BẮT ĐẦU TỪ Ý TƯỞNG CỦA HERONG ppsx

Trong những bài toán này, có một bài rất đơn giản nhưng đặc biệt sâu sắc, lời giải của nó là sự khởi đầu cho cả một ý tưởng lớn.. Người đầu tiên đặt ra và giải quyết nó chính là nhà toán

BẮT ĐẦU TỪ Ý TƯỞNG CỦA HÊ-RÔNG

Thuở còn là học sinh phổ thông, tôi rất thích môn hình học Những bài toán hình học hay luôn tạo cho tôi niềm say mê và hứng khởi trong học tập Trong những bài toán này, có một bài rất đơn giản nhưng đặc biệt sâu sắc, lời giải của nó là sự khởi đầu cho cả một ý tưởng lớn Bài viết này xin giới thiệu với bạn đọc bài toán đó và toàn bộ sự phát triển tiếp theo của nó

Bài toán 1 : Cho đường thẳng Δ và hai điểm A, B nằm về một phía của

Δ Hãy tìm trên Δ điểm M sao cho tổng (MA + MB) nhỏ nhất

Bài toán 1 (BT1) là một bài toán quang học Người đầu tiên đặt ra và giải quyết

nó chính là nhà toán học cổ Hê Rông, người Ai Cập, sống vào thế kỉ thứ nhất trước Công nguyên, tác giả của công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh của nó (S= p(p a)(p b)(p c)− − − )

Hê Rông đã giải BT1 thật đẹp đẽ và mẫu mực:

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua Δ (hình1) Vì A, B nằm về một phía

của Δ nên A’, B nằm về hai phía của Δ Vậy đoạn A’B và Δ cắt nhau

Đặt M0 là giao điểm của A’B với Δ Với mọi M thuộc Δ, ta có :

AM MB A’M BM A’B + = + ≥

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn A’B tương đương với M trùng với M0

Tóm lại : Tổng (AM + MB) nhỏ nhất khi M trùng với M0

Tôi đã từng hỏi nhiều người câu hỏi sau: “Bằng cách nào mà Hê Rông lại nghĩ ra điểm A’ kì diệu trong lời giải trên” Câu trả lời mà tôi thường nhận được là: “Vì Hê Rông nhận thấy MA’ = MA với mọi M thuộc Δ ” Đó là câu trả lời đúng, nhưng rất ít ý nghĩa, câu trả lời của những người đã đọc lời giải BT1 của Hê Rông (có trong rất nhiều sách hình học sơ cấp) chứ không phải là câu trả lời của những người tự nghĩ ra lời giải đó Câu trả lời sau, tôi ít khi nhận được, nhưng lại làm tôi đặc biệt thích thú : “Đường gấp khúc AMB quá “cong queo” nên việc quan sát độ dài của nó rất khó Chính vì vậy, Hê Rông đã nghĩ

ra điểm A’ để thay đường gấp khúc AMB bằng đường gấp khúc A’MB, đỡ

“cong queo” hơn, có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc AMB nhưng dễ quan

sát hơn” Tôi nghĩ, câu trả lời trên mới chính là câu trả lời của những người tự nghĩ ra lời giải BT1, như Hê Rông đã nghĩ Nó là sự khởi đầu của một ý tưởng quan trọng, ý tưởng của Hê Rông :

Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá “cong queo” ta hãy dùng các phép đối xứng trục để thay nó bằng một đường gấp khúc mới, đỡ

“cong queo” hơn, có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc đã cho nhưng dễ quan sát hơn

Nhờ ý tưởng trên, ta có thể giải được nhiều bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học hay và khó Bài toán sau đây là bài toán đầu tiên trong nhóm những bài toán này

Bài toán 2 : Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó Hãy tìm

trên Ox, Oy các điểm A, B sao cho P(MAB) nhỏ nhất

ở đây, kí hiệu P( ) chỉ chu vi của tam giác, nó sẽ có hiệu lực trong toàn bộ bài viết này

Lời giải : Gọi M1, M2 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua Ox, Oy

(hình 2), ta thấy: M1OM2 = M1OM + MOM2 = 2( xOM) + 2( MOy) = 2( xOy) < 180o

Vậy đoạn M1M2 cắt các tia Ox, Oy

Đặt A0 là giao điểm của M1M2 và Ox ; B0 là giao của M1M2 với Oy Với mọi A, B thuộc Ox, Oy, ta có: P(MAB) = MA + AB + BM = M1A +

AB + BM2 ≥ M1M2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A, B thuộc đoạn M1M2 tương đương với

A trùng với A0 ; B trùng với B0

Tóm lại : P(MAB) nhỏ nhất khi A trùng với A0 ; B trùng với B0

Nhờ BT2, ta dễ dàng giải được bài toán khó sau:

Bài toán 3 : Cho tam giác nhọn ABC Hãy tìm trên các cạnh BC, CA,

AB các điểm D, E, F sao cho P(DEF) nhỏ nhất

BT3 được đặt ra bởi nhà toán học Italia, Fagnano (1682 - 1766) Lời giải được giới thiệu dưới đây thuộc nhà toán học Hunggari, Fejer (1880 - 1959)

Trước hết, ta phát biểu một bổ đề

Bổ đề 1 : Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH P, Q là các điểm đối

xứng của H qua AC, AB Đoạn PQ cắt các đoạn AC, AB tại K, L Khi đó BK

vuông góc với AC, CL vuông góc với AB (hình 3)

Việc chứng minh bổ đề 1 (BĐ1) khá dễ dàng, xin dành cho bạn đọc Trở lại việc giải BT3

Gọi H là hình chiếu của A trên BC Gọi P, Q là các điểm đối xứng của H qua AC, AB Gọi K, L là giao điểm của đoạn PQ với các đoạn AC, AB

Giả sử D, E, F là các điểm đã cho trên các cạnh BC, CA, AB Gọi M1,

M2 là các điểm đối xứng của D qua AC, AB (hình 4)

Xét hai tam giác APQ, AM1M2, ta thấy: AM1 = AM2 = AD ≥ AH = AP =

AQ và M1AM2 = 2 BAC = PAQ ⇒ M1M2 ≥ PQ (1)

Mặt khác: P(DEF) = DE + EF + FD = M1E + EF + FM2 ≥ M1M2

Và: P(HKL) = HK + KL + LH = PK + KL + LQ = PQ (2)

Từ (1), (2) suy ra P (DEF) ≥ P (HKL)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi đẳng thức xảy ra ở (1), (2) tương đương với D trùng với H; E, F thuộc đoạn M1M2 hay D trùng với H; E trùng với K; F trùng với L

Chú ý tới BĐ1, ta có kết luận: P(DEF) nhỏ nhất khi D, E, F theo thứ tự

là hình chiếu của A, B, C trên BC, CA, AB

Ngoài lời giải của Fejer, BT3 còn có một lời giải khác Lời giải này là sự phát triển hết sức đặc sắc ý tưởng nói trên của Hê Rông Tác giả của nó là nhà toán học Đức Schwarz K.A (1834 - 1921)

Trước hết, ta phát biểu một bổ đề

Bổ đề 2 : Cho tam giác nhọn ABC Các điểm H, K, L theo thứ tự thuộc

các cạnh BC, CA, AB Khi đó :

a) H, K, L là hình chiếu của A, B, C trên các cạnh BC, CA, AB tương đương với ∠LHB= ∠KHC= ∠BAC; KHC∠ = ∠LKA= ∠ABC; KLA∠ = ∠HLB= ∠BCA b) Trong điều kiện a), ta có :

AH sinA = BK sinB = CL sinC (hình 5)

Việc chứng minh BĐ2 khá dễ dàng, xin dành cho bạn đọc

Gọi B1, H1, L1, D1, F1 là các điểm đối xứng của B, H, L, D, F qua đường thẳng AC

Gọi A2, L2, K2, F2, E2 là các điểm đối xứng của A, L1, K, F1, E qua đường thẳng CB1

Gọi C3, K3, H3, E3, D3 là các điểm đối xứng của C, K2, H1, E2, D1 qua đường thẳng B1A2

Gọi B4, H4, L4, D4, F4 là các điểm đối xứng của B1, H3, L2, D3, F2 qua đường thẳng A2C3

Gọi A5, L5, K5, F5, E5 là các điểm đối xứng của A2, L4, K3, F4, E3 qua đường thẳng B4C3 (hình 6)

Xét hai tam giác: AA2A5 và BB1B4, dễ thấy:

A A A A= =2AH; AA A∠ = ∠2( A), và B B B B1 = 2 4 =2BK; BB B∠ 1 4 = ∠2( B)

⇒ AA5 = 2AHsinA và BB4 = 2BKsinB

Mặt khác, dễ thấy :

AB = AB1 = A2B1 = A2B4 = A5B4 (2)

Từ (1), (2) ⇒ ABB4A5 là hình bình hành (3) Tương tự (2) ta có : AF = A5F5, AL = A5L5 (4)

Từ (3), (4) ⇒ LFF5L5 là hình bình hành ⇒ LL5 = FF5 (5)

Nhờ BĐ2, phần a), ta thấy L, K, H1, L2, K3, H4, L5 thẳng hàng

⇒ LL5 = LK + KH1 + H1L2 + L2K3 + K3H4 + H4L5

Tương tự như (2) ta có :

KH =KH; H L =HL; L K =LK; K H =KH; H L =HL.

Mặt khác: FF5 ≤ FE + ED1 + D1F2 + F2E3 + E3D4 + D4F5

Tương tự như (2), ta có:ED1 =ED; D F1 2=DF; F E2 3 =FE; E D3 4 =ED; D F4 5 =DF

Từ (5), (6), (7) ⇒ P(DEF) ≥ P(HKL)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi F, E, D1, F2, E3, D4, F5 thẳng hàng tương đương với D trùng với H ; E trùng với K ; F trùng với L (theo BĐ2 phần a)

Tóm lại : P(DEF) nhỏ nhất khi và chỉ khi D, E, F theo thứ tự là hình

chiếu của A, B, C trên BC, CA, AB

Các BT1, 2, 3 tạo thành một nhóm bài “bền vững và đặc sắc” trong hệ thống các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học có liên quan đến phép đối xứng trục Nói đến một trong ba bài của nhóm, người ta lập tức nghĩ đến ngay tới hai bài còn lại Cho đến đầu những năm 90 của thế kỉ trước, nhóm bài “bền vững và đặc sắc” này vẫn là một độc chiêu khi người ta muốn giới thiệu ý tưởng của Hê Rông với những ai quan tâm tới hình học sơ cấp Tuy nhiên, trong mười năm trở lại đây, tình hình đã thay đổi Trong hệ thống các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học có liên quan tới phép đối xứng trục đã xuất hiện hai nhóm bài mới với độ bền vững và đặc sắc không kém gì nhóm các BT1, 2, 3 Nhờ chúng, nhóm các BT1, 2, 3 không còn là một độc chiêu khi người ta muốn nói tới ý tưởng của Hê Rông

Bài toán 4 : Cho góc xOy và điểm M nằm trong góc đó Các điểm A, B

theo thứ tự thuộc Ox, Oy (A, B khác O) H, K là hình chiếu của M trên các đường thẳng chứa Ox, Oy Chứng minh rằng: P(MAB) ≥ 2HK

Lời giải : Gọi M1, M2 là các điểm đối xứng của M qua Ox, Oy Có hai trường hợp xảy ra

*Trường hợp 1: xOy < 90o (h.1)

Vì xOy < 90o nên M1OM2 < 180o

Vậy đoạn M1M2 cắt các tia Ox, Oy

Đặt A0 là giao điểm của M1M2 với Ox; B0 là giao điểm của M1M2 với Oy (A0, B0 khác O) Ta thấy: P(MAB) = MA + AB + BM = M1A + AB + BM2 ≥

M1M2 = 2HK

Vậy P(MAB) ≥ 2HK

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A trùng với A0 ; B trùng với B0 tương đương với O là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh M của ΔMAB

* Trường hợp 2 : xOy ≥ 900 (h.2a, h.2b, h.2c)

Vì xOy ≥ 900 nên M1OM1 ≥ 1800; suy ra hoặc đoạn M1M2 đi qua O

(h.2a) hoặc đoạn M1M2 không đồng thời cắt các tia Ox, Oy (h.2b, h.2c) Vì vậy,

mặc dù giống như trường hợp 1, ta vẫn có : P(MAB) ≥ 2 HK Nhưng đẳng thức không xảy ra Suy ra P(MAB) > 2 HK

Tóm lại : Trong cả hai trường hợp P(MAB) ≥ 2 HK

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh M của MAB

BT4 được đặt ra và chứng minh lần đầu tiên bởi bạn Phạm Ngọc Huy,

khi là học sinh lớp 12 Toán, trường PTNK, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh Tuy nhiên cách chứng minh của bạn Huy hơi dài và cần đến các kiến thức toán của chương trình THPT Tiếp thu ý tưởng của Hê Rông, tôi đã thay phép chứng minh của bạn Huy bởi chứng minh trên

Nhờ BT4, bạn Huy đã đưa ra một lời giải hết sức độc đáo và ngắn gọn cho bài toán hay và khó sau đây:

Bài toán 5 : Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác MA,

MB, MC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2 lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB Chứng minh rằng: P(A1B1C1) ≥ P(A2B2C2)

BT5 được đặt ra bởi nhà toán học Mĩ, Jack Garfulkel, sống cùng thời với chúng ta, vừa mới mất cách đây một vài năm Ông là tác giả của rất nhiều bất đẳng thức hình học hay và khó Nhiều bất đẳng thức hình học do ông đặt ra đến nay vẫn chưa được chứng minh BT5 lần đầu tiên được chứng minh cũng bởi một nhà toán học Mĩ, CS Gardner Tuy nhiên, chứng minh của CS Gardner quá dài và phức tạp Tôi đã theo dõi chứng minh này một lần và đã tự nhủ rằng, chỉ một lần mà thôi Ngay từ lúc đó, tôi đã đặt câu hỏi, liệu có thể, tìm cho BT5 một phép chứng minh khác đơn giản và đẹp đẽ hơn phép chứng minh của CS Gardner Tình cờ nhưng rất nhanh chóng, bạn Huy đã trả lời câu

hỏi của tôi bằng phép chứng minh tuyệt vời dưới đây

Trước hết, xin phát biểu không chứng minh một bổ đề quen thuộc mà tác giả của nó là nhà toán học Pháp, Gergaune

Bổ đề 3 : Cho tam giác ABC M là một điểm nằm trong tam giác MA,

MB, MC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1

1

AA + BB + CC = (h.3)

Nhờ BĐ3 và BT4 bạn Huy đã chứng minh BT5 như sau :

Qua M kẻ các đường thẳng tương ứng song song với các cạnh của tam giác A1, B1, C1.Chúng cắt các cạnh của tam giác ABC tại X,Y, Z, T, U, V (h.4).

Dễ thấy các tam giác MUT , VMX , ZYM đồng dạng với tam giác A1B1C1 với các tỉ số đồng dạng tương ứng là AM/AA1, BM/BB1, CM/CC1

Từ BĐ3, dễ dàng suy ra

2

AA +BB +CC =

⇒ ( 1 1 1) ( 1 1 1) ( 1 1 1) ( 1 1 1)

.P A B C P A B C P A B C 2.P A B C

⇒ P(MUT) + P(VMX) + P(ZYM) = 2PB(A1B1C1) (1)

Theo BT4, ta có: P(MUT) ≥ 2B2C2 ; P(VMX) ≥ 2C2A2; P(ZYM) ≥ 2A2B2 (2)

Từ (1) và (2)⇒P(A1B1C1) ≥ B2C2 + C2A2 + A2B1⇒P(A1B1C1) ≥ P(A2B2C2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ΔABC nhọn và A, B, C là tâm các đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh M của các tam giác MTU, MVQ, MRZ tương đươngΔABC nhọn và A, B, C là tâm các đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A1, B1, C1 của ΔA1B1C1 tương đương ΔABC nhọn và M là trực tâm của nó

Giống như các BT1, BT2, BT3, các BT4, BT5 cũng tạo thành một nhóm bài “bền vững và đặc sắc” trong hệ thống các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học có liên quan tới phép đối xứng trục Trong phép chứng minh các BT4, BT5 ta vẫn thấy ý tưởng của Hê Rông giữ vai trò hết sức quan trọng

Cùng với BT1 của Hêrông, bài toán sau đây cũng được tôi đặc biệt chú

ý ngay từ khi còn là học sinh phổ thông

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC và điểm M thuộc tam giác.Chứng minh:

MB + MC ≤ AB + AC

Để chứng minh BT6, trước hết, ta phát biểu không chứng minh một bổ đề

Bổ đề 4 : Cho ba điểm A, B, C bất kì Ta có AB + AC ≥ BC Đẳng thức

xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC

Trong BĐ4, các điểm A, B, C có thể thẳng hàng, thậm chí trùng nhau Khi X trùng Y thì khoảng cách giữa X và Y bằng không (Cách hiểu này

có hiệu lực không chỉ trong BĐ4 mà còn có hiệu lực cho tới cuối bài viết này)

BĐ4 là sự phát biểu chi tiết bất đẳng thức tam giác, đã được giới thiệu trong chương trình hình học 7

Trở lại việc giải BT6

Đặt N là giao điểm của BM và AC (hình 1).

Theo BĐ4, ta có:

MB MC MB MN NC NB NC AB AN NC AB AC+ ≤ + + = + ≤ + + = +

Vậy MB + MC ≤ AB + AC

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với N ; A trùng với N; hay tương đương M trùng với A

Tôi chú ý tới BT6 vì sự giản dị trong hình thức nhưng sâu sắc về nội dung của nó Tôi luôn có cảm giác rằng, kết quả mà ta đạt được trong BT6 chỉ

là sự mở đầu cho những kết quả khác, sâu sắc hơn, thú vị hơn Chính vì vậy mà tôi đã tìm cách mở rộng BT6

Tôi xin giới thiệu với bạn đọc những tìm tòi đầu tiên mà tôi đạt được trong quá trình mở rộng này Thật ngẫu nhiên, ý tưởng quan trọng của Hêrông

đã giúp tôi rất nhiều

Hãy coi ABC như một tứ giác “suy biến” với hai đỉnh trùng nhau, BT6 ngay lập tức được mở rộng như sau :

Bài toán 7 : Cho tứ giác ABCD và điểm M thuộc tứ giác Chứng minh:

MB + MC ≤ max {AB + AC ; DB + DC}

(Kí hiệu max {a1 ; a2 ; ; an} chỉ số lớn nhất trong các số a1 ; a2 ; ; an

Nó có hiệu lực cho tới cuối bài viết này)

BT7 là sự mở rộng đầu tiên và đơn giản nhất của BT6 Vậy mà tôi đã gặp khó khăn nhiều trong khi giải nó Loay hoay mãi mà không giải được Đã

có lúc tôi nghĩ rằng, kết quả mà tôi đặt ra trong BT7 có lẽ không đúng Trong thời khắc bế tắc ấy, tôi bỗng nhận ra rằng, xét cho cùng thì tôi đang phải quan sát và so sánh độ dài ba đường gấp khúc BMC, BAC, BDC, do đó tôi lại nghĩ đến ý tưởng của Hêrông Nhờ sự liên tưởng này, tôi đã giải được BT7

Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải đó

Trường hợp 1 : M thuộc đoạn AD (hình 2a)

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua AD Vì B, C nằm về cùng một phía của AD nên B’, C nằm về hai phía của AD Suy ra đoạn B’C và đường thẳng

AD cắt nhau

Đặt I là giao điểm của B’C và AD Ta thấy :

⇒ MB + MC ≤ max {AB + AC ; DB + DC}

Trường hợp 2 : M không thuộc đoạn AD (hình 2b, 2c, 2d)

Lấy N thuộc đoạn AD sao cho M thuộc tam giác NBC (tùy vào vị trí của M mà

ta có cách chọn N thích hợp (hình 2b, 2c, 2d)) Theo BT6, ta có : MB + MC ≤

Theo trường hợp 1, ta có : NB + NC ≤ max {AB + AC ; DB + DC} (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MB + MC ≤ max {AB + AC ; DB + DC}

Tóm lại hai trường hợp đều có:MB + MC ≤ max{AB + AC ; DB + DC} Nếu AB + AC > DB + DC thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với A Nếu AB + AC < DB + DC thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với D Nếu AB + AC < DB + DC thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với A hoặc M trùng với D

Nhờ kết quả đạt được trong BT7, tôi hy vọng kết quả sau đây đúng

Bài toán 8 : Cho tứ giác ABCD và điểm M nằm trong tứ giác

Chứng minh rằng : MA + MB + MC + MD ≤ max {α ; β ; γ ; δ}

Trong đó : α = AB + AC + AD ; β = BC + BD + BA ; γ = CD + CA + CB ; δ =

DA + DB +DC

BT8 là bài toán khó, tuy nhiên, nhờ BT7 ta có thể giải BT8 khá dễ dàng

Lời giải mà tôi giới thiệu dưới đây là lời giải của bạn Đào Phương Bắc khi

đang là học sinh trường THCS Bế Văn Đàn, Đống Đa, Hà Nội.

Đặt O là giao điểm của AC và BD Vì M thuộc tứ giác ABCD nên M thuộc một trong các tam giác OAB, OBC, OBC, OCD, ODA Không mất tính

tổng quát, giả sử M thuộc tam giác OAB (hình 3)

Đặt N là giao của tia OM và đoạn AB Ta thấy : M thuộc các tam giác NAC, NBD