chuyên đề đại bồi dưỡng hsg cực hót

Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương.. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn...

2) Bảng các hệ số trong khai triển ( )n

x y+ - tam giác pascal

= 2 2 2

a a− +b b− +c c− ≤ 0 Hay a3 + +b3 c3 ≤ 1

Dấu “=” xảy ra nên a, b, c ∈[ ]0,1 suy ra b9 =b2

được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau

Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0

Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k ≥ 0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1

Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có đẳng thức :

a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b +… + b n-1 )

Chứng minh

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp

* Khi n=2 ta có a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) là đúng

* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k Tức là ta có : a k -b k =(a-b)(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 )

Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 Tức là C/m a k+1 -b k+1 =(a-b)(a k +a k-1 b +… + b k )

Thật vậy ta có :

VT = a k+1 - b k+1 = a k+1 -a k b + a k b -b k+1 = a k (a-b)+ b(a k -b k )

= a k (a-b) + b(a-b)(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 )

= (a-b)[ a k + b(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 )] = (a-b)(a k +a k-1 b +… + b k ) = VP

Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có đẳng thức :

1) n(n +

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N * ta có :

1 2 +2 2 +3 2 + 4 2 +5 2 +……+n 2 = 6

1 + + 1)(2n ) n(n

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N biểu thức U n =13 n -1 chia hết 6.

Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có 2 n > 2n+1

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 4.32n 2+ +32n 36 64− M

Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: (n+1)(n+2)…(2n) M 1.3.5…(2n-1)

Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n3 +2n M 3

Ngày soạn:

Ngày giảng:

CHUYÊN ĐỀ 3: TÍNH CHIA HẾT

A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN

1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b≠0) Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên

(q, r) sao cho a = bq + r với 0 r≤ < b.

* Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a M b ⇔ a = kb a, b, k ∈ ¥

2 Tính chất của qua hệ chia hết:

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia cho p.

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi một nguyên

tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đó.

* Để CM f(x) chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi chia x cho m.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI :

1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p

Ví dụ : A(n) = n(n 2 +1)(n 2 +4) chia hết cho 5

n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5

a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5

b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n 2 = 25k 2 +10k +1 thì (n 2 +4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n 2 = 25k 2 +20k +4 thì (n 2 +1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n 2 = 25k 2 +30k +9 thì (n 2 +1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho

5

e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n 2 = 25k 2 +40k +16 thì (n 2 +4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q

b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh

B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q

3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n) M m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và

chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n.

4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n) M m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một

nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :

a n – b n M a – b ( a ≠b) n bất kỳ.

a n – b n M a – b ( a ≠- b) n chẵn

a n + b n M a + b ( a ≠- b) n lẻ.

Bài 1: Chứng minh rằng n3 −n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n

Bài 2: Chứng minh rằng m3 + 20m chia hết cho 48 với mọi số chẵn m

c) a< b⇔a.c < b.c (với c > 0)

a< b⇔a.c > b.c (với c < 0)

1 +) ≥ 4

Vì a, b l hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b

Bài 1:Cho x, y, z >0 Chứng minh rằng

1 1 1x+ + ≥y z x y z+ +9

Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 1 1 1x+ +y z

Và x + y + zBài 2: Chứng minh rằng nếu các số

dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

1 2

b+ ; 1

b + ca + 2

1 2

Bài 6: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các

độ dài của một tam giác có p là nửa chu vi

ab bc ca

b + c + a ≥ + +Ngày soạn:

1 Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1

2 Nếu a=3k thì a2 ≡ 0 mod 9( ); Nếu a≠3k thì a2 ≡ 1 mod 3( )

3 Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào

4 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

5 Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính

phương

6 Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương

HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈N).

4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈N)

5 Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.

Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈N) Ta có

Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

9 8 10 8 10 4 10

4 2n − n + n − +

1 10 4 10

4 2n + n +

=  3 + 

1 10

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28

Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

Bài 4: Tìm n ∈ N để các số sau là số chính phương:

⇒ (m + n)(m - n) M 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

⇒ Điều giả sử sai

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương

Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính

C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một

đơn vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.

Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số

cuối giống nhau.

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9

Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)

Nhận xét thấy aabb M 11 ⇒ a + b M 11

Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11

Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương

Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn ⇒ b = 4

Số cần tìm là 7744

Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.

Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập

phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y ∈ N

Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương

4(10 1) 9

Bài tập 4: Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm

nhau (a,b,c)thỏa mãn phương trình abc =

3(a+b+c)

Gs:2≤a<b<c :abc M3 => a,b hoặc c M3

Gs bM3 vì b la số nguyên tố =>b=33ac=3(a+b+3)  ac = a + c + 3

 (a-1)(c-1)=4 =>a - 1 = 1,c - 1 = 4Ngày soạn:

Ngày giảng:

CHUYÊN ĐỀ 6:

RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m

c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn

x

x x

x x

x

x x

−

+++

)3(

232

3

2

x

2

2 3

4 5

−+

+

−

−+

− + +

1

− - 2 1

2 2 3 + +

Bài 8:

1)Tính P =

2000

1999 2000

1999 1999

1999 1999

2

2000 2 + + 22 +

P =

2000

1999 2000

1999 2000

2 +

2 2

2 2

2

) 4 x ( x

1 x x

1 x 4 x

1 x 4 x

1 x

Trên tập xác định của biểu thức f(x,y, )

a Số A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y, )nếu f x y( , , ) ≤A và có (x 0 ; y 0; ) sao cho

- Chỉ ra bộ số (x0; y0 ) sao cho f x y( , , ) 0 0 =A hoặc f x y( , , )0 0 =B

- Kết luận: Max f =A khi x = x0 ; y = y0 .

+ x+y ≤ x+ y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: xy≥ 0

+ Bất đẳng thức Côsi và các dạng tương đương của bất đẳng thức Côsi,

B CÁC DẠNG BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT THƯỜNG GẶP

minA = 1⇔ y = 2 ⇔

1

2

x = 13x - 1 = 2 -1

x = 3

éêêÛêê

3 Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 2

6x - 5 - 9x

Hướng dẫn

5 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến

Ví dụ 1: tìm giá trị nhỏ nhất của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

Hướng dẫn

Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 + y2

Đến đây có nhiều cách giải:

Cách 1: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x:

Thay y = 1 - x vào biểu thức A

A = x2 + ( 1 - x)2 = 2 (x2 - x) + 1 = 2 (x - 1

2 )2 + 1

1 2

2 minA = 1

2 Û x = y = 1

2

Cách 3: Sử dụng điều kiện đã cho để đưa vào một biến mới:

- Có thể giải câu b dựa vào câu a: Vì A + 2B = 9 nên B lớn nhất Û A nhỏ nhất

6 Vận dụng các bất đẳng thức đã biết một cách linh hoạt.

7 Xét biểu thức phụ:

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 + 1

1 - x x , với 0 < x < 1Hướng dẫn

Û í

ïïïî

Do đó minA = 2 2 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1

8 Một vài điểm chú ý khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức:

Chú ý 1: Khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức ta có thể đổi biến.

Chú ý 2: Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, ta có thể dùng các phép

biến đổi tương đương

Chú ý 3: Để tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể tìm cực trị của biểu thức đó trong

từng khoảng của biến, sau đó so sánh các cực trị này với nhau để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trong toàn bộ tập xác định của biểu thức

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = y

So sánh các giá trị trên của A ta thấy maxA = 4 ⇔ x = 0, y = 4

Chú ý 4: Với hai số không âm

- Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

- Nếu hai số có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

Để chứng minh hai mệnh đề trên, ta dùng bất đẳng thức (a + b)2 ³ 4ab

- Nếu hai số a và b có a + b = k (hằng số) thì từ (a + b)2 ³ 4ab ta có ab ≤ k2

Hướng dẫn

Chú ý 5: Trong các ví dụ trên ta chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức

Tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất không đòi hỏi như vậy: Chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 11 - 5m n với m, n là các số nguyên dương

Hướng dẫn

Ta thấy 11m có tận cùng bằng 1, còn 5n có tận cùng bằng 5 Nếu 11m > 5n Thi A tận cùng bằng 6, Nếu 11m < 5n thì A tận cùng bằng 4

Ta chỉ ra một trường hợp A = 4: Với m = 2, n = 3 thì A = 121 - 125 = 4

Như vậy minA = 4 khi chẳng hạn m = 2, n = 3

Ta thấy (2; 3) là một cặp giá trị của m và n để A = 4.

Việc tìm ra mọi cặp giá trị của m và n để A = 4 rõ ràng là một việc khó khăn hơn nhiều

Bài 1: Cho biểu thức:

P =

x

x x

x x

)3(

232

3

a) Rút gọn biểu thức P (P =

1

8 +

+

x

x

)b) Tính giḠtrị của P với x = 14 - 6 5

1

9 1 1

9 1 1

9 1 1

= + +

−

= +

+

−

= +

+

x

x x

x x

x x

+

x

Bài 2: Cho x > 0 ; y > 0 thỏa mãn: x + y ≥ 6

Hãy tính giḠtrị nhỏ nhất của biểu thức:

M = 3x + 2y + 6x+8y

( x y )

y

y x

x y

2

6 2

3 2

3 2

2

623

áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có :

y

y x

.22

2.266.2

3

++

≥

xy x

yz z

xy

2

≥

x

yz z

xy

2ytương tự z

y

zx x

P =

1

3 4

2

2 +

−

x

x x

(P =

1

) 1 2 ( 1

2

2 2

+

−

− +

x

x x

= 1 -

1

) 1 2 (

2

2 +

(áp dụng BĐT Cautry cho ba số dương x, y, z : x + y +z ≥3 xyz3

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

a

b'

−)(1) có hai nghiệm phân biệt <=> ∆ > 0 (∆ '> 0)

3/ Hệ quả

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 =

a c

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 =

Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0

Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu <=> { 0

P S

Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm <=>

P S

B/ Bài tập

Bài 1: Cho phương trình: 2x2 + mx – 5 = 0

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm là 1.Tìm nghiệm còn lại

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1.Tìm nghiệm còn lại

Bài 2: Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn:

-

1

2 2

Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2x + m + 2.

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng đều Trái dấu?

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

- x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6

- x1 + x2 + 4x1x2 = 10

Bài 4: Cho phương trình: x2 – 8x + m + 5 = 0

a) Giải phương trình với m = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương

c) Tìm m để phương trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia Tìm các nghiệm trong trường hợp này

Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình CTR: A = x1 + x2 –x1x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x12 + x22 - 3x1x2 = 6

Bài 6: Cho phương trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – m – 2 = 0

a) CTR: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 ≤3

Bài 7: Cho phương trình: x2 + 2x + 2m + 5 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tính A = x12 + x22 theo m

Bài 8: Cho phương trình: x2+ (m + 1)x + m = 0

a) Giải phương trình với m = 3

b) CTR: Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để x12x2 + x1x22 = 10

Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2x + m – 2 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu?

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:

3

10

1

2 2

x

x x

x

II/ Phương trình tam thức.

1) Định nghĩa:

Phương trình tam thức là phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (a≠0) (1)

trong đó a, b, c là các số thực, n nguyên dương, n ≥ 2