết 8: Kích thước mẫu phải lớn hơn số tham số cần ước lượng của mô

hình

Giả thiết 9: Mô hình được chỉ định đúng.

Giả thiết 10: Không có đa cộng tuyến giữa các biến giải thích của mô hình hồi

quy bội

Định lý: Nếu tổng thể thỏa mãn các giả thiết trên thì ước lượng OLS sẽ là

ước lượng tuyến tính, không chệch, tốt nhất (trong số các ước lượng không chệch) của các tham số.

4 Các tham số của ước lượng OLS

Các ước lượng βˆj là biến ngẫu nhiên tùy thuộc mẫu, nên có các tham số đặc trưng

Kì vọng : E(βˆ1) = β1 E(βˆ2) = β2

Phương sai : Var(βˆ1) = 2

1 2 1

n i i

x n

X

Var(βˆ2) =

2

1 2

∑

=

n i i

x

Độ lệch chuẩn : SD(βˆj ) = Var( βˆj) (j = 1;2)

Thường thì σ2 là phương sai của sai số ngẫu nhiên chưa biết, được ước lượng bởi σ ˆ 2

i với 2 là số tham số cần phải ước lượng của mô hình.

σ ˆ= σ ˆ 2 là độ lệch chuẩn của đường hồi qui : (Se of Regression)

x n X

1 2 1

x

1 2

ˆ

σ

Cov(β ˆ 1, β ˆ 2) = - X Var(β ˆ 2)

Hiệp phương sai phản ánh mối quan hệ giữa β ˆ 1 và β ˆ 2.

5 Sự phù hợp của hàm hồi qui- Hệ số xác định R 2

e

Y Y

y

Y Y

y

i

i

i i

i i

n

e y

y

1

2 1

2 1

2 ˆ

TSS = ESS + RSS

TSS (Total Sum of Squares) : đo tổng biến động của biến phụ thuộc

ESS (Explained Sum of Squares): tổng biển động của biến phụ thuộc được

giải thích bởi MH – biến giải thích

RSS (Residual Sum of Squares) : tổng biến động của biến phụ thuộc được

giải thích bởi các yếu tố nằm ngoài mô hình – Sai số ngẫu nhiên

Đặt R2 =

TSS

RSS TSS

7 Phân phối xác suất của sai số ngẫu nhiên

Muốn tiến hành các suy diễn thống kê, thì phải biết phân phối xác suất của các ước lượng, phân phối đó tùy thuộc phân phối xác suất của SSNN

Giả thiết 11: Các SSNN ui có phân phối chuẩn.

Cơ sở của giả thiết này là:

+ Do ui thường là sự tổng hợp của một số lớn các nhân tố ngấu nhiên độc lập và ảnh hưởng bế đều như nhau nên theo hệ quả của định lý giới hạn trung tâm thì có thể xem là ui phân phối chuẩn

+ Phân phối chuẩn chỉ có hai tham số là µ và σ2 nên dễ sử dụng.

+ Phân phối chuẩn có tính chất là nếu ui phân phối chuẩn thì mọi hàm tuyến tính của nó cũng phân phối chuẩn

+ Phân phối chuẩn có tính chất là tính độc lập và không tương quan là đồng nhất

Kết hợp các giả thiết 3,4,5 và 11 ta có giả thiết chung là: ui∼n.i.d (0,σ2 ) Mô

hình thoả mãn các giả thiết trên gọi là mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển (

CLRM ).

8 Các tính chất của các ước lượng OLS.

Các ước lượng của CLRM là các ước lượng không chệch.

Các ước lượng của CLRM là các ước lượng vững

Các ước lương của CLRM là các ước lượng hiệu quả nhất.

9 Suy diễn thống kê.

9.1 Ước lượng khoảng

Với độ tin cậy 1 - α cho trước, khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy:

) 2 ( ˆ

2 2 /

) 2 ( ˆ

2 2 / 1

2( 2)

2 ( 2 ) ˆ

9.2 Kiểm định giả thuyết

Với mức ý nghĩa α cho trước, kiểm định mối quan hệ thứ tự của hệ số với các số thực cho trước

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β β

j = 1;2

Tiêu chuẩn kiểm định : Tqs =

) ˆ (

j

j j

β

β −

Nếu T qs> tα/2 (n – 2) thì bác bỏ H0, ngược lại : chưa có cơ sở bác bỏ H0.

ii Cặp giả thuyết

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β β

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β β

H

0 :

H

0 :

H

2 1

2 0

R

R Biến giải thích không giải thích cho Y

Biến giải thích có giải thích cho Y ⇔

H

0 :

H

2 1

2 0

β β

Kiểm định F: F qs =

) 2 /(

1

1 / )

2 /(

1 /

RSS ESS

- Nếu F qs > Fα( 1; n - 2) thì bác bỏ H0 : biến giải thích giải thích được cho

sự biến động của biến phụ thuộc, hàm hồi qui được gọi là phù hợp

- Ngược lại, Y không phụ thuộc vào biến giải thích, hàm hồi qui không

phù hợp

Vì hai cặp giả thiết tương đương, kiểm định F tương đương kiểm

định T, F qs = (T qs)2

11 Dự báo

Là ước lượng khoảng cho giá trị trung bình và cá biệt của biến phụ thuộc

khi biến giải thích nhận giá trị xác định X = X0

11.1 Dự báo giá trị trung bình

− + σ

11.2 Dự báo giá trị cá biệt

0

ˆ

Y – Se( Yˆ0 - Y0)tα/2 (n – 2) < Y0 < Yˆ0 + Se( Yˆ0 - Y0) tα/2 (n – 2)

Với Se( Yˆ 0 - Y 0) = 2

2

0 ) (

1 1 ˆ

i

x

X X

− + + σ

Chương 3 MÔ HÌNH HỒI QUI BỘI (Multiple regression)

1 Mô hình hồi qui 3 biến.

) ˆ

β ˆ1∑X2i + β ˆ2∑X2i2 + β ˆ3∑X3i = ∑X2iYi

βˆ1∑X3i + βˆ2∑X2ĩ X3i + βˆ3∑X3i2 = ∑X3iYi

Ký hiệu: Y = (∑Yi)/n X 2 = (∑X2i)/n X 3 = (∑X3i)/n

Yi = Yi – Y x2i = X2i – X 2 x3i = X3i – X 3

β ˆ

1 = Y - βˆ2X 2 - βˆ3X 3

∑x2iyi∑x3i2 - ∑x3iyi∑x2i x3i

β ˆ 2 =

∑x2i2∑x3i2 – (∑x2i x3i)2

∑x3iyi∑x2i2 - ∑x2iyi∑x2i x3i

β ˆ 3 =

∑x2i2∑x3i2 – (∑x2i x3i)2

⇒ yˆ i = βˆ2x2i + βˆ3x3i → Hàm hồi quy mẫu đi qua gốc toạ độ

2 3

2 2

3 2 3 2

2 2

2 3

2 3

2 2

) (

2

i i i

i

i i i

i

x x x

x

x x X X x

X x X

σ2

Var(βˆ2) =

3 2

2 3

2 2

2 3

)

i i

i

x x x

2

r

x i

σ

Var(β ˆ 3) =

3 2

2 3

2 2

2 2

)

i i

i

x x x

Cov(β ˆ 2 β ˆ 3) = 2

3

2 2

2 23

2 23

) 1

ˆ

i

i i i

i

y

y x y

β

Hệ số tương quan.

Hệ số tuơng quan bội R: Là căn bậc hai của hệ số xác định bội và đo mức

độ tương quan tuyến tính chung giữa Y, X 2 và X 3

Hệ số tương quan cặp r ij: Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình

12

∑ ∑ ∑2 2 2

2

2 ) (

i i

i i

y x

y x

2 13

∑ ∑ ∑2 2 3

2

3 ) (

i i

i i

y x

y x

2 23

3

2 2

2 3

2 ) (

i i

i i

x x

x x

Hệ số tương quan riêng phần r ij , k : Đo mức độ tương quan tuyến tính giữa biến i và biến j của mô hình với điều kiện biến k không đổi

r 12,3 =

) 1 )(

1

23

2 13

23 13 12

r r

r r r

23

2 12

23 12 13

r r

r r r

1

13

2 12

13 12 23

r r

r r r

−

−

−

Ví dụ: Bảng sau đây cho Tỷ lệ lạm phát Y(%), Tỷ lệ thất nghiệp X2(%) và

Tỷ lệ lạm phát kỳ vọng X3(%) của Mỹ giai đoạn 1970- 1982:

Hồi quy Y với X 2 và cho nhận xét.

Hồi quy Y với X 2 và X 3 và so sánh với kết quả thu được ở phần a

2 Mô hình hồi quy tổng quát k biến - Dạng ma trận của mô hình

Với mẫu W = {(X2i, X3i,…,X ki , Y i); i = 1÷ n},

SRF: Yˆ i = βˆ1 + βˆ2X2i + βˆ3X3i + … + βˆk X ki (3)

n

kn n

k k

n

n

u u

u u

X X

X X

X X

X X

Y Y

Y Y

1

2 1

2 1

2

1 1

2

2 22

1 21

1

2 1

Y Y

ˆ ˆ

ˆ ˆ

1

2 1

ˆ

e e

1

2 1

e

1

2 = e’e → min

⇔ (Y - X βˆ )’ (Y - X βˆ) → min ⇔ X’X βˆ = X’Y

Nếu tồn tại (X’X)-1 thì βˆ = (X’X)-1X’Y

Khi đó βˆ = (X’X)-1X’Y là ước lượng tuyến tính không chệch tốt nhất của

) ˆ , ˆ ( )

ˆ , ˆ (

) ˆ ( )

ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ (

) ˆ , ˆ ( )

ˆ (

2 1

2 2

1 2

1 2

1 1

k k

k

k k

Var Cov

Cov

Cov Var

Cov

Cov Cov

Var

β β

β β

β

β β β

β β

β β β

β β

2.5 Sự phù hợp của hàm hồi qui

cả các biến giải thích có trong mô hình

R2 có các tính chất sau:

+ 0 ≤ R2 ≤ 1

Tính chất này dùng để đánh giá mức độ thích hợp của hàm hồi quy

+ Giá trị của R 2 đồng biến với số biến giải thích của mô hình Tuy nhiên không thể lấy điều đó để xem xét việc đưa thêm biến giải thích vào mô hình.

2.7 Hệ số tương quan.

Hệ số tương quan bội R.

Hệ số tương quan cặp r ij (i,j = 1 ,k)

Hệ số tương quan riêng phần r 12,34 k r k-1k,12 k-2

Các hệ số tương quan cặp được gọi là hệ số tương quan riêng phần bậc 0

3 Suy diễn thống kê.

3.1 Ước lượng khoảng

i Khoảng tin cậy cho từng hệ số

j

β ˆ – Se(β ˆj )tα 2(n – k) < βj < β ˆj + Se(β ˆj )tα1 (n – k) (j = 1 ,k )

→ Khoảng tin cậy đối xứng, bên phải, bên trái

ii Khoảng tin cậy cho hai hệ số

(β ˆi ± β ˆj ) – Se(β ˆi± β ˆj )tα2(n – k) < βi±βj <(β ˆi± β ˆj ) + Se(β ˆi± β ˆj )tα1 (n – k)

Với Se(β ˆi ± β ˆj) = Var( β ±ˆi βˆj)= Var( βˆi) ± 2Cov( βˆi, βˆj) +Var( βˆj)

iii Khoảng tin cậy cho sai số ngẫu nhiên

) (

k n

2 ( ) ˆ

k n

k n

Khoảng tin cậy hai phía, bên phải, bên trái

3.2 Kiểm định giả thuyết

Cặp giả thuyết Tiêu chuẩn kiểm

định

Miền bác bỏ H0

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β

2 / k

n

t − α

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

β β

T qs =

) ˆ (

j

j j

* 0

: H

: H

j j

j j

β β

j i

β β

β β

: H

: H

1

0

T qs =

) ˆ ˆ (

ˆ ˆ

j i

j i

Se

a

β β

β β

±

−

2 /

k n

0 : H

2 1

2 0

H

0

: H

1

2 0

Tất cả các biến giải thích không giải thích cho Y

Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

F qs = /(/( 1)) 1 2/(/( 1) )

2

k n R

k R k

n RSS

k ESS

Ví dụ: Với tệp số liệu đã cho, hãy tìm các ước lượng βˆ bằng phương pháp

ma trận và các tham số tương ứng của mô hình Hãy tiến hành các ước lượng và

: 0 :

H

0

: H

1

2 1

0

k m k j

j

k m

k m k

β

β β

β Tất cả m biến giải thích không giải thích cho Y

Ít nhất một biến giải thích có giải thích cho Y

E(Y/X2, ,X k - m , ,X k ) = β1 + β2X2 + … + βk X k (UR)

E(Y/X2,…, X k - m ) = β1 + β 2X2 + … + βk X k - m (R)

F qs = (RSSr RSSur−RSSur/(n−k))/m =

) /(

) 1 (

/ ) (

2

2 2

k n R

m R R

ur

ñ ur