cay-nhi-phan pptx

Cấu trúc Dữ liệu - Cấu trúc cây 23Cây nhị phân Duyệt cây nhị phân  Cĩ 3 kiểu duyệt chính cĩ thể áp dụng trên cây nhị phân : Duyệt theo thứ tự trước NLR NLR - Preorder Duyệt theo

Trang 1

CHAPTER 7:

TREES

Trang 2

Cấu trúc Dữ liệu - Cấu trúc cây 2

Mục tiêu

 Giới thiệu khái niệm cấu trúc cây.

 Cấu trúc dữ liệu cây nhị phân tìm kiếm:

tổ chức, các thuật tốn, ứng dụng.

 Giới thiệu cấu trúc dữ liệu cây nhị phân tìm kiếm

Trang 3

Cấu trúc cây

Trang 4

Cấu trúc cây

 Định nghĩa : cây cây là một tập hợp T các phần tử

( gọi là nút của cây ) trong đĩ cĩ 1 nút đặc biệt được gọi là gốc , các nút cịn lại được chia thành những tập rời nhau T1, T2 , , Tn theo quan hệ phân cấp trong đĩ Ti cũng là một cây Mỗi nút ở ở cấp i sẽ quản lý một số nút ở ở cấp

i +1 Quan hệ này người ta cịn gọi là quan hệ cha - con

Trang 5

Cấu trúc cây

Trang 6

Cấu trúc cây

Trang 7

Cấu trúc cây

Một số khái niệm cơ bản

 Bậc của một nút : là số cây con của nút đĩ

 Bậc của một cây : là bậc lớn nhất của các nút trong cây (số cây con tối đa của một nút thuộc cây ) Cây cĩ bậc n thì gọi là cây n-phân

Trang 8

Cấu trúc cây

Một số khái niệm cơ bản

 Độ dài đường đi từ gốc đến nút x : là số nhánh cần đi qua kể từ gốc đến x

 Độ dài đường đi tổng của cây :

trong đĩ Px là độ dài đường đi từ gốc đến X

 Độ dài đường đi trung bình : PI = PT/n (n là số nút trên cây T)

 Rừng cây: là tập hợp nhiều cây trong đĩ thứ tự các cây là quan trọng

Trang 9

Khái niệm

J

DR

B

LF

AK

nút gốc

Cạnh

Trang 10

Châu âu Mỹ Các nước

Trang 11

Giới thiệu Điểm Môi trường NN LT CT mẫu

Bài tập Thực hành Thi

Trang 12

Cấu trúc cây

 Nhận xét :

Trong cấu trúc cây khơng tồn tại chu trình

Tổ chức 1 cấu trúc cây cho phép truy cập nhanh đến các phần tử của nĩ

Trang 13

Cây nhị phân

Trang 14

Cây nhị phân

 Định nghĩa : Cây : Cây nhị phân là cây mà mỗi nút

cĩ tối đa 2 cây con

 Trong thực tế thường gặp các cấu trúc cĩ dạng cây nhị phân Một cây tổng quát cĩ thể biểu diễn thơng qua cây nhị phân

Trang 15

Cây nhị phân

Cây con trái

Cây con phải

Hình ảnh một cây nhị phân

Trang 16

Cây nhị phân

Figure 7.3: Binary tree structure

Trang 17

Cây nhị phân

Figure 7.4: Skewed trees

Trang 18

Cây nhị phân

 Cây nhị phân dùng để biểu diễn một biểu thức tốn học :

Trang 19

chiều cao của cây.

 Chiều cao của cây h ≥ log 2 (số

nút trong cây)

 Số nút trong cây ≤ 2 h -1

 Đường đi (path)

 Tên các node của quá trình đi

từ node gốc theo các cây con đến một node nào đĩ.

i

2

Mức

Trang 20

Cây nhị phân

Biểu diễn cây nhị phân T

 Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần

tử (nút) được kết nối với nhau theo quan hệ

“cha-con” với mỗi cha cĩ tối đa 2 con Để biểu diễn cây nhị phân ta chọn phương pháp cấp phát liên kết Ứng với một nút, ta sử dụng một biến động lưu trữ các thơng tin sau:

 Thơng tin lưu trữ tại nút.

 Địa chỉ nút gốc của cây con trái trong bộ nhớ.

 Địa chỉ nút gốc của cây con phải trong bộ nhớ.

Trang 21

Cây nhị phân

Trang 22

Trang 23

Cây nhị phân

Duyệt cây nhị phân

 Cĩ 3 kiểu duyệt chính cĩ thể áp dụng trên cây nhị phân :

Duyệt theo thứ tự trước ( (NLR NLR )- Preorder

Duyệt theo thứ tự giữa ( (LNR LNR )- Inorder

Duyệt theo thứ tựï sau ( (LRN LRN )- Postorder

 Tên của 3 kiểu duyệt này được đặt dựa trên trình tự của việc thăm nút gốc so với việc thăm 2 cây con

Trang 24

Cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự trước (Node-Left-Right)

 Kiểu duyệt này trước tiên thăm nút gốc sau đĩ thăm các nút của cây con trái rồi đến cây con phải

 Thủ tục duyệt cĩ thể trình bày đơn giản như sau:

{

if (Root != NULL ) {

<Xử lý Root>;//Xử lý tương ứng theo nhu cầu

NLR (root->left);

NLR (root->right);

} }

Trang 25

Cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự trước (Node-Left-Right)

 Một ví dụ : đọc một quyển sách hay bài báo từ đầu đến cuối như minh họa trong hình bên dưới :

Trang 26

A B

C F

L P

G M

AKết quả: B D H I N E J O K C F L P G M

Duyệt theo thứ tự trước (Node-Left-Right)

Trang 27

Cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự giữa (Left- Node-Right)

 Kiểu duyệt này trước tiên thăm các nút của cây con trái sau đĩ thăm nút gốc rồi đến cây con phải

void LNR(TREE root) {

if (root != NULL) {

LNR(root->left);

<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu

LNR(root->right);

} }

Trang 28

Duyệt theo thứ tự giữa (Left- Node-Right)

A B

C F

L P

G M

HKết quả: D N I B J O E K A F P L C M G

Trang 29

Cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự sau (Left-Right-Node)

 Kiểu duyệt này trước tiên thăm các nút của cây con trái sau đĩ thăm đến cây con phải rồi cuối cùng mới thăm nút gốc

void LRN(TREE root) {

LRN(root->left);

LRN(root->right);

<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu

} }

Trang 30

Trang 31

Duyệt theo thứ tự sau (Left-Right-Node)

A B

C F

L P

G M

HKết quả: N I D O J K E B P L F M G C A

Trang 32

Cây nhị phân

Duyệt theo thứ tự sau (Left-Right-Node)

 Tính tốn giá trị của biểu thức dựa trên cây biểu thức

(3 + 1)×3/(9 – 5 + 2) – (3×(7 – 4) + 6) = –13

Trang 33

Cây nhị phân

Biểu diễn cây tổng quát bằng cây nhị phân

 Nhược điểm của các cấu trúc cây tổng quát :

 Bậc của các nút trên cây cĩ thể dao động trong một biên độ lớn ⇒ việc biểu diễn gặp nhiều khĩ khăn và lãng phí

 Việc xây dựng các thao tác trên cây tổng quát phức tạp hơn trên cây nhị phân nhiều

 Vì vậy, thường nếu khơng quá cần thiết phải

sử dụng cây tổng quát , người ta chuyển cây tổng quát thành cây nhị phân

Trang 34

Cây nhị phân

 Ta cĩ thể biến đổi một cây bất kỳ thành một cây nhị phân theo qui tắc sau :

 Giữ lại nút con trái nhất làm nút con trái

 Các nút con cịn lại chuyển thành nút con phải

 Như vậy, trong cây nhị phân mới, con trái thể hiện quan hệ cha con và con phải thể hiện quan hệ anh em trong cây tổng quát ban đầu

Trang 35

Cây nhị phân

 Giả sử cĩ cây tổng quát như hình bên dưới :

A

Trang 36

Cây nhị phân

 Cây nhị phân tương ứng sẽ như sauA:

Trang 37

Cây nhị phân

Một cách biểu diễn cây nhị phân khác

 Đơi khi, khi định nghĩa cây nhị phân, người ta quan tâm đến cả quan hệ 2 chiều cha con chứ khơng chỉ một chiều như định nghĩa ở ở phần trên

 Lúc đĩ, cấu trúc cây nhị phân cĩ thể định nghĩa lại như sau:

typedef struct tagTNode

{

struct tagTNode * pParent;

struct tagTNode * pLeft;

struct tagTNode * pRight;

} TNODE ;

typedef TNODE * TREE ;

Trang 38

Cây nhị phân

Một cách biểu diễn cây nhị phân khác

Trang 39

Cây nhị phân tìm kiếm

(Binary search tree)

Trang 40

Cây nhị phân tìm kiếm (BST)

 Định nghĩa : cây : cây nhị phân tìm kiếm ( BST ) là cây nhị phân trong đĩ tại mỗi nút , khĩa của nút đang xét lớn hơn khĩa của tất cả các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn khĩa của tất cả các nút thuộc cây con phải

 Nếu số nút trên cây là N thì chi phí tìm kiếm trung bình chỉ khoảng log2N

Trang 41

44

Trang 42

Trang 43

Các thao tác trên BST

a Khởi tạo cây BST

Khởi tạo cây BST: cho con trỏ quản lý địa chỉ nút gốc về con trỏ NULL

Trang 44

Trang 45

Thêm một nút vào cây BST

int

int InsertTree InsertTree (tree &root , int x) {

Trang 46

Trang 47

Tạo cây nhị phân tìm kiếm

 Ta cĩ thể tạo một cây nhị phân tìm kiếm bằng cách lặp lại quá trình thêm 1 phần tử vào một cây rỗng

void

void CreateTree CreateTree (tree &root) {

int x,n;

cout <<“Nhap n = “; cin>>n;

for (int ( int i=1; i<=n;i++) {

cout <<“Nhap gia tri:”; cin <<“Nhap gia tri:”; cin>>x;

InsertTree (root,x);

} }

Trang 48

Tạo cây nhị phân tìm kiếm

25 10

37 29

35 32

50 41

25 37 10 18 29 50 3 1 6 5 12 20 35 13 32 41

Trang 49

Duyệt cây nhị phân tìm kiếm

 Thao tác duyệt cây trên cây nhị phân tìm kiếm hồn tồn giống như trên cây nhị phân

 Lưu ý : khi duyệt theo thứ tự giữa , trình tự các nút duyệt qua sẽ cho ta một dãy các nút theo thứ tự tăng dần của khĩa

Trang 50

 Duyệt theo thứ tự trước – (Node- Left-Right ):

Duyệt nút gốc, duyệt cây con bên trái, duyệt cây con bên phải

void NLR NLR (TREE root)

{

if (root!=NULL) {

cout <<root->data<<" ";

NLR (root->left);

NLR (root->right);

} }

Trang 51

 Duyệt theo thứ tự giữa – ( Left- Node- Right ):

Duyệt cây con bên trái, duyệt nút gốc, duyệt cây con bên phải

void LNR LNR (TREE root)

{

LNR (root->left);

LNR (root->right);

} }

Trang 52

 Duyệt theo thứ tự sau – ( Left - Right- Node):

Duyệt cây con bên trái, duyệt nút gốc, duyệt cây con bên phải

void LRN LRN (TREE root)

{

LRN (root->left);

LRN (root->right);

} }

Trang 53

Tìm một phần tử x trong cây

(đệ quy)

 Tìm một phần tử x trong cây (đệ quy):

NODE * searchNode ( TREE root, int X) {

if (root->data == X)

return root;

if (root->data > X)

return searchNode (root->left, X);

return searchNode (root->right, X);

}

return NULL ; }

Trang 54

(khơng đệ quy)

 Tìm một phần tử x trong cây (khơng đệ quy):

NODE * searchNode * searchNode (TREE ( TREE root, int root, int x) {

Trang 55

Tìm một phần tử x=13 trong cây

25 10

37 29

35 32

50 41

Tìm kiếm 13

Khác nhau Giống nhau Node gốc nhỏ hơn Node gốc lớn hơn

Tìm thấy Số node duyệt: 5Số lần so sánh: 9

Trang 56

25 10

37 29

35 32

50 41

Tìm kiếm 13

Khác nhau Giống nhau Node gốc nhỏ hơn Node gốc lớn hơn

Tìm thấy Số node duyệt: 5Số lần so sánh: 9

Tìm một phần tử x=13 trong cây

Trang 57

 Nhận xét :

 Số lần so sánh tối đa phải thực hiện để tìm phần tử X

là h, với h là chiều cao của cây

 Như vậy thao tác tìm kiếm trên CNPTK cĩ n nút tốn chi phí trung bình khoảng O(log2n)

Trang 58

Trang 59

Trang 60

Thêm một phần tử x vào cây

 Thêm một phần tử x vào cây :

 Việc thêm một phần tử X vào cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc của CNPTK Ta cĩ thể thêm vào nhiều chỗ khác nhau trên cây, nhưng nếu thêm vào một nút ngồi sẽ là tiện lợi nhất do ta cĩ thể thực hiên quá trình tương tự thao tác tìm kiếm Khi chấm dứt quá trình tìm kiếm cũng chính là lúc tìm được chỗ cần thêm

 Hàm insert trả về giá trị –1, 0, 1 khi khơng đủ bộ nhớ, gặp nút cũ hay thành cơng:

Trang 61

root->data = X;

root->left = root->right = NULL;

}

Trang 62

Trang 63

Trang 64

Hủy một phần tử cĩ khĩa x

Trường hợp 1: X là nút lá.

1 Xĩa node này

2 Gán liên kết từ cha của nĩ thành rỗng

Trang 65

Trang 66

Trường hợp 2: X chỉ cĩ 1 con (trái hoặc phải)

1 Gán liên kết từ cha của nĩ xuống con duy nhất của nĩ

2 Xĩa node này

Trang 67

Trường hợp 2: X chỉ cĩ 1 con (trái hoặc phải)

 Trường hợp thứ hai : trước khi hủy X ta mĩc nối cha của X với con duy nhất của nĩ

Trang 68

1 Tìm w là node trước node x trên phép duyệt cây inorder (chính là

node cực phải của cây con bên trái của x)

2 Thay x bằng w

3 Xĩa node w cũ (giống trường hợp 1 hoặc 2 đã xét)

Trường hợp 3: X cĩ đủ 2 con

Trang 69

 Trường hợp cuối cùng:

Phần tử này cĩ tối đa một con

hợp đầu

vẫn là CNPTK

Trang 70

 Vấn đề là phải chọn Y sao cho khi lưu Y vào vị trí của X , cây vẫn là CNPTK

 Cĩ 2 phần tử thỏa mãn yêu cầu :

 Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng hồn tồn phụ thuộc vào ý thích của người lập trình

 Ở Ở đây, ta sẽ chọn phần tử phải nhất trên cây con trái làm phân tử thế mạng.

Trang 71

Trang 72

Trường hợp 3: X cĩ đủ 2 con

cơng hoặc khơng cĩ X trong cây :

cho nút p

Trang 73

{

if (root== NULL ) return 0;

if (root->data > X) return delNode (root->left, X);

if (root->data < X) return delNode (root->right, X);

Trang 74

Trang 75

Hủy tồn bộ cây nhị phân tìm kiếm

 Việc tồn bộ cây cĩ thể được thực hiện thơng qua thao tác duyệt cây theo thứ tự sau Nghĩa

là ta sẽ hủy cây con trái, cây con phải rồi mới hủy nút gốc

Trang 76

 Nhận xét:

cây

đương tìm kiếm nhị phân trên mảng cĩ thứ tự

O(n)

Tiêu đề	Cấu Trúc Cây
Trường học	Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin - Đại học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Khoa học Máy tính
Thể loại	Bài thuyết trình
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	0,98 MB