Thuật toán ấn tượng

Thuật toán ấn tượng

Những giải thuật ấn tượng : Biến Hình

Nguyễn Xuan Huy

NămNhâm Ngọ xin giới thiệu với các bạn một giải thuật hay do các bạn học sinh đềxuất Giải thuật này có thể nói là nhanh như ngựa phi

Bàitoán (Lát nền) Người ta cần lát kín một nền nhà hình vuôngcạnh dài n = 2 k , (k là một

số tự nhiên trong khoảng 1 6) khuyết mộtphần tư phía trên phải bằng những viên gạch màu hình thước thợ tạo bởi 3 ôvuông đơn vị như trong hình 1 Hai viên kề cạnh phải có hai màu khác nhau Hãycho biết một cách lát với số màu ít nhất.

Dữ liệu vào: tệp văn bảnLATNEN.INP chứa số tự nhiên n.

Dữ liệu ra: tệp văn bảnLATNEN.OUT: Dòng đầu tiên là hai số tự nhiên: m biểu thị số viên gạch và c làsố màu cần dùng cho việc lát nền Tiếp đến là một phương án lát nền tìm được,trong đó mỗi viên gạch lát được tạo bởi 3 chữ số giống nhau thể hiện màu củaviên gạch đó Các số trên mỗi dòng cách nhau bởi dấu cách (xem hình 1).

Thídụ,

Lời giải sau đây của bạn LêHoàng Hải, lớp 10 chuyên Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên,

Đại học Quốcgia Hà Nội

Để tính số viên gạch ta lấy 3phần tư diện tích chia cho 3 là diện tích 1 viên gạch thước thợ:

sogach:=((3*n*n) div 4) div 3;

Về số màu, với n = 2 thì chỉcần 1 viên gạch màu 1 Với mọi n > 2 ta cần tối đa 3 màu

Đầu tiên ta gọi thủ tục Initđể khởi trị với hình vuông cạnh v = 2 nằm ở góc dưới trái của

nền nhà được biểudiễn dưới dạng một mảng hai chiều a:ba ô trong hình vuông 2 2 sẽđược

điền giá trị 1, ô nằm ở góc trênphải được điền giá trị 2 Gọi hình được khởi trị là A Mỗi bước tiếp theo tathực hiện ba thao tác biến hình sau đây (Hình 2):

Tịnh tiến A theo đường chéo để thu dược hình B (xem thủtục DichCheo)

Lật A sang phải (tức là lấy đối xứng gương qua trụctung) để thu được hình C (xem thủ tục LatPhai)

Lật A lên trên (tức là lấy đối xứng gương qua trụchoành) để thu được hình D (xem thủ tục LatLen)

Chú ý rằng khi lật ta cầnthực hiện thêm phép hoán đổi trị 1 và 3 cho nhau

Mỗi lần lặp như vậy ta sẽ thuđược hình vuông cạnh tăng gấp đôi hình trước Khi v = n ta gọi thủ tục Fini đểghi 3 mảnh D, A và C vào tệp kết quả

Bình luận: Thuật giải sử dụng hai phép biến hình cơ bảntrong chương trình phổ thông là

phép dời hình (tịnh tiến) và đối xứng qua trục.Việc hoán đổi trị 1 và 3 cho nhau là một ý tưởng thông minh Mỗi ô trong bảngđược điền đúng 1 lần do đó độ phức tạp tính toán của thuật toán là n2,trong khi các bài giải khác đều phải sử dụng các phép dò tìm để xác định màu tôvà gọi đệ quy nên thường tốn gấp đôi

Những giải thuật ấn tượng: 2 x 5 = 10

Nguyễn Xuân Huy

Lần này xin kể về giải thuậtcủa bạn Việt Hưng, lớp 12 chuyên Tin - Nguyễn Huệ - Hà Tây

Bài toán (chữ số cuối khác 0, thi Tin học Quốc giaIreland, 1994) Tìm chữ số cuối cùng

khác0 của n! với n trong khoảng 1 100

Thí dụ: n = 7, kết quả = 4

n = 15, kết quả = 8

Thuật giải của bạn Việt Hưngcho phép mở rộng giới hạn của n đến hàng chục vạn, và nếu bạn muốn, có thể tiếptục mở rộng đến hàng triệu

ý tưởng chính của Việt Hưng nằm ở công thức: 2.5=10 (hai lần năm là mười) Thật vậy, ta

biết n! = 1.2.3 n Các chữ số0 ở đầu phải của n giai thừa được sinh ra khi và chỉ khi trong khai triển rathừa số nguyên tố của tích trên có chứa 2 và 5.Vậy thì trước hết ta đếm

sốlượng các thừa số 2, ký hiệu là d2 và số lượng các thừa số 5, ký hiệu là d5.Thí dụ, với n

= 15 ta có dạng khai triển ra thừa số nguyên tố của n giai thừanhư sau:

n! =1.2.3.(2.2).5.(2.3).7.(2.2.2).9.(2.5).11 (2.2.3).13.(2.7).(3.5) Do đó d2=11và d5=3 Vậy

ta có 3 cặp 2.5=10, và số mũ còn thừa của 2 sẽ làd2-d5=11-3=8

Dễ thấy với mọi n, ta luôn cód2 >= d5 vì cứ 2 số liên tiếp thì có một số chia hết cho 2, còn

5 số liêntiếp mới có một số chia hết cho 5

Việc còn lại là lấy tích củacác phép nhân các số còn lại Vì các tích này không bao giờ tận cùng bằng 0 chonên ta chỉ cần giữ lại một chữ số cuối cùng bằng cách lấy mod 10

Để tính chữ số tận cùng của 2kvới k = d2 - d5 khác 0 ta để ý đến tínhtuần hoàn của nó, cụ thể là ta chỉ cần tính 2k mod 4 với các trườnghợp: k mod 4 = 0, 1, 2 và 3

Theo thí dụ trên ta có k mod4 = 8 mod 4 = 0, do đó chữ số cuối của 2k là 6

Ta tính được6.3.3.7.9.11.3.13.7.3 mod 10 = 8

Lưu ý rằng (a.b) mod m=((a mod m).(b mod m)) mod mcho nên ta có thể lấy mod ở các

bước trung gian

Bình luậnNhiều bạn lầm tưởng rằng chỉ cần lấy các số trong dãy nhân với nhau rồi lấy

dưtheo 10 là được Để ý rằng 14! =87178291200, 15! = 1307674368000 Nếu để tính 15!

mà bạn chỉ lấy một chữsố cuối khác 0 của các phép tính trung gian thì sau khi tính chữ số cuối của14! bạn sẽ nhận được 2 và cuối cùng là (2*15) mod 10 = 30 mod 10 = 3 Kết quảnày là sai vì chữ số cuối khác 0 của 15! là 8

Chương trình sau đây chứa thủtục find tìm chữ số cuối cùng khác 0 của n! với n trong khoảng 1 65535

(* Tim chu so khac khong cuoi cung cua n! *)

uses crt;

var n: word;

function find: word;

var d2,d5:word;

i,k,c:word;

begin

k := 1;

find:=k;

if n<=1then exit;

d2:=0;d5:=0;

for i:=2 ton do

c:=i;

{dem cacthua so 2} while cmod 2 = 0 do begin

inc(d2);

c:=cdiv 2;

end;

{dem cacthua so 5} while cmod 5 = 0 do begin

inc(d5);

c:=cdiv 5;

end;

k:=(k*c)mod 10; end;

{ 2^(d2-d5)mod 10 } case(d2-d5) mod 4 of 0: c:=6;

1: c:=2;

2: c:=4;

3: c:=8;

end;

find:=(k*c)mod 10;

end;

procedure run;

begin

repeat

writeln;

write(' n= (nap 0 de thoat): ');readln(n);

if n=0then exit;

writeln('ket qua: ',find);

untilfalse;

end;

BEGIN

clrscr;

run;

END