Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động part 5 pptx

Nguyên lí của phương pháp phân miền D như sau : trong không gian toạ độ n+1 chiều thay đổi của c: số chúng ta có thể chia ra tối đa n + 1 vùng mà trong mỗi ving do mac dù giá trị các hệ

kinh vô cùng lớn Như vậy đặc tính TBP của hệ thống hở luôn luôn bao điểm

=1, ÿ) với mọi giá trị K > 0 Khi hệ hở không ổn định dac tinh TBP của hệ

hở sẽ cát trục thực tại điểm trên phần

đương của nó ( đường 3 hình II- 11)

Như vậy đạc tính này không bao

diém (-1,j0) voi moi gia tri K > 0

Như vậy chúng ta có thể kết luận

như sau: đối với hệ thống hở có phương

toàn tương ứng với tiêu chuẩn đại sỐ vÌ - Hình n-+1 Các đặc tính TBP của hệ hỏ ở

không thể tìm được một gid tri K > 0 biên giới ổn inh () và không ổn định (2) nao đáp ứng đươc điều kiện (II- 4ì,

+ Trường hợp hệ hở có một nghiệm hàng 0,

hệ số ay = 0, còn các hệ số khác đều dương

Hàm truyền đạt của hệ thống hở có dạng :

K Whip) = ap? +ap 4 uP ajp* + aap

- a2

Riw) = Taw) bla tại.@2)* + (as.e - ag.œ3)

- K La» - agø3) - K (ay - ay.w2)

Med = or fap.wl? + (ayo - ay.) Be ale? 2{0 ` + (aA; - ag.w?*) gd tayo alah?

Dac tính TBP của hệ thống hở cát trục thực tại tần số tạ =V a3Íãạ

Toa dé diém cat là :

Kao

aya,

Rw,) = - Đạc tính TBP của hệ thống hở đi qua điểm (-1, 0) khi K = aj.a; /ay (đường

3 hình I1-12) hệ thống kín ở biên giới ổn định khi K < a,a; / au đặc tính TBP

88

của hệ thống hở không bao điểm (-1, Ð) ( đường 1 hình II- 12), hệ thống kín ổn

định (tương ứng với tiêu chuẩn đại số - bất đẳng thức II-9), Hệ thống kín không

ổn định khi đạc tính TBP của hệ thống hở bao điểm (- 1, Ð) (đường 3 trong hình TI- 12)

+ Xét trường hợp hệ thống hở có cấu trúc không ổn định với hàm truyền đạt dang :

ay-p? + (ay - ag.ay)p” + (a; - ay.ay)p - apa, + K = 0

Điều kiện ổn định cần thiết

ai- 8gay > 0

ap-apay >0

K-a,a, >0 Điều kiện ổn định của hệ thống kin

(ay = ayayMay - ay.ay) > a.(K - ap.ay)

Suy ra eet aụ.a3)(a; - ai.ay) + a›.a:.aụ

ag Tiệ thống kín ổn định khi

aị.a; - a7ay + ai.ag.aŸ

Tách phân thực và phần ảo ta được

Klap.ay + (ai - ag.as)ø2]

(az.a3 + (a, - ag.aa)2]2 + [(a; + ayayw - aye]?

90

với một trong các điều kiện cần để hệ thống kín ổn định:

K

a2a, +a, - ¬¬~ r

khi œ = 0; R(0) =- K /Rạ.ay

Rlw,) =

Các đặc tính TBP của hệ thống hở được mô tả trên hình II- 13 để cho các hệ

số khác nhau của phương trình đạc tính còn hệ số khuếch đại K > a;.a;, và cố định

- Đường 1 tương ứng với trường hợp A - ay-ag < 05 a - ayay > O (khong

bảo đảm điều kiện cần để hệ thống kín ổn định) giá tri R(wa) < R(0), Dac tinh TBP cia hé théng hé bao diém (-1, J0) một góc bằng - +z Hệ thống kín

- Đường 3 tồn tại khi

Ay - Ao.4; >Ũ; a› - a,ay >0 (bảo

dam điều kiện cần để hệ kín ổn định) Nhưng ở đây :

Hình II-14 các đặc tính TBP của hệ thống hở

(a) - ag.a3)(A; - ai.az) + aa.a3.nu

ay Đặc tính TBP của hệ thống hở bao diém (-1, ÿ) một góc bằng - + Hệ thống

Đặc tính TBP của hệ thống hở bao điểm (-1, (0) mot géc bang + Hệ thống kín ổn định

§II-4 PHÂN MIỀN D

II-4.1 KHÁI NIỆM VỀ PHÂN MIỄN D

Giả sử hệ thống điều chỉnh tự động có phương trình đặc tính đạng tổng quát :

aụph + ai pPÏl + +a,ppta,=0

Với các hệ số ag,a\, „an đều thay đổi

Như vậy nếu chỉ sử dụng các tiêu chuẩn ổn định để xét cho từng tập hợp hệ

xố là rất phức tạp Để đơn giản chúng ta sử dụng phương pháp phân miền D Nguyên lí của phương pháp phân miền D như sau : trong không gian toạ độ n+1 chiều thay đổi của c: số chúng ta có thể chia ra tối đa n + 1 vùng mà trong mỗi ving do mac dù giá trị các hệ số thay đổi nhưng tính chất phân bố các nghiệm số của phương trình đặc tính không thay đổi Trong n + 1 vùng đó tối đa chỉ có một vùng có n nghiệm phân bố bên trái trục ảo tức là vùng ổn định của hệ thống Nếu không có một vùng nào như vậy thì ta nói hệ thống có cấu trúc không ổn định Các vùng lân cận nhau sẽ khác nhau một nghiệm nằm bên phải trục ảo Như vậy đường ranh giới giữa các vùng tương ứng có nghiệm nằm trên trục ảo Muốn xây dựng đường ranh giới này ta chỉ cần thay p = jv vao phương trình đặc tính của hệ thống và cho œ thay đổi từ - © đến œ

Ii-4.2 PHAN MIỀN D TRONG TOẠ ĐỘ MỘT THAM SỐ

Giả sử hệ thống có một tham số thay đổi thì phương trình đạc tính có thể

viết dưới dạng :

A(p) + A.B(p) = 0

Trong đơ A 1a tham số thay đổi của hệ thống

Thay p = jw va tach ra phần thực và phần ảo của A(}ø) và B(j») ta được :

đương với nghiệm của phương trình đạc tinh nam trên trục ao Do do khi w thay đổi từ - đến © thi phia bén trai đường cong sẽ có tính ổn định cao hơn phía bên phải (tương đương với trục ảo trên mat phẳng phân bố nghiệm số) Chúng

ta gạch sọc phía bên trái đường cong khi đi theo chiêu tang cha w Ving nim bên phía gạch sọc của đường cong sẽ cơ tỉnh ổn định cao hơn vùng nằm bên phía

không gạch sọc Như vậy vùng nào cơ số lần gạch sọc nhiều nhất thì vùng đó

có thể ổn định Chỉ cần lấy giá trị một điểm trong vùng này và dùng một trong

các tiêu chuẩn ổn định để khảo sát Nếu hệ thống ổn định thì vùng này là vùng

ổn định, còn nếu không ổn định thì chúng ta có thể kết luận hệ thống cớ cấu

Dé don gian cho T, = 1; 2 và T; = 3

Khai triển phương trình đặc tính với các giá trị đã cho ta được :

Hình ¡I-15 Phân miền D trong toa dệ một tham số

Đường cong chia mật phẳng ra làm ba vùng I, II, IH Dùng nguyên lí gạch

sọc ta thấy vùng I co tinh ổn định cao nhất sau đấy đến vùng II Vùng III có tính ổn định kém nhất Như vậy hệ thống chỉ có thể ổn định trong vùng I Để thử xem hệ thống có ổn định trong vùng này hay không ta lấy K = 0 (tam toa

độ nằm trong vùng I) Lúc đấy phương trình đặc tính của hệ thống có dạng :

(Tịp + DŒT;¿p + 1ŒTạp + D = 0

Phương trình đặc tính của hệ thống có ba nghiệm thực cùng âm, vì vậy hệ thống ổn định

1-4.3 PHAN MIEN D TRONG TOA ĐỘ HAI THAM SỐ

Để cho hệ thống cơ hai tham số thay đổi, phương trình dac tinh co dang :

Atp + 4.B(p) + Ø.C(p) = 0 Trong đó Â và / là hai tham số thay đổi của hệ thống

Thay p = jv và tách phần thực và phần ảo ta được :

[Aj(a) + A.Bylw) + /G¡(@)] + HAI) + À.B;() + B.C2(w)] = 0

Một số phức bàng không khi cả phần thực và phần ảo cùng bằng không

Vì vậy ta cơ hệ phương trình :

Ayla) + A.B) + 0y) W °

Axl) + A.Byor) + B.Cyw)

94

Giải hệ phương trình với nghiệm 4 và Ø

đổi từ - œ đến œ Trong thực tế chúng ta chỉ cần xây dựng đường cong khi ø›

thay đổi tì 0 đến «, bởi vì các gid tri A, At vA Af déu 1a ham s6 lé, do dd A va

# la ham số chấn Dường cong ranh giới khi w thay đổi từ 0 đến - œ sẽ trùng với đường cong khí w thay đổi từ 0 đến œ

Trong khi xây đựng phân miền D chúng ta thường gạp các trường hợp đặc biệt sau :

- Với một số giá trị nào đó của œ làm cho A = 0 còn A4 và A8 = 0 lúc đấy

phương trình vô nghiệm Đường cong phân miền D tiến tới vô cùng

- Nếu ứng với một giá tri œ nao dé ma A = Al = 0 hoac A = A8 = 0thì nghiệm của phương trình là một đường thẳng ta gọi là đường thẳng đặc biệt Điểm tương ứng gọi là điểm đạc biệt,

- Thông thường đường thẳng đặc biệt tồn tại khi = Ô nếu hệ số tự do của phương trình đặc tính phụ thuộc vào các tham số thay đổi Cho giá trị hệ số này

bằng không ta sẽ tìm được phương trình đường đạc biệt cho trường hợp này

- Khi hệ số của phần tử có bậc cao nhất trong phương trình đặc tính phụ

thuộc vào các tham số thay đổi thì sẽ tồn tại đường đặc biệt ứng với trường hợp

@ = %, Để tìm phương trình đường đặc biệt cho trường hợp này ta cho hệ số của phần tử có bậc cao nhất bàng 0

Để đánh giá vùng có thể ổn định của hệ thống ta cũng dùng phương pháp gạch sọc Nguyên lí gạch sọc như sau :

- Khi œ thay đổi từ - œ đến œ đường cong giới hạn sẽ được gach soc bén trai

néu A > 0 va gach soc bén phai néu A < 0 Như vậy đường cong ranh giới được

gạch sọc hai lần về cùng một phía

~ Các đường thẳng đạc biệt cũng được gạch sọc nếu khi qua điểm đặc biệt giả trị A đổi dấu Đường thẳng đặc biệt được gạch sọc một nửa về phía đường cong giới hạn đã gạch sọc nửa còn lại gạch sọc phía ngược lại Nếu qua điểm

đặc biệt A không đổi dấu thì đường thẳng đặc biệt không được gạch sọc

Vùng có khả năng ổn định nhất là vùng có số lân gạch sọc nhiều nhất

VÍ dụ : xây dựng phán miền D cho hệ thống trong ví dụ trên với tham số thay đổi là K và T,

Theo kết quả của ví dụ trên phương trình đặc tính của hệ thống là

ŒTịp + DŒT¿p + D(T‡p + D +K=0 đI-10)

9

Có hai đường đạc biệt tương ứng với : œ = 0 vaw = @

Khi w = 0 cho hệ số tự do của phương trình đặc tính K + 1 = 0 ta được phương trình đường đạc biệt K =- 1

JKhi œ¿ = œ ta cho hệ số của phần tử có bậc cao nhất 6T = 0 ta được phương

trình của đường đặc biệt Tị = Ô

Dể xây dựng phân miền D ta lập bảng sau :

0408) <0 ew 0408(+) 0< +

Két qua phan mién D dugc mé ta trén hinh [I-16

Viée gach soc duge tién hanh như sau :

- Đường cong giới hạn được gạch sọc hai lần Khi ø thay đổi từ - œ đến

-0,408) giá trị A < 0 gạch sọc bên tay phải, œ từ - 0,408(+) đến Ó giá tri A

đổi đấu việc gạch sọc được thực hiện bên tay trái Di tiếp từ 0 đến 0,408(-) giá

trị A < 0 đường ranh giới được gạch sọc bên phải Khi w thay đổi từ 0,408(+) đến œ giá trị A > 0 gạch sọc bên trái

- Đường thẳng đạc biệt T, = 0 tương ứng với ø = s được gạch sọc bên phải

về phía gạch sọc của đường cong ranh giới

- Đường thẳng đặc biệt K = - 1 được phân thành hai đoạn để gach sọc Khi

Tị > - õ gạch sọc phía trên về phía gạch sọc của đường cong ranh giới Tương

tự như vậy khi Tị < - õ gạch sọc phía dưới

Sau khi tiến hành gạch sọc theo nguyên lí đã nêu trên đây ta thấy theo tính chất phân bố nghiệm số mặt phảng toạ độ được phân ra thành 3 vùng : I (T),

TA) va IL (IP) Trong ba vung day ving I co kha nang ổn định nhất ( vùng

T có tinh chất phân bố nghiệm số như vùng I nhưng giá trị các tham số âm nên

ta không quan tâm) Trong vùng này cơ điểm K = 0 Nếu thay K = 0 vao phương trình đặc tính (I]-10) thi no sé cd ba nghiệm thực âm Như vậy hệ thống ổn định Vùng II (1) sẽ cố một nghiệm của phương trình đặc tính nằm bên phải trục ảo, còn vùng III (IIL) sẽ có hai nghiệm nàm bên phải trục ảo

§II-5 PHƯƠNG PHAP QUI DAO NGHIEM SỐ

Cũng như phân miền D phương pháp qui đạo nghiệm số dùng để phân miền

ổn định của hệ thống điều chỉnh tự động trong toa độ thay đổi thông số của nó Phương pháp quỉ đạo nghiệm số thường dùng khi hệ thống có một thông số œ thay đổi từ 0 đến œ Phương trình đặc tính của hệ thống điều chỉnh tự động có

n nghiệm số Khi thông số œ thay đổi thi các nghiệm số này sẽ chuyển địch trên mặt phẳng nghiệm số tạo nên những qui đạo được gọi là qui đạo nghiệm số, Nếu tất cả các nghiệm số đều chuyển động trên các qui đạo nằm bên trái trục

ảo thì hệ thống ổn định Qui đạo đầu tiên cắt trục ảo cho ta trạng thái biên giới

ổn định, còn trường hợp có nghiệm số chuyển động trên qui đạo ở bên phải trục

ảo thì hệ thống điều chỉnh tự động sẽ không ổn định

Phương trình đặc tính của hệ thống điều chỉnh tự động bậc n có đạng :

Hip) = A(p) + øB(p) =0 đI-19

“Trong đó A(p) là đa thức bậc n

A(p) = ph + dịp” + + at pp + at (I-12)

B() là đa thức bậc r (thông thường r < n)

B(p) = p' + aip"Ï + + aip + ấy (I-13)

97

Phương trình A(p) = 0 có n nghiệm z¡ còn phương trình Bíp) = 0 cho ta

r nghiệm số q, Như vậy ta có :

Hp) = |] (p- 4) + @ [[@-q) =0

Đối với các giá trị giới hạn của ơ ta cơ :

~ Khia = 0 ta nhận được biểu thức đầu tiên :

H@) = [I (p- 2) =0

i=1 Phương trình đặc tính có n nghiệm số z¡ Đây chính là n điểm xuất phát của các qui đạo nghiệm số

Phương trình đạc tính có r nghiệm số q¡ Chúng là điểm kết thúc của qui dao nghiệm số Còn lại n - r nghiệm số của phương trình đặc tính sẽ tiến xa vô cùng Như vậy có tất cả n qui đạo nghiệm số xuất phát tại n nghiệm của phương trình A(p) = 0 (khi œ = 0) Khi œ tăng lên các nghiệm số này sẽ dịch chuyển

va r qui đạo kết thúc tại r nghiệm của phương trình Bíp) = 0 (khi œ = ©) con

n - r nghiệm số khác sẽ tiến xa vô cùng

Các nghiệm số thực và nghiệm số bằng không của phương trình đặc tính đều phân bố trên trục thực Các nghiệm có phần ảo luôn tồn tại từng cặp đối xứng nhau qua trục thực Nghĩa là các qui đạo nghiệm số cũng sẽ có tính chất đối xứng qua trục thực

m - r qui đạo nghiệm số tiến ra xa œ sẽ có n - r đường tiệm cận tương ứng khi p > œ Việc xác định đường thẳng tiệm cận được tiến hành như sau :

Từ công thức (IL- 11) ta cơ - « = A(p) /BŒ)

Thực hiện phép chia đa thức (TI- 12) cho (1- 13) Do p > œ nên ta chỉ lấy hai

98

Khi p > œ thì vế phải của nhị thức Niutơn chỉ cần lấy gần đúng hai số hạng đầu Hai số hạng này tương đương với vế phải của công thức (1I- 14) Ta có thể

mod(p - a) = œM(1=r)

arg(p- a) = ——— 2 vớik=0,12,n-r-1 ner

Dễ dàng thấy được phương trình (II-16) mô tả một chùm n - r tỉa đối xứng xuất phát từ một điểm trên trục thực cách tâm toạ độ một khoảng bằng a, bởi

vì p- a tăng từ 0 (khi p = a) đến œ (khi Pp = s), còn hệ số góc không phụ thuộc

vào p Đây chính là phương trình các đường thẳng tiệm cận của n - r qui dao

nghiệm số tiến xa vô cùng khi ø > œ

Đoạn đầu tiên của các qui đạo nghiệm số (khí z nhỏ) thường nằm trên trục thực (các nghiệm z, là nghiệm thực) Để xây đựng đoạn này của qui đạo nghiệm

xố ta sử dụng phương pháp sau :

Để cho các nghiệm thực p ta xây dựng đồ thị của hàm :

A(p)

cup) = AP Bíp)

Các điểm cát của đồ thị này với đường thang - a = 0 cho ta các nghiệm z¡

là điểm xuất phát của các quÏ đạo nghiệm số Khi tăng œ sẽ có thể xuất hiện hiện tượng các nghiệm thực xích gần lại với nhau và đến một giá trị nào đó của

‹ một số nghiệm thực trùng nhau Nếu tiếp tục tăng œ thì số nghiệm thực sẽ

giảm di Nghia là qui đạo của một số nghiệm số đã tách rời khỏi trục thực Như

vậy điều kiện để qui đạo nghiệm số tách rời khỏi trục thực là :