Bài tập Vật lý phần dao động pps

Trên hình biểu diễn lược đồ cơ hệ ở vị trí cân bằng tĩnh.. - Phương trình dao động cưỡng bức của hệ tại tần số kích thích  = t Ghi chú: Các đĩa tròn được giả thiết là đặc, đồng chất, c

Bài tập 1:

1 Tham khảo bài tập bên dưới

1 Đề xuất mô hình DOF=2, lập hệ phương trình và tính đáp ứng

Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do:

Cơ hệ cho trên hình gồm 2 vật 1 và 2, có 1 bậc tự do, chịu tác dụng của lực cưỡng bức Trên hình biểu diễn lược đồ cơ hệ ở vị trí cân bằng tĩnh Đặc trưng giảm chấn của hệ được cho bởi hệ số suy giảm loga

Các số liệu về thông số của hệ:

Khối lượng: m1 = 40 kg, m2 = 30 kg

Hệ số độ cứng của lò xo: c1 = 20 N/cm, c2 = 25 N/cm

P = 35,  = 2 s-1,  = t, hệ số suy giảm loga  = 0,62

Hãy xác định:

- Hệ số α đặc trưng độ cản nhớt của bộ phận giảm chấn

- Phương trình dao động cưỡng bức của hệ tại tần số kích thích  = t

Ghi chú: Các đĩa tròn được giả thiết là đặc, đồng chất, các thanh – mảnh đồng chất,

sự lăn của các đĩa là lăn không trượt

c

c

A x

­

y

P



2 2

1

k ­ 2

Trả lời:

1 Phân tích cơ hệ:

Hệ 1 bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm trọng lực và lực đàn hồi của lò xo và lực cưỡng bức

Chọn y là tọa độ của vật 1 làm tọa độ suy rộng

Để lập phương trình chuyển động ta dùng phương trình Lagrange dạng 2:

d

dt ( ∂ ∂ T y. ) − ∂ T

∂ y +

∂ V

∂ y +

∂ R

∂ y = Qy

2 Lập biểu thức động năng T:

T = T1 + 2T2

Vật 1 chuyển động tịnh tiến

T1 =

1

2m1y

2

Vật 2 chuyển động tịnh tiến

T2 =

1

2m2x

2

với

x = y.tan30

vậy:

T2 =

1

2 y

2

( tan30)2 Biểu thức động năng toàn hệ:

T =

1

2 [ m1+2 m2( tan 30o)2] y.2

Ký hiệu:

mtt = [ m1+2 m2(tan 30o)2]

Biểu thức động năng toàn hệ:

T =

1

2m tt y

2

3 Lập biểu thức thế năng V:

V = V1 + 2V2

Thế năng của lực trọng trường:

Tại vị trí cân bằng như trên hình ta quy ước thế năng của lực trọng trường tác động lên vật 1 bằng 0 Khối tâm của vật 2 không đổi so với mặt đất nên ta có:

V2 = 0

V1 = -G1y = -m1gy

Thế năng của lực đàn hồi của lò xo:

Vlx1 = 2 (k1

2 (λ A 0+λ A)2−k1

2 λ2A 0) = 2 (k1

2 (λ A 0+x )2−k1

2 λ2A 0)

Vlx1 = 2

k1

2 (y

2

( tan30o)2+2 y tan 30o λ A 0)

= k1y2(tan 30o)2+2 k1y tan 30 o λ A 0

Vlx2 =

k2

2 (λ B 0+λ B)2−k2

2 λ B 0

2

=

k2

2 (λ B 0+y )2−k2

2 λ B 0

2

Vlx2 =

k2

2 y

2

+k2yλ B 0

Thế năng của toàn bộ lực có thế tác động lên cơ hệ:

V = -m1gy + k1y2(tan 30o)2+2 k1y tan 30 o λ A 0 +

k2

2 y

2

+k2yλ B 0

Tại vị trí cân bằng (y=0), thế năng của hệ là cực tiếu do đó:

( ∂ ∂ V y )y=0=0

==> -m1g + 2k1 tan(30)A0+k2B0 = 0

V =

1

2[2 k1(tan 30o)2+k2]y2

V =

1

2k tt y2

Với ktt = [2 k1(tan 30o

)2+k2]

4 Lập biểu thức hàm hao tán R:

R = 2

1

2c x

2

+1

2c y

2

=1

2[2( tan 300)2+1]cy

2

=

1

2c tt y

2

Với c tt=[2( tan300)2+1] c

5 Tính Q y :

Qy = Qp

Công khả dĩ của hệ dưới tác dụng lực ngoài

A = Pcos(t)(y)

Vậy Qy = Pcos(t)

6 Lập phương trình chuyển động

Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình Lagrange dạng 2 ta có:

m tt y .+c tt y.+k tt y = cos(t)

Tính hệ số c đặc trưng độ cản nhớt bộ giảm chấn:

Tính các thông số tay thế

mtt = [m1+2 m2(tan 30o)2] = 40 + 2 x 30 (tan30)2 = 60 kg

ktt = 2k1( tan30)2 +k2= 2 x 20( tan30)2 +25= 38,33 N/cm = 0,3833 N/m

Ptt = 35 / cos30 = 40,42 N40,42 N

Tần số riêng:

n = √k tt

m tt=√600 , 3833 = 0,07993 s-1

Hệ số suy giảm loga:

 = nTd =

2πς

==>

√(2 π )2+η2=

0 , 62

√(2 π )2+0 ,622=0 , 098199

ctt = 2nm = (2 x 0,098199 x 0,07993 x 60) = 0,942 kg/s

Hệ số c đặc trưng độ cản nhớt bộ giảm chấn:

c = ctt /[2( tan30)2+1] = 0,565 kg/s

Phương trình dao động cưỡng bức của hệ:

60 y

+0,946 y

.

+0,3833 y = cos(2t)

Bài tập 2:

2 Tham khảo bài tập bên dưới

3 Đề xuất mô hình DOF=1, lập phương trình và tính đáp ứng

a Khảo sát dao động tự do của cơ hệ 2 bậc tự do

Hãy xác định tần số và dạng dao động của cơ hệ 2 bậc tự do Giả thiết rằng các lực cản, khối lượng lò xo không đáng kể Trên hình biểu diễn cơ hệ ở vị trí cân bằng Các số liêu cần để tính toán:

m1 = 4 kg, m2 = 1 kg

R = 0,2 m, l = 0,3 m

k1 = 40 N/cm, k2 = 30 N/cm

­ 2

k

k ­ 1

R

1

2

A

B

C

D

­ ­

Trả lời:

1 Phân tích cơ hệ:

Hệ 2 bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm trọng lực và lực đàn hồi của lò xo

Chọn 1 và 2 là các tọa độ suy rộng

Để lập phương trình chuyển động ta dùng phương trình Lagrange dạng 1:

d

dt(∂∂q T i

. )−∂T

∂q i+

∂V

∂q i=Q i

2 Lập biểu thức động năng T:

T = T1 + T2

Vật 1 chuyển động song phẳng

T1 = T1 + T1 =

1

2m1v

0 +1

2J A ω

1 =1

2m1(ω1R )2+1

2(12m1R2)ω

1

T1 =

1

2(1,5 m1R2)ϕ.

12

Vật 2 chuyển động quay

T2 =

1

2J B ϕ.

22=1

2(m2L

2

3 )ϕ.22=1

2(m2(1 , 75l )2

3 )ϕ.22=1

2(49 m2l2

48 )ϕ.

Biểu thức động năng toàn hệ:

T =

1

2(1,5 m1R2)ϕ.

1

2(49 m2l2

48 )ϕ2

2

3 Lập biểu thức thế năng V:

V = V1 + V2

Thế năng của lực trọng trường:

Tại vị trí cân bằng như trên hình ta quy ước thế năng của lực trọng trường tác động lên vật 2 bằng 0

V1 = 0

V2 = -G2h = -m1g

l2

2(1−cosϕ2 )

= -m1g

1 , 75 l

2 2(sin

ϕ2

2 )

2

= -m1g

1 ,75 lϕ

22

4

Thế năng của lực đàn hồi của lò xo:

Gọi 1 là biến dạng của lò xo 1và t1 là biến dạng tỉnh của lò xo 1 ta có:

1 = A - C = R1 - l2

Vlx1 =

k1

2 (λ1 +λ t 1)2+k1

2 λ t 12

=

k1

2 (Rϕ1 −lϕ2)2−k1(Rϕ1−lϕ2)λ t 1

Gọi 2 là biến dạng của lò xo 2 và t2 là biến dạng tỉnh của lò xo 2 ta có:

2 = D = 1,75lϕ2

Vlx2 =

k2

2 (λ2 +λ t 2)2−k2

2 λ t 2

2

=

k2

2 (1 ,75 lϕ2)2−k2(1 , 75 lϕ2)λ t2

Thế năng của toàn bộ lực có thế tác động lên cơ hệ:

1 ,75 lϕ

22

k1

2 (Rϕ1 −lϕ2)2−k1(Rϕ1−lϕ2)λ t 1

+

k2

2 (1 ,75 lϕ2)2−k2(1 , 75 lϕ2)λ t2

Tại vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiếu do đó:

( ∂ ∂ ϕ V1) ¿¿ϕ1=0¿ϕ2=0¿¿ =0 ¿

=> −k1Rλ t 1=0

( ∂ ∂ V ϕ2) ¿¿ϕ1=0¿ϕ2=0¿¿ =0 ¿

=> k1lλ t 1+k2(1, 75 l) λ t 2=0

V = −m1g

1 ,75 lϕ

22

1

2k1 (Rϕ1−lϕ2)2+ 1

2k2(1 ,75 l )2ϕ

2

4 Lập phương trình chuyển động

Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình Lagrange dạng 2 ta có: 1,5m1R2 ϕ 1 + k1R(R1 - l2) = 0

(49 m2l2

48 )ϕ2

.

- 0,875m1gl2 - k1l(R1 - l2) + k2(4916l

2 )ϕ2

= 0 Viết dưới dạng ma trận:

[32m1 0

0 49

48 m2] {ϕ .1

ϕ 2}+[ k1R2

−k1Rl

−k1Rl k1l2+k2(1649l

2

)−0 , 875 m1gl] {ϕ1

ϕ2}={00}

[60 490

48 ] {ϕ .1 ϕ

.

2}+[−240160 816 , 375−240 ] {ϕ1

ϕ2}={00}

5 Xác định tần số và dạng dao động riêng

Phương trình đặc trưng của hệ:

| C−ω2M|=|160−6ω2 −240

 6.1254 + 5061,58332 – 73020 = 0

 1 = 811,6936;

 2 = 14,6874;

Tần số riêng:

1 = 28,4902 s-1

2 = 3,8324 s-1

Tìm véc tơ riêng:

Thế 1 vào phương trình [C - 2 M] = {0} ta có:

-4710,1616X1(1) – 240 X2(1) = 0

lấy X1(1) = 1 ==> X2(1) = -19,6257

Thế 2 vào phương trình [C - 2 M] = {0} ta có:

71,8759 X1(2) - 240 X2(2) = 0

lấy X1(2) = 1 ==> X2(2) = 0,2995

Véc tơ riêng

⃗

X(1 )= [ −19,6257 1 ]

⃗ X(2 )= [ 0,2995 1 ]

Dạng dao động riêng

Dao động chính thứ nhất:

(1)(t) = C1cos(28,4902t + 1)

(1)(t) = -19,6257C1cos(28,4902t + 1)

Dao động chính thứ hai:

(2)(t) = C2cos(3,8324t + 2)

(2)(t) = 0,2995C2cos(3,8324t + 2)

b Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 2 bậc tự do

Cơ hệ có 2 bậc tự do được biểu diễn như trên hình vẽ chịu tác dụng của lực cưỡng bức biến thiên tuần hòan ở dạng lực P = P0 cos pt Lực P tác động lên vật 1 Dường tác dụng của lực P nằm ngang, đi qua khối tâm vật 1 và có phương không đổi trong quá trình

hệ chuyển động Chuyển vị dài khi tác dụng lực là không đổi tức P = P0 là 0,001 m Các

số liêu cần để tính toán:

m1 = 4 kg, m2 = 1 kg

R = 0,2 m, l = 0,3 m

c1 = 40 N/cm, c2 = 30 N/cm

­ 2

k

k ­ 1

R 1

2

A

B

C

D

­ ­

P

Trả lời:

2 Lập phương trình chuyển động

Áp dụng kết quả của Bài tập 2a ta có phương trình chuyển động

[60 490

48 ] {ϕ .1 ϕ

.

2}+[−240160 816 , 375−240 ] {ϕ1

ϕ2}={RP ( t )0 }

3 Giải bài toán trị riêng

 1 = 821,8267;

= 14,84;

Tần số riêng:

1 = 28,6675 s-1

2 = 3,8523 s-1

Véc tơ riêng

⃗

X(1 )= [ −19,6257 1 ]

⃗

X(2 )= [ 0,2995 1 ]

4 Chuẩn hóa véc tơ riêng

⃗

y(1)= [ −0,9823 0 ,0501 ]

⃗

y(2)= [ 0,4052 0,1213 ]

5 Xác định véc tơ lực suy rộng

⃗

Q=[y]T⃗F ( t )=[⃗

y(1),⃗y(2)]T⃗F=[y(11)

y(21)

y(12)

y2( 2)] {F1

F2}=[y1( 1)

F1 y(21)

F2

y1( 2)

F1 y(22)

F2]

⃗

Q={0 , 0501 RP 0 cos pt

0 , 4052 RP 0 cos pt}={H1cos pt

H2cos pt}

6 Phương trình vi phân chuyển động trong hệ tọa độ chính chuẩn

T .1+ω

12T1=H1cos pt

T

.

2 +ω

22T2=H2cos pt

Nghiệm cưỡng bức của phương trình

ω

12 −p2cos pt

ω

22 −p2cos pt

Khi hệ chịu lực tĩnh P = P0 ta có

0 , 001/R= H1

ω

12 ==> H1 = 0,00112 /R= 4,109 Nm

P0 =

H1

0,0494 R=

4 ,109 0,0501.0,2 = 410 N

Vậy:

H1 = 4,109 Nm

H2 = 0,4052RP0 = 33,2264 Nm

{ϕ1 (t )

ϕ2(t )}=[y1(1) y(1)2

y1(2 ) y(2)2 ] {T1

T2}=[y(11)T1 y2(1)T2

y(12)T1 y2(2)T2]

{ϕ1(t )

ϕ2(t )}=[0 , 0501 T1cos pt 0, 4052 T2cos pt

0 , 9823 T1cos pt 0, 1213T2cos pt]