Mô tả hệ xử lý số

Mô tả hệ xử lý số

1.4 hệ xử lý số

1.4.1 Mô tả hệ xử lý số

Giống như đối với hệ tương tự, để nghiên cứu, phân tích hoặc tổng hợp các hệ xử lý số, người ta coi hệ xử lý số là một hộp đen và mô tả nó bằng quan hệ giữa tác động trên đầu vào và phản ứng trên đầu ra của hệ, quan hệ đó được gọi là quan hệ vào ra Quan hệ vào ra của hệ xử lý số có thể được mô tả bằng biểu thức toán học, và thông qua nó có thể xây dựng được sơ đồ khối hoặc sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số

1.4.1 a Mô tả hệ xử lý số bằng quan hệ vào ra

Xét một hệ xử lý số có tác động x(n) và phản ứng y(n), khi đó quan hệ giữa chúng có thể được mô tả bằng hàm số

toán học F[ ] :

]

) ( [

)

Theo [1.4-1] , phản ứng y(n) phụ thuộc vào dạng của hàm số F[ ] Dạng của hàm số F[ ] phản ảnh cấu trúc phần cứng hoặc thuật toán phần mềm của hệ xử lý số, vì thế ta có thể dùng hàm số F[ ] để mô tả hệ xử lý số Quan hệ vào ra [1.4-1] có dạng tổng quát cụ thể như sau :

[ , ( ), , ( ), ]

) (n F b x n k a y n r

Trong đó :

- Các thành phần của tác động b k x(n−k) với k ∈ (- ∞ , ∞)

- Các thành phần của phản ứng bị giữ chậm a r y(n−r) với r ∈ [1 , ∞)

- Các hệ số a và r b có thể bằng k 0, có thể là hằng số, có thể phụ thuộc vào tác động x(n), phản ứng y(n), hoặc biến thời gian rời rạc n

Ví dụ1.10 : Hệ xử lý số có tác động x(n), phản ứng y(n) được mô tả bằng quan hệ vào ra y ( n ) = F ] =2x ( n ) +3x ( n −1)

Hệ trên có các hệ số b0 = 2 , b1 = 3 , bk = 0 với mọi k < 0 và k > 1 ,và ar = 0 với mọi r ≥1

1.4.1b Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ khối

Hệ xử lý số có thể được mô tả bằng sơ đồ khối như trên hình 1.17

Hình1.17:Sơ đồ khối của hệ xử lý số

Hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối với sự liên kết của nhiều khối F i[ ] như trên hình 1.18

Hình1.18: Sơ đồ khối của hệ xử lý số phức tạp

Nếu thay các biểu thức F i[ ] của sơ đồ khối trên bằng chức năng của các khối thì đó là sơ đồ khối chức năng.

Ví dụ 1.11 : Trên hình 1.19 là sơ đồ khối của hệ xử lý số có quan hệ vào ra cho ở ví dụ 1.10 :

) ( ) ( ]

)

( n = [ = 2x n +3x n −1

Hình 1.19: Sơ đồ khối của hệ xử lý số y(n) = 2x(n)+3x(n−1)

1.4.1 c Mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu trúc

Dựa trên quan hệ vào ra [1.4-1], cũng có thể mô tả hệ xử lý số bằng sơ đồ cấu trúc ở đây, cần phân biệt sự khác nhau giữa sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc

Sơ đồ cấu trúc gồm các phần tử cơ sở biểu diễn các phép toán trên các tín hiệu số hoặc dãy số liệu

Sơ đồ khối có mỗi khối đặc trưng cho một cấu trúc lớn, mà chính nó có thể được mô tả bằng sơ đồ khối chi tiết hơn hoặc sơ đồ cấu trúc

Về phương diện phần cứng thì sơ đồ khối cho biết cấu trúc tổng thể của hệ xử lý số, còn sơ đồ cấu trúc cho phép thiết kế và thực hiện một hệ xử lý số cụ thể Về phương diện phần mềm thì sơ đồ khối chính là thuật toán tổng quát của một chương trình xử lý số liệu mà mỗi khối có thể xem như một chương trình con, còn sơ đồ cấu trúc là thuật toán chi tiết

mà từ đó có thể viết được các dòng lệnh của một chương trình hoặc chương trình con

x(n)

2x(n) + 3x(n - 1)

F[ ]

Các phần tử cấu trúc được xây dựng trên cơ sở các phép toán đối với các dãy số là cộng, nhân, nhân với hằng số, dịch trễ và dịch sớm

1 Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như

trên hình 1.22

a y(n) = x1(n) + x2(n) b ∑

=

= M

i

i n x n

y

1

) ( )

(

Hình1.20: Ký hiệu phần tử cộng

Mạch phần cứng có bộ cộng hai tín hiệu số như ở hình 1.20a , chúng là vi mạch cộng hai dãy số mã nhị phân 4 bit hoặc 8 bit

2 Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như

trên hình 1.21

a y(n) = x1(n) x2(n) b ∏

=

= M

i

i n x n

y

1

) ( )

(

Hình1.21: Ký hiệu phần tử nhân

Mạch phần cứng có bộ nhân hai tín hiệu số như ở hình 1.21a , chúng là vi mạch nhân hai số mã nhị phân 4 bit hoặc

8 bit

3 Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín hiệu số với một hằng số, nó là phần tử

không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.22

Hình1.22: Ký hiệu phần tử nhân với hằng số

Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu vào là tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia

là giá trị mã của a

4 Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một mẫu, nó là phần tử có nhớ và được ký

hiệu như ở hình 1.23

Hình1.23: Ký hiệu phần tử trễ đơn vị

Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ

nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi mạch số 4 bit hoặc 8 bit

5 Phần tử vượt trước đơn vị : Phần tử vượt trước đơn vị dùng để đẩy sớm tín hiệu số một mẫu (đẩy nhanh một

nhịp), nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.24

Hình 1.24: Ký hiệu phần tử vượt trước đơn vị

+ y(n) + y(n)

x1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

X y(n) X y(n)

x1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

a

Phần tử vượt trước đơn vị là phần tử không thể thực hiện được trên thực tế, nên không có mạch phần cứng, nó chỉ được dùng để mô tả các hệ xử lý số là thuật toán phần mềm

Để xây dựng sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số, cần liên kết các phần tử cấu trúc cơ sở theo dạng hàm số mô tả quan

hệ vào ra của hệ

Ví dụ 1.12 : Trên hình 1.25 là sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có quan hệ vào ra đã được nêu ở ví dụ 1.10 :

) ( )

(

)

(n = 2x n +3x n−1

y

Hình1.25: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số y(n) = 2x(n)+3x(n−1).

1.4.2 Phân loại hệ xử lý số theo quan hệ vào ra

Theo giá trị và tính chất của các hệ số a và r b trong quan hệ vào ra tổng quát k [1.4-3] , người ta phân loại hệ xử lý

số như dưới đây

1.4.2 a Hệ xử lý số không nhớ và có nhớ

∗ Hệ xử lý số không nhớ là hệ có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở cùng thời điểm và có quan hệ vào

ra :

[ ( )]

) (n F b0x n

Trong đó, hệ số b có thể là hằng số, phụ thuộc vào x(n) hoặc n.0

∗ Hệ xử lý số có nhớ là hệ có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm hiện tại và quá khứ theo quan

hệ vào ra [1.4-3]

Ví dụ1.13 : - Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y(n) = n.x(n)là hệ không nhớ

- Hệ xử lý số có quan hệ vào ra y(n) = 2x(n)+3x(n−1) là hệ có nhớ.

1.4.2b Hệ xử lý số tuyến tính và phi tuyến

∗ Hệ xử lý số tuyến tính là hệ có quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, đồng thời thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.

∗Hệ xử lý số phi tuyến là hệ không thỏa mãn một trong các điều kiện trên.

Quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động được phát biểu như sau : Hệ xử lý số có quan hệ hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, nếu và chỉ nếu tác động x(n) gây ra phản ứng y(n), thì tác động a.x(n) gây ra phản ứng a.y(n), với a là hằng số.

Theo quan hệ bậc nhất giữa phản ứng và tác động, hệ xử lý số tuyến tính có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện : Nếu : F[x(n)]= y(n)

Thì : F[a.x(n)]= a.F[x(n)]= a.y(n) [1.4-5]

Hệ xử lý số có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-5] là hệ phi tuyến

Nguyên lý xếp chồng được phát biểu như sau : Hệ xử lý số tuyến tính dưới tác động là xếp chồng của nhiều tác động xk(n) sẽ có phản ứng y(n) bằng xếp chồng của các phản ứng yk(n) do mỗi tác động thành phần xk(n) gây ra.

Theo nguyên lý xếp chồng, hệ xử lý số tuyến tính có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện :

Nếu : F[x k(n)]= y k(n)









k k k m

k

k k m

k

k

F

1 1

1

) ( ) ( ]

( [ )

(

Hệ xử lý số có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-6] là hệ phi tuyến

Rõ ràng, điều kiện [1.4-5] chỉ là một trường hợp riêng của điều kiện [1.4-6] khi m = 1, tức là nguyên lý xếp chồng

đã bao hàm cả quan hệ bậc nhất, do đó có thể phát biểu :

Hệ xử lý số là hệ tuyến tính nếu và chỉ nếu quan hệ vào ra của nó thỏa mãn nguyên lý xếp chồng theo điều kiện[1.4-6].

Để thoả mãn điều kiện [1.4-6], thì hệ xử lý số tuyến tính phải có quan hệ vào ra tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số

r

a và b không phụ thuộc vào tác động x(n) hoặc phản ứng y(n), nhưng có thể phụ thuộc vào biến thời gian rời rạc n k

Ví dụ1.14 : Hãy xét tính tuyến tính của các hệ xử lý số sau :

a y(n) = n.x(n) b y(n) = x2(n)

Giải : a Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) :

3

2

2.x(n)

x(n - 1)

+

( [ ) ( )

1 n n x n F x n

)]

( [ ) ( )

2 n n x n F x n

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) =[a1x1(n)+a2x2(n)]:

)]

( )

( [ )]

( )

( [ ) (n F a1x1 n a2x2 n n a1x1 n a2x2 n

)]

( [

)]

( [

) ( ) ( ) (n n a1x1 n n a2 x2 n a1 n x1 n a2 n x2 n

Vậy : y(n) = a1y1(n) + a2y2(n) = a1.F[x1(n)]+ a2.F[x2(n)]

Hệ a có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ tuyến tính

b Phản ứng của hệ đối với hai tác động riêng rẽ x1(n) và x2(n) :

)]

( [ ) ( )

1

1 n x n F x n

)]

( [ ) ( )

2

2 n x n F x n

Phản ứng của hệ đối với tác động xếp chồng x(n) =[a1x1(n) + a2x2(n)] :

2 2 2 1

1 2

2 1

1 ( ) ( )] [ ( ) ( )]

[ ) (n F a x n a x n a x n a x n

) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2 2

1 2 1

2 1

2

1 x n 2a a x n x n a x n a

n

) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 2 1 1

2

1 y n 2a a x n x n a y n a

n

Vậy : y(n) ≠ a1.F[x1(n)]+a2.F[x2(n)]

Hệ b có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện [1.4-6] nên là hệ phi tuyến

Cũng có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào ra y(n) = n.x(n), với hệ số

n

b0= không phụ thuộc vào tác động và phản ứng nên là hệ tuyến tính Hệ b có quan hệ vào ra y(n) = x2(n) = x(n).x(n), với hệ số b0= x(n) nên là hệ phi tuyến

1.4.2 c Hệ xử lý số bất biến và không bất biến

∗Hệ xử lý số bất biến là hệ có tác động x(n) dịch k mẫu thì phản ứng y(n) cũng chỉ dịch cùng chiều k mẫu mà không bị biến đổi dạng.

Hệ xử lý số bất biến có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện :

Nếu : F[x k(n)]= y k(n)

Thì : F[x(n−k)]= y(n−k) [1.4-7]

Và hệ xử lý số có quan hệ vào ra thoả mãn [1.4-7] là hệ bất biến

Để thoả mãn điều kiện [1.4-7], thì hệ xử lý số bất biến phải có quan hệ vào ra tổng quát [1.4-3] với tất cả các hệ số

r

a và b không phụ thuộc vào vào biến thời gian rời rạc n, nhưng có thể phụ thuộc tác động x(n) hoặc phản ứng y(n) k

∗Hệ xử lý số không bất biến là hệ có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện[1.4-7]

Ví dụ1.15 : Hãy xét tính bất biến của các hệ xử lý số sau :

a y(n) = n.x(n) b y(n) = x2(n)

Giải : a Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n−k)hệ a có phản ứng :

) ( )

( ) (n k n k x n k

Còn với tác động x(n−k)thì phản ứng là n.x(n−k) ≠ y(n−k) Hệ a có quan hệ vào ra không thỏa mãn [1.4-7] nên là hệ không bất biến

b Với tác động x(n) thì tại thời điểm (n−k)hệ b có phản ứng :

) ( ) (n k x2 n k

Còn với tác động là x(n−k)thì phản ứng là x2(n−k) = y(n−k) Hệ b có quan hệ vào ra thỏa mãn điều kiện [1.4-7] nên là hệ bất biến

Có thể nhận được ngay kết quả trên khi nhận xét rằng, hệ a có quan hệ vào ra y(n) = n.x(n), với hệ số b0= n nên

là hệ không bất biến Hệ b có quan hệ vào ra y(n) = x2(n) = x(n).x(n), với hệ số b0= x(n) không phụ thuộc vào biến rời

rạc n nên là hệ bất biến.

Các hệ xử lý số tuyến tính và bất biến theo thời gian (được viết tắt là hệ xử lý số TTBB) có quan hệ vào ra tổng quát dạng [1.4-3] :

[ , ( ), , ( ), ]

) (n F b x n k a y n r

với tất cả các hệ số a và r b đều là hằng số k

Các hệ xử lý số TTBB là một lớp hệ xử lý số thường gặp trong thực tế, đồng thời các công cụ toán học để phân tích, tổng hợp chúng đã được nghiên cứu khá đầy đủ

1.4.2d Hệ xử lý số nhân quả và không nhân quả

không phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm tương lai

Hệ xử lý số nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :

Nếu : Tác động x(n) = 0 với mọi n < k

Thì :Phản ứng y(n) = 0 với mọi n < k [1.4-8]

Và hệ xử lý số có quan hệ vào ra thoả mãn [1.4-8] là hệ nhân quả

Hiểu một cách nôm na thì hệ xử lý số nhân quả phải có tác động là nguyên nhân thì mới có phản ứng là kết quả, tức là phản ứng không thể xuất hiện trước tác động

Để thoả mãn điều kiện [1.4-8], hệ xử lý số nhân quả phải có quan hệ vào ra [1.4-3] với các thành phần của tác động )

(n k

x

b k − chỉ có k ≥0 , do đó hệ xử lý số nhân quả có quan hệ vào ra [1.4-3] với k ≥0 và r ≥1 :

[ ( ), , ( ), , ( ), ]

) (n F b0x n b x n k a y n r

.∗Hệ xử lý số không nhân quả : Hệ xử lý số có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở các thời điểm tương lai là hệ không nhân quả Hệ không nhân quả có quan hệ vào ra không thỏa mãn điều kiện[1.4-8]

Vì trong thời gian thực không thể biết được giá trị của tín hiệu ở tương lai, nên không thể thực hiện được các hệ xử

lý số không nhân quả Tuy nhiên, trong trường hợp giá trị của tín hiệu số đã được lưu giữ trong bộ nhớ của máy tính và quá trình xử lý số liệu không cần tiến hành trong thời gian thực, thì có thể thực hiện được hệ xử lý số liệu không nhân quả Như vậy, trên thực tế không có hệ xử lý tín hiệu số không nhân quả, nhưng có thể xây dựng được hệ xử lý số liệu không nhân quả

Ví dụ1.16 : Xét tính nhân quả của các hệ xử lý số sau :

a y(n) = n.x(n) b y(n) =3x(n+2)

Giải : a Hệ xử lý số a có phản ứng chỉ phụ thuộc vào tác động ở thời điểm hiện tại nên là hệ nhân quả , quan hệ vào ra của

nó thỏa mãn điều

kiện [1.4-8] : Khi tác động x(n) = 0 thì phản ứng y(n) = 0

b Xét tại n = 0 thì phản ứng y(0) = 3x(2), hệ xử lý số b có phản ứng phụ thuộc vào tác động ở thời điểm tương lai nên là hệ không nhân quả, quan hệ vào ra của nó không thỏa mãn điều kiện [1.4-8]

Các hệ xử lý số tuyến tính, bất biến và nhân quả (được viết tắt là hệ xử lý số TTBBNQ) có quan hệ vào ra tổng quát

[1.4-3] là:

[ ( ), , ( ), , ( ), ]

) (n F b0x n b x n k a y n r

với k ≥0 , r ≥1 vàtất cả các hệ số a và r b đều là hằng số k

Quyển sách này sẽ chỉ trình bầy về các hệ xử lý số TTBB , trong đó chủ yếu là về các hệ xử lý số TTBBNQ

1.4.2 e Hệ xử lý số đệ quy và không đệ quy

∗Hệ xử lý số không đệ quy là hệ có phản ứng y(n) chỉ phụ thuộc vào tác động x(n).