Thủy văn công trình - Chương 8 ppt

Tần suất tích luỹ P của những biến cố x ≥ xi: Tần suất tích luỹ P của những biến cố x ≥ xi: là tần suất xảy ra những biến cố x lớn hơn hay bằng biến cố xi; ký hiệu là Fxi Để tính được t

CHƯƠNG 8

TÍNH TOÁN THỦY VĂN

8.1 TÍNH TOÁN VÀ PHÂN TÍCH TẦN SUẤT

8.1.1 Tần số f:

Tần số là số lần xuất hiện biến cố x trong chuỗi biến cố xi mà ta quan trắc

8.1.2 Tần suất P (của biến cố x):

Được định nghĩa là tỷ số giữa tần số f của biến cố xi và tổng số các biến cố xi ( chiều dài của chuỗi biến cố mà ta quan trắc)

100 n

f

xi = Trong lý thuyết xác suất, đại lượng này chính là xác suất xảy ra biến cố

xi

8.1.3 Tần suất tích luỹ P (của những biến cố x ≥ xi):

Tần suất tích luỹ P (của những biến cố x ≥ xi): là tần suất xảy ra những biến cố x lớn hơn hay bằng biến cố xi; ký hiệu là F(xi)

Để tính được tần suất tích lũy, ta thực hiện các bước sau:

1 Đầu tiên ta sắp xếp (hoặc phân cấp) chuỗi quan trắc biến cố xi

theo thứ tự có giá trị giảm dần ( lớn nhất đứng ở trên, nhỏ nhất đứng ở dưới)

2 Bước kế tiếp tính tần số Nếu ta không phân cấp, mà để từng biến cố xi để tính tần số thì ứng với mỗi biến cố xi tần tố bằng 1 Nếu phân theo cấp (xa –xb) thì ta đếm xem có bao nhiêu biến cố

xi rơi vào khoảng giữa cấp (xa –xb), đó chính là tần số của cấp (xa–xb)

3 Tiếp theo tính tần suất Pxi của biến cố xi

4 Cuối cùng tính tần suất tích lũy của những biến cố x≥ xi bằng cách cộng dồn theo thứ tự từ trên xuống dưới cột tần suất Pxi

8.1.4 Đường tần suất

Đường biễu diễn tần suất tích luỹ P(x≥ xi) theo xi thông thường là một

đường cong trơn, trong lý thuyết xác suất, người ta gọi là đường tần suất

tích luỹ và đơn giản hơn gọi là đường tần suất

Đường tần suất có các giá trị tần súât tỷ lệ nghịch với giá trị xi Trên đường tần suất, ứng với các giá trị biến cố xi càng lớn thì giá trị tần suất càng nhỏ , và ngược lại

Trong thủy văn, người ta dùng đường tần suất để phục vụ cho hầu hết các

thiết kế công trìnhá Ta thường gặp các bài toán như sau: Biết tiêu chuẩn

thiết kế là P%(x≥ x i ); tìm x i tương ứng; hoặc ngược lại, biết x i , tìm P% tương ứng.Ví dụ để xây dựng một công trình cần phải có lưu lượng Q5% , là những lưu lượng tương đối lớn) Vì vậy việc vẽ đường tần suất cho một chuỗi số liệu biến cố x rất quan trọng

8.1.5 Hàm mật độ tần suất f(xi):

Hàm mật độ tần suất f(xi) là đạo hàm bậc một của hàm phân bố tần suất F(xi) Ta có:

x

) x ( F ) x x

( F )

x ( F ) x (

x i

'

− Δ +

=

=

→

Đồ thị biễu diễn hàm mật độ là một đường cong trơn hìng quả chuông (có thể xem hình vẽ của ví dụ dưới đây)

Biết hàm số mật độ tần suất, chúng ta có thể suy ngược lại hàm phân bố tần suất (tích luỹ) và ngược lại

8.2 VÍ DỤ TÍNH TOÁN

Ví dụ 1:

Xét sự phân bố tần suất Qmax trong năm tại một trạm thủy văn với các số liệu trong chuỗi thời gian từ 1930 đến 1979 gồm 50 trị số, trong đó số lớn nhất là 2560 m3/s, nhỏ nhất là 770 m3/s, trung bình là 1360 m3/s

1 Đây là các biến ngẫu nhiên, ta tiến hành phân khoảng cho các trị số, sắp xếp theo thứ tự từ lớn tới nhỏ thành các cấp lưu lượng, thống kê số lần xuất hiện biến cố lưu lượng rơi vào khoảng của

cấp, số lần này gọi là tần số f

2 Tính tần suất P%=100*(f/50)

3 Tính tần suất tích lũy (cộng dồn từ trên xuống) ta được F(Qi)=ΣP%(Q>Qm)

4 Ta tính mật độ tần suất f(xi) bằng cách chia tần suất P cho độ lớn khoảng cách giữa hai cấp (bằng 300), ta được mật độ tần suất bình quân của cấp lưu lượng đó, ký hiệu là f(xi)

5 Tính toán như bảng sau:

2600 2600-2300 1 2 0.006666667 2

Tổng số 50 100

Q Tần suất tích lũy,

P%(Q>=Q m )=SumP%

Cấp lưu lượng,

Q (m3/s)

Tần số f, lần

Tần suất, P%=100(f/n)

Mật độ tần suất, (P/300)% (m3/s) -1

Mật độ tần suất, (P/300)% (m3/s)-1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Tần suất tích lũy, P%(Q>=Qm)=SumP%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Đường phân bố mật độ tần suất lưu lượng đỉnh lũ Đường tần suất tích luỹ lưu lượng đỉnh lũ

1 ý nghĩa đường tần suất:

Nếu khi lấy mẫu, mỗi năm chọÏn một trị số Qmax, liên tục trong nhiều năm (n năm) thì tần suất có hàm ý: trong thời gian rất dài, ví dụ bình quân trong 100 năm xuất hiện bao nhiêu lần, ví dụ P(Qmax>1900 m3/s)=20% có nghĩa là trong thời gian rất dài, bình quân 100 năm có 20 lần xuất hiện

Qmax>1900m3/s

Rõ ràng từ hình vẽ, ứng với các giá trị tần suất tích lũy nhỏû thì Qmax lớn và ngược lại

8.3 ĐƯỜNG TẦN SUẤT KINH NGHIỆM

Trong thủy văn, đường tần suất kinh nghiệm là đường tần suất xây dựng từ các số liệu thực đo (ví dụ trên) Đây là đườøng tần suất phản ảnh về tình hình các đặc trưng thủy văn của trạm đang đo, nhưng không phản ảnh tình hình của trạm khác

Ví dụ 2:

Trong 20 năm, có lượng mưa bình quân năm từ 1963 đến 1982 như sau:

Công thức tính tần suất kinh nghiệm:

Trong chuỗi số liệu dưới đây, giá trị nhỏ nhất của số liệu có tần suất 100%, như vậy mặc nhiên chấp nhận không có số nào nhỏ hơn nữa Điều này chỉ đúng khi số liệu dài (n rất lớn) Trong trừờng hợp ngược lại , n bằng chừng vài chục số thì điều này vô lý

Do đó, người ta dùng một số công thức khác để tính tần suất P như sau:

m

P1 = −0 5100

m

1

m

4 0

3

0

−

=

Thực tế cho thấy tính theo P2 thì an toàn, P3 thì trung bình P1 thì thiếu an toàn

274625000 -43944000

226981000 1.94 0.001 4326.2

140608000 1.49 1 3322.7

68921000 1.1 30 2453

59319000 0.83 80 1850.9

19683000 0.45 99.9 1003.5

10648000

6859000

1331000

-8000

-512000

-1000000

-1331000

-19683000

-29791000

-39304000

-42875000

-103823000

-175616000

-438976000

Chart Title

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

8.4 NGOẠI SUY ĐƯỜNG TẦN SUẤT KINH NGHIỆM

Khi tính toán thuỷ văn cho các công trình quan trọng thường gặp tần suất rất nhỏ (1%, 0,1% ) trong khi đó nếu chuỗi số liệu ngắn (ví dụ trên n=20), nếu tính tần suất theo công thức P2 thì ứng với trị số X lớn nhất cũng chỉ cho gần 5% Do đó phải ngoại suy (kéo về hai phía ) đường tần suất, việc này dễ dẫn đến sai số chủ quan (do tự kéo về hai phía không đúng)

Để khắc phục vấn đề này, người ta dựa vào một số phương trình toán học để tìm ra các đường tần suất lý luận Để xác định đường tần suất lý luận,

ta làm quen với một số đặc trưng thống kê sau:

8.4.1 Các trị số đặc trưng thống kê biểu thị xu thế tập trung

1 Số bình quân x : n

x x

n i

∑

i

n

f

x

f x

1

với fi là tần số của xi

2 Số đông xd: là trị số X ứng với mật độ tần suất lớn nhất

8.4.2 Các trị số đặc trưng thống kê biểu thị xu thế phân tán

3 Khoảng lệch lớn nhất: Là hiệu giữa trị số xmax và xmin:

min max

m = x − x Δ

4 Khoảng lệch quân phươngσ:

( )

n

x x

n i 2 1

= σ

Khoảng lệch quân phươngσ nói lên mức độ phân tán toàn chuỗi, σ càng lớn, độ phân tán càng lớn

Tuy nhiên σ là một số có thứ nguyên nên không thể dùng so sánh mức độ phân tán giữa các chuỗi có thứ nguyên khác nhau

Để khắc phục điều này, người ta dùng hệ số biến động Cv

5 Hệ số biến động Cv

( )

( )2

1 1 2

1 1

2

1

1

∑

∑

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

− σ

n i n

n i

x

x

xn

x x x

C

trong đó x

x

i =

là hệ số module

Cv ≥ 0 và là một số vô thứ nguyên, nên biểu thị mức độ phân tán tốt hơn

Tuy vậy Cv chưa khái quát hết hình dạng của đường phân bố mật độ tần suất, nên người ta dùng thêm hệ số thiên lệch Cs

6 Hệ số thiên lệch (hay hệ số không đối xứng) Cs

Hệ số thiên lệch Cs là đặc trưng phản ánh hình dạng của đường phân bố mật độ tần suất lệch về bên trái hay bên phải so với giá trị bình quân:

( ) ( )

3 1

3 3

3 1

3

1 v

n i v

n i s

nC

K x

nC

x

x

=

−

=

Cs cũng là một đại lượng vô thứ nguyên

Trong công thức tính Cs ta có mẫu số luôn luôn dương nên:

1 Khi tử số ∑(Ki-1)3 >0 thì Cs>0, dạng phân bố đường mật độ tần suất lệch về bên trái của trị số bình quân

2 Khi tử số ∑(Ki-1)3 <0 thì Cs<0, dạng phân bố đường mật độ tần suất lệch về bên phải của trị số bình quân

3 Khi tử số ∑(Ki-1)3 =0 thì Cs=0, dạng phân bố đường mật độ tần suất đối xứng qua trục đi qua trị số bình quân

Cần lưu ý rằng những công thức tính σ, C v ; C s ở trên chỉ dùng để tính toán cho những chuỗi số liệu rất dài (n rất lớn) Ở nước ta, chuỗi quan tắc thường ngắn (n chỉ bằng vài chục số), nên công thức tính các đại lượng σ, C v ; C s được đề nghị sửa đổi như sau:

( ) ∑ ( )

∑

=

=

−

−

=

−

−

=

n

K n

x x

x

2 1

2

1 1

1 1

1

( ) ∑ ( )

∑

=

=

−

−

=

−

−

n

n x

x n

x

C

1

2 1

2

1 1

1 1

1 1

( )

−

v

C ) n (

C

1

3

3 1

8.5 ĐƯỜNG TẦN SUẤT LÝ LUẬN

Như đã nói ở trên, do tài liệu quan trắc ít, ta nhận được chuỗi số liệu ngắn nên đường tần suất có được không đáp ứng được nhu cầu thiết kế ( không suy ra được những giá trị x ứng với tần suất nhỏ, cần phải kéo dài đường tần suất dễ gây ra sai số vì chủ quan Do đó người ta tập trung nghiên cứu từ lý thuyết, vẽ nên những đường phân bố mật độ tần suất tổng thể dạng tóan y=f(x)

Vì rằng mật độ tần suất chính là:

x

) x ( F ) x x

( F )

x ( F ) x (

x i

'

− Δ +

=

=

→

Nên sau đó, lấy tích phân đường cong mật độ tần suất sẽ cho ra đường tần suất (tích lũy) lý luận Dựa vào đường tần suất lý luận này, người ta kéo dài đường tần suất kinh nghiệm Ở đây ta giới thiệu đường tần suất lý luận PearsonIII thường dùng trong thủy văn như sau:

Đường tần suất lý luận Pearson III:

Có đặc tính sau: = = Φ

− f(C ,P) C

K

s v

Trong đó Φ là là khoảng lệch tung độ phụ thuộc vào Cs và P

Khi Cs và P không đổi thì Φ cũng không đổi và không phụ thuộc vào Cv

1 Trường hợp C v =1:

Foster và Rypkin đã dựa vào một số đặc tính của đường PIII , tiến hành tích phân tìm ra các trị số Φp tương ứng với các tần suất và Cs>0 khác nhau và lập ra bảng tra cứu (xem phụ lục)

2 Trường hợp C v ≠ 1:

Trong thực tế, khi C v ≠ 1, dựa vào công thức trên ta suy ra:

Kp=ΦCv+1

3 Trường hợp C s <0 :

Ta vẫn có thể sử dụng bảng tra cứu Foster-Rypkin, nhưng phải biến đổi lại:

Φp(Cs<0)= - Φ100-p (-Cs>0)

Với Φ100-p (-Cs>0) tra bảng ứng với –Cs>0 và giá trị tần suất bằng (100-p) Như vậy, từ chuỗi số liệu cho trước, sau khi tính các giá trị x , Cv, Cs; ta tra bảng ra Φp (ứng với P và Cv=1) và tính được Kp (ứng với P và Cv của chuỗi vừa tính ); suy ra xp=Kpx ứng với từng giá trị cho trước của P Sau đó vẽ từng cặp (xp, P) lên đồ thị ta được đường tần suất lý luận PIII

Giới hạn của C s khi vẽ đường P III :

min

v s

C C

C

−

≤

≤

1

2 2

Nếu Cs vượt ra ngoài giới hạn trên thì :

Nếu Cs < 2Cv thì xuất hiện những giá trị âm trên đường PIII

v

C C

−

>

1

2

thì đường tần suất có dạng lưỡi liềm không phù hợp với các hiện tượng thủy văn

Đường tần suất lý luận Krisky-Melken:

Trong thực tế thủy văn vẫn tồn tại Cs< 2Cv nên Krisky-Melkin đề nghị thêm dạng đường mật độ tần suất dùng cho trường hợp này, sau khi lấy tích phân cho ra đường tần suất tích lũy K-M

Krisky-Melkin cũng lập những bảng cho sẵn các giá trị Kp ứng với từng giá trị p cho các truờng hợp khác nhau của Cs: Cs /Cv=(1÷6) (tra phụ lục) Từ các cặp (Kp,P) hay (xp,P) ta vẽ nên được đường tần suất lý luận K-M

8.6 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỜNG TẦN SUẤT THƯỜNG DÙNG TRONG THỦY VĂN

Như đã nói, đường tần suất kinh nghiệm được vẽ trên cơ sở thực đo, cần kéo dài và hiệu chỉnh bằng cách dựa vào các đường tần suất lý luận Ở đây, chúng ta làm quen với một cách đơn giản nhất là phương pháp thử đường:

Phương pháp thử đường:

Nội dung của phương pháp này là : dựa vào kết quả tính x , Cv của chuỗi số liệu, ta giả thiết nhiều giá trị Cs khác nhau (thông thường cho Cs=mCv

với m=1-6) và vẽ nên được nhiều đường tần suất lý luận khác nhau Đường lý luận nào phù hợp tốt nhất với các điểm thực nghiệm thì đường đó được chọn làm tần suất tính toán

Chú ý rằng đôi khi cần phải hiệu chỉnh lại cả x , Cv thì mới đạt được đường tần suất phù hợp với thực nghiệm

Qua thực tế các số liệu thủy văn ở VN, đường PIII và đường K-M đều cho kết quả tốt