DE THI HSG 5.doc

Nhng x≠1 bởi thế bất đẳng thức đúng... Hệ số đồng dạng 1 11 B A Có thể học sinh làm nhiều các nếu đúng vẫn cho mức điểm tơng đơng.. Bài làm trình bày mà không đúng nh đáp án thì trừ điểm

TR¦êNG THCS GIA KH¸NH

ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

………

§Ò bµi

C©u 1: 3 ®iÓm

a Chøng minh r»ng: sè 5 3 7

5 3 15

+ + lµ sè nguyªn víi bÊt kú sè tù nhiªn n.

b Gi¶i ph¬ng tr×nh trong tËp sè nguyªn: x y x+ = 2 − +xy y2

C©u 2: 5 ®iÓm

a Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1

b Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 2

2 2

3

3 3 0

x y x

x y

x y y

x y

−





c Chøng minh r»ng: NÕu x5 − + =x3 x 2 th× 3 <x6 < 4

C©u 3: 2 ®iÓm

C¸c tam gi¸c ABC vµ A1B1C1 lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n (c¹nh AB vµ A1B1

lµ c¸c c¹nh huyÒn) Gi¶ sö C1 n»m trªn BC, B1 n»m trªn AB, cßn A1 n»m trªn AC

Chøng minh r»ng, AA1=2CC1

TR¦êNG THCS GIA KH¸NH

ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1a.

Chứng minh: 3n5 + 5n3 + 7n chia hết cho 15, hay là: 5n3 + 7n chia

hết cho 3 và 3n5 + 7n chia hết cho 5

0.5

Rõ ràng.5n3 + 7n=−(n3 −n) (mod 3) và3n5 + 7n=− 2(n5 −n) (mod 5) 0.5

Theo định lý Phecma (n3 −n)M 3 và (n5 −n)M 5 0.5

Câu 1b Biến đổi phơng trình về dạng:

2 ( 1) 2 0

Biệt thức của phơng trình: − 3y2 + 6y+ ≥ 1 0 ⇒ − ≤ ≤ 1 y 3 0.5

Từ đó y= 0, 1, 2

Phơng trình có nghiệm: (0,0), (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2) 0.5

Câu 2a

Nhận xét rằng:

2

2

3 4 1 ( 1 2) ;

8 6 1 ( 1 3)

0.5

Phơng trình đã cho có dạng: x− − + 1 2 x− − = 1 3 1 0.5

Khảo sát 4 trờng hợp:

x=10

ph-ơng trình đã cho trong đoạn từ 5 đến 10

3 x− − ≤ 1 2 0; x− − ≥ 1 3 0 ⇒ ≤x 5, phơng trình có nghiệm

x=5

Vậy phơng trình có nghiệm 5≤x≤10

0.5

Câu 2b

Nhân phơng trình 1 với x, phơng trình 2 với y cộng lại ta đợc:

Với y≠0 thì x 32 21

y

= + thay vào phơng trình 2 ta đợc:

4 2

4y − 3y − = 1 0

0.5

Với y≥0 thì ta nhận đợc y2=1⇒ y1=1, y2=-1; ⇒ x1=2, x2=1 0.5

Câu 2c

Từ đẳng thức: 3 5 2

Bởi thế 23 1

x ≥ hay x3 ≤ 2 Nhng x≠1 bởi thế bất đẳng thức đúng 0.5 Cộng đẳng thức: x5 − + =x3 x 2 và x7 − + =x5 x3 2x2 nhận đợc

7 2 2 2

0.5

x

  Bất đẳng thức đúng bởi x≠1 0.5

Câu 3 Lấy D là trung điểm của cạnh A1B1 Khi đó ∠C1DA1=900 suy ra

tứ giác CC1DA1 nội tiếp đợc đờng tròn

0.5 Suy ra ∠DA1C1=∠DCC1=450 suy ra ∠DC1C=∠DA1A 0.5 Suy ra tam giác DC1C và B1A1A đồng dạng theo trờng hợp 2 0.5

Hệ số đồng dạng 1 1

1

B A

Có thể học sinh làm nhiều các nếu đúng vẫn cho mức điểm tơng đơng Bài làm trình bày mà không đúng nh đáp án thì trừ điểm từng phần