Bài tập lớn stochastic programming and applications

es Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính e Ubiased: sử dụng giá trị trung bình e Pessimistic: stt dung gid tri nhé nhat 1.2 Lập trình ngẫu nhiên một trạng thái Định nghĩa 2 SLP với một tr

Lập trình ngẫu nhiên tổng quát (GSP) với recouse

Định nghĩa 4: Lập trình ngẫu nhiên 2 trạng thái (generic 2-SP problem) được mở rộng từ định nghĩa 2 như sau: minimize g{x) with g(x) = ƒ(z) + Eulo(,ứœ)]

Trong do: e x= (a',2, , 2”) JA bién quyét dinh cia trang thai thit nhat e f(r) cé thé 1A ham tuyến tính hoặc không, và là một phần của hàm mục tiêu tổng quát g(a)

Trong bài tập lớn Mô hình hóa toán học học kỳ I năm học 2023-2024 tại Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM, hàm trung bình $Q(z) := E[\theta | \omega]$ được xác định dựa trên ảnh hưởng của các giả định $\omega$ Giá trị tối ưu của bài toán trạng thái thứ hai được biểu diễn bằng $min \ q_y | s \in S' - z + W - y = h$, với $y \in ERP$ Các vectơ $a = a(\omega)$ và $y = y(\omega)$ được gọi là các biến quyết định, điều chỉnh hoặc truy hồi, và chỉ được biết từ thực nghiệm.

Túm lại, chỳng ta cần đi cực tiểu húa tổng chỉ phớ dự tớnh ứ(#) = ƒ{#) + Q(#) khi thỏa món:

Two-stage SLP Recourse model (simple form)

Mô hình 2SLP Recourse (canomical fodrm) co 6 Câu hỏi 1 6

Định nghĩa 6 (Stochastic LP with Recourse action): minimize g(x) with g(œ):z+%(w) subject to Ax =b where re X CR", z>0 U{2) := min qy subject to WƯ - = h() — (0) - # =: z u€lR?

Trong đó: ® 0(U) := 0(œ,0) là giá trị của hàm trạng thái thứ hai e y =y(x,w) la hanh dong recourse cho # và làm rõ +

Một nhà sản xuất cần sản xuất 8 loại sản phẩm, mỗi loại yêu cầu 5 loại linh kiện hoặc bộ lắp ráp khác nhau từ các nhà cung cấp Mỗi sản phẩm yêu cầu một số lượng linh kiện nhất định, ký hiệu là $a_{ij}$, trong đó $i = 1, \ldots, 8$ và $j = 1, \ldots, 5$ Một số trường hợp có thể có $a_{ij} = 0$ Nhu cầu cho các sản phẩm được mô hình hóa như một vector ngẫu nhiên $D = (D_1, \ldots, D_8)$.

Trước khi xác định nhu cầu, nhà sản xuất có thể đặt hàng trước các bộ phận từ nhà cung cấp bên ngoài với chi phí c; cho mỗi đơn vị linh kiện j Sau khi biết được nhu cầu D, nhà sản xuất quyết định phần nào của nhu cầu sẽ được đáp ứng mà không vượt quá số lượng bộ phận có sẵn Chi phí bổ sung để đáp ứng một đơn vị nhu cầu cho sản phẩm i là ù¿, trong khi giá bán đơn vị sản phẩm này là qứ Các bộ phận không được sử dụng có giá trị hoàn vốn s; nhỏ hơn c; Nhu cầu không được đáp ứng sẽ dẫn đến mất mát và không thể khôi phục.

Giả sử số lượng các bộ phận được đặt hàng được ký hiệu là #, với ] = 1, , 5 Khi nhu cầu D đã được xác định, chúng ta cần tính toán số lượng sản phẩm cần sản xuất Ký hiệu số lượng bộ phận dùng để sản xuất là z¿, với ¡ = 1, , 8, và số lượng bộ phận còn lại trong kho là Yis với j = 1, , 5 Đối với giá trị quan sát d = (đi, , đ„) của vector nhu cầu ngẫu nhiên D, kế hoạch sản xuất tối ưu có thể được xác định bằng cách giải quyết bài toán lập trình tuyến tính sau đây.

2=1 j=l subject to Mj = 8j — do aiy%, JjJ=1, ,5 i=1 O= 0

7 c3 = Equation(container = modelpi, name = 'c3', domain =[j,k]) s c3[j,k] = y[j,k] >= 0

1o c4 = Equation(container = modelpl, name = 'c4', domain= [i,k])

13 cB = Equation(container = modelpi, name = 'c5', domain=[i,k])

Bài tập lốn Mô hình hóa toán học - Học kì I năm học 2023-2024 Trang 11/47 a Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM oe Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

1 problemi = Model(container=modelp1, name = 'problem_1i', equations = modelpi getEquations(), problem = 'MIP', sense = Sense.MIN, objective = objfunction)

Hình 4: Giá frị tối ưu của hầm mục tiêu

1 print("The numbers of parts to be ordered before production ")

The nu8bers of parts be ordered before production marginal lower upper scale

Hình 5: Số lượng từng lính kiện cần order trước sắn suất

The level column indicates the quantity of each type of component that needs to be ordered in advance, while the marginal value represents the incremental amount for each type.

Bài tập lốn Mô hình hóa toán học - Học kì I năm học 2023-2024 Trang 12/47 j Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM

Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

Hình 6: Số linh kiện còn sót lại trong kho

Cot level thể hiện số lượng linh kiện từng loại còn sót lại ứng với mỗi tình huống, marginal được xem nhĩ là gia số từng loại

2 z.records.set_index([ › 1) e number of units produced ee Mg

Hình 7: Lượng sản phẩm cần sắn xuất uới mỗt tình huồng

Cột 1evel thể hiện số lượng sản phẩm từng loại sản xuất ứng với mỗi tình huống, marginal được xem nhĩ là gia số từng loại

Bài tập lốn Mô hình hóa toán học - Học kì I năm học 2023-2024 Trang 13/47

Ket qua es 11 Câu hỏi 2 14

es Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

Thiên tai như động đất, bão, hỏa hoạn và các thảm họa nhân tạo như tấn công khủng bố, vấn đề chính trị và chiến tranh có thể gây ra những ảnh hưởng nghiêm trọng và đột ngột đến một khu vực, dẫn đến thiệt hại lớn và thương vong Mục tiêu chính của ứng phó khẩn cấp là nhanh chóng cung cấp nơi ở và hỗ trợ cho những người bị ảnh hưởng.

Một số nhà nghiên cứu đang điều tra kế hoạch sơ tán cho những người bị ảnh hưởng từ khu vực nguy hiểm đến nơi an toàn Nghiên cứu này nhằm xây dựng một mô hình lộ trình chung cho các tình huống thảm họa Việc ước tính tác động và thiệt hại của thảm họa rất khó khăn do phụ thuộc vào nhiều yếu tố như cường độ, vị trí và mật độ dân cư Do đó, kế hoạch sơ tán thường được xem xét dựa trên một mô hình ngẫu nhiên, trong đó tính ngẫu nhiên không chỉ liên quan đến thời gian di chuyển giữa các địa điểm mà còn đến lưu lượng tối đa trên các tuyến đường.

Với sự phát triển của internet và công nghệ thông tin, việc thu thập thông tin mạng lưới đường bộ theo thời gian thực sau các sự kiện bất ngờ trở nên khả thi Vấn đề đặt ra là làm thế nào để tìm ra lộ trình sơ tán tối ưu cho người dân bị ảnh hưởng trong điều kiện thông tin thời gian thực Bài toán này được chia thành hai giai đoạn: giai đoạn đầu tiên giả định không có thông tin về mức độ thiên tai và thiệt hại của các tuyến đường cho đến khi có dữ liệu Do đó, cần lập trình với các biến ngẫu nhiên để giảm thiểu tổng chi phí dự kiến cho các hành động sơ tán Từ phân tích này, bài toán sơ tán được xây dựng dưới dạng mô hình lập trình ngẫu nhiên hai giai đoạn dựa trên các kịch bản.

Nhiều phương pháp đã được đề xuất để giải quyết vấn đề thiếu thông tin về số lượng người sơ tán, lưu lượng giao thông và thời gian di chuyển trên các tuyến đường Chẳng hạn, Miller-Hooks và Sorrel (2008) đã áp dụng các hàm phân phối xác suất ngẫu nhiên để mô tả tính ngẫu nhiên của thời gian và lưu lượng giao thông, từ đó xác định các lộ trình sơ tán hiệu quả và số lượng người sơ tán tối đa.

Phát biểu vấn đề nh kg kg kg xa 14

Xây dựng mhình HQ HQ nạn v k k ki KV va 18

Giai đoạn đầu tiên c c c c c c Q c Q ng n v.v 2v v va 18

Trong giai đoạn đầu của mô hình sơ tán ngẫu nhiên hai giai đoạn, việc xác định phương án sơ tán khả thi từ siêu nguồn đến siêu đích là rất quan trọng Biến quyết định $z_{ij}$ đại diện cho giá trị thông lượng của cung $(i, j)$, và luồng trên mỗi cung phải tuân thủ ràng buộc cân bằng luồng, được thể hiện qua phương trình: $\sum_{j} v_{ij} - \sum_{j} d_{ij} = 0$.

(i,j) EA ()cA trong đó đ;¿ được định nghĩa là: v, i: siéu nguồn đ¿ = {T—u, ?: siêu đích

Hơn nữa, giá trị thông lượng của mỗi cung cũng không vượt quá giới hạn thông lượng tối đa trên cung đó, bức:

Lưu ý rằng các ràng buộc về điều kiện cân bằng luồng có thể dẫn đến sự xuất hiện của các chu trình trong mạng Để loại bỏ các chu trình này, chúng ta áp dụng một chỉ phí phạt cho mỗi cung có trong mạng Tổng chỉ phí phạt sẽ được tính toán dựa trên số lượng các cung này.

Giai đoạn thứ hai c c Q c c n ng vn và và kg và kg vànt 18 3.3.3 Mõ hình lập kế hoạch sơ tan ngẫu nhiên hai giai đoạn

Giai đoạn tiếp theo là đánh giá giai đoạn đầu tiên để xây dựng kế hoạch sơ tán hiệu quả và chính xác Trong giai đoạn này, những người bị ảnh hưởng sẽ nhận được hướng di chuyển phù hợp theo thời gian sơ tán dựa trên thông tin thám họa thời gian thực Trước thời điểm 7, họ sẽ được sơ tán theo kế hoạch ưu tiên trong giai đoạn một; tức là, kế hoạch sơ tán cho các tình huống khác nhau trước thời điểm T' sẽ giống với lộ trình tiên nghiệm.

Do đó, trong giai đoạn hai, một biến quyết định tu) để sử dụng để thể hiện giá trị luồng của cung (2, 7) với kịch bản s, tại thời điểm ¿

Dựa trên thảo luận ở trên, các kịch bản khác nhau sẽ được thể hiện qua ràng buộc ghép nối giữa hai giai đoạn cho kế hoạch sơ tán, với thời gian trước ngưỡng 7 được xây dựng như sau:

Bài tập lốn Mô hình hóa toán học - Học kì I năm học 2023-2024 Trang 18/47 đà Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM es Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

Ràng buộc ghép nối thể hiện mối quan hệ giữa các cung trên mạng và các cung không-khởi gian trong kế hoạch sơ tán Trong giai đoạn đầu tiên, nếu các cung có giá trị thông lượng, chẳng hạn như #¿; = 2, thì luồng giao thông trên mỗi cung (2, 7) sẽ được xác định trước và tại thời điểm đó.

Trước ngưỡng thời gian, phương án sơ tán trong mỗi kịch bản của giai đoạn thứ hai tương tự như kế hoạch sơ tán ban đầu ở giai đoạn đầu tiên.

Mô hình kế hoạch sơ tán giai đoạn hai sẽ được xây dựng cho từng kịch bản nhằm giảm thiểu tổng thời gian di chuyển của người dân từ khu vực nguy hiểm đến khu vực an toàn.

3.3.3 Mô hình lập kế hoạch sơ tán ngẫu nhiên hai giai đoạn

Để đạt được một kế hoạch vững chắc trong giai đoạn đầu, cần đánh giá các kế hoạch thích ứng trong giai đoạn thứ hai Việc này bao gồm đánh giá kế hoạch sơ tán giai đoạn đầu với thời gian sơ tán tổng thể dự kiến theo từng kịch bản, cùng với xác suất xảy ra của các kịch bản đó Mục tiêu là giảm thiểu mức phạt đối với kế hoạch sơ tán trước đó và thời gian sơ tán tổng thể dự kiến Do đó, một mô hình lập kế hoạch sơ tán hai giai đoạn sẽ được xây dựng để tối ưu hóa quá trình này.

0< vig < wiz, V(b, j) EA trong đó,

(itd )EAs Gy stiEAs té{0,1, -,T},s=1.9;

Do giai đoạn thứ hai của mô hình có số lượng kịch bản hữu hạn, mô hình trên viết lại tương

Bài tập lớn Mô hình hóa toán học - Học kỳ I năm học 2023-2024 tại Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM thuộc Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính sẽ tập trung vào việc xây dựng và phân tích mô hình một giai đoạn.

(7)€A sal (i,j) EAs s t ig — 3` vii = d;,VieV

Trong mô hình Y(t) = xij, với (4,9) thuộc A và s = 1.8 cho t < T, nếu có thông tin thời gian thực từ ban đầu mà không cần xem xét kế hoạch giai đoạn đầu tiên, mô hình sơ tán có thể được chuyển đổi thành mô hình wait-and-see (WAS).

(ted EAs (Gyr sti EAs _ t£€{0,1, -,7},s=1 5;

Miền khả thi của mô hình WAS bao gồm miền của mô hình gốc, do đó, mô hình WAS được xem là giới hạn dưới của mô hình gốc Vì các kịch bản khác nhau là độc lập, mô hình này có thể được phân tách thành các bài toán con dựa trên.

5 kịch bản Đối với mỗi kịch bản của mô hình này, về cơ bản là bài toán luồng chỉ phí tối thiểu phụ thuộc vào thời gian

Mô hình (1) là một mô hình quy hoạch nguyên với hai biến quyết định X và Y Tuy nhiên, ràng buộc ghộp núi trong mô hình này rất phức tạp, khiến nó không thể giải được trong thời gian đa thức Do đó, cần phải biến đổi mô hình bằng cách nới lỏng ràng buộc và đưa nó vào hàm mục tiêu thông qua phương pháp nới lỏng Lagrange, từ đó phân tách bài toán ban đầu thành hai bài toán con dễ giải.

Mô hình ban đầu được chia thành hai bài toán: bài toán luồng chỉ phí tối thiểu tiêu chuẩn và bài toán phụ thuộc vào thời gian, cả hai đều có thể được giải quyết hiệu quả bằng các thuật toán chính xác.

` Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM es Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

Mô hình ban đầu cho thấy rằng ràng buộc ghớp nói là một ràng buộc cố định, đặc trưng cho mối quan hệ giữa việc lựa chọn một cung trên mạng và các cung phụ thuộc thời gian dựa trên từng kịch bản tương ứng Để nới lỏng ràng buộc này, ta thêm các nhân tử Lagrange $ a(t), (i, j) \in A, l < T, s = 1 9 $ vào hàm mục tiêu.

Từ đó, mô hình (1) được viết lại:

S min ằ ơ + > & ~ Cij (ộ) 0) + 3 ằ dữ ale s0) ~ vs

0< vig < wiz, VG, 9) EA (ID) ey v90— Yo w=a,viev,

(ies du EAs Gu ti€As tc{0,1, -,7},s = 1.5;

Các biến X và Y là độc lập trong mô hình đã biến đổi Do đó, mô hình này có thể được tách thành hai bài toán con.

Bài toán con 1: Luỗng chỉ phí cực tiểu

Mô hình bài toán: min SPl(a)= }) bo _* dS (t Ny

0< vig Š wiz, VG, j) EA Hàm mục tiêu của Bài toán con 1 có thể được định nghĩa là

S đụ = Lợn — >> ` ay (t) s=l; & ~ Cij (ộ) 0) + 3 ằ dữ ale s0) ~ vs

0< vig < wiz, VG, 9) EA (ID) ey v90— Yo w=a,viev,

(ies du EAs Gu ti€As tc{0,1, -,7},s = 1.5;

Các biến X và Y là độc lập trong mô hình đã được biến đổi Do đó, mô hình này có thể được chia thành hai bài toán con.

Bài toán con 1: Luỗng chỉ phí cực tiểu

Mô hình bài toán: min SPl(a)= }) bo _* dS (t Ny

0< vig Š wiz, VG, j) EA Hàm mục tiêu của Bài toán con 1 có thể được định nghĩa là

S đụ = Lợn — >> ` ay (t) s=l; 0

Bước 3: Tăng luồng dọc theo đường có chỉ phí tối thiểu Nếu giá trị luỗng tăng lên không vượt quỏ ứ thỡ chuyển sang Bước 2

Bài toán con 2: Luỗng chỉ phí cực tiểu phụ thuộc thời gian

Mô hình bài toán con thứ hai được sử dụng để giải quyết biến quyết định $Y$ với giá trị mục tiêu tối ưu là $Z_{aps}(\omega)$ Bài toán được đặt dưới dạng tối thiểu hóa: $$\min P_2(a) = 2S \cdot x_{0510}(u_f, (0)) \quad s.t \quad y_i \geq g(Q) - 3, \quad w_{alt} = d_i, \quad \forall v \in V$$ và các ràng buộc khác cho $s = 1G, j \in E, t < T$.

Mô hình của Bài toán con 2 có thể được xem là một mô hình WAS Bài toán này có thể được phân tách thành tổng của Š bài toán nhỏ hơn, cụ thể là: $$\min SP2(a,s) = \sum_{i \in A} M_i \cdot (é + Y_{ad}) \quad \text{s.t.} \quad t < T, \quad s.$$

XS y0)— Lo wt) =a), Wie Vit | {01-7}

Với mỗi kịch bản s € {1,2, - ,S}, bài toán con trên có cấu trúc tương tự như Bài toán con

1 với chỉ phí di chuyển cƒ j (t) và thông lượng tối đa tế (#) trên mỗi cung phụ thuộc vào thời gian

Bài tập lớn Mô hình hóa toán học trong học kỳ I năm học 2023-2024 tại Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM đề cập đến chi phí tổng quát Gi (Œ) Khoảng thời gian 7 phút được chia thành hai giai đoạn, với thời điểm phân cách là 7, do đó chi phí tổng quát được định nghĩa là hàm xác định trên từng khoảng thời gian.

Chúng ta có thể áp dụng Thuật toán 1 để giải quyết các bài toán con bằng cách điều chỉnh Bước 2 Đầu tiên, các hàm A(y(t)), C(y@), U(y(@)) trong mảng dư N(y(t)) cần được định nghĩa rõ ràng.

A00) = {07e) | tu je) € A2 < nó} {0e ủũ | 0e ủ) € A¿ uậ, > 0},s = 1.5 ci), (ie, Je) € As, y(t) < tu (),f € 10, 1,:-: TS By) = 4-8), Gest) € Aa Vfl €{0,1, -.T} | y% @) >0},8= 1.8

T, Gesie) € Ag, V {tt € {0,1, - TF | y(t) = 0} u‡ () — 0), (ede) € As ui) < ui (@),t € {1,2, -,T} u#(W@) = 40), (este) € A¿,V{P € 10,1, -,T} | 3,0) >0}, s= 18

Thuật toán hiệu chỉnh nhãn đã được điều chỉnh để áp dụng cho việc tìm đường với chi phí tối thiểu phụ thuộc vào thời gian trong mạng dư.

Để giải các bài toán con 1 và 2 với nghiệm nới lỗổng X và Y, ta cần tối ưu hóa giá trị mục tiêu Z1 g(@) cho mô hình nới lồng (ID) bằng cách sử dụng một tập hợp vector các nhân tử Lagrange œ.

Giá trị mục tiêu tối ưu của mô hình m6 hinh néi léng (IT) 1A cần phải đạt được giới hạn dưới gần với giá trị mục tiêu tối ưu của mô hình (T) ban đầu Để tìm ra nghiệm tốt nhất, mô hình nới lỏng (T) phải đạt được giới hạn dưới lớn nhất có thể.

Thí nghiệm môhình Q Q Q Q Q ee 23 ÌẰ ) 56 n ố 68MM ằđ 23

Các bước thực hiện c c c c Q c c Q ng v kg và và vànt 25 35.3 Tiến hành uc Q Q Q g g ng gà vi vi va 26

Thí nghiệm cho mô hình được tóm tắt qua các bước sau: Khởi tạo mạng lưới bằng cách xây dựng một lưới vuông 7 x 7 với 49 nút và 84 cung Tiến hành sinh ngẫu nhiên chi phí di chuyển và khả năng thông qua trên các cung Chuyển đổi mạng lưới đa nguồn đa đích thành một mạng tương đương bằng cách thêm vào nút siêu nguồn và nút siêu đích, cùng với các cung tương ứng Cuối cùng, tìm luồng cực đại từ siêu nguồn đến siêu đích, giá trị luồng cực đại chính là lượng xe tối đa có thể sơ tán trên mạng lưới Trước khi tìm luồng cực đại, cần gán lại khả năng thông qua giữa các siêu nút với mạng.

Ug =Up=t+o, te B,jek e Sinh sé lượng xe n: Tổng lượng xe cần sơ tán trong mạng sẽ được sinh thử nghiệm trong

` 1 1 3 nhiờu trường hợp: ứ = 1, đ = 7, = 1H, n= gMF, n= 11, van= MF

` đà Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM cằ Khoa Khoa học và Kĩ thuật mỏy tớnh

Sau khi xác định số lượng xe $n$, chúng ta sẽ phân phối ngẫu nhiên số xe này vào các nút nguồn, tương ứng với các đỉnh phát Điều này sẽ tạo ra sự phân phối tại các nút đích, tương ứng với các đỉnh thu.

Tiến hành chuyển đổi mạng lưới về dạng một nguồn một đích, với $u_{gi} = |đị|$ và $7EB$ Áp dụng thuật toán đường đi ngắn nhất liên tiếp để xác định kế hoạch sơ tán tối ưu với chi phí phạt cực tiểu trên mạng lưới vừa thiết lập.

This experiment is implemented using the NetworkX module in Python It begins by declaring several libraries and key variables utilized in the program, including importing NetworkX as nx, Matplotlib for plotting, and other necessary libraries such as random, numpy, and deepcopy The grid size is set to 7, resulting in a total of 49 nodes, calculated as the square of the grid size.

# number of cars = coeff*max_flow coeff_of_num_cars = 1 num_cars = np.NAN total_cost = np.NAN inf = 999

“Ta hiện thực thí nghiệm theo các bước đã trình bay:

a Khởi tạo mạng lHỚI Q2 26

G = nx.DiGraph() for i in range(1, num_nodest1): if i % grid_size == 1:

G.add_node(i, color='#DC562C') # cac nit nguồn

Bài tập lớn Mô hình hóa toán học trong học kỳ I năm học 2023-2024 tại Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM thuộc Khoa Khoa học và Kỹ thuật mỏ.

G.ađđ_nođe(i, color='#FFFFFF') # cấc nút trung gian

# tạo cắc cung trong lưới vuửng 7x7, đồng thời

# sinh ngẫu nhiên khả năng thông qua và chi phí phạt trên mỗi cung

# giả sử chí phí phạt pij trên mỗi cung là ngẫu nhiên thuộc [10, 50],

# khả năng thông qua uíij thuộc [100, 500] for i in range(1, num_nodesti): if i % grid size == 0: # nếu là các nút đích if i+ grid_size Œœ}—: | “NO as =—@)— =) — 4) — —— “` ố a}—ằ A x90 —9(25 0 —ằ(26 )— oe —ằ( 27 -— m4 o—>(%}——xe—>(3% wo—>(% =—>(S) na —z(MỲ—zz~r me —(} —* —ie—(8) —s—ằ(8}—nea—s(M}— oo a mm

At sss —>(d) —20 (6) —201—1( 8) — on —o(a3)— srt — 16) — sen

Number of cars87=0,25*Max flow Total minimum penalty cost f(X)u871 The number of unsatisfied random generation: 15 Hinh 28: Mang lưới trên khi lược bớt các cung nằm ngoài luồng sơ tán

Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM g Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính ® với sỐ xe "› 3 y 1 MP: : pars wena pare 3 xát © ' © pets ot P22 xin = =6

208 p4) pez? e208 pees Ÿ Zs † + pm ạt mì peas

= 2182 u an rap cou noe oats p15 pi? e378 cm cans pt rẻ i o> + pats — =m +“ 3 i iz ¥ nO a3 i š nay pale „tan usa peas 33 pad + p32 279 + 0218 mi — 4 _ng)8 mạn

” = Aa pez? usass 0, pea 354 —) azo

=o = mm pao paz ma 23 oor 246 342 436 “40%

” = : paar „san —ằ(37 ea pase =3 pas peta mạn peas

0s wre ps22 pas vaso bs by wets

Max flow33 Number of cars6=0.5*Max flow This random generation case is not satisfied

Hình 29: Mội ¿bí nghiệm không tồn tại kế hoạch thoả mãn p2 pH u— sex of tỳ—ằô -—‹(1 tỳ— 4200 (8) xua "ô —o °

=+ —” —Ù—- Onn GO bone bed yy soTs(Mỳ—na (S}È—m —(—ns —s(S}— sa —x(&}—aw Number of cars51=0.75¢Max

\e number of unsatisfied random generation: 114 °

Hinh 34: Mang lưới trên khi lược bớt các cung nằm ngoài luồng sơ tần

Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM g Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính e v6i sé xen = MF:

=i vat a3 p=0 ng pm eu — peat ro eo my pat pas ony ta wars p0 oo ma peso ao —

=9 i) pes? “am pase u30 peas z2 mo to

P22 poze HP” oan tan deasr to e229 peas p30 ware

Hình 35: Mội ¿hí nghiệm không tồn tại kế hoạch thoả mãn

Max flow51 Number of cars51=1*Max flow This random generation case is not satisfied

Ea is me oe mu rà 8 =

Sk —o(00)— 5 ae ch Ti Khi ne on mm = &

2 pz on oa oa ma = mie = Tàn

` cô ma ma peso Zs min oT fx) peas me ca 7H mat =a ” 10) os Puss

The article discusses various aspects of a topic, emphasizing key points that are essential for understanding It highlights the significance of specific measurements, the importance of accurate data collection, and the impact of these factors on overall results Additionally, it addresses common misconceptions and provides clarity on the subject matter, ensuring readers are well-informed The content is structured to enhance readability and engagement, making it accessible for a broader audience while adhering to SEO best practices.

— vn — oon min mie =e nis

Max flow51 Number of cars*1451=1*Max flow Total minimum penalty cost t(X)42517 The number of unsatisfied random generation: 1055

Tình 86: Thí nghiệm có kế hoạch thoả mãn

d Tìm chỉ phạt cực tiểu trên mạng

Trước khi thực hiện, ta cần hiện thực một số hàm hỗ trợ: e Gán chỉ phí phạt giữa các siêu nút với mạng lưới bằng 0:

1 for i in range(1, num_nodesti, grid size):

Bài tập lớn Mô hình hóa toán học cho học kỳ I năm học 2023-2024 tại Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM yêu cầu hiện thực hóa hàm sinh một danh sách các phần tử có tổng xác định Cụ thể, nhiệm vụ là tạo một danh sách gồm n số ngẫu nhiên có tổng bằng total, có thể chứa số nguyên.

2 def generate_random_array(n, total):

3 # Nếu n lớn hơn total, cần thêm các số O vào mang

5 non_zero_elements = min(n, total)

6 dividers = sorted(np.random choice(range(1, total),

7 non_zero_elements - 1, replace=True))

8 differences = np.concatenate(([0], dividers, [total]))[1:] -

10 # Thêm các số không vào các phần tử trống

11 zeros_to_add = n - non zero_elements

12 result = np.concatenate((differences, np.zeros(zeros_to_add)))

14 dividers = sorted(np.random choice(range(1, total),

16 result = np.concatenate(([0], dividers, [totall))[1:]l -

19 # Trộn các phần tử trong danh sách result

24 array = generate_random_array(7, 1) a5 print (array)

26 array = generate_random_array(7, 3) a7 print (array)

29 print (array) so array = generate_random_array(7, 1000)

31 print (array) s2 array = generate_random_array(7, 10000)

Hình 17: Các danh sách ngẫu nhiên được sinh ra uới tổng nác định

` Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM eo Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính ên thực hàm phân phối ngẫu nhiên xe vào các nút nguồn/đích:

2 # Sinh ngẫu nhiên các mảng 7 phần từ cố

3 # tổng bằng số lượng xe cần thí nghiệm

4 source_cars = generate_random_array(grid size, num cars})

5 desti_cars = generate_random_array(grid size, num_cars)

7 for i in range(1, num_nodes+1, grid_size):

9 G.nodes[i]['d'] = -int(source_cars[i//grid_size])

10 G.nodes[it+grid_size-1]['d'] = int(desti_cars[i//grid_size]) p p& p ge Hị iy ez ưa p4 35} —vs p39 cnaer p3 1 u=y2 Ả-

Cries pm oe a ` \— Fite Tt 4 — ấn ma 15) — po an — (4) — ee em Hinh 18: Vé du mét mang sau khi phan phét se ngéu nhién vao cdc nguon/dich

& Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM

Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính e Hàm chuyển đổi giá trị của các nhãn để đưa mạng về mạng một nguồn một đích:

# uSi = [dil def convert_car_to_super_nodes(graph): for i in range(1, num_nodes+ti, grid_size): graph.edges['S', i]['u'] = -graph.nodes[i]['d']

# xoá nhãn đi của nút i đel graph.nođes[i]['4']

# tương tự cho siêu đích graph.edges[i+grid_size-1, ['u del graph.nodes[itgrid_size-1]['d'

=i oO =4 zm “oO mm om,

›—(9}— “os A an ? ta pais Fas Sass an pis a my pais ces ont EG) — ES mm ì to 1

La} brn paso as „26 van )}Ƒ—ve pe22

— “10 : 4) fa m: oO 3 oO Fi (6) — Fa wes os pm th Se t2 n)— Ea) 22 @)— nt ằ ma mà oh = =a

1 “331 19 wees 20 ue mà oats peat ms t8 ta

”=m ng .- os as rn me a a ma (5) mt ee Au oe

%)—ằ—=@—z#i—)— ró, per pais pass wuss wane _— ps24 ` p$ (a x ps32 Eas 47) — Fs 8 UC5 Hình 19: Mang trén sơu khi chuyển đổi các nhãn vé mang mot nguồn — một đích

Bài tập lốn Mô hình hóa toán học - Học kì I năm học 2023-2024 Trang 34/47 a Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM oe Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

Sau khi xác định được các hàm cần thiết, chúng ta sẽ tìm kiếm chi phí phạt nhỏ nhất trên mạng đã được xây dựng Việc này được thực hiện với số lượng xe khác nhau bằng thuật toán đường đi ngắn nhất liên tiếp thông qua hàm capacity_scaling() trong module networkx Đối với trường hợp có n xe bằng 1, ta có num_cars = 1.

# Phân phối 1 xe vào đỉnh nguồn/đích ngẫu nhiên assign_att()

5s H = deepcopy (G) ứs # Chuyển đổi giỏ trị cỏc nhón sang mạng một nguồn - một đớch

7 convert_car_to_super_nodes(H) s ''!'Hầm trả về chi phí phạt nhỏ nhất và một đictionary chứa giá trị

9 luéng xij trên các cung dựa trên khả năng thông qua U(i, j), chi phí phạt mỗi xe P(i, j) và số lượng xe D(i) tại các siêu nit''' 1i total_cost, flowDict

12 = nx.capacity_scaling(H, capacity='u', weight='p', demand='d')

13 # Hàm tự định nghĩa, thiết lập cấc giao điện đã hiện thị mạng lưới

1ã # Gắn lại mạng đã chuyển đổi cho mạng ban đầu

Max flow84 Number of cars=1 Total minimum penalty cost f(X)(2

Hinh 20: Két qua khi thue thi tren mét mang ngdu nhiên

Kết quả sẽ hiển thị các cung thuộc vào luồng sơ tán được tô đỏ, trong khi góc dưới bên trái cho biết luồng cực đại của mạng, số xe và tổng chi phí phạt tối thiểu cho kế hoạch sơ tán này.

Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM g Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

* Ự n khi lược bớt các cung năm ngoài luồng sơ tán,

Max flow84 Number of cars=1 Total minimum penalty cost (x)&2

Hinh 21: Mang ludi ti nhãn trén méi cung la pht phat py x xj p28 pa

07 pear =3 pee uG4 uA3 pie pean ÚF9 u$9 paz pels “5 “276 pc pD u#6 pF 228 uU!5 p> pD e126 — pB pea wesss peas ware u=i50 p47 ps —ơ —ơ peas paz 125 _=2 Pa m0 po

=o 1 p# p29 ai p) p6 p% u7 uKk „t9: 05 u96 n pris e321 cá 4 uC3 p1 “245 $ 30 p" u18 4 Zs cêc Zs

=o rosy p can e3 poss 3? p38 un338 377 = 0139 u(2 n6 r0 po

=o 0 p38 pao mà PL p”24 pa P27 wide 421 uF0 ủ=M3 uF3 300 108 on ——~ peo =o po — to đi pra us276 0C3 rao pris “215 pros 223 426 2 05229 peas

0 “1 p# paa5 pais p1 p! p' well? u'2 379 u 9 433 — p& Ê Đ 06 p28 —ơ pan p& ỳ2 0176 pea? pais 266 395 p& p1 p20 eu un383 b un104 é é ứng pas s U47 39 b zie priz ENG

Total minimum penalty cost f(X)=nan

Hình 22: Mội trường hợp sinh ngỗu nhiên không ton tai ké hoach so tan thod man

Bài tập lốn Mô hình hóa toán học - Học kì I năm học 2023-2024 Trang 36/47 đà Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM cằ Khoa Khoa học và Kĩ thuật mỏy tớnh

Trong mạng sinh ngẫu nhiên này, việc sơ tán xe tại nút 43 gặp khó khăn, vì nút có thể nhận là 21 không có tuyến đường kết nối Do đó, không thể thiết lập kế hoạch sơ tán trong trường hợp này.

Khi thực thi với trường hợp không tồn tại luồng thoả mãn, chương trình sẽ thông báo lỗi:

NetworkX Unfeasible: No flow satisfying all demands

Kết quả của thí nghiệm bị ảnh hưởng bởi việc sinh số ngẫu nhiên, và khi số lượng xe tăng lên, khả năng nhận được kết quả thỏa mãn sẽ giảm Do đó, chúng ta sẽ thực hiện một vòng lặp để tiến hành các thí nghiệm ngẫu nhiên cho đến khi tìm được một thí nghiệm có kết quả đáp ứng yêu cầu Số lần thí nghiệm không đạt kế hoạch thỏa mãn được ghi nhận là loop_time = 0.

2 num_cars = int (max_flow*coeff_of_num_cars)

4 # đùng cấu trúc try except để phát hiện lỗi từ hàm capacity_scaling() šs while(True):

9 convert_car_to_super_nodes (H)

11 = nx capacity_scaling(H, capacity='u', weight='p', demand='d')

12 # nếu lần thí thí nghiệm này tầm được kê hoạch thoả mãn

16 break # kết thúc vòng lặp

17 # nếu cố lỗi từ hàm capacity_scaling()

20 # in ra một vài thí nghiệm đầu tiên không thoả mãn

23 # quay lại vòng lặp để thực hiện một thí nghiệm khác

Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM g Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính pre hes eas pz3 mạn as prio eae eas p“ự ue ma

16 pc p3 ma Pa wast — “=9 áp e108 pale p35 p —”®? ea ee _— p30 es eu usr |“ es uez20 p19 pa2e p=3? pais pase = mee wear? “2s as e420 5 peas paz? peat = pas ” ease unis our die =1 ly

0 mo p14 r4) p=z p0 p=3% p0 thiết waz? nies me — =3

— mo “ mot cài man cot pais p28 eas vaso E20 Ens veal =0 mo fe

P22 33 p29 p30 p0 p# la dam ương ea sức eas?

0 ro a peat p4 ” peas pa2e p29 u49 usa) „35 ones Ua285 tue386 mo a m3 P22 pr mis p39 p23 ch van tra =m ash

pea Ho =1 paz x Hị $1 q i 1 mì pose mì p30 pas

Hiss 28) 23 eas S140 weal? pase „am — pass us213 =ơ a + ‘a i

Max flow09 Number of cars=7 Total minimum penalty cost f(X)=nan

Hinh 23: Moét thi nghiém khéng tồn tại kế hoạch thoả mãn

Max flow09 Number of cars=7 Total minimum penalty cost f(X)88 The number of unsatisfied random generation: 8

Hình 24: Thí nghiệm có kẾ hoạch thoả mãn

` Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM oe Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

Nhận xét: Với số lượng xe n — 7, cần phải lặp lại thí nghiệm ngẫu nhiên 8 lần để tìm được một thí nghiệm có kế hoạch thoả

Max flow09 Number of cars=

Total minimum penalty cost f(X)88 Hinh 25: Mang lưới trên khi lược bớt các cung nằm ngoài luồng sơ tần

Trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG TPHCM g Khoa Khoa học và Kĩ thuật máy tính

” paz was? See past pe36 — eas pea pez? âm vee paz ma — — p4 p29 pats pa23 pate aes ous San Sa e200

-= om pero ve one ma poze u3 pmán wae ero =o peat pa2e pas p26

=o tae pra ase Fae mà pris San ueie3 phat eo 8 p4 pase p paz peat wane e400 oa va6 „i6 im a4) oa, aS _—= eo ao mat pete peas man pez

=o mo = tà peas S32 pea — “HA p9 pea? | Saas p°25 no pele pao mo

So = paso was pass ary mise p20 pe20 — oa pso peat = mì pra pray p37 30 phác pez?

P S20 lv) vs ane — este b p20 mo pea? Pa = 7 want e410

Hình 26: Một ¿hí nghiệm không tồn tại kế hoạch thoả mãn p22 mi pm past pty

Max flow49 Number of cars87=0.25*Max flow

This random generation case is not satisfied mz 2 re,

= EG) ER cm np rà

= ca = = 2 a art E—Go— it 30 Lael „ri 2) cs

_ oraz = os eis pris fn

“ on pare = = pm = = paz = = = pea? a oa rs ES me = Es can rs = an tite _ ra eB re mm màn ware wus

Max flow4! umber of cars67 =0.25*Max Total minimum penalty cost i= 73871 The number of unsatisfied random generation: 15

Hình 27: Thí nghiệm có kẾ hoạch thoả mãn

Bài tập lón Mô hình hóa toán học cho học kỳ I năm học 2023-2024 tại Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG TPHCM, Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính, là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp sinh viên nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết trong lĩnh vực này.

@đ—ằ—@) @ỳ—=—>Œœ}—: | “NO as =—@)— =) — 4) — —— “` ố a}—ằ A x90 —9(25 0 —ằ(26 )— oe —ằ( 27 -— m4 o—>(%}——xe—>(3% wo—>(% =—>(S) na —z(MỲ—zz~r me —(} —* —ie—(8) —s—ằ(8}—nea—s(M}— oo a mm