Ý nghĩa của công thức 1 ở chỗ trong khi tính tích phân ∫b a udv khó ta áp dụng 1 thì chỉ cần tính ∫b a vdu dễ hơn.. Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
Trang 1
Tích phân xác định
A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích:
0
2 ) 2
(x
xdx
∫2 + 0 2
3 2
x
dx x
∫6 0
3 sin
π
0sin cos sin
π
x x
0 3
sin xdx
∫1 +
0
∫2 +
1
2(x 2)
x
dx
∫1 +
0
5 ) 1
0
3 1
1
dx x
x x
0
sin 1 cos
π
dx x
0 5 3 2
∫4 +
1
2
31 )
x
x
x
1
5 ln
∫2 0
3 cos 2 sin cos
π
xdx x
0
2 2 cos
π
x
xdx
∫2 0 5
π
xdx
1
3 x x dx
∫3 +
6
sin
2
1
cos
π
π
dx
x
x
∫4 + −
0 1 2cos5
7 cos 8 cos
π
dx x
x x
II – Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
a) Phương pháp đổi biến dạng 1: I = ∫b
a
dx x
f( ) +) Đặt x = ϕ(t), t ∈ [α;β]
+) Tính dx = 'ϕ (t)dt +) Đổi cận với ϕ(α)=a;ϕ(β)=b
+) Biểu diễn : ∫b
a
dx x
α
β
α
ϕ
f( ( )) '( ) ( ) =G (t)
α
β
= G(α ) - G(β)
+) Chú ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
2
; 2 [−π π
∈ hoặc x = acost, t ∈[0;π]
2
; 2 (−π π
∈
•
x a
x a
+
−
Đặt x = acos2t, t ∈[0;π)
t
cos
1
2 {
\ ]
; 0
∈
,
x a x a
+
2
; 2 (−π π
∈
Các ví dụ áp dụng:
∫1 −
0
2
0
2
0 2 1
1
dx
0
1
dx x
0
1
dx x x
∫2 −
0
2
2 4 x dx
x a
x
a
0 2 2 2
3 )
0
1dx
e x
∫2 −
0 2 2 1
a
dx x a
b) Phương pháp đổi biến số dạng 2: I = ∫b
a
dx x
f( ) +) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b]
+) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt
Đổi cận: x a b
t = U(x) U(a) U(b) +) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t)
Trang 2
+) I = ∫b
a
dx x
f( ) = ∫( )
) ( ) (
b U
a U
dt t
g = G(U(b))- G(U(a)).
Các ví dụ áp dụng:
∫3 ++
0
2
1
1
dx x
x
∫3 ++
0 3 3 1
1
dx x
x
∫1 −
0
2 3
5(1 x ) dx
+
+
−
+
2 1 5
1
2 4
2 1
1
dx x
x
1 4
2 1
dx x x
∫3 + +
0
1 1 t dt
e t
0 3cos 1
sin 2 sin
π
dx x
x x
x x
x
1 1 ln
ln
∫15 +
0 3 2
3
1 x dx x
III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
+) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó ∫ =∫ +∫b
a
b a
b a
udv vdu
uv
a
b a
vdu a
b uv udv
(1)
Nhận xét: Để tính tích phân ∫b
a
dx x
f( ) cần phân tích f(x) = udv, cần chọn u(x), v(x) hợp lí Ý nghĩa của
công thức (1) ở chỗ trong khi tính tích phân ∫b
a
udv khó ta áp dụng (1) thì chỉ cần tính ∫b
a
vdu dễ hơn.
Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
• P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax
Các ví dụ áp dụng:
∫2
0
cos
π
dx
0
2) 1 ln( x dx
0
2 cos x e x dx
∫
π
e
dx x
1
)
0 2 cos x dx x
∫3 −+
1
x
x
0
2) 1
01 cos sin
π
dx x
x
2
0 sin
π
dx
0
3 sin
4 x e x dx
B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I – Tích phân hàm số hữu tỉ:
Chú ý:+)
3 2
1 )
3 )(
2 )(
1 (
) (
−
+
−
+
−
=
−
−
C x
B x
A x
x x
x P
) 1 ( 1 )
2 ( ) 1 (
) (
2
2 − = − + − + −
C x
B x
A x
x
x P
+)
c bx ax
D c
bx ax
b ax C x
B x
A c bx ax x
x
x P
+ +
+ + +
+ +
−
+
−
= + +
−
) 2 ( 2 1
) )(
2 )(
1 (
) (
(ax2 +bx+c=0vô nghiệm)
Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phương pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên
∫5 − −+
3
2 3 2
1 2
dx x x
x
a
dx b x a
(
1
∫1 ++ + 0
3 1
1
dx x
x x
dx x
x x
∫1 +++ 0
2
3 1
1
∫1 + 0
3
2 ) 1 3
x
0
2
2( 3) )
2 (
1
dx x
1
2008
2008 ) 1
(
1
dx x
x
x
∫
+ +
−
0 1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
∫3 − 2
2 2
4 ) 1
x
∫1 + − 0 2
3 2 ) 1
x
n n
∫2 + − +
1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x
x
x
∫2 + 1
4) 1 (
1
dx x
0 2 4
1
dx
0
4
2(1 x) dx
0 4
1 x dx x
∫
−
=
a vdu a
b uv b
a udv
Trang 3
dx x x
∫2 − +
0
2 2 2
1
∫1 + 0
3
2) 1
x
∫4 − + 2
2
3 2
1
dx x x
1 3 ) 1 2 ln(
dx x
x
∫3 −+ ++
2
3
2
2
3
3
3
3
dx x
x
x
x
∫2 +− 1 4
2 1
1
dx x
x
∫1 + 0 3 1
1
dx
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
∫1 +− 0 2
4 1
2
dx x
x
∫1 ++ 0 6
4 1
1
dx x x
=1
0
3
2(1 x ) dx x
, (n ≥1), Tìm n n I
nlim→ +∞2
II – Tích phân hàm số lượng giác:
Chú ý: Dạng 1: ∫b
a
m
n x cos xdx
sin +) Nếu m và n cùng chẵn dương dùng công thức hạ bậc +) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx +) Nếu m lẻ và dương đặt t = sinx
+) Nếu n lẻ và dương đặt t = cosx
Dạng 2: ∫b
a
dx x x
R(sin ,cos ) ( R là hàm hữu tỉ) +) Nếu R(sinx,cosx)Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx +) Nếu R(sinx,cosx)Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx +) Nếu R(sinx,cosx)Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx
α
dx c x b x
a'sin 'cos '
1
, ∫β ++
α
dx x b x a
x b x a
cos ' sin '
cos sin
, ∫β ++ ++
α
dx c x b x a
c x b x a
' cos ' sin '
cos sin
,
+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
' cos ' sin '
1
c x b x
Đặt t = tg
2
x
, lúc đó sinx = 2
1
2
t
t
− , cosx = 2
2 1
1
t
t
+
−
+) Phân tích :
x b x a
x b x a
cos ' sin '
cos sin
+
+
=
x b x a
x b x a B A
cos ' sin '
) sin ' cos ' (
+
− +
+)
' cos ' sin '
cos sin
c x b x a
c x b x a
+ +
+ +
=
' cos ' sin ' ' cos ' sin '
) sin ' cos ' (
c x b x a
C c
x b x a
x b x a B A
+ +
+ + +
− +
+)
x c x x b x
asin2 sin cos cos2
1
+
+ Chia cả tử và mẫu cho cos2x, Đặt t = tgx.
Các bài tập áp dụng:
xdx
2
0
2 cos
sin
∫
π
∫2 0
3
2 cos sin
π
xdx
0
5
4 cos sin
π
0
3
3 cos ) (sin
π
dx x
0
4
4 cos )
(sin
2
cos
π
dx x x
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
π
dx x x
x
0
4 4 10
10 cos cos sin ) (sin
π
dx x x x
x
∫2
3
sin
1
π
π
dx
0 2 sin 1
π
dx
0 2 cos
π
x
dx
∫2 + 0
2
3 cos 1 sin
π
dx x
6
4 cos sin
π
dx
Trang 4
0
2
2 2sin cos cos
sin
π
x x
x x
dx
∫2 +
01 cos cos
π
dx x
x
∫2 −
0 2 cos cos
π
dx x
x
∫2 +
0 2 sin sin
π
dx x
x
∫2 + 0
3 cos 1 cos
π
dx x x
0sin cos 1
1
π
dx x
3
2 ) cos 1 ( cos
π
xdx
∫
+
−
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
∫4
0
3
π
xdx
6
3 cot
π
4 4
π
π
xdx
01 1
π
dx
+
4
4 cos(
cos
π
π
x x
dx
∫2 ++ ++
0 4sin 5cos 5
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
∫π +
2
0
sin
0 2sin 3cos 13
π
x x
dx
∫4 + 0
4
3 cos 1
sin 4
π
dx x
x
∫2 + ++
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
∫2 +
01 cos
3 sin
π
dx x
4
sin 2 sin
π
dx
∫4 0 2
3 cos sin
π
dx x
x
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
π
dx x
0
sin cosx x dx
4
3
3 3
sin
sin sin
π
π
dx xtgx
x x
∫2 + +
01 sin cos
π
x x
dx
0 2sin2 2cos
2 sin
π
x b x a
xdx
0 2sin 1
π
x
dx
∫2 +
0 1 cos2 cos
π
x xdx
∫4 ++
0 3 sin2
cos sin
π
dx x
x
4
5
3 sin cos
π
π
xdx
x ∫4 +
0
2 cos 1
4 sin
π
x
05sin 3
π
x
6
4 cos sin
π
dx
∫
+
3
6 sin(
sin
π
x
x
dx
∫
+
3
4 cos(
sin
π
dx
∫3 4 6
2 cos sin
π
xdx
dx x
6 ( 3
6
π
π
π
0
3 ) cos (sin
sin 4
π
x x
xdx
∫
0
2
2 ) sin 2
(
2 sin
x
∫2 0
3 sin
π
dx
0
2cos
π
xdx
0
1 2 2 sin
π
dx e
x
x x
∫2 ++
01 cos
sin 1
π
∫4 +
6
2
cot
4
sin
3
sin
π
π
dx x g
tgx
x
x
0
2 5sin 6 sin
2 sin
π
x x
1
)
cos(ln dx x ∫3
6
2 cos
) ln(sin
π
π
dx x
x
dx x x
∫2 −
0
2 cos ) 1 2 (
π
∫
π
0
2 cos
0 2
π
xdx
0
2
2 sin xdx
e x
∫2 0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
e x
∫4 +
0
) 1 ln(
π
dx tgx
0
2 ) cos 2 (sin
π
x x
dx
∫2 + − − 0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x x
III – Tích phân hàm số chứa căn thức:
∫b
a
dx x f x
R( , ( ))
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
+
−
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [ π
∈
+) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin hoặc x = t a cos t
Trang 5
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t = n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) =
γ β
(
1
Với (αx2+βx+γ )’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = αx2+βx+γ , hoặc đặt t =
b
ax+
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = tgt a , t ]
2
; 2 [−π π
∈
+) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
cos , t [0; ]\{2}
π π
∈
Các bài tập áp dụng:
2
5 x x2 4
3
2 x x2 1
dx
∫
2 1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
1 x x3 1
dx
∫2 +
1
2 2008dx
1 x2 2008
dx
∫1 +
0
2
2 1 x dx
0
3
2) 1
1 2 2
2 1
1
dx x
x x
∫2 −+
2
0 1
1
dx x
0 (1 x2)3
dx
∫2 −
2
0 (1 x2)3
0
2
2
2
1 x
dx x
∫2 +
0 7 cos2 cos
π
x xdx
0
2 cos cos
sin
π
dx x x
0 2 cos2 cos
π
x
xdx
∫2 + +
0 1 3cos
sin 2 sin
π
dx x
x
03 2
3
1 x
dx x
0
2
3 10 x dx x
∫1 +
0 2x 1
xdx
∫1 + +
3 1
x x
dx x
∫7 + +
2 2x 1 1
dx
dx x x
0
8
15 1 3 ∫2 −
0
5
61 cos3 sin cos
π
xdx x
x
∫3 +
ln
0 e x 1
dx
∫
1
11 x x2 1
dx
∫2 +
ln 0
2 1
x
x
e
dx
4 5
2 8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
∫3 ++
3 5
1 x dx
x
0
2
−
+ +
0 1
3
ln 2 ln
2 1 ln
ln
dx x x
x
0
2
2 cos
3 2 cos
2 cos
π
dx x
tgx x
x
ln
0 ( x 1)3
x
e
dx e
∫3 +
0 2 cos2 cos
π
x
xdx
∫2 +
0 1 cos2 cos
π
x
x
x
∫7 ++
03 3
2
∫a x +a dx
2 0
2 2
IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:
∫b
a
dx x
f( )
Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu ⇒ dấu của f(x)
+) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì ∫b
a
dx x
f( ) = ∫b
a
dx x
f( ) +) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x1, x2 trên [a, b] (x1, x2) thì:
∫b
a
dx x
f( ) = ∫1 ( )
x
a
dx x
f + ∫2
1
) (
x
x
dx x
f + ∫b
x
dx x f
2
) ( = ∫1 ( )
x
a
dx x
f + ∫2
1
) (
x
x
dx x
f + ∫b
x
dx x f
2
) (
Các bài tập áp dụng:
Trang 6
∫
−
−
3
3
2 1dx
0
2 4x 3dx
0
2 x dx
0
dx m x
−
2
2 sin
π
π
dx
−
−
π
π
dx x
sin 1
6
2
π
π
dx x g x
3
4
2 sin
π
π
dx
0 cos
−
−
− +
5 2
) 2 2
0 4
2x dx
∫
−
−
3
2
3 cos cos
cos
π
π
dx x x
x
V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: ∫ =∫ + −
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3π π
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2−2cos2x, Tính: ∫
−
2 3
2 3 ) (
π
π
dx x f
+) Tính ∫
+
1 1
2
4 1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a a
dx x
f( ) = 0.
Ví dụ: Tính: ∫
−
+ +
1 1
2) 1
−
+ +
2
2
2) 1 ln(
cos
π
π
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a a
dx x
f( ) = 2∫a f x dx
0 ) (
Ví dụ: Tính ∫
1 1
2
4 x 1
x
dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ =∫
+
−
a a
a
b
x f
0 ) ( 1
) (
(1≠b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
− +
+
3 3
2 2 1
1
dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin
π
π
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π
], thì ∫ = ∫2
0
2 0
) (cos )
(sin
π π
dx x f x f
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009 cos sin
sin
π
dx x x
x
0 sin cos
sin
π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π =π ∫π
0 0
) (sin 2
)
xf
Ví dụ: Tính π∫ +
01 sinx dx
x
∫ +
π
02 cos
sin
dx x x x
Trang 7
a
b a
dx x f dx x b a
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính ∫π +
0
2 cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a∫+T =∫T
a
dx x f dx x f
0 ) ( )
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008∫π −
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
∫
−
1
1
2 2
1
1
dx
x
−
+
− +
−
4
4
4
3 5 7 cos
1
π
π
dx x
x x x x
∫
1 1
2) 1 )(
1
dx
+
2
2
2 sin 4 cos
π
π
dx x
x x
∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
2 0
2
2
5 cos 1 sin
π
π
dx x
) 1 ( 1
cot
= +
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VI – Bất đẳng thức tích phân:
Một số chú ý: +) Nếu f(x) ≥ g(x) ∀x ∈[ b a; ] thì ∫ ≥∫b
a
b a
dx x g dx x
+) f x dx f x dx
b a
b
∫ ( ) ≤ ( ) +) Nếu m f(x) ≤ ≤M thì m(b a) f(x)dx M(b a)
b a
−
≤
≤
+) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phương pháp hàm số
Các bài tập áp dụng:
8 2
1
0
2
π
<
+ +
−
−
< 2
1
2 4
6
π π
x x
−
<
< 2
1
4 2
1 x3dx
−
< 2
1
0
6 1
2
1
N n n x
dx
n
π
< 3
6
2
1 sin
4
3
π
π
dx x
x
4
4 1
0 1
1
∫e +x dx
27
4 )
1 ( 0 1 0
2 ≤
−
4
3
1 cot
12 3
π
π
dx x gx
∫
−
≤
−
− +
≤11
7
108 )
11 7 ( 2
0
4
9
4 sin
53
62
xdx
+
≤ 2
0
2 10 cos
3 5 6
π
π π
x dx
−
≤ 2
1
0 1 2008 6
2
x
1
2
1
+ +
π
3 2 1 cos cos 3
3
x dx
200
1 cos
dx
x
x