Computational Geometry

Xác định tất cả các giao điểm giữa các đoạn thẳng trong S..  Phương pháp đơn giản nhất • Kiểm tra sự giao nhau của từng cặp đoạn thẳng... • Nếu là điểm mút dưới thì loại đoạn thẳng khỏi

Bài toán Tìm kiếm hình học

Chương 2

Nội dung trình bày

 Xác định giao của các đoạn thẳng.

 Xác định vị trí điểm.

 Tìm kiếm theo khoảng.

Giao của các đoạn thẳng

 Bài toán:

• Cho tập S gồm n đoạn thẳng (đóng) trên mặt

phẳng Xác định tất cả các giao điểm giữa các đoạn thẳng trong S.

 Phương pháp đơn giản nhất

• Kiểm tra sự giao nhau của từng cặp đoạn thẳng.

Phương pháp dòng quét

• Khi đường thẳng quét gặp điểm sự kiện:

– Cập nhật trạng thái dòng quét

• Nếu là điểm mút trên thì thêm đoạn thẳng vào trạng thái

• Nếu là điểm mút dưới thì loại đoạn thẳng khỏi trạng thái.– Kiểm tra sự giao nhau

Phương pháp dòng quét

• Kiểm tra sự giao nhau

– Sắp xếp các đoạn thẳng cắt

dòng quét từ trái sang phải

theo các điểm mút trên

– Kiểm tra sự giao nhau của 2

đoạn kề nhau Cụ thể là giữa

đoạn mới với nhiều nhất 2

không song song với trục Ox

và giao nhau tại p Giả sử không có đoạn thẳng thứ ba qua p Khi đó tồn tại điểm sự

sự giao nhau

Xử lý điểm sự kiện

 Điểm sự kiện là điểm mút trên của đoạn thẳng

Phát hiện giao điểm

Xử lý điểm sự kiện

 Điểm sự kiện là giao của 2 đoạn thẳng

Xử lý điểm sự kiện

 Điểm sự kiện là điểm mút dưới của đoạn thẳng

Cấu trúc dữ liệu

 Lưu hàng đợi sự kiện

• Sử dụng cây nhị phân tìm kiếm cân bằng Q.

- Chuyển đến điểm sự kiện kế tiếp.

- Chèn điểm sự kiện mới vào.

Cấu trúc dữ liệu

 Lưu trạng thái dòng quét

• Sử dụng cây nhị phân tìm kiếm cân bằng T

• Thứ tự sắp xếp: r và s là 2 đoạn thẳng thì r < s nếu và chỉ nếu

- rx1 < sx1 hoặc

- r x1 = sx1 và rx2 < sx2

Thuật toán xác định giao các đoạn

 Input: Tập các đoạn thẳng S trong mặt phẳng

 Output: Tập các giao điểm và các cặp đoạn thẳng tương

ứng.

 B1: Khởi tạo Q Chèn các điểm mút của các đoạn thẳng vào

Q Khi gặp điểm mút trên lưu lại đoạn thẳng tương ứng.

 B2: Khởi tạo T là trạng thái rỗng.

 B3: while Q ≠ {}

• Xác định điểm sự kiện p kế tiếp trong Q và xóa p;

• XulySukien(p);

Thuật toán xử lý sự kiện

Thuật toán xử lý sự kiện

 B1: U(p) = {s ∈ S : đoạn thẳng có điểm mút trên là p}

 B2:

• L(p) = {s ∈ T : đoạn thẳng có điểm mút dưới là p};

• C(p) = {s ∈ T : đoạn thẳng chứa p bên trong};

 B3: if card(L(p) ∪ U(p) ∪ C(p)) > 1

• p là giao điểm của các đoạn L(p) ∪ U(p) ∪ C(p)

 B4: T = T - L(p) ∪ C(p)

 B5: T = T + U(p) ∪ C(p) Thứ tự các đoạn thẳng trong T ứng

với thứ tự các đoạn thẳng giao với dòng quét phía dưới p Nếu có đoạn song song với Ox thì có thứ tự là lớn nhất.

Thuật toán xử lý sự kiện

 B6: if U(p) ∪ C(p) = {}

 B7: else

• s’ là đoạn ngoài cùng bên trái của U(p) ∪ C(p) trong T

• s” là đoạn ngoài cùng bên phải của U(p) ∪ C(p) trong T

Tìm sự kiện cho s l , s r , p

 If sl và sr giao phía dưới dòng quét hoặc phía trên

và bên phải p và giao điểm chưa xuất hiện trong Q

• Chèn giao điểm vào Q

 Định lý (Độ phức tạp của thuật toán)

• Thời gian thực thi: O(nlogn + Ilogn), với I là số giao điểm.

• Không gian lưu trữ: O(n)

Xác định vị trí điểm

q

S

Tìm kiếm trên dãi

Độ phức tạp

 Với 2 lần tìm kiếm nhị phân:

• Tối đa 2n dãi cho đồ thị n cạnh.

• n cạnh của một dãi

thời gian thực thi là O(logn).

 Không gian gồm:

• O(n) cho phân hoạch đồ thị thành 2n dãi.

• O(n) cho các cạnh trong một dãi.

Phân hoạch dạng thang

– Gọi lề ngang trên và

dưới của mảnh ∆ của

T(S) là top(∆) và

bottom(∆).

Phân hoạch dạng thang

 Các trường hợp lề trái của mảnh ∆ của T(S)

 T(S) của tập S gồm n cạnh có tối đa 6n+4 đỉnh và 3n+1 mảnh hình thang.

Phân hoạch dạng thang

 Mảnh thang liền kề:

Cấu trúc dữ liệu

Phân hoạch dạng thang T(S)

Cấu trúc tìm kiếm D

Thuật toán xác định vị trí điểm

 Input: Tập các đoạn thẳng không giao nhau S và điểm q.

bởi si

với các mảnh thang mới

 B7: Nếu i < n thì i = i + 1 Quay lại B4.

 B8: Tìm vị trí của q thông qua D.

Hiệu chỉnh T và D

 Đặt Si = {s1, s2, …, si} T và D

• D ban đầu chỉ có 1 nốt lá là R

 T(Si) được xây dựng từ T(Si-1)

∈ T(Si-1) chứa p.

• Nếu p có trong D thì p nằm trên

đường thẳng dọc đi qua một

x-nốt Ta xem như p nằm bên

phải x-nốt.

p

Hiệu chỉnh T và D

 Input: T(Si-1), D, si

 Output: ∆0, ∆1, …, ∆k giao với si

 B3: j = 0

Ngược lại, chuyển sang B6.

 B5: j = j + 1 Quay lại B4.

 B6: Trả về các ∆0, ∆1, …, ∆j

Hiệu chỉnh T và D

Hiệu chỉnh T(S) và D

Hiệu chỉnh T và D

 Quy tắc hiệu chỉnh D

• Gắn các x-nốt và y-nốt mới với các nốt lá tương ứng

 Thuật toán xác định vị trí điểm bằng phân hoạch dạng thang T(S) của tập n đoạn thẳng không chéo nhau S có độ phức tạp:

• O(nlogn) thực thi để xây dựng T(S) và D

• O(n) không gian lưu trữ

• O(logn) thực thi xác định điểm