đề thi cao đẳng môn toán khối a, a1, b, d năm 2014 kèm theo lời giải chi tiết

Tìm phần thực, phần ảo của z.. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d.. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên P.. Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc

ÐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG KHỐI A, A1, B và D NĂM 2014

Môn thi : TOÁN Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2

   

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

Câu 2 (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z iz  2 5i Tìm phần thực,

phần ảo của z

Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân

2 2

1

2 ln x



x

Câu 4 (1,0 điểm): Giải phương trình: 32x+1

– 4.3x +1= 0 (xR)

Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A2;5 và đường

thẳng (d):3x-4y+1=0 Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với d Tìm

tọa độ điểm M thuộc d sao cho AM bằng 5

Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; -1),

B(1;2;3) và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 3 =0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A

trên (P) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P)

Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 450 Tính theo a thể tích của khối chóp

S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

7

   





    



x xy y

x xy y x y ( ,x yR )

Câu 9 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )2  5

BÀI GIẢI

Câu 1 1 D ; y  3x26x ; y     0 x 0 x 2

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên ; 0 và 2; ; Hàm số đồng biến trên  0; 2

Hàm số đạt cực đại tại x2, yCD 3; Hàm số đạt cực tiểu tại x0, yCT  1

2 y(1) = 1; y’(1) = 3  Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là : y = 3(x – 1) + 1 hay y = 3x – 2

Câu 2: Đặt z = a + ib

Giả thiết  2(a + ib) – i(a – ib) = 2 + 5i  2a – b + (2b – a)i = 2 + 5i

 2a – b = 2 và 2b – a = 5  b = 4 và a = 3  phần thực là 3 và phần ảo là 4

Câu 3:

2 2

1

1

2 ln (ln )

2 2

1

Câu 4 :  3.32x – 4.3x + 1 = 0  3x = 1 hay 3x = 1/3 = 3-1  x = 0 hay x = -1

Câu 5 : Ta có nd (3; 4) , gọi H là hình chiếu của A lên (d)

Ta có phương trình AH là : x 2 3t

 



   

 H  (d)  3(3t – 2) – 4(-4t + 5) + 1 = 0

 t = 1 vậy H (1; 1)

Vì AH = 5  M  H Vậy M (1; 1)

Cách khác: Gọi  là đường thẳng qua A và vuông góc d thì  nhận n(4;3) làm vectơ pháp tuyến, nên : 4(x + 2) + 3(y – 5) = 0 : 4x + 3y – 7 = 0

Phương trình đường tròn (C) tâm A bán kính R = 5 là (C) : (x + 2)2

+ (y – 5)2 = 25 Tọa độ M là nghiệm hệ phương trình : 3x 4y 1 02 2

(x 2) (y 5) 25





x 1

y 1





 



Vậy M (1; 1)

Câu 6: A (2; 1; -1); B (1; 2; 3); (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0

n(1; 2; 2) là vectơ pháp tuyến của (P) Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc (P)

thì d :

x 2 t

y 1 2t

 



  



   



(t  R)

Gọi H là hình chiếu của A trên (P) thì tọa độ của H thỏa hệ phương trình:

x 2 t

y 1 2t

z 1 2t

 



  



   







x 1

z 1





  



 



  



Vậy H (1; -1; 1)

AB ( 1;1; 4); AB, n   ( 10; 2; 3) a

Gọi mp (Q) chứa A, B và vuông góc với (P) thì (Q) qua A và nhận a làm vectơ pháp

tuyến Do đó (Q) : -10(x – 2) + 2(y – 1) – 3(z + 1) = 0 hay (Q): 10x – 2y + 3z - 15 = 0

Câu 7 Ta có AC = SA = a 2  V =

3 2

a a 2

d( B; SCD) = d (A; SCD) = a 6

3

Câu 8

x xy 2y x 2y (2)





    



(2)  x = 2y hay x = -y – 1

* TH1: x = 2y và (1)  (y = -1; x =- 2) hay (y = 1; x = 2)

* TH2: x = -y – 1 và (1)  (y = 2; x = -3) hay (y = -3; x = 2)

S

B

A

Vậy hệ có các nghiệm là (2; 1); (-2; -1); (-3; 2); (2; -3)

Câu 9 f(x) = 2 x 5 x

D = [0; 5]; f’(x) = 1 1 2 5 x x

 

f’(x) = 0  x = 4; f(0) = 5; f(4) = 5; f(5) = 2 5

Vậy GTLN của f(x) trên [0; 5] là 5 GTNN của f(x) trên [0; 5] là 5

Trần Minh Quang, Trần Minh Thịnh (Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM)