Nhóm và biểu diễn pptx

Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về

NHÓM VÀ BIỂU DIỄN

Người dịch: ThS Khuất Văn Thanh, ThS Ngô Mạnh Tường

Hiệu đính: TS Lê Minh Hà

Springger

Mục lục

Mục lục 3

1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm 5

1 Nhắc lại 5

2 Tự đẳng cấu 17

3 Tác động nhóm 29

2 Nhóm tuyến tính tổng quát 40

4 Cấu trúc cơ bản 40

5 Nhóm con parabol 48

6 Nhóm tuyến tính đặc biệt 56

3 Cấu trúc địa phương 62

1 Định lí Sylow 62

2 p-nhóm hữu hạn 71

3 Định lí Schur-Zhassenhaus 78

4 Cấu trúc chuẩn tắc 86

10 Chuỗi hợp thành 86

11 Nhóm giải được 91

5 Đại số nửa đơn 102

12 Môđun và biểu diễn 102

13 Lý thuyết Wedderburn 113

6 Biểu diễn nhóm 130

14 Đặc trưng 130

15 Bảng đặc trưng 138

16 Cảm sinh 154

Phụ lục 168

Danh mục từ khóa 169

Chỉ số 169Chỉ mục 169

1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm

Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm

và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại Phần 1

chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả sử rằng người đọc đã quen thuộc từ

một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong

chương này được lược bỏ Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan

trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có

thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm Phần 3 đề cập

đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản

và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau

1 Nhắc lại

Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán

hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau:

• Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ G

• Tồn tại duy nhất phần tử 1 ∈ G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x

rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất

thiết phải có xy = yx Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x

và y giao hoán Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử

[x, y] = xyx−1y−1, khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x, y] = 1 (Nhiều tác

giả định nghĩa [x, y] = x−1y−1xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất

cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử

trong một tích là không qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng G là không abel Phép

toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các

phần tử x và y được viết thành x + y thay vì xy, nghịch đảo của x được kí hiệu bởi

−x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0

Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n ∈ N chúng ta sử dụng xn(tương

ứng, x−n) để chỉ tích x · · · x (tương ứng, x−1· · · x−1) gồm n số hạng Chúng tacũng định nghĩa x0 = 1 (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng

ta viết nx thay vì xn với n ∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thườngcho các lũy thừa cũng được thỏa mãn Chúng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồntại n ∈ N sao cho xn= 1 Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x

là số nguyên dương nhỏ nhất n mà xn = 1 Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu

1, x, x2, , xn−1 là các phần tử phân biệt của G và xn= 1

Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, tráilại nó là vô hạn Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là |G|, là

số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng |S| cho bản số của một tập hữuhạn S bất kỳ Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tạicác nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn.Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấphữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn

Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành mộtnhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H Tương tự vậy, H ⊆ G làmột nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

• Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H

• Nếu x, y ∈ G thì tích xy trong G cũng ∈ H

• Nếu x ∈ H thì nghịch đảo của nó x−1 ∈ H

Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó Tập {1} cũng là một nhóm con của G;

nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1.Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luônluôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thườngcủa nó và chính nó Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưngmột nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel Nếu H làmột nhóm con của G thì chúng ta viết H 6 G; nếu H được chứa thực sự trong Gthì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G (Sựkhác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K 6 H và H 6 Gthì hiển nhiên K 6 H

Mệnh đề 1 Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng

H∩ K cũng vậy Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của mộtnhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó

Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con củamột nhóm hữu hạn

Định lý Lagrange Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G Khi đó |H| chia hết

ta viết < x > thay vì < X >; tương tự thế, nếu X = {x1, , xn} thì chúng ta viết

n thì G =< g > và g, , gn−1, gn= 1 là các phần tử phân biệt của G Theo Mệnh

đề 2, < g >= {gn|n ∈ Z} và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic

là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lốicộng Nếu g có cấp n thì < g >= {1, g, , gn−1}, và do đó | < g > | = n Nếu gkhông có cấp hữu hạn thì < g > là một nhóm abel vô hạn không xoắn Hai nhómxyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chínhxác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương vớicùng nghĩa như vậy Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phépcộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các sốnguyên với phép cộng modulo n

Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n Ta có < g > là mộtnhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G| Do vậy,cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó Vì thế, nếu

|G| bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ướckhông tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là mộtphần tử sinh

Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của

X và Y trong G là XY = {xy|x ∈ X, y ∈ Y } ⊆ G Chúng ta có thể mở rộng kháiniệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G Chúng ta cũng có thể định nghĩanghịch đảo của X ⊆ G bởi X−1 ={x−1|x ∈ X} ⊆ G Nếu H là một tập con của Gthì H 6 G nếu và chỉ nếu HH = H và H−1 = H

Mệnh đề 3 Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G Khi đó HK là mộtnhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH

Nhận thấy rằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HKchứa cả H và K; hơn nữa, nếu K 6 H thì HK = H (Các tính chất này không thỏamãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH vớicác nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của mộtnhóm abel là một nhóm con.

Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn.Định lí 4 Cho G =< g > là một nhóm xyclic cấp n Khi đó:

(i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là < gnd >.(ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhómcon cấp gcd(d, e)

(iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm concấp lcm(d, e)

Nếu H 6 G thì chúng ta viết xH thay vì {x}H, tập xH được gọi là một lớp kềtrái của H trong G Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H{x}, và chúng ta gọi Hx

là một lớp kề trái của H trong G Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kềtrái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái" Cách

sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vìbất kỳ một phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải Nhiều giáotrình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái Tồn tại một tươngứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xHthành nghịch đảo của nó (xH−1) = Hx−1

Cho H là một nhóm con của G Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằnghoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y−1x ∈ H

Do đó, một phần tử x ∈ G nằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH Vớimọi x ∈ G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH; một sự tương ứng nhưvậy biến h ∈ H thành xh Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệubởi |G : H|, là số các lớp kề của H trong G (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kềcủa H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa |G : H| là bản số của nó mà khônglàm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta cóthể định nghĩa lại G như là bản số |G : 1|.) Các lớp kề của H trong G chia G thành

|G : H| tập rời nhau với bản số |H| và do đó |G| = |G : H||H| (Điều này chứngminh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange màkhông cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toánđơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn,trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn

Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H.Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của cácnhóm xyclic vô hạn Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho

sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn

Định lí 5 Cho G =< g > là một nhóm xyclic vô hạn Khi đó:

1 Với mỗi d ∈ N, có chính xác một nhóm con của G chỉ số d, < gd> Hơn nữa,mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn

2 Cho d, e ∈ N Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ sốlcm(d, e)

3 Cho d, e ∈ N Khi đó tích của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ sốgcd(d, e)

Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phépphân tích thành nhân tử của các chỉ số"

là đơn (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi làđơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N E G; nếu N là nhóm conthức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N C G (Lưu ý rằng, nhiều tác giảkhông phân biệt điều này và chỉ viết N C G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.)Nếu N E G và K E H thì chưa chắc K E G, chúng ta không đưa ra một phản ví

dụ lúc này Tuy nhiên, rõ ràng nếu K E G và K 6 H 6 G thì K 6 G

Mệnh đề 7 Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G Nếu K E G thì

HK 6 G và H∩ K E H; hơn nữa, nếu H E G thì HK E G và H ∩ K E G

Mệnh đề 8 Mọi nhóm con chỉ chỉ số 2 đều là chuẩn tắc.

Chứng minh Cho H 6 G và giả sử rằng |G : H| = 2 Khi đó có hai lớp kề trái của

H trong G; một lớp là H và do vậy lớp kia phải là G− H Tương tự, H và G − H

là hai lớp kề phải của của H trong G Từ đó, x ∈ H khi và chỉ khi xH = H = Hx

và x /∈ H khi và chỉ khi xH = G − H = Hx Vậy H E G

Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm

cũ theo cách sau:

Định lí 9 Nếu N E G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép toánxác định bởi (xN)(yN) = (xy)N

Nếu N E G thì chúng ta gọi G/N với phép toán trên là nhóm thương của G bởi

N Khi đó phân tử đơn vị của G/N là N và phần tử nghịch đảo của xN ∈ G/N là

x−1N Nếu G là abel thì G/N cũng là abel

Cho x và g là các phần tử của một nhóm G Khi đó liên hợp của x bởi g đượcđịnh nghĩa là phần tử gxg−1 của G (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của x bởi

g là g−1xg Các kí hiệu gx và xg đôi khi được sử dụng thay cho gxg−1 và g−1xg.)Hai phần tử phần x và y của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g ∈ Gsao cho y = gxg−1 Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp Mộtnhóm con N của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của

N bởi một phần tử của G đều nằm trong N

Cho X là một tập Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X Tậpcác hoán vị của X, kí hiệu PX, tạo thành một nhóm với phép hợp thành của cácánh xạ Nếu X = {1, , n} với n ∈ N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc

n và được kí hiệu là P

n (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là Sn hoặc Sn.) NhómP

X là hữu hạn và có cấp n! = n(n − 1) · · · 2 · 1

Một phần tử ρ của Pn được gọi là một xích có độ dài r (hay r-xích) nếu

có các số nguyên phân biệt 1 ≤ a1, , ar ≤ n sao cho ρ(ai) = (ai+1) với mọi

1≤ i < r, ρ(ar) = a1 và ρ(b) = b với mọi 1 ≤ b ≤ n mà b khác các ai Xích ρ xácđịnh như trên còn được viết là ρ = (a1· · · ar) Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể đượcviết theo r cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4), (2 4 1) và (4 2 1) đều là kí hiệu củacùng một 3-xích trong P4 Xích ρ xác định như trên cũng được gọi là di chuyểnmỗi ai và cố định mọi số khác Hai xích được gọi là rời nhau nếu không có số nào

bị di chuyển bởi cả hai xích đó Tích của hai xích (a1· · · ar) và (b1· · · bs) được viết

là (a1· · · ar)(b1· · · bs); nếu ai = bj thì tích này biến bj−1 thành ai+1 (Chúng ta tính

từ "phải sang trái" trong cách viết này vì chúng ta luôn coi các xích như các hàm

trên tập {1, , n}, và do đó tích của hai xích tương ứng với tích của hai ánh xạ, màđối với tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái Trong nhiều giáo trình về

lí thuyết nhóm tích hai xích được tính từ trái sang phải.)

Mọi phần tử của Pncó thể viết như tích của các xích rời nhau; sự phân tích nhưvậy được gọi là sự phân tích thành các xích rời nhau của các hoán vị Hai sự phântích thành các xích rời nhau bất kì của cùng một hoán vị luôn có cùng các xích, tuynhiên thứ tự của chúng có thể khác nhau Do đó chúng ta có thể đặt tương ứng mộttập số các số nguyên dương có tổng bằng n với mỗi phần tử của Pn theo cách các

số hạng trong tổng bằng n là chiều dài của các xích xuất hiện trong sự phân tíchthành các xích rời nhau của ρ và được gọi là cấu trúc xích của ρ Chẳng hạn cấutrúc xích của một r-xích trong Pn là (r, 1, , 1), có n − r số 1; cấu trúc xích của(1 2 4)(3 5) trong P

6 là (3, 2, 1) Chúng ta thường bỏ qua các 1-xích khi viết mộthoán vị thành tích các xích rời nhau Chúng ta cũng thường sử dụng 1 để kí hiệucho phần tử đơn vị của Pn, sự phân tích thành các xích rời nhau của nó chỉ baogồm các 1-xích

Mệnh đề 10 Cho n ∈ N Khi đó hai phần tử của Pn liên hợp với nhau nếu vàchỉ nếu chúng có cùng cấu trúc xích

Xem chứng minh [24, trang 46-7]

Một chuyển vị trong Pn là một 2-xích Mọi phần tử của Pn đều có thể thànhtích của các chuyển vị (không nhất thiết rời nhau) theo nhiều cách khác nhau Tuynhiên, ta có thể chứng minh được rằng hai sự phân tích như vậy của cùng một hoán

vị phải có cùng số chuyển vị theo modulo 2 (Xem [24, trang 8-9].) Do vậy chúng

ta có thể nói một hoán vị là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó có thể được viết thànhtích của một số chẵn (tương ứng, lẻ) các chuyển vị, một hoán vị có thể chẵn hoặc lẻnhưng không thể vừa chẵn vừa lẻ Chẳng hạn, vì một r-xích có thể viết thành tíchcủa r − 1 chuyển vị nên một xích là một hoán vị chẵn nếu và chỉ nếu độ dài của

nó là lẻ Tập con của Pn bao gồm tất cả các hoán vị chẵn là một nhóm con chỉ số

2, và do đó nó là chuẩn tắc trong P

n, theo Mệnh đề 8; nó được gọi là nhóm thayphiên bậc n và kí hiệu là An

Xét H = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊆ A4 Ta có thể chỉ ra rằng H E A4.(Thực ra, H là chuẩn tắc trong P4 Nhóm H này, theo lịch sử tìm ra nó, có tên

là bốn-nhóm Klein.) Cho K = {1, (1 2)(3 4)} Khi đó K là nhóm con của H với

|H : K| = |H|/|K| = 4/2 = 2 và do đó K E H theo Mệnh đề 8 Tuy nhiên, bằngcách lấy liên hợp (1 2)(3 4) bởi hoán vị chẵn (1 2 3) ta thấy rằng K không chuẩntắc trong A4 Đây là phản ví dụ cho khẳng định ở trang 8

Cho G và H là các nhóm Một đồng cấu là một ánh xạ ϕ : G → H với tínhchất ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) với mọi x, y ∈ G; nghĩa là, một đồng cấu là một ánh xạ giữacác nhóm mà nó bảo tồn các cấu trúc nhóm tương ứng Nếu ϕ là một đồng cấu thìϕ(1) = 1 và ϕ(x−1) = ϕ(x)−1 với mọi x Đồng cấu tầm thường từ G vào H là ánh

xạ biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của H Nếu đồng cấu ϕ là đơnánh thì chúng ta gọi ϕ là đơn cấu, nếu ϕ là toàn ánh thì chúng ta gọi ϕ là toàncấu và chúng ta nói ϕ là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh (Nhắc lại rằng, một ánh xạ

f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu f(x) = f(x0) thì suy ra x = x0, gọi là toàn ánhnếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X để f(x) = y; và gọi là song ánh nếu nó vừa làđơn ánh, vừa là toàn ánh.) Nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ−1 : H → G cũng vậy Mộtđồng cấu ϕ : G → G được gọi là một tự đồng cấu của G; một tự đồng cấu song ánhđược gọi là tự đẳng cấu

Nếu G và H là các nhóm và có một đẳng cấu ϕ : G → H thì chúng ta nói rằng

G và H là đẳng cấu, hay G đẳng cấu với Hvà viết là G ∼= H Đẳng cấu là một quan

hệ tương đương giữa các nhóm; tức là, nó phản xạ (G ∼= G), đối xứng (G ∼= H suy

ra H ∼= G) và bắc cầu (G ∼= H và H ∼= K suy ra G ∼= K.) Do đó, chúng ta có thểnói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này Các nhóm đẳng cấuđược coi là hoàn toàn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm làđúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhómnào đẳng cấu với nhóm đó Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất nhấtđịnh là "đơn nhất" thì chúng ta thường hàm ý rằng nó là "đơn nhất đến đẳng cấu",theo đó chúng ta hàm ý rằng hai nhóm có các tính chất xác định đó là đẳng cấu.Bây giờ, chúng ta xét một vài ví dụ cơ bản

• Cho G =< g > và H =< h > là hai nhóm xyclic cấp n Chúng ta định nghĩamột ánh xạ ϕ : G → H bằng cách đặt ϕ(ga) = ha với mọi 0 ≤ a < n Ánh xạnày là một đẳng cấu Do vậy, bất kì hai nhóm xyclic hữu hạn nào có cùng cấpđều đẳng cấu Đặc biệt, mọi nhóm xyclic cấp n đều đẳng cấu với Z/nZ và códuy nhất một nhóm cấp p với mọi số nguyên tố p Chúng ta sử dụng Znđể kíhiệu một nhóm xyclic cấp n và phép toán được viết theo lối nhân Tương tự,chúng ta có thể chỉ ra rằng hai nhóm xyclic vô hạn là đẳng cấu; chúng ta sửdụng Z để kí hiệu một nhóm xyclic vô hạn và phép toán cũng được viết theolối nhân

• Cho G là một nhóm, H 6 G và g ∈ G Liên hợp của H bởi g là tập gHg−1 ={ghg−1|h ∈ H} chứa tất cả các liên hợp của các phần tử của H bởi g Dễ thấy,gHg−1 6G Chúng ta nói rằng K 6 G là một liên hợp của H trong G, hay K

và H là liên hợp trong G nếu K = gHg−1 với g nào đó thuộc G Cho H 6 G

và g ∈ G, chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : H → gHg−1 bởi ϕ(h) = ghg−1 với

h∈ H Dễ thấy ϕ là một đẳng cấu, do đó các nhóm con liên hợp với nhau đềuđẳng cấu Tuy nhiên, hai nhóm con đẳng cấu của một nhóm G chưa chắc liênhợp với nhau Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳngcấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên không thểliên hợp với nhau

đó là phép chiếu η : G → G/N xác định bởi η(x) = xN với x ∈ G Chúng ta

dễ thấy rằng ánh xạ này là toàn cấu Chúng ta gọi η là ánh xạ tự nhiên từ Gđến G/N

Nếu ϕ : G → H là một đồng cấu thì chúng ta định nghĩa hạt nhân của ϕ là tập conker ϕ ={g ∈ G|ϕ(g) = 1} của G và ảnh của ϕ và tập con Im ϕ = {ϕ(g)|g ∈ G} của

H Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K) đểchỉ tập {ϕ(g) = g ∈ K} với K 6 G Ví dụ, nếu N E G và η : G → G/N là ánh xạ

tự nhiên thì chúng ta có ker η = N và η(K) = KN/N với mọi K 6 G (Dễ thấyη(K) = K/N nếu K chứa N )

Mệnh đề 11 Cho G và H là các nhóm và ϕ : G → H là một đồng cấu Khi đóker ϕ E G và ϕ(K) 6 H với mọi K 6 G

Định lí sau là nền tảng của lí thuyết nhóm

Định lý cơ bản về đồng cấu Nếu G và H là các nhóm và ϕ : G → H là đồng cấuthì có một một đẳng cấu ψ : G/K → ϕ(G) sao cho ϕ = ψ ◦ η, trong đó K = ker ϕ

và η : G → G/K là ánh xạ tự nhiên; hơn nữa, ánh xạ ψ xác định duy nhất

(Nhiều tác giả gọi kết quả này là "định lí đẳng cấu thứ nhất"; các tác giả này cũngđặt số thứ tự cho các định lí đẳng cấu dưới đây.)

Chứng minh Nếu xK = yK, với x, y ∈ G, thì y−1x ∈ K; điều này kéo theo 1 =ϕ(y−1x) = ϕ(y)−1ϕ(x) và do đó ϕ(y) = ϕ(x) Từ đó có thể định nghĩa ánh xạ

ψ : G/K → ϕ(G) bằng cách đặt ψ(xK) = ϕ(x) với xK ∈ G/K Chúng tôi để bạnđọc kiểm tra lại rằng ψ có các tính chất như trong định lí

Theo kết quả của định lí cơ bản, chúng ta thấy rằng bất kì đồng cấu ϕ : G → Hđều có thể coi như tích của một toàn cấu (từ G lên ϕ(G)) và đơn cấu (từ ϕ(G) đếnH.)

Ba kết quả cuối cùng của phần này cũng rất quan trọng

Định lý đẳng cấu thứ nhất Cho G là một nhóm Nếu N E G và H 6 G thìHN/N ∼= H/H∩ N

Định lý tương ứng Cho G, H là các nhóm và ϕ : G → H là toàn cấu có hạt nhân

N Khi đó có một tương ứng song ánh sinh ra bởi ϕ giữa tập các nhóm con của Gchứa N và tập các nhóm con của H Nếu K là một nhóm con của G chứa N thì phéptương ứng này biến K thành ϕ(K); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm concủa G là tạo ảnh của L đối với phép tương ứng này là ϕ−1(L) ={x ∈ G|ϕ(x) ∈ L}.Hơn nữa, nếu K1 và K2 là các nhóm con của G chứa N thì:

• K2 6K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K2) 6 ϕ(K1), khi đó |K1 : K2| = |ϕ(K1) : ϕ(K2)|

• K2 E K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K1) E ϕ(K2), khi đó ánh xạ từ K1/K2 đếnϕ(K1)/ϕ(K2) biến xK2 thành ϕ(x)ϕ(K2) là một đẳng cấu

Như một trường hợp đặc biệt của định lí tương ứng, chúng ta có kết quả sau:Nếu G là một nhóm và N E G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với

K là một nhóm con của G chứa N (Ở đây chúng ta coi ϕ là ánh xạ tự nhiên từ Gvào G/N.)

Định lý đẳng cấu thứ hai Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của mộtnhóm G Nếu H chứa K thì G/H ∼= (G/K)/(H/K)

Chứng minh Áp dụng định lí tương ứng cho ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/K

BÀI TẬP

1 Hãy chứng minh, hoặc hoàn thành các phác họa chứng minh, cho mỗi kết quảtrong phần này

2 Chúng ta nói một nhóm G có số mũ e nếu e là số nguyên dương nhỏ nhất saocho xe = 1 với mọi x∈ G Chứng minh rằng nếu G có số mũ 2 thì G là abel.Với các số nguyên e nào thì một nhóm có số mũ e là abel.

3 Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử rằng ánh xạ ϕ : G → G xác định bởiϕ(x) = x3, với x ∈ G, là một đồng cấu Chứng minh rằng, nếu 3 không chiahết |G| thì G phải là nhóm abel (Xem kết quả tổng quát ở [2].)

4 Cho g là một phần tử của một nhóm G và giả sử rằng |G| = mn với m và nnguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng có duy nhất các phần tử x và y thuộc

G sao cho xy = g = yx và xm = 1 = yn (Trong trường hợp m là lũy thừa củamột số nguyên tố p, chúng ta gọi x là p-phần của g và y là p0-phần của g; tổngquát hơn, nếu π là tập các số nguyên tố chia hết m và không chia hết n thì x

và y tương ứng được gọi là π-phần và π0-phần của g.)

5 Cho r, s và t là các số nguyên dương lớn hơn 1 Chứng minh rằng có một nhóm

G có các phần tử x và y sao cho x có cấp r, y có cấp s và xy có cấp t

6 Cho X và Y là các tập con của một nhóm G Các nhóm < X > ∩ < Y > và

< X∩ Y > có nhất thiết bằng nhau không? Các nhóm << X > ∪ < Y >>

và < X ∪ Y > có nhất thiết bằng nhau không?

7 Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G Chứng minh rằng có một tập con Tcủa G mà vừa là lớp ngang trái, vừa là lớp ngang phải của H

8 Giả sử C là họ các tập con của một nhóm G tạo thành sự phân hoạch của G

và giả sử rằng gC ∈ C với mọi g ∈ G và C ∈ C (Nhắc lại, một sự phân hoạchcủa tập S là một tập hợp S các tập con của S sao cho mọi phần tử của S nằmtrong đúng một phần tử của S.) Chứng minh rằng C là tập các lớp kề của mộtnhóm con nào đó của G

9 Giả sử C là một họ các tập con của một nhóm G mà tạo thành một sự phânhoạch của G và giả sử rằng XY ∈ C với mọi X, Y ∈ C Chứng minh rằng cóđúng một trong số các tập hợp thuộc C là một nhóm con của G và nhóm connày là chuẩn tắc trong G, đồng thời C bao gồm các lớp kề của nó

10 Chứng minh kết quả tổng quát hóa của Mệnh đề 8: Nếu G là một nhóm hữuhạn và H 6 G sao cho |G : H| bằng ước nguyên dương nhỏ nhất của |G| thì

H E G

BÀI TẬP MỞ RỘNG

Nếu K E H 6 G thì H/K được gọi là một thành phần của G Chúng ta nói rằnghai thành phần H1/K1 và H2/K2 là liên thuộc nếu mọi lớp kề của K1 trong H1 cógiao khác rỗng với chính xác một lớp kề của K2 trong H2 và ngược lại (Nói cáchkhác, hai thành phần là liên thuộc nếu quan hệ giao khác rỗng cho ta một tươngứng song ánh giữa các phần tử của chúng.)

11 Hãy chỉ ra rằng các thành phần liên thuộc là đẳng cấu

12 (tiếp) Giả sử rằng N E G và H 6 G Hãy chứng minh rằng HN/N và H/H∩N

là liên thuộc (Bài tập 11 và 12 đưa ra một chứng minh thay thế của định líđẳng cấu thứ nhất.)

Nếu L/M là một thành phần của G và H 6 G thì hình chiếu của H lên L/M làmột tập con của L/M bao gồm các lớp kề của M trong L mà chứa các phần tử củaH

13 (tiếp) Hãy chứng minh hình chiếu của H trên L/M là nhóm con (L ∩H)M/Mcủa L/M

Cho H1/K1 và H2/K2 là các thành phần của một nhóm G

14 (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của K2 trên H1/K1 là nhóm con chuẩn tắccủa hình chiếu của H2 trên H1/K1 Nhóm thương thu được bằng cách đó gọi

là hình chiếu của H2/K2 trên H1/K1

15 (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của H1/K1 trên H2/K2 và hình chiếu của

H2/K2 trên H1/K1 là liên thuộc Hãy suy ra kết quả sau:

Định lý đẳng cấu thứ ba Cho H1, H2, K1 EH1 và K2 EH2 Khi đó

(H1∩ H2)K1/(H1∩ K2)K1 ∼= (H1∩ H2)K2/(K1∩ H2)K2.

(Kết quả này còn được gọi là định lí đẳng cấu thứ tư hay bổ đề Zassenhaus(đặt tên theo người đa tìm ra nó khi mà ông còn là một sinh viên 21 tuổi),hay còn có một tên khác nữa là bổ đề con bướm Tên sau cùng này ám chỉhình dạng của biểu đồ biểu diễn mối quan hệ bao hàm giữa nhiều nhóm conđược bao hàm trong phát biểu của kết quả này, một biểu đồ như vậy xuất hiệntrong [22, trang 62].)

2 Tự đẳng cấu

Tập các tự đẳng cấu của một nhóm G được kí hiệu là Aut(G) Nếu ϕ và ρ làcác tự đồng của G thì tích của chúng ϕ ◦ ρ cũng là một tự đẳng cấu của G và do

đó tích của các ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên Aut(G) Phép toán này cho

ta một cấu trúc nhóm trên Aut(G); phần tử đơn vị là tự đẳng cấu tầm thường biếnmỗi phần tử thành chính nó, và nghịch đảo của một tự đẳng cấu ϕ là nghịch ánh

xạ ngược ϕ−1 của nó Chúng ta gọi Aut(G) với phép toán này là nhóm tự đẳng cấucủa G và có thể viết ϕρ thay cho ϕ ◦ ρ với ϕ, ρ ∈ Aut(G)

Mọi phần tử g của một nhóm G xác định một đồng cấu liên hợp ϕg : G→ G bởi

ϕg(x) = gxg−1 (Rõ ràng ta có ϕg(xy) = ϕg(x)ϕg(y) và ϕg(x−1) = ϕg(x)−1.) Nhữngánh xạ như vậy thực ra là một tự đẳng cấu của G, bởi vì với x là một phần tử chotrước của G ta có x = ϕg(g−1xg), và nếu ϕg(x)ϕg(y) thì ta có x = y bằng cách giảnước Các ánh xạ này được gọi là tự đẳng cấu trong của G Chúng ta có ϕgϕh = ϕghvới mọi g, h ∈ G, vì g(hxh−1)g−1 = (gh)x(gh)−1 với mọi x ∈ G; do đó, có một đồngcấu từ G vào Aut(G) biến g ∈ G thành ϕg Ảnh của đồng cấu này được gọi là nhóm

tự đẳng cấu trong của G và được kí hiệu là Inn(G), đồng thời hạt nhân của nó đượcgọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G) Chú ý rằng

"tự đẳng cấu ngoài" thường không dùng để chỉ các phần tử của Out(G) mà thườngđược dùng để chỉ các tự đẳng cấu của G nhưng không phải là tự đẳng cấu trong và

do đó chúng có ảnh không tầm thường trong Out(G) dưới ánh xạ tự nhiên Khi đó,nếu G là abel thì tất cả các tự đẳng cấu không tầm thường của G đều là tự đẳngcấu ngoài, vì trong trường hợp này chúng ta có Inn(G) = 1

Cho trước một nhóm G, chúng ta luôn muốn xác định cấu trúc của nhóm tựđẳng cấu của nó Đây thường là một bài toán khó Bây giờ, chúng ta xét một vàitính chất của các nhóm tự đẳng cấu của các nhóm xyclic

Cho G =< x >∼= Z và cho ϕ là một tự đẳng cấu trong của G Khi đó ϕ(x) phải

là phần tử sinh của G; nhưng các phần tử sinh của G chỉ có thể là x và x−1 Do đó

ϕ cố định mỗi phần tử hoặc biến mỗi phần tử thành nghịch đảo của nó, và do đó

chúng ta có Aut(G) ∼= Z2.

Bây giờ, cho n ∈ N và G =< x >∼= Zn Giả sử rằng ϕ là một tự đồng cấu của

G Khi đó, ϕ(x) = xm với m nào đó, 0 ≤ m < n; và do đó ϕ biến mọi phần tử của

G thành lũy thừa m của nó Từ đó ta thấy rằng G có chính xác n tự đồng cấu, đó

là các ánh xạ lũy thừa m, kí hiệu là σm, với 0 ≤ m < n

Mệnh đề 1 Cho G =< x >∼= Zn với n ∈ N và với mỗi số 0 ≤ m < n gọi σm là tựđồng cấu của G biến x thành xm Khi đó Aut(G) bao gồm các tự đồng cấu σm với

m6= 0 và gcd(m, n) = 1 Hơn nữa, Aut(G) là abel và đẳng cấu với nhóm (Z/nZ)×

của các phần tử đơn vị của vành Z/nZ

Chứng minh Ánh xạ σ0có ảnh tầm thường và do đó nó không phải là một tự đẳngcấu Bây giờ, giả sử 1 ≤ m < n, ta xét σm Nếu gcd(m, n) = 1 thì tồn tại các sốnguyên a, b sao cho am + bn = 1, từ đó σm(xa) = xam= x1−bn = x(xn)−b= x, điềunày chứng tỏ σm là toàn ánh Vì G là hữu hạn nên một toàn ánh từ G vào G cũng

là đơn ánh; do đó σm ∈ Aut(G) Ngược lại, nếu σm ∈ Aut(G) thì x = σm(xa) = xamvới a ∈ Z; suy ra xam−1= 1, từ đó ta phải có am− 1 = bn với b ∈ Z, điều này chứngminh gcd(m, n) = 1 Như vậy, khẳng định thứ nhất đã được chứng minh

Giả sử 1 ≤ m1, m2 < n Khi đó σm1σm2 = σt = σm2σm1, với 1 ≤ t < n saocho m1m2 ≡ t (mod n); do đó Aut(G) là abel Vì (Z/nZ)× ={m + nZ|1 ≤ m <

n, gcd(m, n) = 1} nên dễ thấy rằng ánh xạ biến σm thành m + nZ là một đẳng cấu

Mệnh đề 2 Cho p là số nguyên tố Khi đó Aut(Zp) ∼= Zp−1

Chứng minh Cho F là trường có p phần tử Theo Mệnh đề 1, Aut(Zp) đẳng cấuvới nhóm nhân F× các phần tử khác không của F Với mỗi ước d của p − 1, gọi fd

là số phần tử cấp d trong F× và zd là số phần tử cấp d trong Zp−1

Giả sử d là một ước của p − 1 Nếu x ∈ F× là một phần tử có cấp chia hết d thì

x phải là nghiệm phương trình Xd− 1 ∈ F [X] và phương trình này có nhiều nhất

d nghiệm Ngược lại, nếu x có cấp d thì các lũy thừa của x là các phần tử của F×

mà nghiệm đúng phương trình Xd− 1, và do đó mọi phần tử của của F× có cấp d

phải chứa trong < x >∼= Zd Vậy hoặc fd = 0 hoặc fd bằng số các phần tử cấp dtrong Zd.

Theo Định lí 4, nếu d là một ước tùy ý của p − 1 thì tất cả các phần tử cấp dcủa Zp−1 được chứa trong một nhóm con xyclic đơn cấp d; do đó zd bằng số phần

tử cấp d của Zd Từ lập luận ở trên chỉ suy ra fd≤ zd với mọi d|(p − 1) Nhưng tacó

mà xm k

= x, hay là số k∈ N nhỏ nhất sao cho mk≡ 1 (mod n) Nếu cấp của σm

bằng giá trị hàm Ơ le của n thì chúng ta nói rằng m là căn nguyên thủy modulo n.(Thuật ngữ này xuất phát từ lí thuyết số cổ điển.) Rõ ràng, Aut(Zn) là xyclic nếu

và chỉ nếu tồn tại một căn nguyên thủy modulo n

Với hợp số n, việc xác định cấu trúc của nhóm Aut(Zn) thuộc về lĩnh vực líthuyết số hơn là lí thuyết nhóm Kết quả sau đây, mà chúng ta sẽ không chứngminh, cho biết dạng của n mà làm cho nhóm Aut(Zn) là xyclic

Định lí 3 Aut(Zn) là xyclic nếu và chỉ nếu n = 2 hoặc 4, hoặc n = pk hay 2pk với

p là số nguyên tố lẻ và k∈ N

Một kết quả tương đương về sự tồn tại và không tồn tại của căn nguyên thủy modulo

n được chứng minh trong [9, Phần 8.3]

Cho ϕ là một tự đẳng cấu của một nhóm G và H là một nhóm con của G.Khi đó ϕ làm H đẳng cấu với một nhóm con ϕ(H) của G; chúng ta nói rằng H bị

cố định bởi ϕ nếu ϕ(H) = H Trong trường hợp đó, hạn chế của ϕ lên H là một

tự đẳng cấu của H Nếu L là một nhóm con của của Aut(G) thì chúng ta nói rằng

H bị cố định bởi L nếu H bị cố định bởi mọi ϕ ∈ L Với thuật ngữ này, chúng tathấy rằng H là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ nếu H bị cố định bởi Inn(G) Chúng

ta nói rằng H là nhóm con đặc trưng của G (hay H là đặc trưng trong G) nếu H

bị cố định bởi Aut(G) (Một vài tác giả kí hiệu nhóm H này bởi char G.) Ví dụ,tâm Z(G) luôn luôn là một nhóm con đặc trưng của của G, vì nếu x ∈ Z(G) và

ϕ ∈ Aut(G) thì chúng ta có ϕ(x)y = ϕ(xϕ−1(y)) = ϕ(ϕ−1(y)x) = yϕ(x) với mọi

y ∈ G, điều này chứng tỏ ϕ(x) ∈ Z(G) Rõ ràng rằng các nhóm con đặc trưng làchuẩn tắc nhưng ngược lại thì không chắc đúng Đặc biệt, một nhóm abel vô hạn

có thể không có một nhóm con đặc trưng khác tầm thường; xem Bài tập 5

Trong Phần 1, chúng ta đã biết rằng chuẩn tắc không có tính chất bắc cầu giữacác nhóm con Tuy nhiên, tính đặc trưng thì lại có tính chất bắc cầu

Bổ đề 4 Nếu K là một nhóm con đặc trưng của H và H là một nhóm con đặctrưng của G thì K là một nhóm con đặc trưng của G

Chứng minh Nếu ϕ ∈ Aut(G) thì hạn chế của ϕ xuống H là một phần tử củaAut(H) vì H là đặc trưng trong G, và do đó hạn chế của ϕ xuống K là một phần

tử của Aut(K) vì K là đặc trưng trong H Do đó mọi tự đẳng cấu của G đều cốđịnh K, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Lí do mà chuẩn tắc không có tính bắc cầu xuất phát từ thực tế nếu N E G thìhạn chế xuống N của một phần tử của Inn(G) chắc chắn nằm trong Aut(N) nhưngkhông nhất thiết nằm trong Inn(N)

Nhắc lại rằng nếu x và y là các phần tử của một nhóm G thì giao hoán tửcủa x và y là [x, y] = xyx−1y−1 Chúng ta định nghĩa, nhóm con giao hoán tửcủa G là nhóm con G0 của G sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử trong G; tức

là G0 =< {[x, y]|x, y ∈ G} > Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu G0 = 1, đồngthời nếu H 6 G thì H0 6 G0 Một điều quan trọng là nên nhớ là, G0 bao gồmnhiều hơn chứ không chỉ là các giao hoán tử của G Vì với mọi phần tử x, y ta có[x, y]−1= (xyx−1y−1)−1 = yxy−1x−1= [y, x] nên theo Mệnh đề 2, một phần tử bất

kì của G0 là tích của các giao hoán tử của các phần tử của G

Bổ đề 5 Cho G là một nhóm Khi đó G0 là đặc trưng trong G

Chứng minh Cho ϕ ∈ Aut(G) Ta có ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] với mọi x, y ∈ G.Nếu g ∈ G0 thì g là một tích của các giao hoán tử; suy ra ϕ(g) cũng vậy, và do đóϕ(g)∈ G0 Vậy ϕ(G0) 6 G0; bằng lập luận tương tự ta cũng có ϕ−1(G0) 6 G0 và do

đó G0 = ϕ(ϕ−1(G0)) 6 ϕ(G0) Từ đó ϕ(G0) = G0, bổ đề được chứng minh

Nhóm con giao hoán tử có tính chất quan trọng sau:

Mệnh đề 6 Cho G là một nhóm và N E G Khi đó G/N là abel nếu và chỉ nếu

G0 6N

Chứng minh Với mọi x, y ∈ G, ta có [xG0, yG0] = [x, y]G0 = G0; do vậy nhóm congiao hoán tử của G/G0 là tầm thường, và do đó G/G0 là abel Giả sử N E G Nếu

G0 6 N thì theo định lí đẳng cấu thứ hai (Định lí 1), G/N là đẳng cấu với nhómthương của nhóm abel G/G0 và do đó nó cũng là abel Ngược lại, nếu G/N là abelthì với mọi x, y ∈ G ta có (xN)(yN) = (yN)(xN) và do đó [x, y] ∈ N, điều nàychứng tỏ G0 6N

Chúng ta kết thúc phần này bằng một ứng dụng quan trọng của nhóm tự đẳngcấu, đó là cấu trúc của các tích nửa trực tiếp, nhưng trước đó chúng ta nhắc lại kháiniệm quen thuộc về các tích nửa trực tiếp

Cho n ∈ N và G1, , Gn là các nhóm Ta xét tích Đề các G1× × Gn và mộtphép toán trên tập hợp này xác định bởi (g1, , gn)(g10, , g0n) = (g1g01, , gngn0) Tagọi phép toán này là "nhân theo từng thành phần", phép toán này cho tích Đề cácmột cấu trúc nhóm; phần tử đơn vị là (1, , 1) và nghịch đảo của phần tử bất kì(g1, , gn) là (g−11 , , g−1

n ) Chúng ta gọi G1× × Gnvới phép toán này là tích trựctiếp (ngoài) của G1, , Gn Thứ tự của các thừa số là không quan trọng vì dễ thấyrằng G1× × Gn∼= Gρ(1)× × Gρ(n) với mọi ρ ∈ Pn

Chúng ta thấy rằng G = G1× × Gn có các tính chất sau:

• Với mỗi i, G có một nhóm con chuẩn tắc Hi đẳng cấu với Gi, cụ thể là Hi ={(1, , gi, , 1)|gi ∈ Gi} (trong đó gi xuất hiện ở vị trí thứ i) Hơn nữa, G/Hi

là đẳng cấu với tích trực tiếp của các Gj còn lại

• Mọi g ∈ G đều có một sự phân tích duy nhất g = h1· · · hn, với hi ∈ Hi; nếu

g = (g1, , gn) thì hi = (1, , gi, , 1) với mọi i (trong đó gi xuất hiện ở vị tríthứ i) Từ đó, nếu G1, , Gn là các nhóm hữu hạn thì |G| = |G1| · · · |Gn|.Bây giờ, ta giả sử rằng G là một nhóm có các nhóm con H1, , Hn thỏa mãn:(1) HiEG với mọi 1≤ i ≤ n

(2) Mọi g ∈ G đều có sự phân tích duy nhất g = h1· · · hn, trong đó hi ∈ Hi vớimọi i

Điều kiện (1) và (2) suy ra các kết quả sau:

(3) G = H1· · · Hn

(4) Hi∩ H1· · · Hi−1Hi+1· · · Hn= 1 với mọi i

(5) Nếu i 6= j thì các phần tử của Hi giao hoán với mọi phần tử của Hj

(6) Nếu g = h1· · · hn và g0 = h0

1· · · h0

n, trong đó hi, h0

i ∈ Hi với mọi i, thì gg0 =(h1h0

1)· · · (hnh0

n)

Trong trường hợp này, ta thấy rằng tồn tại duy nhất một đẳng cấu từ G đến tíchtrực tiếp ngoài H1× × Hn biến Hi thành 1 × × Hi× × 1 Do đó, chúng tagọi G là tích trực tiếp (trong) của các nhóm con H1, , Hn và chúng ta cũng có thểviết G = H1× × Hn (mặc dù điều này là lạm dụng kí hiệu một chút) Điều quantrọng là cần chú ý rằng, nếu (1) xảy ra thì (2) xảy ra khi và chỉ khi cả (3) và (4)đều phải xảy ra; do đó một nhóm cho trước có là một tích trực tiếp thì nó cần thỏamãn hoặc (1) và (2) hoặc (1), (3) và (4) (Chú ý rằng (4) rút gọn thành H1∩ H2= 1khi n = 2.)

Bây giờ, chúng tôi giới thiệu một vài kết quả liên quan đến các tích trực tiếp

Bổ đề 7 Cho G là một nhóm có các nhóm con chuẩn tắc H và K sao cho G = HK.Khi đó G/H ∩ K × K/H ∩ K

Chứng minh Trước hết cần chú ý rằng L = H ∩ K là chuẩn tắc trong G theo Mệnh

đề 7 Từ định lí Tương ứng (Định lí 1), ta thấy rằng H/L và K/L là các nhómcon chuẩn tắc của G/L, và rõ ràng (H/L) ∩ (K/L) là tầm thường Do đó ta chỉcần chứng minh G/L = (H/L)(K/L) Giả sử g ∈ G Khi đó g = hk với h ∈ H và

k∈ K vì G = HK, và do đó gL = hkL = hLkL ∈ (H/L)(K/L), điều phải chứngminh

Bổ đề 8 Cho n ∈ N và ta viết n = pa1

1 · · · parr trong đó pi là các số nguyên tố phânbiệt và ai là các số nguyên dương Khi đó ta có Zn∼= Zpa1

1 × × Zr ar.Chứng minh Cho Pi =< xi >∼= Zpai

i với mỗi 1 ≤ i ≤ r Dễ thấy rằng cấp của(x1, , xr)∈ P1× × Pr là pa1

1 · · · par

r = n và suy ra rằng P1× × Pr∼= Zn.Kết quả này có hệ quả trực tiếp sau:

Hệ quả 9 Nếu gcd(a, b) = 1 thì Zab∼= Za× Zb.

Mệnh đề 10 Giả sử một nhóm hữu hạn G là tích trực tiếp của các nhóm con

H1, , Hn của nó, trong đó các cấp |Hi| là đôi một nguyên tố cùng nhau Khi đónhóm con L của G là tích trực tiếp của L ∩ H1, , L∩ Hn

Chứng minh Trước hết, chúng ta xét trường hợp n = 2 từ đó trường hợp tổng quát

dễ dàng được suy ra bằng luật giản ước Ta viết H = H1 và K = H2, từ đó ta có

G = H× K và gcd(|H|, |K|) = 1 Giả sử L 6 G Khi đó, L ∩ H E L, L ∩ K E L và(L∩H)∩(L∩K) = 1; do đó ta có, trong L, cấu trúc tích trực tiếp (H ∩H)×(L∩K).Mọi phần tử g của L có thể viết g = hk với h ∈ H và k ∈ K, và để chứng minh

L = (L∩ H) × (L ∩ K) ta chỉ cần chỉ ra rằng h, k ∈ L Vì h và k là các phần tử

giao hoán được với nhau, do có cấp nguyên tố cùng nhau, nên cấp của hk bằng tíchcủa các cấp của h và k Theo Hệ quả 9, < h > × < k >∼=< hk > Mà chúng ta đã

có < g >=< hk >6< h > × < k >, do đó h, k ∈< g >6 L, đây là điền cần chứngminh

Cho G là một nhóm Giả sử rằng G có một nhóm con H và một nhóm con chuẩntắc N sao cho G = NH và N ∩ H = 1 Khi đó chúng ta gọi G tích nửa trực tiếp(trong) của N bởi H và chúng ta viết là G = N o H (Kí hiệu này là phổ biến nhưngkhông phải duy nhất, có một vài kí hiệu khác như N n H và H o N, một vài tácgiả không áp dụng một kí hiệu nào.) Nếu chúng ta có thêm H E G thì G là tíchtrực tiếp của N và H Ví dụ, nếu ta đặt G = P3, N = A3 và H =< (1 2) > thì dễthấy rằng G = N o H; tuy nhiên, H không là chuẩn tắc trong G nên G không làtích trực tiếp của N và H

Bây giờ, chúng ta đưa ra một vài nhận xét về các tích nửa trực tiếp Giả sử rằng

G = N o H

• Ta có H = H/(N ∩H) ∼= N H/N = G/N theo định lí đẳng cấu thứ nhất (Định

lí 1) Từ đó, nếu G là hữu hạn thì ta có |G| = |N||G : N| = |N||H|

• Vì G = NH nên với mỗi x ∈ G ta có thể viết x = nh với n ∈ N và h ∈ H Giả

sử rằng x có hai cách viết khác nhau như thế, chẳng hạn x = n1h1 = n2h2 với

n1, n2 ∈ N và h1, h2 ∈ H Khi đó n−12 n1 = h2h−11 ∈ N ∩ H = 1, do đó n1= n2

và h1 = h2 Vậy mỗi x ∈ G đều có một cách viết duy nhất x = nh trong đó

n∈ N và h ∈ H

• Cho x, y ∈ G và x = n1h1, y = n2h2 như ở trên Chúng ta biết rằng phần

tử xy của G có thể viết duy nhất thành n0h0 với n0 ∈ N và h0 ∈ H; chínhxác là, xy = n1h1n2h−11 · h1h2, trong đó n0 = n1h1n2h−11 ∈ N (vì N E G) và

h0= h1h2∈ H

• Cho h ∈ H Do N là chuẩn tắc trong G nên phép liên hợp bởi h ánh xạ N vào

N ; từ đó, ta có thể định nghĩa một ánh xạ ϕh : N → N bởi ϕh(n) = hnh−1với mọi n ∈ N Dễ dàng chỉ ra rằng ϕh là một tự đẳng cấu của N, và do đó

ϕh◦ ϕh 0 = ϕhh0 với mọi h0 ∈ H Do đó, ta có một đồng cấu ϕ : H → Aut(N),trong đó ϕ(h) = ϕh; chúng ta gọi ϕ là đồng cấu liên hợp của tích nửa trực tiếp

G Bây giờ, chúng ta có (n1h1)(n2h2) = n1ϕ(h1)(n2)· h1h2 với mọi n1, n2∈ N

và h1, h2 ∈ H, và do đó phép toán của nhóm G có thể được viết theo các phéptoán của N và H và đồng cấu ϕ

• Giả sử rằng đồng cấu ϕ : H → Aut(N) xác định ở trên là đồng cấu tầmthường Khi đó ta có nhn−1 = nϕ(h)(n−1)h = nn−1h = h với mọi n ∈ N và

h ∈ H, và do đó H E G; suy ra G = N × H Ngược lại, nếu G = N × H thìcác phần tử của H giao hoán với mọi phần tử của N, và do đó đồng cấu ϕphải là tầm thường

• Nếu đồng cấu liên hợp ϕ : H → Aut(N) là không tầm thường thì nhóm G phải

là không abel, từ đó tồn tại h ∈ H và n ∈ N sao cho hnh−1 = ϕ(h)(n)6= n,trong trường hợp này h và n không giao hoán

Các nhận xét này gợi ý rằng, nếu G là một tích nửa trực tiếp trong của N bởi Hthì cấu trúc của G được mô tả bởi cấu trúc của N và H cùng với sự tương tác giữa

N và H bên trong G và sự tương tác ấy được xác định bởi đồng cấu liên hợp từ Hvào Aut(N) Do vậy, nếu chúng ta muốn phát triển một khái niệm về tích nửa trựctiếp ngoài thì phải thận trọng khi lấy hai điểm xuất phát của chúng ta là hai nhóm

N và H cùng với một đồng cấu cho trước ϕ : H→ Aut(N) và do đó hãy mô tả cấutrúc của một nhóm mà nó như là tích nửa trực tiếp trong N o H và có ϕ như làđồng cấu liên hợp của nó

Với ý tưởng này, bây giờ ta giả sử N và H là các nhóm, ϕ là đồng cấu chotrước từ H vào Aut(N) Chúng ta xác định một phép toán hai ngôi trên N × Hbởi (n1, h1)(n2, h2) = (n1ϕ(h1)(n2), h1h2) Định nghĩa này cho N× H một cấu trúcnhóm; phần tử đơn vị là (1, 1) và nghịch đảo của n, h là (ϕ(h−1)(n−1), h−1) Chúng

ta gọi nhóm này là tích nửa trực tiếp (ngoài) của N bởi H ứng với ϕ và kí hiệu là

G =oϕH (Nhắc lại, kí hiệu này là phổ biến nhưng không phải là duy nhất; có mộtvài kí hiệu phổ biến khác như N nϕH và H×ϕN ) Cấu trúc của nhóm này trêntập N ×H nói chung là khác so với cấu trúc của nhóm tích trực tiếp; trong tích trựctiếp, các phần tử của 1 × H giao hoán với mọi phần tử của N × 1 điều này khôngcòn đúng trong trường hợp tích nửa trực tiếp ngoài nếu ϕ không tầm thường.Nhóm G = N oϕH có các nhóm conN = N × 1 và H = 1 × H tương ứng đẳngcấu với N và H Với (x, 1) ∈ N và (n, h) ∈ G, ta có

(n, h)(x, 1)(n, h)−1 = (nϕ(h)(x), h)(ϕ(h−1)(n−1), h−1)

= (nϕ(h)(x)ϕ(h)(ϕ(h−1)(n−1)), hh−1)

= (nϕ(h)(x)n−1, 1)∈ N ,

và do đó N E G Vì (n, h) = (nϕ(1)(1), h) = (n, 1)(1, h) với mọi (n, h) ∈ G nên

G = N H; hơn nữa, N ∩ H chỉ bao gồm phần tử đơn vị của G nên G là tíchnửa trực tiếp trong của N bởi H Mặt khác, từ (n, 1) ∈ N và (1, h) ∈ H ta có(1, h)(n, 1)(1, h)−1 = (ϕ(h)(n), 1), do đó đồng cấu liên hợp từ H vào Aut(N) của

G = N o H tương ứng, sau khi đồng nhất N với N và H với H theo một cách tựnhiên, với đồng cấu gốc ϕ : H → Aut(N).

Chúng ta kết luận rằng từ các nhóm N và H và một đồng cấu ϕ : H → Aut(N)chúng ta có thể xây dựng một cấu trúc nhóm mới sao cho N oϕH như là tích nửa trựctiếp trong của một nhóm con đẳng cấu với N bởi một nhóm con đẳng cấu với H Bằngcách đồng nhất N với N và H với H, chúng ta có thể viết N oϕH ={nh|n ∈ N, h ∈

H}, trong đó phép nhân được xác định bởi (n1, h1)(n2, h2) = n1ϕ(h1)(n2)· h1h2.Đặc biệt, hnh−1 = ϕ(h)(n) Chú ý rằng, nhóm này là không abel khi mà ϕ khôngphải là đồng cấu tầm thường

Nếu ϕ và ψ là hai đồng cấu phân biệt từ H vào Aut(N) thì nhóm N oϕH và

N oψH không nhất thiết đẳng cấu với nhau Tuy nhiên, chúng ta có thể có đượcmột vài kết quả theo hướng này và rất hữu ích trong phần sau

Mệnh đề 11 Cho H là một nhóm xyclic và N là một nhóm bất kì Nếu ϕ và ψ làcác đơn cấu từ H vào Aut(N) sao cho ϕ(H) = ψ(H) thì ta có N oϕH ∼= N oψH.Chứng minh Giả sử H =< x > Khi đó, từ giả thiết ϕ(H) = ψ(H) ta có ϕ(x) vàψ(x) sinh ra cùng một một nhóm con xyclic của Aut(N ) Do đó, tồn tại a, b∈ Z saocho ϕ(x)a= ψ(x) và ψ(x)b = ϕ(x) Vì H là xyclic nên ϕ(ha) = ψ(h) và ψ(hb) = ϕ(h)với mọi h ∈ H Bây giờ, chúng ta định nghĩa τ : N oψH→ N oϕH bởi τ (nh) = nha.Khi đó

τ (n1h1n2h2) = τ (n1ψ(h1)(n2)h1h2)

= n1τ (h1)(n2)(h1h2)a

= n1ϕ(ha1)(n2)ha1ha2

= n1ha1n2ha2 = τ (n1h1)τ (n2h2),điều này chứng tỏ τ là một đồng cấu Tương tự, chúng ta có thể chứng minhánh xạ λ : N oϕ H → N oψ H xác định bởi λ(nh) = nha cũng là một đồngcấu Để hoàn thành chứng minh này, ta chỉ cần chỉ ra rằng các ánh xạ τ và λ

là nghịch đảo của nhau Ánh xạ τ ◦ λ biến nh ∈ N oϕ H thành nhab Nhưngϕ(x) = ψ(x)b = (ϕ(x)a)b = ϕ(xab) và ϕ là đơn ánh; do đó xab = x và hab = h vớimọi h ∈ H Vậy τ ◦ λ là ánh xạ đồng nhất trên N oϕH, tương tự λ◦ τ là ánh xạđồng nhất trên N oψ H, điều phải chứng minh

Mệnh đề 12 Cho N và H là các nhóm, ψ : H → Aut(N) là một đồng cấu, và

f ∈ Aut(N) Nếu ˆf là tự đẳng cấu trong của Aut(N ) cảm sinh bởi f thì Nof ◦ψˆ H ∼=

N oψH

Chứng minh Ta định nghĩa ánh xạ θ : N oψ H → N of◦ψˆ H bởi θ(nh) = f (n)h.

Một ví dụ về một tích nửa trực tiếp, cho N ∼= Zn với n ∈ N, H ∼= Z2, và

ϕ : H → Aut(N) là ánh xạ biến phần tử sinh h của H thành tự đẳng cấu mà nóbiến mỗi phần tử của N thành nghịch đảo của nó (tức là, ϕ(h) = σn−1, kí hiệu nhưtrong đầu của phần này) Nhóm N o H được gọi là nhóm dihedral cấp 2n và kí hiệu

là D2n (Một vài tác giả khác kí hiệu nhóm này là Dn.) Nhóm này không là abel khi

n > 2; khi n = 2, ϕ là đồng cấu tầm thường và do đó D4∼= Z2× Z2 Nhóm D2n cómột cách mô tả hình học như là nhóm đối xứng của một đa giác đều n-cạnh; phần

tử sinh của nhóm N tương là phép quay một góc 2π/n radians, và phần tử sinh của

H tương ứng là phép đối xứng qua một trục cố định Ta cũng có nhóm dihedral vôhạn D∞ = NoϕH, trong đó N ∼= Z và H, ϕ như trên

Chúng ta kết thúc phần này bằng một minh họa cho sự xuất hiện tự nhiên củanhóm dihedral trong lí thuyết nhóm

Để tìm hiểu kĩ hơn về tầm qua trọng của các kết quả đặc biệt này trong lí thuyếtcác nhóm đơn hữu hạn, hãy xem [7, Phần 45].

BÀI TẬP

1 Cho H là một nhóm con của một nhóm xyclic G Hãy chứng minh rằng mọi

tự đẳng cấu của H đều là hạn chế xuống H của một tự đẳng cấu của G

2 Hãy chứng minh rằng Aut(Z8) ∼= Z2× Z2

3 Hãy chứng minh rằng Aut(Zp2) ∼= Zp2 −p với p là một số nguyên tố (Hướngdẫn: Giả sử m là một căn nguyên thuỷ modulo p, hãy chỉ ra rằng hoặc m hoặc

m + p là một căn nguyên thuỷ modulo p2.)

4 Chứng minh rằng nếu N E G thì mọi nhóm con đặc trưng của H là chuẩn tắctrong G

5 Cho F là một trường và xét F như một nhóm dưới phép cộng của nó Hãychứng minh rằng F không có một nhóm con đặc trưng thực sự nào khác tầmthường

6 Hãy kiểm tra các điều kiện được phát biểu ở trang 19 rằng: Nếu (1) xảy ra thì(2) xảy ra khi và chỉ khi (3) và (4) cùng xảy ra

7 Hãy kiểm tra các điều kiện được phát biểu ở trang 19 rằng: Nếu (1) và (2) xảy

ra thì (3) và (6) xảy ra

8 Cho G1, G2 là các nhóm và H 6 G1× G2 Ta định nghĩa

P1={x ∈ G1|(x, y) ∈ H với y nào đó y ∈ G2 },

I1={x ∈ G1|(x, 1) ∈ H},

và tương tự ta cũng xác định các tập con P2, I2 của G2

(a) Hãy chứng minh rằng Pi6Gi và Ii 6Pi với i = 1, 2

(a) Hãy chứng mihn rằng tồn tại duy nhất một đẳng cấu từ P1/I1 đến P2/I2

biến xI1thành yI2, trong đó y là một phần tử của G2 sao cho (x, y) ∈ H.(b) Chứng minh định lí Goursat : Tồn tại một tương ứng song ánh giữa cácnhóm con của G1× G2 và cặp ba (S1, S2, ϕ), trong đó Si là một thànhphần của Gi(i = 1, 2) và ϕ : S1→ S2là một đẳng cấu (Nhắc lại rằng mộtthành phần của một nhóm G là một nhóm L/M, trong đó M E L 6 G.)

9 (tiếp) Sử dụng Bài tập 8 để đưa ra một chứng minh khác cho Mệnh đề 10.

10 Cho G = N o (K ∩ H) và N 6 K 6 G Chứng minh K = N o (K ∩ H)

BÀI TẬP MỞ RỘNG

Cho N và H là các nhóm Một mở rộng của N bởi H là một nhóm E cùng với mộtđơn cấu i : N → E và một toàn cấu π : E → H sao cho i(N) = ker π (tức là, Nđược nhúng trong E như là một nhóm con chuẩn tắc, với nhóm thương đẳng cấuvới H.) Chúng ta thường chỉ kí hiệu mở rộng này là E thay vì (E, i, π); tuy nhiên,bản chất của các ánh xạ i và π là rất quan trọng trong việc phân biệt các mở rộng.Chúng ta đồng nhất N với ảnh của nó qua i và H với nhóm thương của E bởi N

Ví dụ, cho ϕ : H → Aut(N) là một đồng cấu thì tích nửa trực tiếp N oϕH rõ ràng

là một mở rộng của N bởi H, gọi i là một ánh xạ bao hàm biến n ∈ N thành (n, 1)

và π là phép chiếu biến (n, h) thành h

11 Chúng ta nói rằng một mở rộng E của N bởi H là một mở rộng chẻ được nếutồn tại một đồng cấu t : H → E (được gọi là ánh xạ chẻ cho mở rộng đó) saocho π ◦ t là một ánh xạ đồng nhất trên H, trong trường hợp này t(H) là mộtlớp ngang của H trong E Hãy chứng minh rằng E là một mở rộng chẻ đượcnếu và chỉ nếu nó là tích nửa trực tiếp của N bởi H

12 (tiếp) Cho Q là một nhóm quaternion cấp 8 (Chúng ta có thể coi Q là mộttập {±1, ±i, ±j, ±k} với phép nhân được xác định bởi i2 = j2 = k2 =−1 và

ij = k =−ji.) Hãy chứng minh rằng Q có thể được hiểu như là một mở rộngtheo bốn cách - ba cách như là một mở rộng của Z4 bởi Z2 và cách còn lại như

là một mở rộng của Z2 bởi Z2× Z2 - nhưng không một mở rộng nào trong sốnày là chẻ được (Nói cách khác, Q không thể được viết một cách không tầmthường như một tích nửa trực tiếp.)

Nếu E là một mở rộng của N bởi H thì chúng ta không thể tìm thấy một đồng cấu

t : H → E sao cho t(H) là một lớp ngang của H trong E, nếu tồn tại một t nhưvậy thì E được gọi là chẻ được Tuy nhiên, vì H ∼= E/N nên chúng ta luôn tìm thấymột ánh xạ t : H → E mà ảnh của nó là một lớp ngang của N; một ánh xạ như vậyđược gọi là thành phần của mở rộng đó Hơn nữa, chúng ta luôn có thể chọn được

t sao cho t(1) = 1, trong trường hợp này ta nói rằng t được chuẩn tắc hóa (Ta sửdụng các thành phần được chuẩn tắc thay cho các thành phần bất kì để cho kháiniệm được đơn giản đến mức tối đa.)

13 (tiếp) Cho t là một thành phần được chuẩn tắc hóa của một mở rộng E Cho

Ψ : E → Aut(E) là một đồng cấu biến một phần tử E thành tự đẳng cấutrong tương ứng của E Với x ∈ E, chúng ta coi Ψ(x) là một tự đẳng cấu của

N , có thể được như thế vì N E E Hãy xác định các ánh xạ f : H× H → N

và ϕ : H → Aut(N) bởi

f (α, β) = t(α)t(β)t(αβ)−1,ϕ(α) = Ψ(t(α))

Chúng ta gọi (f, ϕ) là cặp nhân tử xuất phát từ t Hãy chứng minh rằng (f, ϕ)

H cùng với các điều kiện bổ sung phù hợp chúng ta có thể xây dựng được một

mở rộng của N bởi H Sử dụng Bài tập 13 như một hướng dẫn, hãy xây dựngmột cấu trúc mở rộng ngoài và chứng minh nó thỏa đáng

Chúng ta sẽ quay lại với các ý tưởng này trong các bài tập mở rộng của Phần 9

3 Tác động nhóm

Giả sử G là một nhóm bất kì Một tác động (trái) của G lên tập X là một ánh

xạ từ G × X → X, với ảnh của (g, x) được kí hiệu là gx, thỏa mãn các điều kiệnsau:

• 1x = x với mọi x ∈ X

• (g1g2)x = g1(g2x) với mọi g1, g2 ∈ G và x ∈ X

(Các tác động phải được định nghĩa một cách tương tự và được nhiều tác giả sửdụng thay cho các tác động trái; tuy nhiên, trong cuốn sách này hầu như tất cả cáctác động được xét đến đều là các tác động trái.) Nếu ta có một tác động của G lên

X thì ta nói rằng G tác động lên X hoặc X là một G-tập Nếu X là một G-tập thì

X cũng là một H-tập với mọi H 6 G, vì tác động của G trên X hạn chế thành một

tác động của H trên X.

Ví dụ, cho H 6 G và xét tập các lớp kề G/H Ta có một ánh xạ từ G × G/Htới G/H, đó là ánh xạ nhân bên trái biến (g, xH) thành gxH Dễ thấy rằng đây làmột tác động trái của G lên G/H Bất kì khi nào chúng ta nói đến tập các lớp kềG/H như là một G-tập thì ta luôn hiểu rằng đó chính là tác động của G lên G/H.Bây giờ, chúng ta đưa ra một tiền đề khác trên các tác động nhóm

Mệnh đề 1 Tồn tại một tương ứng song ánh tự nhiên giữa tập các tác động của

G trên tập X và tập các đồng cấu từ G tới P

X

Chứng minh Giả sử X là một G-tập Với mỗi g ∈ G, chúng ta định nghĩa một ánh

xạ σg : X → X bởi σg(x) = gx với x ∈ X Ta thấy rằng σg −1 ◦ σg là một ánh xạđồng nhất trên X, vì x = 1x = (g−1g)x = g−1(gx) = (σg−1◦ σg)(x) với mọi x∈ X;tương tự, σg ◦ σg−1 cũng là ánh xạ đồng nhất Từ đó mọi ánh xạ σg đều có mộtnghịch đảo là σg−1, và do đó σg nằm trong PX Hơn nữa, điều kiện thứ hai trongđịnh nghĩa về một tác động nhóm đảm bảo rằng σg1g2 = σg1◦ σg2 với mọi g1, g2 ∈ G

Do đó ta có thể xác định một đồng cấu từ G tới PX biến g ∈ G thành σg

Ngược lại, giả sử rằng σ : G → PX là một đồng cấu ta xác định một ánh xạ

từ G × X bằng cách biến (g, x) thành σ(g)(x), ta dễ dàng kiểm tra được rằng ánh

xạ này là một tác động của G lên X Chúng tôi để dành cho độc giả chứng minhrằng các quá trình này là ngược nhau, và từ đó ta có tương ứng song ánh như trongmệnh đề

Nếu G có một nhóm con thực sự H với |G : H| = n thì theo Mệnh đề 1, tácđộng của G trên G/H xác định một đồng cấu từ G vào Pn Đặc biệt khi G là đơnthì một đồng cấu như vậy là không tầm thường và đồng thời là đơn ánh

Chúng ta nói rằng tác động của G trên một tập X là trung thành (hay G tácđộng trung thành trên G/H) nếu đồng cấu từ G vào PX tương ứng với tác động làđơn ánh Một cách tương đương, một tác động là trung thành nếu phần tử g ∈ Gthỏa mãn gx = x với mọi x ∈ X thì g là phần tử đơn vị Nếu G tác động trungthành trên X thì chúng ta có thể xem G như là một nhóm các hoán vị trên X, vìtrong trường hợp này G được nhúng đẳng cấu trong PX theo tác động trên X.Định lý Cayley G là đẳng cấu với một nhóm con của PG; đặc biệt, nếu G là hữuhạn với |G| = n thì G đẳng cấu với một nhóm con của Pn

Chứng minh Nhóm G tác động trên chính nó bởi phép nhân bên trái; đây là trườnghợp H = 1 của tác động của G trên tập các lớp kề G/H Nếu g ∈ G sao cho gx = xvới mọi x ∈ G thì đặt x = g−1 ta có g−1 = gg−1 = 1 và do đó g = 1 Như vậy tác

động này là trung thành và ta có một đơn cấu từ G vào PG, suy ra điều phải chứngminh.

Về mặt lí thuyết, định lí Cayley hạn chế việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn vềviệc nghiên cứu các nhóm đối xứng hữu hạn và các nhóm con của chúng Điều nàyđược chứng minh (như trong [5]) là đúng, tuy nhiên trong thực tế việc các nhómhữu hạn đều có thể được nhúng trong các nhóm đối xứng không ảnh hưởng đến cácphương pháp vẫn thường được sử dụng để nghiên cứu về các nhóm hữu hạn.Nếu X và Y là các G-tập thì một hàm ϕ : X → Y được gọi là một đồng cấuG-tập nếu nó giao hoán với tác động của G, tức là ϕ(gx) = g(ϕ(x)) với mọi g ∈ G

và x ∈ X Nếu giả thiết thêm ϕ là song ánh thì chúng ta nói rằng ϕ là một đẳngcấu G-tập và X, Y là các G-tập đẳng cấu, kí hiệu là X ∼= Y

Mục đích của chúng ta là phân loại tất cả các G-tập sai khác đến đẳng cấu Đểlàm được điều này chúng ta sẽ phát triển các khái niệm thường xuyên được sử dụngtrong lí thuyết nhóm

Cho X là một G-tập Với mỗi x ∈ X, ta định nghĩa quỹ đạo của x là tập con

Gx = {gx|g ∈ G} của X, và định nghĩa cái ổn định của x là tập con Gx = {g ∈

G|gx = x} của G Dễ thấy rằng Gx cũng là một G-tập với tác động được cảm sinhbởi tác động trên X và Gx là một nhóm con của G Một tập con của X là mộtG-tập với tác động được cảm sinh từ X nếu và chỉ nếu nó là hợp rời của các quỹđạo

Bổ đề 2 Nếu X là một G-tập thì Ggx= gGxg−1 với mọi g ∈ G và x ∈ X

Chứng minh Một phần tử u của G nằm trong cái ổn định của gx nếu và chỉ nếu

g−1ug nằm trong cái ổn định của x; tức là, nếu và chỉ nếu u nằm trong gGxg−1.Chúng ta nói rằng một tác động của G trên X là bắc cầu (hay G tác động bắccầu trên X) nếu tồn tại một phần tử x ∈ X sao cho Gx = X; tức là, với mọi

x1, x2 ∈ X đều tồn tại phần tử g ∈ G sao cho gx1 = x2 (Chú ý rằng, nếu Gx = Xvới một x ∈ X thì ta cũng có Gx = X với mọi x ∈ X.) Một tập con của X là mộtG-tập bắc cầu với tác động cảm sinh từ X nếu và chỉ nếu nó được tạo thành từđúng một quỹ đạo Ví dụ, nếu H E G thì tác động của G trên G/H là bắc cầu vìvới xH, yH ∈ G/H ta có (yx−1)xH = yH

Mệnh đề 3 Mọi G-tập đều có một sự phân hoạch duy nhất thành các G-tập bắccầu, tức là các quỹ đạo

Chứng minh Trước hết, chúng ta nhận xét rằng nếu X có một sự phân hoạch thànhcác G-tập bắc cầu thì chúng phải là các quỹ đạo, vì chỉ các quỹ mới là các tập con

bắc cầu của X; điều này chứng minh tính duy nhất Do một phần tử bất kì x ∈ Xnằm trong quỹ đạo Gx nên để chứng minh sự tồn tại ta cần chỉ ra rằng hai quỹđạo của X hoặc bằng nhau hoặc rời nhau Giả sử x, y ∈ X sao cho Gx ∩ Gy khácrỗng; tức là, tồn tại g1, g2 ∈ G sao cho g1x = g2y Khi đó y = g2−1g1x ∈ Gx, và

do đó Gy ⊆ Gx; do vai trò của x, y là như nhau nên ta cũng có Gx ⊆ Gy Vậy

Gx = Gy

Từ kết quả trên, ta thấy để mô tả tất cả các G-tập chúng ta cần mô tả tất cảcác G-tập bắc cầu Chúng ta cũng thấy rằng tập các lớp kề là các ví dụ về các G-tậpbắc cầu; chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi G-tập đều đẳng cấu với một tập các lớp

kề G/H với H là một nhóm con nào đó của G

Mệnh đề 4 Nếu X là một G-tập bắc cầu thì X ∼= G/Gx như các G-tập với mọi

x∈ X

Chứng minh Giả sử x ∈ X, ta định nghĩa ϕ : G/Gx → X bởi ϕ(gGx) = gx với

g ∈ G Nếu gGx = g0Gx, với g, g0 ∈ G, thì g−1g0 ∈ Gx, và do đó g−1g0x = x, hay

gx = g0x; điều này chứng tỏ ϕ được định nghĩa tốt, và bằng lập luận ngược lại ta thấyrằng ϕ là đơn ánh Hơn nữa, uϕ(gGx) = u(gx) = (ug)x = ϕ(ugGx) = ϕ(u(gGx))với mọi u ∈ G và gGx ∈ G/Gx nên ϕ là một đồng cấu G-tập Từ tính bắc cầu của

X suy ra với mọi y∈ X tồn tại g ∈ G sao cho y = gx = ϕ(gGx); điều này chứng tỏ

ϕ là toàn ánh Vậy ϕ là một đẳng cấu G-tập

Mệnh đề 4 không chỉ đưa ra sự phân loại các G-tập mà còn đem lại một kết quảđầy ý nghĩa dưới đây, mà vẫn thường được gọi là "định lí ổn định-quỹ đạo:"

Hệ quả 5 Cho X là một G-tập Khi đó Gx ∼= G/Gx như các G-tập với mọi x ∈ X;đặc biệt, nếu G là hữu hạn thì |Gx| = |G : Gx|

Chứng minh Điều này được suy ra từ Mệnh đề 4 vì Gx là một G-tập bắc cầu

Như đã chứng minh ở trên mọi G-tập đều là hợp của các G-tập bắc cầu, và ta

đã xác định được tất cả các G-tập bắc cầu sai khác một đẳng cấu nên chúng ta sẽ

có một cài nhìn rõ ràng hơn về cấu trúc của một G-tập bất kì nếu chúng ta trả lờiđược câu hỏi: Khi nào hai G-tập bắc cầu đẳng cấu? Trước hết, ta cần đến bổ đềsau

Bổ đề 6 Cho ϕ : X → Y là một đồng cấu của các G-tập và x ∈ X Khi đó

Gx 6Gϕ(x) và nếu ϕ là một đẳng cấu thì Gx = Gϕ(x)

Chứng minh Nếu g ∈ Gx thì ϕ(x) = ϕ(gx) = gϕ(x); do đó Gx 6 Gϕ(x) Nếu ϕ

Giả sử X là một G-tập Chúng ta nói rằng X là bắc cầu đôi (hay G tác độngbắc cầu đôi trên X) nếu với mọi (x1, x2) và (y1, y2) là các phần tử của X × X saocho x1 6= x2 và y1 6= y2 đều tồn tại g ∈ G sao cho gx1 = y1 và gx2 = y2 Ví dụ, tácđộng tự nhiên của Pn trên {1, , n} với n ≤ 2 là bắc cầu đôi Một G-tập bắc cầuđôi rõ ràng cũng là bắc cầu Một vài tác giả khác sử dụng ngôn ngữ "2-bắc cầu"thay cho bắc cầu đôi vì có khái niệm tổng quát là G-tập k-bắc cầu với mọi k ∈ N.(Xem [24, trang 250].)

Một nhóm con thực sự H của một nhóm G được gọi là tối đại nếu không có mộtnhóm con thực sự nào của G chứa H Chẳng hạn, mọi nhóm con có chỉ số là một

số nguyên tố đều là tối đại theo Định lí 6

Mệnh đề 8 Giả sử G là một nhóm, X là một G-tập bắc cầu đôi và x ∈ X Khi

đó Gx là một nhóm con tối đại của G

Chứng minh Theo Mệnh đề 4, ta có X ∼= G/Gx như các G-tập Giả sử phản chứng

Gx là không tối đại, tức tồn tại nhóm con K sao cho Gx < K < G Khi đó tồn tại

g ∈ G và k ∈ K sao cho g /∈ K và k /∈ Gx Vì G/Gx là bắc cầu đôi nên tồn tại

u ∈ G sao cho uGx = Gx và u(kGx) = gGx Từ đó u ∈ Gx và do đó uk ∈ K Tacũng có g−1uk ∈ Gx, và do vậy g ∈ K Điều này dẫn đến mâu thuẫn; do đó Gx làtối đại

Chúng ta nói rằng một tập con khác rỗng B của G-tập bắc cầu X là một khốinếu B và gB = {gx|x ∈ B} hoặc bằng nhau hoặc rời nhau với mọi g ∈ G Chú ýrằng X luôn là một khối và mọi tập con gồm một phần tử của X luôn là một khối.Chúng ta nói rằng G-tập bắc cầu X là nguyên tố nếu đây là các khối duy nhất củanó

Mệnh đề 9 Tồn tại một tương ứng song ánh tự nhiên giữa tập các khối của mộtG-tập bắc cầu X mà chứa một phần tử x và tập các nhóm con của G chứa Gx.

Chứng minh Giả sử B là một khối chứa x ∈ X và xét tập HB ={g ∈ G|gx ∈ B};

ta cần chứng minh rằng HB 6 G Rõ ràng, 1 ∈ HB Bây giờ, giả sử g, g0 ∈ HB

Vì x và gx đều nằm trong B nên gB ∩ B khác rỗng và do đó gB = B Ta có(gg0)x = g(g0x) ∈ gB = B suy ra gg0 ∈ B Lại có, g ∈ HB nên gx ∈ B và

g−1(gx) = x ∈ B; vậy g−1B∩ B khác rỗng, điều này suy ra g−1B = B; từ đó ta

có g−1x ∈ B và dẫn đến g−1 ∈ HB Vậy HB là một nhóm con của G; chú ý rằng

Gx 6HB vì x ∈ B Tóm lại, với mỗi khối B của X chứa x, ta có một nhóm con HB

của G chứa Gx Ta còn phải chứng minh sự tương ứng này là một song ánh.Giả sử B và B0 là các khối phân biệt của X mà chứa x Khi đó, không giảm tổngquát, ta có thể giả sử tồn tại y ∈ X sao cho y ∈ B0 và y /∈ B; vì G tác động bắc cầutrên X nên tồn tại g ∈ G sao cho gx = y Do y ∈ B0 và y /∈ B nên HB 6= HB 0 Điềunày chứng minh tương ứng trên là đơn ánh

Giả sử H là một nhóm con của G chứa Gx và xét tập con C = {hx|h ∈ H} của

X Rõ ràng, C khác rỗng đồng thời nếu g ∈ H thì gC = C Giả sử g ∈ G sao cho

gC∩ C khác rỗng Khi đó, tồn tại h1, h2 ∈ H sao cho gh1x = h2x; điều này suy ra

h−12 gh1x = x và h−12 gh1 ∈ Gx 6H, và do đó g ∈ H Như vậy, nếu g ∈ G sao cho

gC6= C thì ta phải có g /∈ H, từ đó gC ∩ C bằng rỗng Vậy C là một khối Bây giờ,đặt HC ={g ∈ G|gx ∈ C}; rõ ràng H 6 HC Nếu g ∈ HC thì gxhx với h ∈ H; từ

đó h−1gx = x và do đó h−1g∈ Gx 6H với g ∈ H Vậy HC = H Điều này chứng

tỏ tương ứng trên là toàn ánh

Hệ quả 10 Giả sử X là một G-tập bắc cầu Khi đó X là nguyên tố khi và chỉ khi

Gx là nhóm con tối đại của G với mọi x ∈ X

Chứng minh Giả sử X là nguyên tố và x ∈ X Theo Mệnh đề 9, các khối của X

mà chứa x cũng chính là các nhóm con của G chứa Gx Nhưng theo giả thiết chỉtồn tại hai khối như thế, đó là {x} và X; đồng thời ta cũng biết hai nhóm con của

G chứa Gx, đó là G và Gx Do đó không có một nhóm con thực sự nào của G chứa

Gx Vậy Gx tối đại trong G

Ngược lại, giả sử mọi cái ổn định là nhóm con tối đại Lập luận như trên ta thấyrằng một phần tử x ∈ X nằm chính xác trong hai khối, đó là {x} và X, vì nếu xnằm ở một khối nào khác thì Gxsẽ không cực đại Do vậy X không thể có các khốikhác ngoài chính nó và các tập con một phần tử, và do đó X nguyên tố

Giả sử X là một G-tập bắc cầu Khi đó, theo Bổ đề 2, tất cả cái ổn định đềuliên hợp với nhau Từ đó, nếu Gx cực đại, với x ∈ X, thì Gx cực đại với mọi x ∈ X

Khi đó, Hệ quả 10 có thể được phát biểu lại một cách phù hợp.

Hệ quả 11 Mọi G-tập bắc cầu đôi đều là nguyên tố

Chứng minh Điều này được suy ra từ Mệnh đề 8 và Hệ quả 10

Trong phần còn lại của phần này, chúng ta giới thiệu một số ứng dụng cơ bảncủa lí thuyết tác động nhóm Như thông thường ta luôn kí hiệu G là một nhóm bấtkì

Mệnh đề 12 Nếu G hữu hạn và H, K 6 G thì

|HK| = |H||K|

|H ∩ K|.Chứng minh Đặt X = G/K; ta coi X là một H-tập theo phép nhân bên trái Quỹđạo của K ∈ G/K dưới tác động của H là {hK | h ∈ H} = HK, và do đó |HK|bằng |K| nhân với số các lớp kề của K nằm trong quỹ đạo này Dễ thấy, cái ổn định

HK =|H ∩ K|; do đó, theo Hệ quả 5, quỹ đạo HK bao gồm |H : H ∩ K| lớp kề củaK

Với x ∈ G, ta định nghĩa tâm hóa của x trong G là tập CG(x) ={g ∈ G|gx = xg}bao gồm tất cả các phần tử của G giao hoán được với x Dễ thấy CG(x) 6 G vớimọi x ∈ G Tổng quát, nếu S ⊆ G thì CG(S) = {g ∈ G|gx = xg với mọi x ∈

S} = ∩x∈SCG(x) được gọi là tâm hóa của S trong G Chú ý rằng Z(G) = CG(x) và

x∈ Z(G) khi và chỉ khi CG(x) = G

Lớp liên hợp của x ∈ G là tập {gxg−1|g ∈ G} bao gồm tất cả các phần tử liênhợp với x bởi các phần tử của G Theo cách kí hiệu này, từ Mệnh đề 10 suy ra lớpliên hợp của một phần tử ρ trong Pn bao gồm tất cả các phần tử của Pn có cùngkiểu xích với ρ; số phần tử của lớp liên hợp này có thể được tính như một bài toán

tổ hợp cơ bản (xem [24, trang 47])

Mệnh đề 13 Các lớp liên hợp trong G tạo thành một sự phân hoạch của G, vànếu G là hữu hạn thì một phần tử x ∈ G có |G : CG(x)| lớp liên hợp trong G

Chứng minh Ta có G tác động trên chính nó bằng phép lấy liên hợp, do đó g ∈ Gbiến x thành gxg−1 (Hãy kiểm tra rằng đây là một tác động trái.) Quỹ đạo của

x∈ G dưới tác động này là {gxg−1|g ∈ G} và là một lớp liên hợp của x trong G; do

đó từ Mệnh đề 3 suy ra khẳng định thứ nhất Từ Hệ quả 5 và Gx = CG(x) với mọi

x∈ G suy ra khẳng định thứ hai

Dễ dàng chứng minh được rằng một nhóm con của một nhóm G là chuẩn tắctrong G nếu và chỉ nếu nó là hợp của các lớp liên hợp của G Từ mệnh đề trên tathấy các hợp như thế là hợp rời Do vậy cấp của một nhóm con chuẩn tắc của mộtnhóm hữu hạn G phải là tổng các cấp của các lớp liên hợp của G.

Với H 6 G, cho NG(H) = g ∈ G|gHg−1 = H; tập này được gọi là chuẩn tắc hóacủa H trong G Ta dễ dàng thấy rằng NG(H) 6 G và H E NG(H); quả thực, NG(H)

là nhóm con lớn nhất của G trong đó H là chuẩn tắc, và do vậy ta có NG(H) = Gnếu và chỉ nếu H E G

Mệnh đề 14 Một nhóm con H của một nhóm hữu hạn G có đúng |G : NG(H)|các liên hợp trong G Đặc biệt, số các liên hợp của H trong G chia hết |G : H| vàbằng 1 nếu và chỉ nếu H E G

Chứng minh Gọi P(G) là tập các tập con của G, và mỗi g ∈ G tác động trên P(G)bằng cách biến S ∈ P(G) thành gSg−1 Dễ thấy rằng, đây một tác động trái của

G trên P(G) Quỹ đạo của H ∈ P (G) dưới tác động này là tập các liên hợp của Htrong G, và cái ổn định của H là NG(H) Do đó, từ Hệ quả 5 ta suy ra điều phảichứng minh

Cho G là một nhóm, H và K là các nhóm con của G Một lớp kề kép của H và

K trong G là một tập HxK = {hxk|h ∈ H, k ∈ K}, với mọi x ∈ G Giả sử rằngHxK∩ HyK khác rỗng Khi đó, tồn tại h, h0 ∈ H và k, k0 ∈ K sao cho hxk = h0yk0;

từ đó x ∈ HyK và y ∈ HxK, và do đó HxK = HyK Bởi vậy, hai lớp kề kép bất kìhoặc là rời nhau hoặc là bằng nhau, như trường hợp với các lớp kề thông thường.Kết quả cuối cùng của chúng ta là sự khái quát Mệnh đề 12

Mệnh đề 15 Nếu G là hữu hạn và H, K 6 G thì với mọi x ∈ G ta có

|HxK| = |H||K|

|H ∩ xKx−1| =

|H||K|

|x−1Hx∩ K|.Chứng minh Tương tự như trong phần chứng minh của Mệnh đề 12, chúng ta coiG/K là một H-tập Khi đó, HxK là hợp trong G của các lớp kề đó của K mà nằmtrong quỹ đạo của xK trong G/K, và do đó |HxK| bằng |K| lần số các lớp kề của

K trong quỹ đạo đó Từ Hệ quả 5 suy ra đẳng thức đầu tiên vì theo Bổ đề 2 ta cócái ổn định của xK dưới tác động của H là H ∩ xKx−1 Đẳng thức thứ hai đượcchứng minh bằng lập luận tương tự trong đó ta xét tác động phải của K (bằng phépnhân bên phải) trên tập các lớp kề phải của H trong G Tuy nhiên, ta cũng có thể

chứng minh đẳng thức thứ hai (và thứ nhất) bằng cách sử dụng Mệnh đề 12 nhưsau:

S, T ⊆ G.)

BÀI TẬP

1 Hãy chứng minh rằng một nhóm đơn hữu hạn mà cấp của nó nhỏ hơn r! khôngthể có một nhóm con thực sự chỉ số r

2 Hãy chứng minh rằng một nhóm G tác động bắc cầu đôi lên một tập X nếu

và chỉ nếu Gx tác động bắc cầu lên X − {x} với mọi x ∈ X (Ở đây ta giả sửrằng X có nhiều hơn hai phần tử.)

3 Từ các định nghĩa (không sử dụng các Mệnh đề 8 và 9) hãy chứng minh rằngmột G-tập bắc cầu đôi là nguyên tố

4 Cho G là mhóm con của P5 được sinh bởi (1 2 3 4 5) và G tác động lên

X ={1, 2, 3, 4, 5} theo cách chính tắc Hãy chứng minh rằng tác động này lànguyên tố, nhưng không bắc cầu đôi

5 Cho L E G và y ∈ N Hãy chứng minh rằng lớp liên hợp của y trong G là hợpcủa các lớp liên hợp của nhóm N Hãy chứng minh tiếp rằng có một tươngứng song ánh giữa các lớp liên hợp của N chứa lớp liên hợp của y trong G vàcác lớp kề của NCG(y) trong G

6 Cho G là một nhóm hữu hạn và r là số các lớp liên hợp của G Hãy chứngminh rằng |{(a, b) ∈ G × G|ab = ba}| = r|G|

7 Hãy chứng minh rằng CG(gxg−1) = gCG(x)G−1 với mọi phần tử g và x củamột nhóm G

8 Cho n ≥ 5 và giả sử rằng A5 là nhóm đơn (Một sơ đồ chứng minh của kếtquả này được trình trong Bài tập 7.8 ) Hãy sử dụng Bài tập 1 để chứng minhrằng Pn không có nhóm con thực sự chỉ số nhỏ hơn n nào ngoài A5

10 Giả sử rằng G-tập Y là một ảnh toàn cấu của một G-tập X Hãy chứng minhrằng có một đẳng cấu G-tập giữa Y và hệ thống không nguyên tố nào đó củaX.

Nếu X là một G-tập, ta sử dụng [X] để kí hiệu cho lớp đẳng cấu của X

11 Cho G là một nhóm hữu hạn và S(G) là tập các lớp đẳng cấu của các G-tậphữu hạn Hãy chứng minh rằng ta có thể xác định được các phép toán tổng

và tích trên S(G) bởi [X] + [Y ] = [X ∪ Y ] và [X][Y ] = [X × Y ]

12 (tiếp) Cho B(G) là tập có được từ S(G) bằng cách nối các nghịch đảo theolối cộng của các lớp đẳng cấu, giống như cách mà Z có được từ N bằng cáchnối các nghịch đảo theo lối cộng của các số nguyên dương (Phần tử đơn vịcủa phép cộng ở đây là lớp đẳng cấu của tập rỗng.) Hãy chứng minh rằng cácphép toán được xác định ở trên S(G) có thể mở rộng để tạo thành một cấutrúc vành giao hoán trên B(G) Vành B(G) này được gọi là vành Burnsidecủa G

13 (tiếp) Hãy chứng minh rằng một phần tử bất kì của B(G) có thể được viếtduy nhất thành một Z-tổ hợp tuyến tính của các lớp đẳng cấu của các G-tậpbắc cầu

14 (tiếp) Cho H 6 G Hãy chứng minh rằng có một đồng cấu vành duy nhất từB(G) đếnZ mà biến một lớp đẳng cấu [X] thành số các phần tử của X được

Một phần tử e của một nhóm R được gọi là một phần tử lũy đẳng nếu e2 = e.

16 (tiếp) Hãy chứng minh rằng nếu G không có một nhóm con thực sự nào tựchuẩn tắc hóa thì B(G) không có phần tử lũy đẳng nào ngoài các phần tử đơn

vị của phép nhân và phép cộng (Một nhóm con H của G được gọi là tự chuẩntắc hóa nếu NG(H) = H Trong Phần 11, chúng ta sẽ ta thấy rằng có một lớpcác nhóm quan trọng, đó là các nhóm lũy linh, mà không có các nhóm conthực sự nào tự chuẩn tắc hóa.)

2 Nhóm tuyến tính tổng quát

Chương này trình bày chuyên sâu về một lớp các nhóm cực kì quan trọng, cácnhóm GL(n, F ) với F là một trường Tuy nhiên, các kết quả của chương này khôngđóng vai trò quan trọng trong phần còn lại của cuốn sách này, các ý tưởng được đưa

ra ở đây như một sự giới thiệu về sự xuất hiện hiện của lí thuyết nhóm trong toánhọc hiện đại Phần 4 đưa ra định nghĩa về các nhóm con Borel và Weyl và xây dựng

sự phân hoạch Bruhat của GL(n, F ) Phần 5 thảo luận về nhóm con parabol và luỹđơn của GL(n, F ) Phần 6 chuyển sự chú ý của chúng ta sang các nhóm SL(n, F )

và PSL(n, F ), và kết thúc bằng chứng minh rằng PSL(n, F ) là đơn trừ khi n = 2 và

Tổng quát hơn, cho một F -không gian véctơ hữu hạn chiều V , chúng ta địnhnghĩa nhóm tuyến tính tổng quát GL(V ) là nhóm bao gồm tất cả các biến đổi tuyếntính khả nghịch của V ; ở đây phép toán trên nhóm là phép hợp thành của các ánh

xạ Nếu ta đặt V = Fn thì nhóm thu được rõ ràng đẳng cấu với nhóm ma trậnGL(n, F ) Vì mọi F -không gian véctơ n-chiều đẳng cấu với Fn nên chúng ta khôngmất tổng quát khi hạn chế sự chú ý của chúng ta đến các nhóm GL(n, F )

Nhắc lại rằng, nếu F là một trường hữu hạn thì F được xác định sai khác đẳngcấu bởi cấp |F| của nó, và cấp này phải bằng pavới p là số nguyên tố và a ∈ N (Kếtquả này được tìm ra bởi E.H Moore, trưởng khoa Toán của Đại học Chicago, ông

đã công bố kết quả này vào năm 1893 tại Đại hội Các Nhà Toán học Thế giới lầnđầu tiên ở Chicago.) Do đó, nếu q là một luỹ thừa của một số nguyên tố thì chúng

ta có thể viết GL(n, q) thay vì GL(n, F ), ở đó F là một trường duy nhất có cấp q.Chúng ta bắt đầu với một minh hoạ về tầm quan trọng của nhóm tuyến tínhtổng quát trong lí thuyết nhóm hữu hạn

Mệnh đề 16 Cho E là một nhóm abel hữu hạn có số mũ p, với p là một nguyên