TỔ TOÁN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NGUYỄN AN NINH
ĐỀ THI THƯ ĐẠI HỌC NĂM 2009 – 2010
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I : ( 2 điểm )
1) Giải phương trình : 4 x2+77−3 x2 − − =3 2 0.
2)Cho số tự nhiên n ∈N * , x ∈R,a ≠0 ,b ≠0 và a + b ≠0 thỏa :
sin x cos x 1
a + b =a b+ .
Chứng minh rằng :
sin n cos n 2
n
a + b = a b+
Câu II : ( 1 điểm ) Tính tích phân
4 6
4
tan 1
x
x
e
p
p
-=
+
Câu III : ( 2 điểm ) Cho hàm số
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (1)
2) Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng d có phương trình: 5 61
4 24
x
y = + để từ đó kẻ đến đồ thị (C) của hàm số (1) ba tiếp tuyến tương ứng với ba tiếp điểm có hoành độ x 1 , x 2 , x 3 thỏa: x1< < <x2 0 x3
Câu IV : ( 1 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= -éë 2x+(m- 5)y+1ù éû ë2+ 3x+(m+5)y- 4ùû2
( Trong đó x và y là ẩn số và m là tham số ).
Câu V : ( 1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có cạnh AB = a, cạnh AD = b, góc BAD =· 600 Cạnh SA = 4a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho AM = x ( 0 < x < 4a ) Mặt phẳng (MBC) cắt cạnh SD tại N Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD ra thành hai phần sao cho thể tích của khối SBCNM bằng 5
4 thể tích của khối BCNMAB.
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) :Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A.Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a ( 2 điểm )
1)Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1: 4 1 3
−
Viết phương trình tham số của đường thẳng d3 đối xứng với đường thẳng d2 qua đường thẳng d1.
2)Tìm m nguyên để hệ phương trình ( ) ( )
2 2
6 6 13 0
Câu VII.a ( 1 điểm) Cho các số thực a,b,c và số phức 1 . 3
Chứng minh rằng :(a bz cz+ + 2) (a bz+ 2+cz) ≥0.Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào?
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b ( 2 điểm )
1)Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;1;1 , 1;1; 1 ,) (B − ) (C −1;2;3 ,) (D 4; 2;0− )và mp(P) có phương trình :
2x+3y z+ − =13 0.Tìm tọa độ điểm M nằm trên mp(P) sao cho −2uuurMA+2uuur uuuurMB MC− +2MDuuuur ngắn nhất
2)Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(−2;1 , 2;4 , 10;6) ( ) (B C ).Trong tam gáic ABC ,hãy viết phương trình tham số đường phân giác ngoài của góc A
Trang 2Câu VII.b ( 1 điểm ) Giải hệ phương trình :
ïï
íï ïï
ïỵ
.
ĐÁP ÁN Câu I : ( 2 điểm )
1)Đặt : u= 3 x2−3 và v= x4 2+77 ĐK: v 0( ≥ )
Ta có hệ : ( )
( )
3 4
2 0 1
80 2
v u
− − =
Thế v = u+2 vào phương trình (2)
(2) ⇔ − −u4 7u3−24u2−32u+64 0=
⇔u = 1 hay u = - 4
(I)⇔ ==13
u
4
2 Loại
= −
= −
u v
KL : x = 2±
2) Ta có : sina4x+cosb4 x=a b1
+
+
+
⇔ bsin2x a= cos2 x
Ta có :
sin x cos x sin x cos x 1
+
sin n cos n 1
n
sin n cos n 2
n
Câu II :( 1 điểm )
Đặt : x = -t Þ dx = -dt
Đổi cân : x=p4 Þ t=- p4; x=- p4 Þ t=p4
I =
Ta có : I + I =
x
-+
Þ 2I =
4
6 4
tan xdx
p
p
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
KL : I=2630 4- p
Câu III : ( 2 điểm )
y=- - + x+ có tập xác định D= R
lim
®+¥ =- ¥ và limx y
®- ¥ =+¥
y =- x - x+
=-Hàm số đồng biến trên khoảng :(-2;1) Hàm số nghịch biến trên khoảng: (-∞;-2),
(1; +∞)
Điểm cực đại của đồ thị hàm số : ỉ ưçççè ø1;72÷÷÷ Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số : (- 2; 1- )
Tọa độ điểm uốn : Iỉç-ççè 1 52 4; ư÷÷÷ø Vẽ đồ thị hàm số :
2)∀M ∈ d : M(m;5 61
4 24
m
+ ) Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M0(x0;y0 ):
3 2
0 0
0 7 2
y- -ỉççç - + x + ư÷÷÷÷
2
0 0 2
- - + )(x – x0 ) Tiếp tuyến đi quaM ⇔
3 2
0 0
0
÷ + - -çç - + + ÷
÷
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
x y
-2 -1
7
1 0
Trang 3( ) ( )
4
4
tan tanx x 1 tan tanx x 1 tan x 1 1dx
p
p
ị
4
tan tan tan
p
ë û = 2615 2- p
( )
0
2
1
0
2
0 *
x
m
= >
⇔
Để thỏa YCBT ⇔(*) có hai nghiệm âm phân
biệt
⇔
3 12
18
m
m
m
m
ìïï + - >
ïï
ïï
ïï - >
íï
ïï
ïï - <
ïï
ïỵ
5 18 5 6
m m
⇔ <
<
KL: Những điểm M nằm trên d phải có hoành
độ thỏa : x M<- 52hay16<x M <185
Câu IV : ( 1 điểm )
Xét hệ : ( )
ìï - + - + =
ïí
ïỵ
ïí
ï - +
=-ïỵ
(I) TH1 : m ¹ 1
MinP = 0 khi 3và y= 1
1 m - 1
m x m
-= -TH2 : m = 1
Đặt : t = -2x – 4y +1
Khi đó :
2 2
P= t + t+ = ỉççt+ ư÷÷+ ³
÷
çè ø MinP = 1325 khi t = - 1513 khi 2 4 28 0
13
x+ y- =
KL :
m ≠1: MinP = 0 khi 3và y= 1
1 m - 1
m x m
-= -m=1 : MinP = 2513 khi 7 1
x k R
ì = Ỵ ïï
ïí
ï = -ïïỵ
0,25 0,25
0,5
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
2
0 0 2
- - + )(m – x0 )
⇔
m
x +ỉçç - m xư÷÷ - mx + - =
÷
çè ø
(MBC ) I (SAD) = MN P AD P BC ( N ∈ SD )
2 0
.
1 . .sin 60 2 3
S ABCD
a b
2
a b
.
4
4
S MBC
S ABC
3 4 12
SMBC
ab a x
-2
.
S MNC
S ADC
ỉ ư÷ ç
= =ççè ÷÷ø
3 4 48
SMNC
.
48
S BCNM SMBC SMNC
3 12 48
BCNMAB
-Thỏa YCBT : .
5 4
4a
x = (Nhận) 3
32a
x = (Loại) 3
⇔
KL : x = 4a3 Câu VIa 1)∀M ∈d2 :M(− +1 2 ;3t2 −t2;2−t2)
Dựng mp(P) đi qua M và vuông góc với d1 Ptmp(P) đi qua M và có VTPT nr= −( 1;1;1)
:
2
4 6 0
H = (P) I d2 Þ H =hc 1
M d
4 ;5 4 ;1 4
Hỉç t t t ư÷
Þ ççè - - ÷÷ø
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 4Câu V : ( 1 điểm )
2)đường thẳng ∆ có phương trình :
(1+m x) (+ m−2)y m+ + =3 0 và đường tròn
(C) có phương trình :x2+ +y2 6x−6y+13 0=
( C ) có tâm I(-3;3) và có bán kính R = 5
Hệ vô có nghiệm ⇔ ∆ và ( C) không có điểm
chung⇔d I( ,∆ >) R
2
6
5
−
m
11
1 9
⇔ − < <m
KL : m = 0 hay m = -1
Câu VIIa ( 1 điểm )
Ta có : (a bz cz+ + 2) (a bz+ 2+cz)
= a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca
=12(2a2 + 2b2 +2 c2 –2 ab – 2bc – 2ca)
=1 ( ) (2 ) (2 )2
2 a b− + −b c + −c a ≥0(ĐPCM)
Dấu “ =” xảy ra khi a = b = c
Câu VIb ( 2 điểm )
1)Gọi I thỏa : 2− IAuur+2IB ICuur uur− +2IDuur r=0
Û - - - =r
Ta tìm được I(5; -6 ; -7 )
Lúc đó : 2− MAuuur+2MB MCuuur uuuur− +2MDuuuur=MI
2MA 2MB MC 2MD
− uuur+ uuur uuuur− + uuuur ngắn nhất⇔ đoạn
MI ngắn nhất khi M hc= I( )P
Phương trình chính tắc của d qua I và d vuông
góc với (P) : 5 6 7
x− = y+ = +z
M=(P) I d Þ M(9;0;-5)
2)Đường thẳngAB ,AC lần lượt có các Vectơ
đơn vị : 1
4 3;
5 5
AB
e
AB
uuur
ur
uuur , 2
12 5;
13 13
AC e
AC
uuur uur uuur Phương trình đường phân giác ngoài của góc A
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
điểm của đoạn MK
Đường thẳng d3 đối xứng với đường thẳng d2 qua đường thẳng d1
Kỉç t t t ư÷ d
Þ ççè+ - - ÷÷øỴ KL: ptts của dường thẳng d3 đối xứng với d2 qua d1có dạng: x= +1 2 ,t y= −7 5 ,t z= −5t
2)Nghiệm của hệ là số giao điểm của Xét hàm số
( ) 3 3 3 ln( 2 2 2)
f t = + - +t t t - t+ trên R
Ta có :
2 2
t
= + + > " Ỵ
- + Xét hàm số g(t) = t trên R và g’(t)=1 >0,∀t
Hàm f(t) và hàm g(t) cùng đồng biến trên
R
x ≤y Þ f(x) ≤ f(y) Þ g(y) ≤g(z) Þ y ≤ z
Þ f(y) ≤ f(z) Þ g(z) ≤ g(x) Þ z ≤ x Vậy : x = y = z = t
t là nghiệm của phương trình :
3 2 3 ln 2 2 2 0
t + - +t t - t+ = (*) Hàm số h(t) = t3+ - +2t 3 ln(t2- 2t+ 2)
đồng biến trên R (vì có
2 2
t
- + >0,∀t ∈R) và
h(1) = 0 (*) có nghiệm duy nhất t= 1 KL: Hệ có nghiệm duy nhất (1;1;1)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
D B
A
C
S
M
N
Trang 5có Vectơ chỉ phương : 1 2
8 14;
65 65
ur uur
hay (-4,7)
KL : Phương trình tham số của đường phân giác
ngoài của góc A là : = +y x= − −1 72 4t t ( t ∈R )
Câu VII b ( 1 điểm )
0,25
0,25
Hết