Các khái niệm liên quan: + Giá trị x gọi là biến số đối số của hàm số.. + Tập D gọi là tập xác định của hàm số.. + Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.. Chú
Trang 1Phần I căn bậc hai_ căn bậc n
Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan
A Kiến thức cần nhớ:
1.Bất phơng trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0).
Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x0 =
-a
b)
b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất).
Nhị thức ax + b (a ≠ 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức , trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức
Ví dụ:
Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = 2x – 3 ; b) g(x) = -3x – 5
Giải
Ph ơng pháp: +) Xác định dấu của hệ số a
+) Tìm nghiệm của nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận
a) Ta có: a = 2 > 0
Nhị thức có nghiệm x0 =
3 2
Vậy f(x) < 0 nếu x <
3
2; f(x) > 0 nếu x >
3 2
( Hay 2x – 3 < 0 nếu x <
3
2
; 2x -3 > 0 nếu x >
3
2 )
b) Ta có: a = -3 < 0
Nhị thức có nghiệm x0 =
-3
5 Vậy f(x) < 0 nếu x >
-3
5; f(x) > 0 nếu x<
-3
5
( Hay 3x – 5 < 0 nếu x >
-3
5; 3x – 5 > 0 nếu x<
-3
5)
2 Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) |f(x)| < a ⇔
<
<
−
>
a x f a
a
) (
0
; b) |f(x)| ≤ a ⇔
≤
≤
−
≥
a x f a
a
) (
0
;
c) |f(x)| > a ⇔
>
−
<
≥
<
a x f
a x f a a
) (
) ( 0
0
; d) |f(x)| ≥ a ⇔
≥
−
≤
>
≤
a x f
a x f a a
) (
) ( 0
0
B Các ví dụ:
Ví dụ1:
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x – 7 < 0 ; b) -4x + 3 ≤ 0 ;
x - ∞ x 0 +∞
Trang 2Tài liệu ụn thi lớp 10( Đại số ) – GV: Lờ Văn Hũa THCS Xuõn Lõm – Tĩnh Gia
c) (2x – 7)( -4x + 3) ≥ 0 ; d) 0
6 2
) 2 )(
1 (
<
−
−
−
x
x x
Giải
Ph ơng pháp:
1) Đối với câu a) và b) ta có thể sủ dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi tơng
đ-ơng
2) Đối với câu c) và d) ta áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất
a) 2x – 7 < 0 ⇔ 2x < 7 ⇔ x <
2 7
Vậy x <
2
7 là nghiệm của bất phơng trình đã cho
b) -4x + 3 ≤ 0 ⇔ -4x ≤ -3 ⇔ x ≥
4
3 4
3 =
−
−
Vậy x ≥
4
3
là nghiệm của bất phơng trình đã cho
c) (2x – 7)( -4x + 3) ≥ 0 (*) Cách 1: Biến đổi tơng đơng (*) ⇔
≤ + − ≤ − ≥ + − ≥ − 0 3 4 0 7 2 0 3 4 0 7 2 x x x x ⇔ ≥ ≤ ≤ ≥ 4 3 2 7 4 3 2 7 x x x x ⇔ 2 7 4 3 ≤ x≤ Vậy Bpt (*) có nghiệm là x ∈ 2 7 ; 4 3 Cách 2: Vận dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất
1) Tìm nghiệm của các nhị thức bậ nhất: 2x – 7 = 0 ⇔ x = 2 7 ; - 4x + 3 = 0 ⇔ x = 4 3
2) Lập bảng xét dấu:
x -∞
4 3
2 7 +∞
2x – 7 - - 0 +
-4x + 3 + 0 - -
VT - 0 + 0 -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phơng trình là: S = 2 7 ; 4 3
Trang 3d) 0
6 2
) 2 )(
1 ( <
−
−
−
x
x x
1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất:
x – 1 = 0 ⇔ x = 1; 2 – x = 0 ⇔ x = 2; 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3
2) Lập bảng xét dấu:
x -∞ 1 2 3 +∞
x – 1 - 0 + | + | +
2 – x + | + 0 - |
-2x – 6 - | - | - 0 +
VT + | - | + || -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)∪(3; +∞)
Ví dụ2: Giải các bất phơng trình sau: a) 2x2 – 3x + 1 < 0 ; b) x2 + 4x +5 ≥ 0 ; c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 ; d) 2x2 – 5x + 2 < 0 H ớng dẫn giải Ph ơng pháp: Phân tích vế trái của các bất đẳng thức thành tích các nhị thức rồi thực hiện cách giải nh ví dụ 1.
a) 2x2 – 3x + 1 < 0 (1) (1) ⇔ 2x2 – 2x – x + 1 < 0 ⇔ 2x(x – 1) – (x – 1) < 0 ⇔ (2x – 1)(x – 1) < 0
b) x2 + 4x +5 ≥ 0 ⇔ x2 + 4x + 4 + 1 ≥ 0 ⇔ (x + 2)2 + 1 ≥ 0 Luôn đúng với mọi x
c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 ⇔ -2(x2 – 2x + 1) – 4 ≥ 0 ⇔ -2(x - 1)2 – 4 ≥ 0 vô lí
d) 2x2 – 5x + 2 < 0 ⇔ 2x2 – 4x – x + 2 < 0 ⇔ 2x(x - 2) – (x – 2) < 0
⇔ (2x – 1)(x - 2) < 0
Ví dụ3:
Giải các bất phơng trình sau:
a) |1 - 3x| < 2 ; b) |5x + 3| > 4 ;
c) |x2 – 5x + 5| ≥ 1 ; d) x−x
+
2
1 3 < 3
Giải a) |1 - 3x| < 2 ⇔ - 2 < 1 – 3x < 2 ⇔ - 3 < -3x < 1 ⇔
-3
1 < x < 1 Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈
(-3
1 ; 1)
b) |5x + 3| > 4 ⇔
−
<
+
>
+
4 3 5
4 3 5
x
x
⇔
−
<
>
5 7 5 1
x x
Trang 4Tài liệu ụn thi lớp 10( Đại số ) – GV: Lờ Văn Hũa THCS Xuõn Lõm – Tĩnh Gia
Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈
(-∞;-5
7 )∪( 5
1
;+∞)
c) |x2 – 5x + 5| ≥ 1 ⇔
−
≤ +
−
≥ +
−
1 5 5
1 5 5 2
2
x x
x x
⇔
≤ +
−
≥ +
−
0 6 5
0 4 5 2
2
x x
x x
Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈(-∞;1] ∪ [2;3] ∪ [4; +∞)
d)
x
x
−
+
2
1 3 < 3 ⇔
<
− +
−
>
− +
3 2
1 3
3 2
1 3
x x x
x
⇔
<
−
− +
>
+
− +
0 3 2
1 3
0 3 2
1 3
x x x
x
⇔
<
−
−
− +
>
−
− + +
0 2
) 2 ( 3 ) 1 3 (
0 2
) 2 ( 3 ) 1 3 (
x
x x
x
x x
(*)
⇔
<
−
−
>
−
0 2
5 6
0 2
7
x x
x
⇔
<
−
−
>
−
0 ) 2 )(
5 6 (
0 2
x x
x
⇔
<
−
>
−
0 5 6
0 2
x
x
⇔ x <
6 5
Vậy bất phơng trình có nghiệm x ∈(-∞;
6
5 )
Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:
<
− +
−
>
− +
3 2
1 3
3 2
1 3
x x x
x
⇔
−
<
+
−
−
>
+
) 2 ( 3 1 3
) 2 ( 3 1 3
x x
x x
⇔
<
−
>
5 6
6 1
x
Điều đó chỉ đúng khi 2 – x > 0 ⇔ x < 2.
Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
A Kiến thức cần nhớ:
1) Hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (a b)± 2 = a2 2ab + b± 2
+) (a b)± 3 = a3 3a± 2b + 3ab2 b± 3
+) a2 – b2 = (a - b)(a + b)
+) a3 b± 3 = (a b)(a± 2 ab + b2)
2) Các quy tắc về luỹ thừa(a, b, c ≠ 0, m∈Z)
+) am.an = am+n ; +) am : an = am-n
+) (am)n = am.n = an.m ; +) (abc)m = ambmcm
+)
m
m m
b
a b
a =
; +) a-m = m
a
1 3) Các quy tắc về căn bậc hai:
+) Điều kiện có nghĩa của A là A ≥ 0
+) Quy ớc a≥ 0
+)
−
=
=
a
a a
a2 Với các điều kiện có nghĩa thì:
nếu a ≥ 0 nếu a < 0
Trang 5+) a b = ab; ( )a n = a n ; +) ( a b c)n = a n b n c n
+)
b
a b
a: = (b ≠ 0); +) a2b = a b
+) a
−
=
b a
b a b
2
2 +)
b
b a b
a =
+)
c b
c b a c b
a
−
=
±
) ( ; ( 2 )
c b
c b a c b
a
−
=
±
(đk : mẫu thức khác 0)
Phần II: hàm số
hàm số bậc nhất-phơng trình & hệ phơng trình bậc nhất
Đ 1 Khái niệm về hàm số
A kiếm thức cần nhớ
1.Định nghĩa: Hàm số là một quy tắc đặt tơng ứng mỗi giá trị x ∈ Dduy nhất một giá trị
y ∈ R Kí hiệu y = f(x).
2 Các khái niệm liên quan:
+) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số Giá trị y gọi là giá trị của hàm số
+) Tập D gọi là tập xác định của hàm số.
+) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý: Nếu hàm số đợc cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất
cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa.
3 Đồ thị của hàm số:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm có
tọa độ (x;f(x))
4.Hàm số đồng biếm,nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D.
Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.
hệ phơng trình bậc nhất
A kiếm thức cần nhớ
1 Hàm số bậc nhất:
Đ/n: Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b (a ≠ 0)
a Tập xác định: D = R
b Chiều biến thiên: +) Nếu a > 0 thì hàn số đồng biến
+) Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến
nếu a ≥ 0 nếu a < 0
Trang 6Tài liệu ụn thi lớp 10( Đại số ) – GV: Lờ Văn Hũa THCS Xuõn Lõm – Tĩnh Gia
c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đờng thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lợt tại
A(0;b),B(-b
a;0)
Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đờng hớng lên từ trái qua phải.
Đồ thị hàm số nghịch biến là đờng hớng xuống từ trái qua phải
- Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đờng thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi là
phơng trình của đờng thẳng, a gọi là hệ số góc của đờng thẳng và a =tanϕ (với ϕ là góc tạo bởi đờng thẳng và trục hoành)
- Nếu a = 0 thì hàm số có dạng y = b , đồ thị là một
đờng thẳng đi qua điểm A(0;b) và song song với
trục hoành
2 Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng:
Cho hai đờng thẳng có phơng trình: y = a1x + b1 (d1) ; y = a1x + b1 (d2)
• d1cắt d2 ⇔ a1 ≠ a2; • d1 // d2 ⇔ 1 2
1 2
a a
b b
=
≠
• d1 ≡ d2 ⇔ 1 2
1 2
a a
b b
=
≠
; • d1 ⊥ d2 ⇔ a1 a2 = -1
3 Phơng trình dạng ax + b = 0 (1) (a;b ∈ R)
• Nếu a ≠ 0 : Pt (1) gọi là phơng trình bậc nhất và luôn có nghiệm duy nhất x b
a
= − .
• Nếu a = 0; B ≠ 0: Pt (1) vô nghiệm
• Nếu a = 0 và b = 0 : Pt (1) nghiệm đúng ∀x ∈ R
4 Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (1) (a 2 + b 2 ≠ 0)
Phơng trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:
x
c ax y
b
−
=
hoặc
y
c ax x
b
−
=
• Tập hợp các điểm M(x;y) trong đó x, y thỏa mãn (2) là một đờng thẳng
5 Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Có dạng:
(I)
y
x
y
x
A(0;b)
B(-;0)
a > 0 a < 0
A(0;b)
B(-;0)
y
x O
A(0;b)
a = 0
y = b
ax + by = c (1) a’x + b’y = c’ (2)
Trang 7• a a'≠b b' : Hệ (I) có nghiệm duy nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2).
• a a'=b b'≠ c c': Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).
•a a'=b b'= c c': Hệ (I) có vô số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) hoặc (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).
Ph ơng pháp giải:
• Phơng pháp thế
• Phơng pháp cộng đại số
Phơng pháp thế: Rút một ẩn từ một phơng trình rồi thế vào phơng ttrình còn lại.
Phơng pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phơng trình rồi trừ theo vế hai
phơng trình để khử bớt một ẩn.Tìm ẩn còn lại.
B các ví dụ về giải toán
Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)
a) Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến
b) Xác định m để đờng thẳng (d) :
1) Song song với trụ hoành
2) Song song với đờng thẳng có phơng trình: x – 2y = 1 (d’)
3) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = 2 - 3
2 c) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm cố
định đó
Giải a) -Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 > 0 ⇔ m > 1
-Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 < 0 ⇔ m < 1
b)Tìm m:
1) Đờng thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1
2) Viết lại đờng thẳng (d’) dới dạng: y = 1
2x - 1 2 Hai đờng thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi :
1 1
3 2
2
m
m m
− =
≠ −
3) Điểm A có tọa độ : A (2 - 3
2 ;0) Do đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có:
0 = (m - 1) (2 - 3
2 ) + m ⇔ m = 21 2 3
33
c) Điểm cố định:
Cách 1: (Phơng pháp hệ số bất định)
Gọi M(x0;y0) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y0 = (m - 1)x0 + m ∀ m ∈ R
⇔ (m - 1)x0 + m – y0 = 0 (*) ∀ m ∈ R
Vì (*) đúng với mọi ∀ m ∈ R nên:
Với m = 0: - x0 – y0 = 0 ⇔ x0 = -y0 (a)
Ví dụ 1:
Trang 8Tài liệu ụn thi lớp 10( Đại số ) – GV: Lờ Văn Hũa THCS Xuõn Lõm – Tĩnh Gia
Với m = 1: 1 – y0 = 0 ⇔ y0 = 1 thay vào (a) ta có: x0 = -1
Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1)
Cách 2: (Phơng pháp đồng nhất thức)
Gọi M(x0;y0) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y0 = (m - 1)x0 + m ∀ m ∈ R
⇔ (x0 + 1)m – ( y0 + x0) = 0 (*) ∀ m ∈ R
⇔ 0 0
⇔
Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1)
Cho hàm số y = (m - 2)x + n (∆) trong đó hai số m , n là hai số thực cho trớc
a) Tìm m và n để đờng thẳng (∆) đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4)
b) Tìm m và n để đờng thẳng (∆) cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 - 2 và cắt trụ hoành tại điểm N có hoành độ x = 2 + 2
c) Tìm m, n để đờng thẳng (∆) :
1) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình x – 2y = 3 (∆1)
2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1 (∆2)
3) Trùng với đờng thẳng có phơng trình y – 2x + 3 = 0 (∆3)
Giải a) Vì đờng thẳng (∆) đi qua A và B nên ta có hệ sau:
b) M(0; 1 - 2);N(2 + 2;0) Tơng tự nh câu a) ta có hệ sau:
3 2
1 2
2 ( 2)(2 2) 0 1 2
c) Xác định m, n:
1) Đờng thẳng (∆1) viết lại dới dạng: y = 1 3
2x−2 Điều kiện để đờng thẳng (∆) vuông góc với đờng thẳng (∆1) là:
(m - 2).1
2 = -1 ⇔ m – 2 =-2 ⇔ m = 0
2) Viết 3x + 2y = 1 dới dạng y = -3
2x + 1
2, điều kiện là :
2
3) Viết y - 2x + 3 = 0 dới dạng y = 2x – 3, điều kiện là:
Ví dụ 2:
Trang 9Đ 3 hàm số y = ax 2 _ phơng trình bậc hai
A kiếm thức cần nhớ
1 Hàm số y = ax 2
• Tập xác định : D = R
• Chiều biếm thiêm:
a > 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng ( - ∞; 0] và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞ ).Giá trị nhỏ nhất bằng không
a < 0: Hàm số đồng biến trong khoảng ( - ∞; 0] và nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞ ).Giá trị lớn nhất bằng không
• Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax2 là một parabol, đi qua gốc tọa độ, nhận trục tung làm trục đối xứng,quay bề lõm lên phía trên nếu a > 0 (quay bề lõm xuống phía dới nếu a < 0)
2 Phơng trình bậc hai
Có dạng: ax2 + bx + c =0 (a ≠ 0)
Cách giải:
∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac; b = 2b’)
Nếu ∆ < 0 (∆’< 0) thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Nếu ∆ = 0 (∆’ = 0) thì phơng trình đã cho có nghiệm kép x1 = x2 =
2
b a
− ( b'
a
− )
Nếu ∆ > 0 (∆’ > 0) thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
1 ' '
2
x
' ' 2
x
Đặc biệt:+)Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình bậc hai có hai nghiệm:x = 1 và x = c
a +) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình bậc hai có hai nghiệm:x = -1 và x =- c
a .
3 Định lí Viét và các ứng dụng
a) Định lí: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x1; x2
thì 1 2
1 2
b
x x
a c
x x a
+ = −
b)ứ ng dụng:
1) Tìm hai số nếu biết tổng và tích:
Nếu hai số x ; y thỏa mãn
2 4
x y S
xy P
+ =
=
≥
thì x ; y là hai nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0
2) Xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:
• Phơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0
• Phơng trình có hai nghiệm dơng (x1 > 0; x2 > 0 )
0 0 0
S P
∆ ≥
⇔ >
>
Trang 10Tài liệu ụn thi lớp 10( Đại số ) – GV: Lờ Văn Hũa THCS Xuõn Lõm – Tĩnh Gia
• Phơng trình có hai nghiệm âm (x1 < 0; x2 < 0 )
0 0 0
S P
∆ ≥
⇔ <
>
4.Phơng trình trùng phơng:
Có dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
Cách giải: Đặt x2 = t , điều kiện t ≥ 0 ; phơng trình đã cho có dạng
at2 + bt + c = 0
5 Cách giải ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu.
Cách 1: + Tìm ĐKXĐ
+ Qui đồng mẫu rồi khử mẫu
+ Giải phơng trình tìm đợc
+ Trong các gía trị tìm đợc của ẩn, gía trị nào thoả mãn ĐKXĐ là nghiệm của phơng trình, gía trị nào không thoả mãn ĐKXĐ thì loại rồi kết luận
Cách 2: Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai (nếu có thể)
6 Cách giải ph ơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 1: Xét khoảng để bỏ dấu gía trị tuyệt đối (lu ý đối chiếu gía trị tìm đợc của ẩn với khoảng
đang xét)
Cách 2: Đa về phơng trình tích
Cách 3: Bình phơng hai vế (Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu)
Cách 4: Đặt ẩn phụ
Cách 5: Biến đổi tơng đơng
⇔
≥
⇔
b 0
a = b
a = b ±
Cách 6: Sử dụng tính chất BĐT:
a ≥ ∀ 0 a
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = 0
≥
a a với mọi a Dấu "=" xảy ra ⇔ a ≥ 0
≥
a - a với mọi a Dấu "=" xảy ra ⇔ a ≤ 0
≤ +
a + b a b Dấu "=" xảy ra ⇔ ab ≥ 0
7 Cách giải ph ơng trình bậc cao.
Cách 1: Đa về phơng trình tích
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Cách 3: Sử dụng tính chất của BĐT, so sánh gía trị hai vế
8 Giải ph ơng trình vô tỉ.
Cách 1: Bình phơng hai vế
(Lu ý: Phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi và chỉ khi cả hai vế cùng dấu)
Cách 2: Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối
Cách 3: Biến đổi tơng đơng
≥
⇔
2
b
a = b
Cách 4: Đặt ẩn phụ
Cách 5: Sử dụng tính chất BĐT
9 Ph ơng trình nghiệm nguyên.
Cách 1: Biến đổi về phơng trình có 1 vế là tích các nhân tử chứa ẩn có gía trị nguyên, 1 vế là 1 hằng số
Cách 2: Rút ẩn
