Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối pot

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối • Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

• Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với

phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu

nhiên.

• Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên F(X) là hàm phân phối của đại

lượng ngẫu nhiên X được xác định:

F X  P   X   x ; viết tắt F(X)= P(X<x), x thuộc R

•Tính chất:

4) lim ( ) 0; lim ( ) 1

i

F X x R



• Định nghĩa 3: Đại lượng

ngẫu nhiên X gọi là đại

lượng ngẫu nhiên rời rạc

nếu miền giá trị của nó là tập

hữu hạn hay vô hạn đếm

được

•Bảng phân phối xác suất:

P(X) P(x1) P(x2) … P(xn)

a-P(x1)+P(x2)+ … +P(xn) =1

Định nghĩa 4 : Hàm phân phối ( hàm tích lũy )

x i x



•Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

•Định nghĩa 5: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất F(X) Nếu tồn tại một hàm số f(x) xác định sao cho :

thì X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f(x) gọi

là hàm mật độ xác suất

(   , )

x

F X f t d t

 

Tính chất của hàm mật độ f(x)

1)0 ( ),

2 ) ( ) 1

b

a

f x d x

 

 







1

( )

n i

x i P x i





Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất:

1) Kỷ vọng toán

Định nghĩa 6:

• X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì E(X)=

• X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

( ) ( )



 

Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất:

2) Phương sai

Định nghĩa 7:

• X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc E(X) là kỳ vọng thì

D(X) = E { X- E(X)}2= E(X2) –E(X)2

• X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

2

1) Gieo 10 lần một đồng tiền cân đối đồng chất X là

số lần xuất hiện mặt sấp trong 10 lần gieo.Tìm phân phối xác suất của X Tính P(0≤ x≤ 8)

Hướng dẫn : Xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,5; gieo 10 lần được xem là 10 phép thử Bernoulli Bài toán

thỏa mãn điều kiện của Bernoulli với n=10; p=0,5

và q=0,5 Áp dụng công thức ta có:

P(X)=

1 0k k k 1 0k 0 , 5

p q



2) Bắn liên tục vào một mục tiêu Bắn đến trúng đích thì dừng Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng đích Xác suất trúng đích là 0,2 Tìm phân phối xác suất Viết hàm phân

phối.Tính xác suất P( x≥ 2), P(x < 3)

Hướng dẫn:

* Miền giá trị của biến ngẫu nhiên X là D=(1,2,…); ta biết xác suất trúng là p= 0,2 trượt 0,8

* Ta gọi X là biến cố bắn đến viên thứ k thì trúng đính:

P(k)=qk-1.0,2= 0,8k-1.0,2 ( k=1,2,…)

*Hàm phân phối xác suất của X là :

F(X) =

*P(x>2) =1- ( P(1)=1-0,2= 0,8 ; P( x<3) = P(1) +P(2) =0,2

+0,8.0,2= 0,36

1

0 , 2 0 ,8k ;

k x

x R









3) Biến ngẫu nhiên X có phân phân phối xác suất ( bảng 3) viết hàm phân phối của X Tính xác suất P ( -1 ≤ x < 1)

Hướng dẫn : Từ định nghĩa của hàm phân phối ta có

0 nếu x < -2 1/6 nếu -2 ≤x <0 5/6 nếu 0 ≤ x ≤ 2

1 nếu x> 2

F(X) =

Áp dụng tính chất của hàm phân

phối xác suất ta có

P ( -1 ≤ x < 1) = F(1) – F(-1)

=5/6- 1/6 =2/3

Bàng 3

12) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ

f(X) =

0 nếu x< 1

ax2nếu 1 ≤ x≤ 3

0 nếu x>3

Tìm a; xác suất P(- 1 ≤ x≤ 2)

Giải

Theo tinh chất của hàm

1

3 ( 9 1 / 3 ) 1 3 / 2 6

/

f x d x

f x d x f x d x f x d x

a

f x d x d x

 

 

 

 



24) Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ

0 nếu 2< x hoặc x< -2 x/4 +1/2 nếu -2 ≤ x ≤ 0

Tìm E(X); và D(X)

Hướng dẫn :

2

2 2

 



Áp dụng công thức tìm được D(X) =2/3