b/ Chứng minh rằng: Tích của năm số liên tiếp chia hết cho 120.. Câu 4: Cho hình bình hành ABCD.. Bốn tia phân giác của bốn góc A, B, C, D của hình bình hành đó cắt nhau như hình vẽ.. a
Trang 1Lớp: 8/…… Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: a/ Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8. b/ Chứng minh rằng: Tích của năm số liên tiếp chia hết cho 120 Câu 2: a/ Cho ba số x, y, z thoã mãn x+ + =y z 0 và x2+y2+z2=25 Tính giá trị của biểu thức P =x4+y4+z4 b/ Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời : 2 2 2 x 2y 1 0 y 2z 1 0 z 2x 1 0 ìï + + = ïï ï + + = íï ïï + + = ïî Tính giá trị của biểu thức : A =x2010+y2010+z2010 Câu 3: a/ Chứng minh rằng : a b : a b 2 : 1 b a b a b a a a b éæç ö æ÷ç ö æ÷ù ç ö÷ êç - ÷÷ç + - ÷÷ú ç + ÷÷= êççè ÷ø èçç ÷ø èú çç ÷ø -ê ú ë û b/ Cho biểu thức: 22 2 2 3 2 ( ) x 2x 2x 1 2 M 1 x 0,x 2 x 2x 8 8 4x 2x x x æ - ö æ÷ ö÷ ç ÷ç ÷ =çç - ÷÷ççç - - ÷÷ ¹ ¹ ÷ ç + - + - è ø è ø b.1 Rút gọn biểu thức M b.2 Tính giá trị của M với x 1 2 = Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Bốn tia phân giác của bốn góc A, B, C, D của hình bình hành đó cắt nhau như hình vẽ a/ Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật b/ Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo của hình chữ nhật EFGH bằng hiệu độ dài hai cạnh kề của hình bình hành ABCD đã cho Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của cạnh DC Điểm G là trọng tâm của tam giác ACD Điểm N thuộc cạnh AD sao cho NG//AB a) Tính tỉ số DM NG ? b) Chứng minh VDGM đồng dạng với VBGA và tìm tỉ số đồng dạng BÀI LÀM ………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
Điểm
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho 8.
Giả sử hai số chẵn liên tiếp là 2k và 2k +2 Ta có : 2 2k k( +2) =4(k+1)kM8 (vì k k + M( 1 2) ).
b/ CMR: Tích 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 120.
Giả sứ tích 5 cố nguyên liên tiếp là P Ta có: P M3 (vì P có tích của ba số nguyên liên tiếp).
8
P M (vì P có tích của hai số chẵn liên tiếp)
5
P M (vì P có tích của 5 số nguyên liên tiếp).
Mà ( ) ( ) ( )3,5 = 3,8 = 5,8 =1 Þ PM3.5.8 Hay P M120.
Câu 2: a/ Cho ba số x, y, z thoã mãn x+ + =y z 0 và x2+y2+z2=25 Tính giá trị của biểu thức P =x4+y4+z4.
Ta có 2 2 2 ( 2 2 2)2 ( )2 4 4 4 ( 2 2 2 2 2 2)
x +y +z =25Û x +y +z = 25 Û x +y +z +2 x y +y z +z x =625
x y z 625 2 x y y z z x 1
x+ + = Ûy z 0 x+ +y z = Û0 x +y +z +2 xy+yz zx+ =0
2 xy yz zx 25 xy yz zx xy yz zx
æ ö
Û + + = - Û + + = Û + + = çç ÷÷
çè ø
x y y z z x 2xyz x y z 2 x y y z z x 2
Thế (2) và (1) ta được: 4 4 4 ( 2 2 2 2 2 2) 625 625
x y z 625 2 x y y z z x 625
2 2
b/ Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời :
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 2y 1 0 1
y 2z 1 0 2
z 2x 1 0 3
ìï + + = ïï
ïï + + = íï
ïï + + = ïïî
Tính giá trị của biểu thức : A =x2010+y2010+z2010
Lấy (1)+(2)+(3) ta được: ( ) (2 ) (2 )2
x 1+ + y 1+ + +z 1 = Û0 x= = = -y z 1 Vậy A =x2010+y2010+z2010 =3
: 2 : 1
éæç ö æ÷ç ö æ÷ù ç ö÷
êç - ÷÷ç + - ÷÷ú ç + ÷÷=
êççè ÷ø èçç ÷ø èú çç ÷ø
éæç ö æ÷ç ö æ÷ù ç ö÷
=êççç - ÷÷ççç + - ÷÷ú ççç + ÷÷= =
x 2x 8 8 4x 2x x x
=çç - ÷÷ççç - - ÷÷ ¹ ¹
÷
1 2
x x
+ b.2 M = 1
2
x x
+ = 3 2
1
2
180 2
Cˆ Dˆ Cˆ
Dˆ + = + = = ⇒ = Tam giác AGB có Aˆ1+Bˆ1=900Þ Gˆ =900 Chứng minh tương tự Fˆ=900 Vậy, tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật W
b/ Từ giả thiết ta có tam giác ADJ là tam giác cân (BH vừ là phân giác vừa là đường cao) nên suy ra HD = HJ Tương tự tam giác CBL là tam giác cân nên FB = FL Nhưng dễ thấy VADJ =VCBL(g.c.g), nên HD = HJ = FB = FL Tứ giác HJBF có cặp cạnh đối song song
và bằng nhau nên là hình bình hành, vì vậy HF//JB và HF = JB Kết hợp EG = HF ta suy ra tứ giác GEJB là hình thang cân Tương tự ta
có EG//BC (EGB· =GBC· ), ta suy ra được HF = JB = AB – AJ = AB – AD.
Câu 5: a/ DM 3
NG = 2 b/ VDGM đồng dạng với VBGA và k = 2.