hàm số và đồ thị bậc hai

hàm số và đồ thị bậc hai tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh v...

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Phần I : Kiến thức cần nhớ:

I Hàm số bậc nhất :

1 Dạng tổng quát: y = ax + b (a ≠ 0 )

2 Tính chất :

+ Đồng biến nếu a > 0

+ Nghịch biến nếu a < 0

3 Đồ thị : Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b, cắt trục hoành tại điểm có hoàng độ bằng

a

b



4 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:

Cho hai hàm số : y = ax + b (d)

y = a’x + b’ (d’) + Nếu a ≠ a’  (d) cắt (d’)

+ Nếu a = a’; b ≠ b’  (d) // (d’)

+ Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’)

+ Nếu a.a’ = -1  (d)  (d’)

II Hàm số y = ax 2 (a≠0)

1 Tính chất :

+ Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0

- Hàm số nghịch biến nếu x < 0 + Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0

- Hàm số nghịch biến nếu x > 0

2 Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ

+ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0

+ Nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0

3 Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d) với đồ thị hàm số y = a’x2

(P):

+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  a’x2 = ax+b có hai nghiệm phân biệt + Nếu (d) Tiếp xúc (P)  a’x2 = ax + b có nghiệm kép

+ Nếu (d) và (P) không có điểm chung  a’x2 = ax+b vô nghiệm

4 Các bước vẽ độ thị hàm số y = ax 2 (a≠0)

Bước 1: Xác định tính biến thiên của hàm số

Bước 2: Xác định các cặp giá trị tương ứng x và y

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số

Chú ý: Cho điểm A( ); B( ) khi đó tọa độ trung điểm I( ) của AB xác định như sau:

Áp dụng:

Bài 1: Biết đồ thị hàm số (P) đi qua điểm (-2; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị hàm

số đó

Bài 2: Cho đường thẳng (d): 2(m -1)x + (m - 2)y = 2

a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P): tại hai điểm phân biệt A và B

b, Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo m

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): và đường thẳng (d): y = mx –

1 (m – tham số) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

Bài 4: Cho hàm số (P)

a Vẽ đồ thị hàm số

b Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của (P) với đường thẳng y = mx – 1

Bài 5: Cho (P): và đường thẳng (d): y = 2x + m Xác định m để hai đường đó:

a Tiếp xúc với nhau Tìm hoành độ tiếp điểm

b Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x = -1 Tìm tọa độ điểm còn lại

c Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của

AB khi m thay đổi

Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số :

y = 3x + 1

Trên cùng một hệ trục tọa độ Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính

Phần II :Các dạng bài tập về hàm số :

Dạng I Các bài toán về lập phương trình đường thẳng:

1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ):

 Cách giải:

- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b

 Phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y

= 4x

Giải

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng

y = ax + b ,

song song với đường thẳng y = 4x  a = 4

Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11

Áp dụng:

Bài 1: Cho (P) y = Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến với (P) tại A song song với đường thẳng y = 4x + 5

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua B(0;1) có hệ số góc k

2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ;y 1 )và B(x 2 ; y 2 ):

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b

+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :















b ax y

b ax y

2 2

1 1

+ Giải hệ phương trình tìm a và b

 Phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4).

Giải

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b

Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)

Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)

 1 – 2a = 3a – 4

 5a = 5  a = 1

Thay a = 1 vào (1)  b = -1

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1

Áp dụng:

Bài 1: Cho (P) y = , gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2

và -4 Tìm tọa độ điểm A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + n – 4 (d) (m )

1 Tìm m, n để đường thẳng (d):

a Đi qua hai điểm A(1;2); B(3; 4)

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 1 +

3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)

 Cách giải :

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)

+ Theo bài ra a = k

+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:

a’x2 = kx + b có nghiệm kép  Δ = 0 (*)

Giải (*) tìm b

Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp

xúc với parabol y = -x2

Giải

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2.

Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :

-x2 = 2x + b có nghiệm kép

 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép

 Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1

4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0 ; y 0 ) và tiếp xúc với đường cong y = a’x 2 (P)

 Cách giải:

+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)

+ Đi qua M (x0; y0) nên  y0 = a.x0 + b (1)

+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :

a’x2 = ax + b có nghiệm kép  Δ = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b

 phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2

Giải Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)

Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :

2x2 = ax + b có nghiệm kép

 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép

 Δ = a2 + 8b Δ = 0  a2 + 8b = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1)

a2 + 8b = 0 (2) Từ (1)  b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được :

a2 + 8a + 16 = 0  (a + 4)2 = 0  a = -4

Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2

Áp dụng:

Bài 1:Cho hàm số y = 2x2

Viết phương trình đường thẳng đi qua A (0; -2) và tiếp xúc với (P)

Dạng II Bài toán về điểm cố định của họ đường thẳng.

Phương pháp: Gọi M là điểm cố định của họ đường thẳng ( ),

y = f(x; m) đi qua Vì M thuộc ( ) suy ra:

(với mọi m) Từ đó tìm ra được M

Ví dụ: Cho đường thẳng (d) : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2 Tìm điểm cố định mà (d) đi qua

khi m thay đổi

Giải

Gọi M là điểm cố định của họ đường thẳng (d) đi qua Vì M thuộc (d) nên ta suy ra:

2(m - 1) + (m - 2) = 0

2m - 2 + m - 2 = 0

m(2 + ) – 2 ( ) = 0 (với mọi m)

Vậy khi m thay đổi (d) luôn đi qua M(0;0)

Áp dụng:

Bài 1: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1

a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?

b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị của m

c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được

Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + m – 1(m – tham số) CMR: đường thẳng (d) luôn

đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

Dạng III Bài toán tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ.

 Phương pháp:

- Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x; y)

- Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y

Ví dụ : Cho hàm số (P) y = 2x2

Tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ

Dạng IV Bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, chu vi, diện tích tam giác.

 Phương pháp:

- Khoảng cách giữa hai điểm: Từ hai điểm kẻ các đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ để tạo ra các tam giác vuông, sau đó dùng định lý Pitago

- Chu vi tam giác bằng tổng các độ dài các cạnh đa giác

- Diện tích: Ta đưa về các hình thường gặp

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : y = 4x (d) Viết phương trình đường thẳng (s) song song

với đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8 Giải

+ Đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) nên có phương trình:

y = 4x + b

+ (s) cắt trục hoành tại A, nên ta có:

Do đó: A + (s) cắt trục tung tại B, ta có: Do đó: B

+ Tam giác AOB vuông ở O nên:

Vậy có hai đường thẳng (s): y = 4x + 8 và y = 4x – 8.

Áp dụng:

Bài 1: Cho (P): y = và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1 Xác định m để tam giác OAB có diện tích bằng 3

Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x – 4 (d) Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’) có phương trình: x – y + 2 = 0 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P =

đạt giá trị lớn nhất

Bài 3: Cho hàm số y = có đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt

là -1 và 2 Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài 4: Tọa độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và

y = Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành Tính diện tích tứ giác ABCD

Bài 5: Cho (P): y = - và điểm M(0; 2) Gọi (D) là đường thẳng đi qua M và có hệ

số góc là k Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt thỏa mãn AB = 12

và hoành độ của A và B là các số dương

Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình:

2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số)

1 Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x ? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox

2 Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình

y = - Gọi (d) là đường thẳng đi qua I(0; -2) và hệ số góc k Gọi H và K theo thứ

tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I

Bài 8: Cho Parabol (P) y = và đường thẳng (d) đi qua A(1; 2) có hệ số góc là 2 Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm nhận A làm trung điểm

Phần III: Bài tập tổng hợp.

Bài 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2

a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với mọi m

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)

Bài 2: Cho hàm số y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8) Vẽ đồ thị trong trường hợp đó

b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y = 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với đường thẳn (d) có phương trình:

y = mx – 1

d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua A(0; -2)

Bài 4: Cho parabol y =

2

1

x2 (P) a)Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và B(2; 6)

b)Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P)

Bài 5: Cho parabol y =

2

1

x2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) tại hai điểm phân biệt Tìm toạ

độ giao điểm với m = -2

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A(2; -1)

Bài 6: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) đi qua hai điểm A (-1; 2) và B (3; -4)

b) Xác định m và n để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 - 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 + 2

Bài 7: Cho parabol y = ax2 (P)

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8)

b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp xúc với (P)

Bài 8: Cho parabol y = x2 – 4x + 3 (P)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ số góc k

b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của k

Bài 9: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d)

Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) Khi đó hãy tìm toạ độ tiếp điểm

Bài10: Cho hàm số y =

2

1

x2 và y = 2x – 2

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ

b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị

Bài 11: Cho hàm số y = -2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị hàm số trên

b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm (0; -4), cắt trục hoành tại điểm (2; 0) Viết phương trình đường thẳng (d)

c) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)

Bài 12: Cho hàm số y = 21 x2 (P)

a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m =

2 3

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (1; -4) Tìm toạ

độ tiếp điểm

Bài 13: Cho hàm số y = 2x2

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm các giá trị của x để 2x2 -3x + 5 < -x + 17