Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C.. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C , trục hoành và tiếp tuyến d với đồ thị C tại điểm M0; −2.. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn p
Trang 1ĐỀ 13
( Thời gian làm bài 150 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y x= 3−3x2+3x 2− có đồ thị (C)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và tiếp tuyến (d) với đồ thị (C) tại điểm M(0; −2)
Câu II ( 3,0 điểm )
a Giải bất phương trình 1 2 + x 1+ + 3x 1+ < 6x
b Tính tích phân : 2 cosx
sin x cosx 0
π
=
+
∫
c Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 1 = − − 3x 5 − trên [ ;2 ]5
3 Câu III ( 1,0 điểm )
Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a
.a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b Tính thể tích của khối nón tương ứng
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) ( Thí sinh chỉ làm phần a hoặc b )
1 PHẦN a:
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và
D(−2;1; −2)
a Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một hình tứ diện
b Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A
Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Giải phương trình 2z 4 + 2z 2 − = 1 0 trên tập số phức C
2 PHẦN b:
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(0;0;1) , B(0;0;−1),C(1;1;1) và D(0;4;1)
a Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D
b Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại C và tạo với trục Oz một góc 45 o Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Giải phương trình z 2 − (cos ϕ + isin )z isin cos ϕ + ϕ ϕ = 0 , ϕ∈ R trên tập số phức C
.Hết
Trang 2HƯỚNG DẪN GIAI ĐỀ 13
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x −∞ 1 +∞
y′ + 0 +
y +∞
1
−∞
b) 1đ Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm ⇒(d) : y 3x 2= −
2/3 3 2/3 3 20 88 4 3 2 3 2 S [y(d) y(C)]dx y(C)dx [ x 3x ]dx [x 3x 3x 2] dx 81 81 3 0 2/3 0 2/3 = ∫ − − ∫ = ∫ − + − ∫ − + − = + = Câu II ( 3,0 điểm ) a) 1đ Chia 2 vế cho x6 >0 : bpt ⇔ ( ) 1 6 x + 2.( ) 1 3 x + 3.( ) 1 2 x 1+ < 1 (1)
Đặt : f (x) ( )1 x 2.( )1 x 3.( )1 x 1 6 3 2 + = + + là hàm số nghịch biến trên R (2) Mặt khác : f(2) = 1 nên (1) ⇔f(x) f(2)< (2) ⇒ x 2> Vậy tập nghiệm của bpt là S (2;= +∞) b) 1đ Đặt u x 2 π = − thì ta có 0 cos( u) 2 cosx 2 2 sin u 2 sin x I dx du du dx sin x cosx sin u cos u sin x cosx 0 sin( u) cos( u) 0 0 2 2 2 π π π π − = = − = = + π π− + π− + + ∫ ∫ ∫ ∫ Do đó : 2 cosx 2 sin x 2 2 2I I I sin x cosxdx sin x cosxdx dx [x]0 2 0 0 0 π π π π π = + = + = = = + + ∫ ∫ ∫ I 4 π ⇒ = c) 1đ TXĐ : [ ;2 ]5 3 Ta có : y 2 3 ;y 0 x 89 48 2 3x 5 ′ = − ′ = ⇔ = − Vì 5 7 89 47 y( ) ,y(2) 2,y( ) = 3 = 3 = 48 24 Vậy : + Maxy = y( ) 5 = 7 3 3 5 [ ;2 ] 3
89 47 + miny = y( )
48 24 5
[ ;2 ] 3
=
Câu III ( 1,0 điểm )
Xét hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn tâm O , bán kính R
Gọi ∆ SAB cân là thiết diện qua trục SO Đường sinh : l = SA = SB = a AB a 2,R a 2
2
Trang 3a Do đó : S Rl 2 2 a
xq = π = π 2
2
b Đường cao : h SO AB a 2
V 1 R h2 2 a3
nãn
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
1 PHẦNa:
Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :
a) 1đ AB ( 1;1;0),AC ( 1;0;1),AD ( 3;1; 2)uuur= − uuur= − uuur= − −
[AB;AC] (1;1;1)uuur uuur = ⇒[AB;AC].ADuuur uuur uuur= − ≠4 0⇒,uuur uuur uuurAB,AC,AD không đồng phẳng
Do đó : A,B,C,D là bốn đỉnh của một hình tứ diện
b) Ta có : CD ( 2;1; 3),BD ( 2;0; 2),BC (0; 1;1) Do đó uuur= − − uuur= − − uuur= − Vtø diÖn = 1| [AB;AC].AD |uuur uuur uuur = 2
Độ dài đường cao đường cao kẻ từ đỉnh A : = uuur uuur6V = 2 3
hA | [BC;BD] | 3 Câu V.a ( 1,0 điểm ) :
Ta có : 2z 4 + 2z 2 − = 1 0 Đặt t z thì phương trình trở thành : = 2 2t 2 + − = 2t 1 0 (*)
Phưong trình (*) có ∆ = + = ⇒ ∆ = 1 2 3 3 nên (*) có 2 nghiệm :
− +
− +
+
− −
2 PHẦNa:
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
a Gọi phương trình mặt cầu (S) : x2+y2 +z2 +2ax 2by 2cz d 0+ + + = với
+ + − >
Vì mặt cầu (S) đi qua A,B,C,D nên ta có hệ :
− + =
+ + + + =
1 2c d 0
1 2c d 0
3 2a 2b 2c d 0
17 8b 2c d 0
Giải hệ này ta được : a 1,b= = −2,c 0,d= = −1
Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;0) , bán kính : R = 6
Do đó phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x 4y 1 0 − − =
b 1,0đ Gọi VTCP của (d) là ur ( ; ; ) víi a= a b c 2+b2+c2 >0; trục Oz có VTCP là kr=( ; ; ) 0 0 1
d
IC 2 1 1
+
uur
qua C(1;1;1)
( ) :
+ ( ; ; ) và tạo với Oz một góc 45 nên ta có hệ :o
Trang 42a b c 0
2
− + =
uur
r
r r
u
+ a = 0 , chọn b = 1 , c = 1 nên pt của (d) : x = 1 ; y = 1+ t ; z = 1 + t
+ 3a = 4b , chọn a = 4 thì b = 3 , c = −5 nên pt của (d) : x 1 y 1 z 1
− Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Phương trình có ∆ =(cosϕ +isin )ϕ −2 4sin cosϕ ϕ =(cosϕ −isin )ϕ2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm :
2
cos sin cos sin
cos cos sin (cos sin ) sin
……… HẾT………