CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải hệ phương trình: ( )
3
3
, 7
x y R
(Dự bị 1-D-2006) HD: Đặt u x y
v xy
= −
=
; Nghiệm:
Bài 2: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )
1
2 2
2
2 2
13
, 25
x y R
(Dự bị 2-B-2006)
1
2 2
3
13 HD: Hê
25
x y x y
⇔
&
(4) và (2) → kết quả ĐS: (x y; ) ( ) (= 3; 2 ∧ x y; ) (= − −2; 3)
Bài 3: Giải hệ phương trình: ( ) ( )
,
x y R
(Dự bị 2-A-2006)
3 3
2
2 2
&
Nghiệm: ( ) (3;1 ; 3; 1 ;) 4 6; 6 ; 4 6 ; 6
Bài 4: Giải hệ phương trình: ( ) ( )
2 2
,
x y R
(Dự bị 1-A-2006) HD: Khi y=0 ⇒ hệ vô nghiệm
y ≠ 0: chia hai phương trình cho y ta được hệ đối xứng
ĐS: (x;y) = (1;2) ; (x;y)= (-2;5)
Bài 5: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( )
I
+ + + =
(Dự bị1-A-2005)
2
HD: I
&
Bài 6: Giải hệ phương trình: 2 1 1 ( )I
(Dự bị2-A-2005)
-1
y
Bài 7: Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
3 2
1 1
(Dự bị2-A-2007)
Trang 2( )
2
2 3
1
Bài 8: Giải hệ phương trình:
4 2
5
5
1 2
4
x y R
+ + + + = −
(A-2008)
2 2
3
5
4 4
2
y
=
Bài 9: Giải hệ phương trình: 42 3 2 2 ( )
,
x y R
(B-2008)
2
3 2
2
2 4
4
x x x
x y
= + −
= −
&
&
Bài 10: Giải hệ phương trình:
( )
2
2
,
x y R
+ + = −
(D-2008)
( )
x 1
y 0 5
Thay vào 2 Nghiêm:
2
x y
≥
=
⇒ & = Bài 11: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
1 3
2
2
(B-2002)
( )
1 3
Thay vào 2 Nghiêm:
2
x y
x y x x
y
y
=
=
=
=
&
Bài 12: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
1
1
2
x
x x
x
y
+
+ (D-2002)
x
x
y
= >
Trang 3Bài 13: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
1
2 3
y x
− = −
(A-2003)
( ) ( )
1
1
x y
x y
xy xy
x y
=
⇒ − + ÷= ⇔ = −
&
Bài 14: Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2
1 2 2
2 2
2 3
2 2
y y x x x y
=
(B-2003)
2 2
2 2
1
x y
xy x y
y
y x x
=
=
= +
Bài 15: Giải hệ phương trình:
( ) ( )21 ( )
3
,
x y R
(A-2006) HD: Đặt u= xy≥0; 1( ) ⇒ + = +x y 3 u Bình phương hai vế (2) đi đến phương trình
( ) ( ) 2
2 u + + = − ⇒ = ⇒u 4 11 u u 3 Nghiêm hê ;x y = 3;3
& &
Bài 16: Giải hệ phương trình:
( )
1 2
1 7
,
1 13
x y R
+ + =
(B-2009)
2
1
7
0 không th/m, chia 1 cho , chia 2 cho ta có
1
13
y
y
+ + =
+ ÷ − =
3
& &
Bài 17: Giải hệ phương trình: ( ) ( )
1
2
, 5
1 0
x x y
x y R
x y
x
(D-2009)
2
2
2 5
x y
+ + =
Bài 18: Chứng minh rằng hệ phương trình:
2
2
2007
1 2007
1
x
y
y e
y x e
x
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x>0, y>0. (Dự bị 1-B-2007)
Trang 4HD: Đặt ( ) ( ) ( )
2
2 2
1
t t
−
′
Ta có f tăng ngặt trên từng khoảng xác định và g giảm ngặt trên từng khoảng xác định.
( ) ( )
2007 Hê
2007
&
Nếu x> ⇒y f x( ) > f y( ) ⇒g y( ) <g x( ) do * suy ra ( ) y x> vô lí
Tương tự y x> ⇒ vô lí
x x e
x
=
1
x x
x
− Nếu x< −1 thì ( ) 1
2007 0
h x <e− − < ⇒ hệ VN
2
3
1
x
x x
x
′′
và có đồ thị là đường cong lõm trên (1;+∞) Lại có h(2)<0 suy ra h(x) =0 có đúng 2
nghiệm x1>1,x2 >1.
Bài 19: Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
5
+ + + =
(D-2007)
HD: Đặt u x 1;v y 1 ( x 2; y 2)
= + = + ≥ ≥ thì u,v là nghiệm của phương trình
( ) 1
2 5 8
t − + =t m Xét f(t)=VT(1) trên (-∞;-2] và [2;+∞) ⇒ 7 2
4≤ ≤m hoặc m ≥ 22.
Bài 20: Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình mx y x my− =13
có nghiệm (x;y) thỏa mãn xy<0. (A,B,D-2008)
3
m< − ∧ >m
Bài 21: Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
1
1 3
ĐS: 0 1
4
m
≤ ≤
Bài 22: Giải hệ phương trình 22 2 2 3 11 1 ( , )
y
x
x y R
−
−
HD: Đặt u x= −1;v= −y 1 ta có Hệ ⇔
2 2
1 3
1 3
v
u
( )
Trang 5Nếu u>v ⇒ f(u)>f(v)⇒ 3 v >3 u⇒ v>u vô lí, do đó ta có hệáu
2 1 3u 1 3u 1
=
Hàm số g u( ) =3u( u2+ −1 u) tăng ngặt trên R và g(0)=1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=y=1
Bài 23: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )
( )
1 2
HD: ĐK: x>-1; y>-1 (2) ⇒ =x x=102y y⇒ x,y cùng dấu hoặc x=y=0.
( )1 ⇒ln 1( + − =x) x ln 1( + −y) y
Xét hàm số ( ) ln 1( ) có ( ) ; ( ) 0 0
1
t
t
−
+ Lập bảng biến thiên suy ra:
Nếu − < =1 x 2y< <y 0 hay 1− < =x 10y< <y 0 3 thì ( ) f x( ) < f y( )
⇒ (1) không có nghiệm thỏa (3)
Nếu 0< < =y x 2 hay 0y < < =y x 10y ( )4 thì f x( ) < f y( )
⇒ (1) không có nghiệm thỏa (4)
Hiển nhiên x=y=0 là nghiệm của hệ
Bài 24: Giải hệ phương trình ( ) ( )
( )
1
4
2
2 2
1
25
y x
y
+ =
(A-2004)
HD: ĐK y>x và y>0;
4
−
Thay vào (2) ⇒ y=±4 ⇒ nghiệm của hệ (x y; ) ( )= 3; 4
Bài 25: Giải hệ phương trình
( )
1 2
HD: ( )2 ⇔3 1 log( + 3x)−3log3y= ⇔3 log3x=log3 y⇔ =x y
Thay vào (1) ⇒ x=1; x=2 ⇒ nghiệm của hệ (x y; ) ( )= 1;1 và ;(x y) ( )= 2; 2
Bài 26: Chứng minh rằng với mọi a>0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
x y
y x a
= +
( )
1 2
a x x
y x a
+
⇔
= +
Hàm số f x( ) =e a x+ − +e x ln 1( + −x) ln 1( + +a x) liên tục và tăng ngặt trên(-1;+∞)
Lại có lim1 ( ) ; lim ( )
x
x + f x f x
→+∞