Toán cao cấp C2 Cao đẳng pptx

Các định nghĩa a Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng.. • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự.. Giới

Trang 1

TOÁN CAO C Ấ P C2 CAO ĐẲ NG

PHÂN PH Ố I CH I CH ƯƠ ƯƠ NG TRÌNH NG TRÌNH

S ố ti ế t: 30

-Chương 1 Hàm số nhiều biến số Chương 2 Phương trình vi phân Chương 3 Lý thuyết chuỗi Chương 4 Một số bài toán kinh tế

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp

– ĐH Công nghiệp TP HCM

Download Slide bài gi ả ng Toá C 2C C Đ Đ t ạ i

dvntailieu.wordpress.com

Biên so ạ :ThS Đ Đ o o à V V ươ ươ ng ng Nguyên

2 Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 2 (dùng cho

SV Cao đẳng) –NXB Giáo dục

3 Lê Văn Hốt – Toán cao cấp C2

– ĐH Kinh tế TP HCM

4 Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3

–NXB ĐHQG TP HCM

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố nhi ề u bi ế n s ố

§1 Khái niệm cơ bản

§2 Đạo hàm riêng – Vi phân

§3 Cực trị của hàm hai biến số

………

§1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Các định nghĩa

a) Miền phẳng

• Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các

đường cong kín được gọi là miền phẳng

Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là

biên của D , ký hiệu D∂ hay Γ

Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với

biên ở vô cùng

• Miền phẳng D kể cả biên D ∂ được gọi là miền đóng,

miền phẳng D không kể biên D ∂ là miền mở

• Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1

đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D

Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi

là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b)

b) Lân cận của một điểm

• Khoảng cách giữa 2 điểm M x1( ,1 y , 1) M x2( ,2 y là: 2)

• Hình tròn S M( , )ε mở có tâm

( , )

M x y , bán kính ε > được 0

gọi là một lân cận của điểm M

Nghĩa là:

0( 0, 0) ( , ) ( 0) ( 0)

M x y ∈S M ε ⇔ x−x + y−y < ε

M

ε

•

( ) ( ) (2 )2

d M M =M M = x −x + y −y

c) Hàm số hai biến số

• Trong mặt phẳng Oxy cho tập D⊂ ℝ 2

Tương ứng f D: → ℝ cho tương ứng mỗi ( , )x y ∈D

với một giá trị z=f x y( , )∈ ℝ duy nhất được gọi là

hàm số hai biến số x y ,

• Tập D⊂ ℝ được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm 2

số, ký hiệu D Miền giá trị của hàm số là: f

G = z =f x y ∈ℝ x y ∈D

Chú ý

• Trong trường hợp xét hàm số f x y mà không nói gì ( , )

thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm

2

( , )

M x y ∈ ℝ sao cho ( , )f x y có nghĩa

• Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự

1.2 Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình) 1.3 Hàm số liên tục (xem giáo trình)

Trang 2

§2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1 Đạo hàm riêng

a) Đạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f x y xác định trên miền mở ( , ) D⊂ ℝ2

chứa điểm M x0( ,0 y Cố định 0)

0

y , nếu hàm số f x y( , 0)

có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng 0

theo biến x của hàm số f x y tại ( , ) ( ,x0 y 0)

Ký hiệu: f x x( ,0 y hay 0) f x/( ,x0 y hay 0) f ( ,x0 y0)

x

∂

Vậy

0

0 0

0

( , ) ( , )

f x y f x y

f x y

x x

→

−

=

−

• Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại ( ,x0 y là: 0)

0

0 0

0

( , ) ( , )

f x y f x y

f x y

y y

→

−

=

−

Chú ý

• Nếu f x là hàm số một biến x thì ( ) f x/ f df

x dx

∂

• Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự

VD 1 Tính các đạo hàm riêng của hàm số:

4 3 2 3

f x y =x − x y + y − xy tại ( 1; 2)−

VD 4 Tính các đạo hàm riêng của f x y z( , , )=e x y2 sinz

b) Đạo hàm riêng cấp cao

• Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số f x/( , )x y , f y/( , )x y

được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f x y ( , )

VD 3 Tính các đạo hàm riêng của z cosx

y

= tại ( ; 4)π

VD 2 Tính các đạo hàm riêng của

2

2 2

1 ln

1

x z

+

=

Ký hiệu:

( )

2

2 //

2

xx x x x

∂ ∂  ∂

∂ ∂  ∂ , ( )

2

2 //

2

∂ ∂  ∂



∂ ∂  ∂ ,

//



∂ ∂  ∂ ∂ ,

//



∂ ∂  ∂ ∂

• Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn

2 có định nghĩa tương tự

VD 6 Cho hàm số f x y( , )=x5+y4−x y4 5

Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm (5)3 2(1; 1)

x y

A (5)3 2(1; 1) 480

x y

f − = ; B (5)3 2(1; 1) 480

x y

C (5)3 2(1; 1) 120

x y

f − = ; D (5)3 2(1; 1) 120

x y

VD 5 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:

3 2 3 4

f x y =x e +x y − tại ( 1; 1)y −

• Định lý Schwarz

Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng ( , ) f xy//, f yx// liên

tục trong miền mở D⊂ ℝ thì 2 f xy//=f yx//

2.2 Vi phân

2.2.1 Vi phân cấp 1

a) Số gia của hàm số

• Cho hàm số f x y xác định trong lân cận ( , ) S M( 0, )ε

của điểm M x0( ,0 y Cho x một số gia 0) ∆ và y một x

số gia y∆ , khi đó hàm ( , )f x y có tương ứng số gia:

VD 7 Đạo hàm riêng (m n m 2)n 2 ( 2)

x y x

z −+ m≥ của z=e 2x y− là:

A ( 1) 2− n m n+ e2x y− ; B ( 1) 2− m m n+ e2x y− ;

C ( 1) 2− m m e2x y− ; D ( 1) 2− n m e2x y−

Trang 3

b) Định nghĩa

• Nếu trong lân cận S M( 0, )ε với số gia x ∆ , y∆ mà số

gia f∆ tương ứng có thể viết được dưới dạng

trong đó A B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm ,

0( ,0 0)

M x y và hàm f x y , không phụ thuộc ( , ) ∆x, ∆y

thì đại lượng A.∆ + ∆ được gọi là vi phân của hàm x B y

số f x y tại điểm ( , ) M x0( ,0 y Khi đó, 0) f x y được ( , )

gọi là khả vi tại điểm M x0( ,0 y 0)

Ký hiệu df = ∆ + ∆ A x B y

Nhận xét

• Xét những điểm M x( 0+ ∆x, y0+ ∆ dịch chuyển y)

trên đường đi qua M song song Ox Khi đó 0 ∆ = : y 0

f f x x y f x y A x O x

/

0

x

f

A A f x y x

∆ →

∆

0

y

f

y

∆ →

Suy ra df x( , )y = f x/( , ).x y ∆ +x f y/( , ).x y ∆ y

• Xét f x y( , )= ⇒x df x y( , )= ∆ ⇒x dx = ∆ x

Tương tự, dy = ∆ Vậy: y

( , ) x( , ) y( , )

df x y =f x y dx+f x y dy

c) Định lý

• Nếu hàm số f x y có các đạo hàm riêng trong lân cận ( , )

nào đó của ( ,x0 y và các đạo hàm riêng này liên tục 0)

tại ( ,x0 y thì 0) f x y khả vi tại ( , ) ( ,x0 y 0)

VD 8 Cho hàm f x y( , )=x e2 x y− − Tính (1; 1)y5 df −

VD 9 Tính vi phân cấp 1 của hàm z=e x2−ysin(xy2)

Ký hiệu và công thức:

d f =d df = f dx + f dxdy+f dy

Chú ý

• Nếu x y là các biến không độc lập (biến trung gian) , ( , )

x= ϕ ψ , x y= ϕ ψ thì công thức trên không còn y( , ) đúng nữa Sau đây ta chỉ xét trường hợp x y độc lập ,

2.2.2 Vi phân cấp 2

• Giả sử f x y là hàm khả vi với ( , ) x y là các biến độc ,

lập Các số gia dx= ∆x dy, = ∆ tùy ý độc lập với y

,

x y nên được xem là hằng số đối với x y Vi phân của , ( , )

df x y được gọi là vi phân cấp 2 của f x y ( , )

VD 11 Tính vi phân cấp 2 của hàm f x y( , )=ln(xy2)

VD 10 Cho hàm số f x y( , )=x y2 3+xy2−3x y3 5

Tính vi phân cấp hai df2(2; 1)−

2.3 Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến)

• Hàm z x y xác định trên ( , ) D z ⊂ ℝ thỏa phương trình 2

F x y z x y = ∀x y ∈D⊂D (*) được gọi là

hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*)

Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được:

/ / / 0, / / / 0

F +F z = F +F z =

/, y/ 0

x

F F

VD 12 Cho hàm ẩn z x y thỏa phương trình: ( , )

xyz= x+ + Tính y z z/x, z y/

VD 13 Cho hàm ẩn z x y thỏa phương trình mặt cầu: ( , )

x +y +z − x+ y− z− = Tính /

y

z

Trang 4

§3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

3.1 Định nghĩa

• Hàm số z=f x y( , ) đạt cực trị thực sự tại M x0( ,0 y0)

nếu với mọi điểm M x y khá gần nhưng khác ( , ) M thì 0

hiệu ∆ =f f x y( , )−f x( ,0 y0) có dấu không đổi

• Nếu ∆ > thì f 0 f x( ,0 y là giá trị cực tiểu và 0) M là 0

điểm cực tiểu của z=f x y( , )

• Nếu ∆ < thì f 0 f x( ,0 y là giá trị cực đại và 0) M là 0

điểm cực đại của z=f x y( , )

VD 1 Hàm số

( , )

2 4

y y

f x y =x +y −xy = x−  +



 

 

2

( , ) 0, ( , )

f x y x y

⇒ ≥ ∀ ∈ ℝ nên đạt cực tiểu tại (0; 0)O

3.2 Định lý

a) Điều kiện cần

• Nếu hàm số z=f x y( , ) đạt cực trị tại M x0( ,0 y và 0)

tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì:

f x y =f x y =

Điểm M x0( ,0 y thỏa 0) f x/( ,x y0 0)=f y/( ,x y0 0)= được 0

gọi là điểm dừng, M có thể không là điểm cực trị 0

b) Điều kiện đủ

Giả sử z=f x y( , ) có điểm dừng là M và có đạo hàm 0

riêng cấp hai tại lân cận của điểm M 0

Đặt //2( 0), xy//( 0), //2( 0)

A=f M B=f M C =f M

Khi đó:

• Nếu

2

0 ( , ) 0

f x y A

• Nếu

2 0

( , ) 0

f x y A

• Nếu AC−B2 < ⇒0 f x y( , ) không đạt cực trị tại M 0

• Nếu AC−B2 = thì ta không thể kết luận 0

3.3 Phân loại cực trị

• Trong không gian Oxyz , xét mặt cong S chứa đường

cong ( )C Chiếu S lên mpOxy ta được miền D⊂ ℝ2

và đường cong phẳng ( ) : ( , )γ ϕx y = (xem hình vẽ) 0

Khi đó, điểm P1∈ là S

điểm cao nhất (hay thấp

nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu M1∈ là D

được gọi là điểm cực trị

tự do của hàm f x y ( , )

xác định trên D (vì không phụ thuộc vào ( )γ ) Tương

tự, điểm P2 ∈( )C là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu

2 ( )

M ∈ γ là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc bởi

( ) : ( , )γ ϕx y = của hàm ( , )0 f x y

3.4 Cực trị tự do

Cho hàm số f x y xác định trên D Để tìm cực trị (tự ( , )

do) của f x y , ta thực hiện các bước sau: ( , )

• Bước 1. Tìm điểm dừng M x0( ,0 y bằng cách giải hệ: 0)

/

0 0 /

0 0

x y

f x y





• Bước 2. Tính //2( ,0 0), xy//( ,0 0)

x

A= f x y B=f x y , //2( ,0 0) 2

y

C =f x y ⇒ ∆ =AC−B

• Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận

VD 2 Tìm điểm dừng của hàm số z=xy(1− − x y)

VD 3 Tìm cực trị của hàm z=x2+y2+4x−2y+ 8

VD 4 Tìm cực trị của hàm số z=x3+y3−3xy− 2

VD 5 Tìm cực trị của z =3x y2 +y3−3x2−3y2+ 2

VD 6 Cho hàm số 50 20

Khẳng định đúng là:

A z đạt cực tiểu tại M(2; 5) và giá trị cực tiểu z=39

B z đạt cực tiểu tại M(5; 2) và giá trị cực tiểu z=30

C z đạt cực đại tại M(2; 5) và giá trị cực đại z=39

D z đạt cực đại tại M(5; 2) và giá trị cực đại z=30

Trang 5

• Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f x y ta dùng ( , )

phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange

a) Phương pháp khử

• Từ phương trình ϕ( , )x y = ta rút x hoặc y thế vào0

( , )

f x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến

3.5 Cực trị có điều kiện

• Cho hàm số f x y xác định trên lân cận của điểm( , )

0( ,0 0)

M x y thuộc đường cong ( ) : ( , )γ ϕx y = 0

Nếu tại M hàm 0 f x y đạt cực trị thì ta nói ( , ) M là 0

điểm cực trị có điều kiện của f x y với điều kiện ( , )

( , )x y 0

VD 7 Tìm điểm cực trị của hàm z=x y2 thỏa điều kiện:

x− + = y

b) Phương pháp nhân tử Lagrange

Tại điểm cực trị ( , )x y của f , gọi

/ /

y x

f f

nhân tử Lagrange Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:

• Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange):

L x y λ =f x y + λϕx y

• Bước 2. Giải hệ: L/x =0, L/y =0, L/λ = 0

⇒ điểm dừng M x0( ,0 y ứng với 0) λ 0

• Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M x0( ,0 y ứng với 0) λ : 0

0

d L M =L dx + L dxdy+L dy

Các vi phân dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: ,





• Bước 4.Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:

Nếu d L M2 ( 0)> thì ( , )0 f x y đạt cực tiểu tại M 0

Nếu d L M2 ( 0)< thì ( , )0 f x y đạt cực đại tại M 0

Nếu d L M2 ( 0)= thì 0 M không là điểm cực trị 0

VD 8 Tìm điểm cực trị của hàm số f x y( , )=2x+ y

với điều kiện x2+y2 = 5

VD 9 Tìm điểm cực trị của hàm z =xy thỏa điều kiện

2 2

1

……….

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Ph Ph ươ ươ ng ng trình vi phân

§1 Phương trình vi phân cấp 1

§2 Phương trình vi phân cấp 2

………

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

1.1 Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1

• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng

tổng quát F x y y ′( , , )= (*) Nếu từ (*) ta giải được0

theo y′ thì (*) trở thành y′ =f x y( , )

• Nghiệm của (*) có dạng y=y x( ) chứa hằng số C được

gọi là nghiệm tổng quát Khi thế điều kiện y0 =y x( )0

cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm

tổng quát ta được giá trị C cụ thể và nghiệm lúc này 0

được gọi là nghiệm riêng của (*)

VD 1 Cho phương trình vi phân y′ − = (*) x 0

Xét hàm số

2

x

y = + , ta có: C

0

y′ − = thỏa phương trình (*) x

Suy ra

2

x

y = + là nghiệm tổng quát của (*) C

Thế x=2,y= vào 1 2

2

x

y= + , ta được: C

2

x

C = − ⇒ =y − là nghiệm riêng của (*) ứng với

điều kiện đầu y(2)= 1

Trang 6

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

f x dx+ g y dy=C

1.2 Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản

1.2.1 Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly

Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:

f x dx+g y dy=

VD 2 Giải phương trình vi phân

VD 4 Giải ptvp x y2( +1)dx+(x3−1)(y−1)dy= 0

VD 5 Giải ptvp xy′ + = thỏa điều kiện y y2 (1) 1

2

y =

VD 3 Giải phương trình vi phân y′ =xy y( + 2)

Chẳng hạn, hàm số:

( , )

x y

f x y

−

= + là đẳng cấp bậc 0,

2

( , )

5

f x y

x y

+

=

− là đẳng cấp bậc 1,

2

f x y = x − xy là đẳng cấp bậc 2

1.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số

• Hàm hai biến f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu ( , )

với mọi k> thì ( , )0 f kx ky =k f x y n ( , )

b) Phương trình vi phân đẳng cấp

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:

( , ) (2)

y′ =f x y

Trong đó, f x y là hàm số đẳng cấp bậc 0 ( , )

Bước 1. Biến đổi (2) y y

x

 



′

⇔ = ϕ   

Bước 2. Đặt u y y u xu

( )

′

(ϕ( )u − ≠ ≠u 0 x) (đây là ptvp có biến phân ly)

VD 6 Giải phương trình vi phân

y

xy

VD 7 Giải phương trình vi phân x y

y

x y

+

′ =

−

với điều kiện đầu y(1)= 0

• Nghiệm tổng quát của (3) là ( , )u x y = C

Nhận xét

/( , ) ( , ), /( , ) ( , )

u x y =P x y u x y =Q x y

1.2.3 Phương trình vi phân toàn phần

• Cho hai hàm số P x y( , ),Q x y và các đạo hàm riêng ( , )

của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện

/ /, ( , )

Q =P ∀x y ∈ Nếu tồn tại hàm ( , )D u x y sao cho

du x y =P x y dx+Q x y dy

thì phương trình vi phân có dạng:

P x y dx+Q x y dy=

được gọi là phương trình vi phân toàn phần

Trang 7

Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được:

u x y( , )=∫ P x y dx( , ) = ϕ( , )x y +C y( ) (3c)

Trong đó, C y là hàm theo biến y ( )

Bước 1. Từ (3) ta có u x/= (3a) và P /

y

u = (3b) Q

Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được:

/ / ( )

u = ϕ +C y′ (3d)

Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C y ( )

Thay C y vào (3c) ta được ( ) u x y ( , )

VD 8 Cho phương trình vi phân:

(3y +2xy+2 )x dx+(x +6xy+3)dy= (*) 0

1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần

2) Giải phương trình (*)

VD 9 Giải ptvp (x+ −y 1)dx+(e y+x dy) = 0

(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước 1. Tìm biểu thức A x( )=e−∫p x dx( )

Bước 2. Tìm biểu thức B x( )=∫q x e( ) ∫p x dx( ) dx

Bước 3. Nghiệm tổng quát là y=A x B x( ) ( )+C

1.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

( ) ( ) (4)

y′ +p x y=q x

• Khi q x( )= thì (4) được gọi là phương trình vi phân 0

tuyến tính cấp 1 thuần nhất

Chú ý

• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0

• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm tổng quát của (4) dưới dạng: y=C x e( )−∫p x dx( )

( )

p x dx q x

A x

∫

VD 10 Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm

nghiệm tổng quát của y 2y 4 lnx x

x

A

2

( )

C x y x

3

( )

C x y x

C C x( )

y x

VD 11 Giải phương trình vi phân y′ −x y2 = 0

thỏa điều kiện 9

3

x

= = −

VD 12 Giải phương trình y′ +ycosx=e−sinx

• Khi α = hoặc 0 α = thì (5) là tuyến tính cấp 1 1

• Khi p x( )=q x( )= thì (5) là pt có biến phân ly 1

Phương pháp giải (với α khác 0 và 1)

Bước 1. Với y ≠ , ta chia hai vế cho y0 α:

(5) y p x( ) y q x( )

′

⇒y y′ −α +p x y( ) 1−α =q x( )

1.2.5 Phương trình vi phân Bernoulli

• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:

( ) ( ) (5)

y′ +p x y=q x yα

Trang 8

Bước 2. Đặt z =y1−α ⇒z′= − α(1 )y y′ −α, ta được:

(5)⇒z′+ − α(1 ) ( )p x z= − α(1 ) ( )q x

(đây là phương trình tuyến tính cấp 1)

VD 13 Giải phương trình vi phân y y xy2

x

với điều kiện đầu x=1,y = 1

VD 14 Giải phương trình vi phân y′ −2xy=x y3 4

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:

1

y′′=f x ⇒y′=∫ f x dx= ϕx +C

⇒ =y ∫ ϕ( )x dx+C x1 = ψ( )x +C x1 +C2

§2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II

2.1.1 Phương trình khuyết y và y’

• Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng:

( ) (1)

y′′ =f x

2.1 Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết

VD 2 Giải ptvp y′′ =e 2x với 7 3

VD 1 Giải phương trình vi phân y′′ = x2

• Đặt z = đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1 y ′

VD 3 Giải phương trình vi phân y x y

x

′

′′ = −

2.1.2 Phương trình khuyết y

• Phương trình vi phân khuyết y có dạng:

( , ) (2)

y′′=f x y′

VD 4 Giải pt vi phân ( 1) 0

1

y

x

′

−

với điều kiện y(2)=1,y′(2)= − 1

• Đặt z= ta có: y′

Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly

2.1.3 Phương trình khuyết x

• Phương trình vi phân khuyết x có dạng:

( , ) (3)

y′′=f y y′

VD 6 Giải phương trình vi phân y′′+2 (1y′ −2 )y = 0

(0) 0, (0)

2

VD 5 Giải phương trình vi phân (1−y y) ′′+2( )y′2= 0

Trường hợp 1

Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1, k 2

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng 1 2

1 k x, 2 k x

y =e y =e

và nghiệm tổng quát là 1 2

1 k x 2 k x

y=C e +C e

Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng của (4):

2

k +a k+a =

2.2 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng

2.2.1 Phương trình thuần nhất

• Phương trình thuần nhất có dạng:

y′′+a y′+a y= a a ∈ ℝ

Trang 9

Phương trình (5) có nghiệm kép thực k

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 =e kx, y2 =xe kx

và nghiệm tổng quát là y=C e1 kx +C xe2 kx

Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp

k= α ± β i

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:

1 xcos , 2 xsin

y =eα βx y =eα β x

và nghiệm tổng quát là:

( 1cos 2sin )

x

y=eα C β +x C βx

VD 7 Giải phương trình vi phân y′′+2y′−3y= 0

VD 8 Giải phương trình vi phân y′′−6y′+9y= 0

VD 9 Giải phương trình vi phân y′′ +16y= 0

VD 10 Giải phương trình vi phân y′′+2y′+7y= 0

VD 11 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

0

y′′− + = y′ y

• Để tìm C x và 1( ) C x , ta giải hệ Wronsky: 2( )

C x y x C x y x

C x y x C x y x f x



2.2.2 Phương trình không thuần nhất

• Phương trình không thuần nhất có dạng:

y′′+a y′+a y=f x a a ∈ ℝ

a) Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng y x1( ), ( )y x thì (6) có 2

nghiệm tổng quát là y=C x y x1( ) ( )1 +C x y x2( ) ( ).2

VD 12 Giải phương trình vi phân 1

cos

x

′′ + = (a)

Giải Xét phương trình thuần nhất y ′′ + = (b) ta có: y 0

2

k + = ⇒ = ± ⇒ α =k i β =

1 cos , 2 sin

Nghiệm tổng quát của (a) có dạng:

1( ).cos 2( ).sin

y =C x x+C x x

Ta có hệ Wronsky:

cos ( ) sin ( ) 0

1 sin ( ) cos ( )

cos

x





2

sin cos ( ) sin ( ) 0 sin cos ( ) cos ( ) 1





1

2

sin ( ) cos ( ) 1

x

C x

x

C x

 ′ = −



⇒ 

 ′



( ) ln cos





Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:

(ln cos 1)cos ( 2)sin

VD 13 Cho phương trình vi phân:

2

y′′− y′+ y= +x e (*)

1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y =x e 2 x 2) Tìm nghiệm tổng quát của (*)

b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT

Phương pháp cộng nghiệm

• Định lý

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất

(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6)

VD 14 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

2 sin 2 4 cos 2

y′′+y′= x+ x, biết 1 nghiệm riêng là y= −cos 2x

Trang 10

VD 15 Tìm nghiệm tổng quát của y′′−y′=2 cos2x (*)

Cho biết y′′−y′= và 1 y′′−y′=cos 2x lần lượt có

nghiệm riêng y1= − , x 2 2 cos 2 1 sin 2

Phương pháp chồng chất nghiệm

• Định lý

Cho phương trình vi phân:

y′′+a y′+a y=f x +f x Nếu y x và 1( ) y x lần lượt là nghiệm riêng của 2( )

1 2 1( )

y′′+a y′+a y=f x , y′′+a y1 ′+a y2 =f x2( )

thì nghiệm riêng của (7) là:

1( ) 2( )

y=y x +y x

Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình

vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình y′′+a y1 ′+a y2 =f x( ) (6)

và y′′+a y1 ′+a y2 =0 (4)

• Trường hợp 1:f(x) có dạng e α P n (x)

(P x là đa thức bậc n ) n( )

Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng:

( )

m x n

y=x e Q x α

(Q x là đa thức đầy đủ bậc n ) n( )

Bước 2. Xác định m :

1) Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng

của (4) thì m= 0

2) Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

của (4) thì m= 1

3) Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

của (4) thì m= 2

Bước 3. Thế m x ( )

n

y=x e Q x α vào (6) và đồng nhất thức

ta được nghiệm riêng cần tìm

VD 16 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:

y′′− y′− y=e x +

Giải Ta có ( ) 3x( 2 1)

2

3,P x( ) x 1

Suy ra nghiệm riêng có dạng:

m x

y=x e Ax +Bx+C

Do α= là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng 3

k − k− = nên m= 1

Suy ra nghiệm riêng có dạng 3x( 2 )

y=xe Ax +Bx+C

Thế y=xe3x(Ax2+Bx+C) vào phương trình đã cho,

đồng nhất thức ta được:

x

y=xe  x − x+ 



VD 17 Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

y′′+ y′+ =y xe + e−

• Trường hợp 2

f(x) có dạng e α [P n (x)cosβx + Q m (x)sinβx]

(P x là đa thức bậc n , n( ) Q x là đa thức bậc m ) m( )

Bước 2. Xác định s :

1) Nếu α±i β không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì s= 0

2) Nếu α±i β là nghiệm của phương trình đặc trưng của (4) thì s= 1

Bước 1. Nghiệm riêng có dạng:

s x

(R x k( ),H x là đa thức đầy đủ bậc k( ) k=max{ ,n m})

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	525,21 KB