M là điểm trên cung CD của đờng tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.. Trong hình vuông ABCD và nửa đờng tròn đờng kính là cạnh AD, vẽ cung AC mà tâm là D.. Chứng minh QG là tiếp tuyến của đờ
Trang 1đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2001-2002 Môn thi: Toán -Lớp 9
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1: a Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho mỗi số n+ 26 và n- 11 đều là lập phơng của một số nguyên dơng
b Cho biểu thức sau với x≥0; y≥0 P= x- 2 xy+ 3y- 2 x + 2002
Xác định x, y để P đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 2: a Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2- (3m+2)x + 12= 0 (1)
4x2- (9m-2)x + 36 = 0 (2)
b Giải hệ phơng trình
= +
+ +
−
= +
− +
3 4
3 4
3 2 3
3 3
3 2
3 4 2
2 15
) 1 16
) 1 (
16
x y x x
x x
xy x
x x
Câu 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 + (m2 + 5)x+ 4 = 0 với m∈Z
a Tính tổng x1 + x2 theo m
b.Tính các giá trị của m để x1 + x2 chia hết cho 3
Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 1 Gọi M, N là hai điểm nằm trong hình vuông sao cho các tam giác MAB, NCD là các tam giác cân có đáy là cạnh hình vuông, góc đáy bằng 300,
vẽ ở ngoài hình vuông các tam giác đều ABE, CDF
a Tính tổng MA+ MB+ MN+ NC+ ND
b Xét hai điểm bất kỳ I, K nằm trong hình vuông ABCD (I gần AB hơn so với K) Xác định
vị trí của điểm I và điểm K để tổng
IA+ IB+ IK+ KC+ KD có giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất của tổng trên
Câu 5: 1 M là điểm trên cung CD của đờng tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Chứng minh MA+ MC= 2MB
2 Trong hình vuông ABCD và nửa đờng tròn đờng kính là cạnh AD, vẽ cung AC
mà tâm là D Nối D với điểm bất kỳ trên cung AC DP cắt nửa đờng tròn đờng kính AD ở K
a Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB
b Một tiếp tuyến với cung AC cắt AB, BC theo thứ tự ở S, J Tính độ dài nhỏ nhất của SJ
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
-đề chính thức
Trang 2Sở giáo dục đào tạo Đề thi học sinh giỏi tỉnh hng yên
Năm học 2002- 2003
Đề chính thức Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian làm bài : 150 phút )
Bài 1 : (2đ)
1.Trong hai số sau : A =4 5 + 82 và B = 18 số nào lớn hơn ?
2 Thu gọn biểu thức :B = 4+ 10+2 5 + 4− 10+2 5
Bài 2: (2đ) : Giải phơng trình :
a) x+ x−1=13 b) x 2 + 2 8
1 =
−
x
x
Bài 3: (2đ) 1)
Cho hàm số :y= -2x 2 (P) Dựa vào đồ thị của hàm số hãy :
a) Xác định toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2
b) Biện luận số nghiệm của phơng trình x 2 =
2
1
+
m
c) 2) Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phơng trình : -2x 2 + 3x +1=0 Không giải phơng
trình , tính giá trị của biểu thức :
1 2
1
+
x
x
+
1 1
2
+
x x
Bài 4: (4đ)
Cho hình vuông ABCD cạnh a.
1.Trên cạnh AD và CD lần lợt lấy các điểm M,N sao cho góc MBN bằng 45 0 , BM và
BN cắt AC theo thứ tự tại E ,F.
a) Chứng minh : M,E, F,N cùng nằm trên một đờng tròn
b) NE và MF cắt nhau tại H, BH cắt MN tại I Tính BI theo a.
c) Tìm vị trí của Mvà N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất
2.Gọi A , là trung điểm của AB lấy điểm G trên DC lấy điểm Qtrên BC sao cho AG song song với A , Q Chứng minh QG là tiếp tuyến của đờng tròn nội tiếp hình vuông
đã cho
đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên năm học 2003 -2004
Môn thi: Toán- Lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1: 1 Tính giá trị biểu thức:
M=
2
3 1 1
2
3 1
2
3 1 1
2
3 1
−
−
− + + + +
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N= 13 x2 −x4 +9 x2 +x4 với 0 ≤x≤ 1
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
đề chính
thức
Trang 3Bài 2: Giải các phơng trình sau:
1 x3- x2- x=
3 1
2 5x2 +14x+9− x2 −x−20=5 x+1
Bài 3: 1 Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm và tính các nghiệm theo m:
x+ x2 − 2x+m = 0(có ẩn số là x)
2 Cho biết a+ b+ c < 0 và phơng trình ax2 + bx + c = 0 không có nghiệm
Chứng minh c < 0
Bài 4: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính
AB= 2R Điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và tại B theo thứ tự ở C và D
1 Chứng minh rằng∆COD và∆AMB đồng dạng
2 Khi điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn tâm O thì ∆COD có diện tích nhỏ nhất không?
3 Tìm vị trí của điểm M trên nửa đờng tròn tâm O sao cho ∆COD có chu vi nhỏ nhất
4 Gọi E là giao điểm của OC và AM, gọi F là giao điểm của OD và BM Chứng minh rằng
tứ giác CEFD nội tiếp đợc trong một đờng tròn tâm K và tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính
KC của đờng tròn đó
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O và có AB < AC
Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đờng tròn (O) Vẽ MH vuông góc với
BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB (H ∈BC, K ∈ AC, I ∈ AB)
Chứng minh:
MI
AB MK
AC MH
đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2004 -2005
Môn thi: Toán- Lớp 9(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1: 1 Rút gọn biểu thức: A= x+ 2x−1− x− 2x−1
2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: B= x(48 + 50 x− 2 )
Bài 2: 1 Giải phơng trình: x+3+ x−1=2
2 Tìm m để phơng trình: (x2- 1)(x+3)(x+5) = m có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn
4
1 3
1
2
1
1
1
x x
x
x + + + = -1
3 Giải hệ phơng trình:
= + +
= + +
21
7
4 2 2 4
2 2
y y x x
y xy x
Bài 3: 1 Xác định các số thực a, b, c sao cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thuộc đoạn
[0 ; 1].Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: C=
) (
) 2 )(
(
c b a a
b a b a
+
−
−
−
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
đề chính thức
Trang 4P(x) =
2
2
1
2006 1
2005 2004
x
x x
−
+
− +
Bài 4: Hai đờng tròn tâm O1 bán kính R1 và O2 bán kính R2 cắt nhau tại hai điểm A và B Tiếp tuyến với đờng tròn (O1) tại A cắt đờng tròn (O2) tại C Tiếp tuyến với đờng tròn(O2)tại Acắt đờng tròn(O1)tại D
1 Trên đờng thẳng AB đặt đoạn BH=AB Chứng minh tứ giác DACH nội tiếp
2 Gọi M là giao điểm của hai đờng thẳng AB và CD Gọi N là trung điểm của CD Chứng minh rằng góc CAM bằng góc DAN và 2
1
2 2
R
R MD
MC =
Bài 5: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ cắt nhau ở A và B.
1 Các điểm M, N thứ tự di chuyển trên các đờng tròn (O) ; (O’) sao cho chiều từ A đến M
và từ A đến N trên các đờng tròn đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung A M ,
N
A có số đo bằng nhau
Chứng minh rằng đờng trung trực của MN luôn luôn đi qua một điểm cố định
2 Dựng cát tuyến chung đi qua A có độ dài nhỏ nhất
đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2006 -2007
Môn thi: Toán- Lớp 9(Thời gian làm bài 150 phút)
Phần I: Trắc nghiệm khách
quan (2đ)
Chọn chỉ một chữ cái in hoa (A, B, C, D) đứng trớc đáp số đúng và trình bày giải thích tại sao chọn đáp số này, từ câu 1 đến câu 10.
Câu 1: Luỹ thừa bậc 4 của 1+ 1+ 1 là:
B 1(7 3 5)
Câu 2: Các đờng L và K đối xứng nhau qua đờng y= x Biết phơng trình của đờng L là y =
ax + b với a ≠0 và b ≠0, thế thì phơng trình của đờng thẳng K là:
A y= 1 x b
B y= 1x b
a
a −a
Câu 3: Cho 4 hàm số:
y= -2x2 y= (a2+2a+3)x2
y= (a2+1)x2 y= 1
4(-x+2)2+x-1
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên (0, +∞ )
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
đề chính thức
Trang 5Câu 4: Với giá trị nào của m thì ba đờng thẳng sau đồng quy: (d1): 2x-y = m
(d2): x+y = 2m (d3): mx-(m-1)y = 2m-1
Câu 5: Cho hai hàm số
y1= x2, x∈[-3;-1] ; y2= - x2, x∈[1;4]
Giá trị nhỏ nhất của y1+ y2 là:
Câu 6: Trên đờng tròn, lấy điểm A cố định Ta đặt liên tiếp các điểm A1, A2 , A3 An theo cùng chiều thoả mãnAA1 =A1A2= A2A3= và góc AOA1=1080
Sau một số lần đặt nh vậy thì An trùng với A Khi đó n là:
Câu 7: Tỉ số giữa chu vi của hình lục giác đều với đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp là:
B 3
Câu 8: Gọi C1, C2 là các đờng tròn bán kính r= 1 nằm trong cùng một mặt phẳng và tiếp xúc nhau Hỏi có bao nhiêu đờng tròn bán kính R= 3 nằm trong mặt phẳng ấy và tiếp xúc với cả hai đờng tròn C1, C2
Câu 9: Trong đờng tròn tâm O bán kính R lấy điểm A sao cho OA=
2
R Lấy điểm M trên đ-ờng tròn Góc AMO lớn nhất sẽ có số đo là:
Câu 10: Số điểm cách đều đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến của đờng tròn (O) song song với
nhau là:
Phần II: Tự luận: (8,0 điểm)
Bài 1: (2,0đ)
1, Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:
A= 2x3 - (a+2)x2 - ax + a2
2, Cho phơng trình x2 - (2m+3)x +m2 +3m + 2 = 0
a Định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm kia?
b Định m để phơng trình có nghiệm này bằng bình phơng của nghiệm kia?
Bài 2 (2,0đ)
1 Giải phơng trình: x2 − 4x+ − 3 2x2 − 3x+ = − 1 x 1
2 Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trờng thì sau 1 giờ 30 phút sẽ xong Nếu để
tổ thứ nhất làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì đợc 1
5 sân trờng Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì phải bao lâu mới xong?
Bài 3 (3,0đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O,R) Gọi (I,r) là đờng tròn nội tiếp tam
giác ABC, AI cắt cung BC tại D
1, Chứng minh B, I, C thuộc cùng đờng tròn tâm D
2, Chứng minh R2- OI2 =2Rr
3, Tìm kích thớc của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đờng tròn (O,R) cho trớc
Bài 4(1,0đ)
Cho BC là dây cung cố định của đờng tròn (O; R), A là điểm di động trên đờng tròn (O), I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tập hợp điểm I
Trang 6đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
năm học 2007 -2008
Môn thi: Toán- Lớp 9 (Thời gian làm bài 150 phút)
Phần I: Trắc nghiệm khách
quan (2đ)
Chọn chỉ một chữ cái in hoa đứng trớc đáp số đúng và trình bày giải thích tại sao chọn
đáp số này, từ câu 1 đến câu 5.
Câu 1: Cho hai số nguyên dơng a và b Biết rằng trong bốn mệnh đề A, B, C, D dới
đây chỉ có duy nhất một mệnh đề sai:
A a= 2b + 5 C a+b chia hết cho 3
B a+1 chia hết cho b D a+7b là số nguyên tố
Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong 4 mệnh đề trên
Câu 2: Các giá trị tơng ứng của x và y đợc cho trong bảng sau:
Các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A f là một hàm số của biến x
B f(-1) + f(2)=2 C f(0).f(2)=0
D 1
(0)
f không xác định
Câu 3: Cho tứ giác ABCD có AC= AD, cách viết nào dới đây là đúng?
A BC > BD B BC < BD
C BC = BD D BC⊥BD
Câu 4: Có bao nhiêu bộ ba thứ tự (x, y,z) những số nguyên thoả mãn hệ phơng trình:
x xy y z
x yz z
x xy z
+ + =
Câu 5: Số điểm cách đều một đờng tròn và hai tiếp tuyến song song với đờng tròn là:
A 2 B 3
C 4 D Vô số
Bài 1: (2,0đ)
1, Giải hệ phơng trình: 30
35
x y y x
x x y y
Phần II: Tự luận: (8,0 điểm)
đề chính thức
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
Trang 72, Cho hai số thực a, b thuộc đoạn [2007;2008] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=
2 2
a b
ab
Bài 2 (2,0đ)
1 Tìm phơng trình các đờng thẳng đi qua điểm I(0;1) và cắt parabol y=x2 tại hai
điểm phân biệt M và N sao cho độ dài đoạn thẳng MN bằng 2 10
2 Cho hàm số y= 2
2
x có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình y= -x+4
Xác định các điểm M, N lần lợt trên (P) và (d) sao cho: 1
M N
M N
Bài 3 (3,0đ) Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
1, Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho ∠MAB= ∠MBC= ∠MCD= ∠MDA
2, Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ điểm M xuống cạnh AB và O là trung điểm của đoạn AM Chứng minh rằng tỉ số OB
CN có giá trị không đổi khi M chuyển động trên đờng chéo AC
3, Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S1) và (S2) có đờng kính tơng ứng là AM và CN Hai tiếp tuyến chung của (S1) và (S2) tiếp xúc với (S2) tại P và Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S1)
Bài 4(1,0đ)
Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M khác các đỉnh A, B, C, D sao cho ∠MDA= ∠MBA
và hai điểm B, D nằm trên hai nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AM Chứng minh rằng hai tam giác MAB và MCD có cùng trực tâm
Sở giáo dục và đào tạo
Hng yên
-đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh hng yên
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút.
A Trắc nghiệm khách quan
Câu 1: Giá trị lớn nhất của biểu thức A= x− 2008 + 2009 −x là:
Câu 2: Tổng các nghiệm của phơng trình 3 x+ 1 + 3 7 −x là:
Câu 3: Cho đờng thẳng (d): x- 2y = 3m – 7 và (d’): x + y = 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (d) và
(d’) cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần t thứ nhất?
Câu 4: Nghiệm tổng quát của phơng trình 2x – 3y = 6 là:
A
:y x
N
:y x Z
:y x Q
:y x R
x
Trang 8Câu 5: Cho hàm số y = f(x) nghịch biến khi 0 < x < 5 Biết f(1) = 6; f(4) = 0 Khẳng định nào dới đây là
sai?
A f(2) > 0 B f(2) > f(3) C f( 20 ) > 0 D f(2) < 6
Câu 6: Cho phơng trình (x - 1)(x2 – 2mx + m 2 – 2m + 2) = 0 Nếu phơng trình này có 3 nghiệm phân biệt thì: m > 1 B m ≥ 1 C m ≥ 1và m ≠ 3 D m > 1 và m ≠ 3
Câu 7: Giá trị của biểu thức A = sin2 1 0 + sin 2 2 0 +….+ sin 2 89 0 là:
Câu 8: Giả sử a, b, c là các số nguyên; a và b có ớc số chung d còn c không chia hết cho d Khi đó:
A Phơng trình ax + by = c không có nghiệm nguyên.
B Phơng trình ax + by = c có một nghiệm nguyên.
C Phơng trình ax + by = c có hai nghiệm nguyên.
D Phơng trình ax + by = c có vô số nghiệm nguyên.
Câu 9: Hệ phơng trình
= +
=
−
a y x
b y ax
2009 có nghiệm với mọi a khi:
Câu 10: Bốn ngời nông dân chung nhau mua một mảnh vờn giá 60 triệu Số tiền ngời thứ nhất, ngời thứ hai
và thứ ba trả lần lợt bằng
3
1 , 2
1 và
4
1tổng số tiền của ba ngời còn lại Khi đó số tiền ngời thứ 4 phải trả là:
Câu 11: Một đờng tròn bán kính r nội tiếp trong tam giác vuông cân và một đờng tròn R ngoại tiếp tam
giác đó Khi ấy tỉ số
r
R
là: A 1+ 2 B
2
2
2
1
2
2
1 +
Câu 12: Một hình vuông và một đờng tròn có chu vi bằng nhau Tỉ số diện tích của hình tròn đó và hình
vuông là: A
π
2
π
2
Câu 13: Cho tam giác ABC Gọi M, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA Để 4 điểm B, M,
Q, C cùng nàm trên một đờng tròn thì tam giác ABC là:
Câu 14: Cho (O), đờng kính AB và CD vuông góc với nhau P là một điểm trên đoạn AB sao cho <OPC =
60 0 Khi đó
AO
PO là: A
2
3
3
2
1
Câu 15: Cho đờng tròn đờng kính AB và một dây cung AC bằng bán kính đờng tròn Khi đó <ABC bằng:
Câu 16 Cho hình bên, tam giác ABC nội tiếp
(O, R) có Aˆ >Bˆ >Cˆ ; H, K, I thứ tự là các hình chiếu
vuông góc của O trên AB, AC, BC Khẳng định
nào sau đây là đúng ?
A OK > OI > OH B OK< OI <OH
C OH > OK > OI D OI > OK > OH
Câu 17: Cho hình vẽ, MA; MB là hai tiếp tuyến so với (O; R); A, B là hai tiếp điểm, < AMB = 500 Số đo
Câu 18: Hai đờng tròn có bán kính là 13cm và 15cm, dây chung bằng 24cm cắt đờng nối tâm ở H nằm
giữa hai tâm Khi đó khoảng cách giữa hai tâm là: A 5cm B 9cm C 14cm D 15cm
Câu 19: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau:
A: Một điểm O cho trớc và một số thực R cho trớc xác định một đờng tròn tâm O bán kính R B: Qua hai điểm phân biệt A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn có đờng kính AB.
C: Qua ba điểm A, B, C xác định đợc một và chỉ một đờng tròn.
D: Đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung thì vuông góc với dây cung đó.
Câu 20 Cho hai đờng tròn (O; R) và (O’; R’) (với R > R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A Kẻ hai tiếp tuyến
chung ngoài BC (B ∈ (O); C ∈ (O’)) Khi đó độ dài BC tính theo R và R’ là:
A R2 +R' 2 B R2 −R' 2 C R R' D 2 R R'
B Tự Luận (8 điểm)
Bài 1 (2,75 điểm):
a) Tính giá trị của biểu thức: A =
2009
2008 2009
2008 2008
2
+
b) Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:
Trang 92009 2009
2009 2009
2009
+
+ + +
+ + +
+
>
+ +
x
z z
y y
x x
z z
y y x
c) Cho phơng trình x 2 – 4x + 1 = 0 có hai nghiệm là x 1 , x 2 Đặt a n =
3 2
2
1n x n
x − với n = 1, 2, 3…
Chứng minh rằng a n là một số nguyên với mọi n = 1, 2, 3…
Bài 2 (1,25 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc oxy cho Parabol (P)
4
2
x
y = − và điểm E(0; -2) Gọi
(d) là đờng thẳng qua E và có hệ số góc là a.
a) Đờng thẳng (d) có cắt (P) tại hai điểm phân biệt không? Nếu có hãy tìm quỹ tích trung điểm của
đoạn thẳng có đầu mút là hai giao điểm đó.
b) Tìm giá trị của a để đoạn AB ngắn nhất; tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3 (2,25 điểm): Cho (O, R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AE, AF với (O) (E, F là
tiếp điểm) M là một điểm trên cung nhỏ EF (M khác E, F) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AE, AF thứ tự ở B
và C Gọi P, Q thứ tự là giao điểm của EF với OB và OC.
a) Khi  = 60 0 , tính chu vi tam giác MPQ theo R.
b) Gọi H là giao điểm của CP và BQ CHứng minh H là trực tâm của tam giác OBC.
c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ EF (M khác E, F), chứng minh rằng tỉ số
BC
PQkhông đổi.
Bài 4 (1,75 điểm): Cho M là một điểm di động trên đoạn thẳng AB cố định sao cho M khác B, MB < MA
Vẽ tia My ⊥ Ab, trên tia AB lấy các điểm C và D sao cho MC = MA và MD = MB Vẽ các đờng tròn đờng kính AC và BD chúng cắt nhau tại M và N.
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm vị trí của M sao cho DA.DN có giá trị lớn nhất (O là trung điểm của AD)