Đề thi thử đại học Toán 2010
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 17
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y=2x3+9mx2+12m x2 + (m là tham số) 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CÑ =x CT
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: x + + = 1 1 4 x2+ 3 x
2) Giải hệ phương trình: 5cos 2x 4sin 5 x – 9
Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f x x x x
x
2
( )
1
+ +
=
+
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a Chứng minh rằng đường
thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
6
2
3
a
Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b Chứng minh rằng: a2 b 3 b2 a 3 2 a 1 2 b 1
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1: 2 x y + – 3 0 = , d2: 3 x + 4 y + = 5 0,
d3: 4 x + 3 y + = 2 0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D): 2 2
x - = y = z +
và mặt phẳng (P): 2 x y z + - + = 1 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P)
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không
có mặt chữ số 1?
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng ( ) d : 2 x my + + - 1 2 = 0 và đường tròn có phương trình ( ) : C x2+ y2- 2 x + 4 y - = 4 0 Gọi I là tâm đường tròn ( ) C Tìm m sao cho ( ) d cắt ( ) C tại hai điểm
phân biệt A và B Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0) Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi
sao cho m n 1 + = và m > 0, n > 0 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN)
tiếp xúc với một mặt cầu cố định
Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình: ( x x ) x x21 x
2
4 – 2.2 – 3 .log – 3 4 > + - 4
============================
Trang 2Hướng dẫn:
I PHẦN CHUNG
Câu I: 2) y ¢ = 6 x2+ 18 mx + 12 m2 = 6( x2+ 3 mx + 2 m2)
Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = có 2 nghiệm phân biệt 0 x x1 2, Û D = m2 > 0 Û m 0 ¹
Khi đó: x1 1 ( 3 m m x ) , 2 1 ( 3 m m )
= - - = - + Dựa vào bảng xét dấu y¢ suy ra xCÑ = x x1, CT = x2
Do đó: x2CÑ =x CT Û 3 m m 2 3 m m
=
Câu II: 1) Điều kiện x 0 ³ PT Û 4 x2- + 1 3 x - x + = 1 0 Û x x x
1
2
=
2) PT Û 10sin2 x 4sin x 14 0
6
p
3
Câu III: Ta có: f x x x x x x x x x x
( )
Þ F x ( ) f x dx ( ) 1 ln( x2 1) ( d x2 1) xdx 1 d ln( x2 1)
= 1 ln (2 x2 1) 1 x2 1 ln( x2 1) C
Câu IV: Do B và D cách đều S, A, C nên BD ^ (SAC) Gọi O là tâm của đáy ABCD Các tam giác ABD, BCD, SBD là các tam giác cân bằng nhau và có đáy BD chung nên OA = OC = OS Do đó DASC vuông tại S
Ta có: VS ABCD. 2 VS ABC. 2 1 BO SA SC 1 ax AB 2 OA2
1 3
Do đó: VS ABCD a3 ax a2 x2 a3
x a 2
é =
ê =
Câu V: Ta có: a2 b a2 a b a 1 a 1 2 a b 1 a b 1
=ç - ÷ + + + ³ + +
Tương tự: b2 a a b 1
2
3 4
2
Thật vậy, (*) Û a2 b2 ab a b 1 4ab a b 1
Dấu "=" xảy ra Û a b 1
2
= =
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Gọi tâm đường tròn là I t ( ;3 2 ) - t Î d1
Khi đó: d I d ( , 2)=d I d( , )3 Û 3 4(3 2 ) 5t t t t
5
4 3(3 2 ) 2
5
Û t
t 2 4
é
êë = =
Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x 2 y 2 49
25
( - 2) + + ( 1) = và ( x 4)2 ( y 5)2 9
25
2) (D) :
2
3
2 2
y t
= + ì
í
ï = - + î
(P) có VTPT n (2;1; 1) r= -
Trang 3Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm Þ I (2 ;3 ; 2 2 ) + t t - + t
là VTCP của d
Do d song song mặt phẳng (P) Û uur r AI n = 0 3 1 0 t t 1 3 AI ( 2; 9; 5 )
3
-
Vậy phương trình đường thẳng d là: 1 2 1
x - = y - = z +
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x=x a a a a a a = 1 2 3 4 5 6
Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm
Vì phải có mặt chữ số 0 và a1 ¹ 0 nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách
Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là : A85
Vậy số các số cần tìm là: 5 5
8
A = 33.600 (số)
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) ( ) C có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3
(d) cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt A, B Û d I d ( , ) < R Û 2 2 - m + - 1 2 < 3 2 + m 2
Û - 1 4 m + 4 m 2 < 18 9 + m 2 Û 5 m 2 + 4 m + 17 0 > Û Î m R
S IAB IA IB AIB IA IB
Vậy: S
IAB lớn nhất là
9
2 khi · AIB = 900 Û AB =R 2 3 2 = Û ( , ) 3 2
2
=
d I d
2
- = + Û 16 m 2 - 16 m + = 4 36 18 + m 2 Û 2 m 2 + 16 m + 32 0 = Û = - m 4
2) Ta có: SM uuur = ( ;0; 1), m - SN uuur = (0; ; 1) n
Þ VTPT của (SMN) là n r = ( ; ; n m mn )
Phương trình mặt phẳng (SMN): nx my mnz mn + + - = 0
Ta có: d(A,(SMN))
n m mn
+
-=
1 1
2 2
1 2
mn
mn m n
Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định
Câu VII.b: BPT Û (4x - 2.2x- 3).log2x - > 3 2x+1- 4x Û (4x - 2.2x - 3).(log2x + > 1) 0
Û
x x
2
2
2
2
2
2
éì
êí
î
ê
êì
êí
êî
ë
+ >
+ <
Û
x
x
x
x
2 2
éì >
êí > -î
ê
êì <
êí < -êî
ë
Û
x x x x
2
2
log 3 1 2 log 3 1 0
2
éì >ï êí
êï >
êî
êì <ï êí
êï < <
êî ë
Û x
x
2
log 3 1 0
2
é >
ê
ê < <
ë
=====================
