CÁC CT TOÁN ĐS 12

III/ Nguyên hàm:... Hoang Thanh VinhIV: Diện tích hình phẳng... Lập bảng xét dấu y’’... Hoang Thanh VinhĐưa vào∆biện luận theo m để tìm số nghiệm của 1 => Số giao điểm của 2 đường C1 và

Hoang Thanh Vinh

ÔN TẬP TOÁN 12 I.Các công thức đạo hàm:

1) ( )c '=0 (C là hằng số)

2) ( )xα '=α.xα−1

3) 1'=− 12 ( ≠0)









x x

2

1 )' ( = x>

x x

5) (sinx)'=cosx

6) (cosx)'=−sinx

cos

1 '

x tgx =

sin

1 '

cot

x

gx =− 9) ( )e x '=e x

10) ( )a x '=a x.lnx

11) ( )lnx '= 1x

12) ( )

a x

x

a

ln

1 ' log =

1) ( )uα '=α.xα − 1.u

2) 1'=− 2' ( ≠0)









u

u u

2

' )' ( = x>

u

u u

4) (sinu)'=u'.cosu

5) (cosu)'=−sinu.u' 6) ( ) 2

cos

' '

u

u tgu =

sin

' '

cot

u

u

gu =− 8) ( )e u '=e u.u' 9) ( )a u '=a u.lnx.u' 10) ( )

a u

u u

a

ln

' ' log =

II/Các quy tắc tính đạo hàm:

1) (u±v±w)'=u'±v'±w'

2) (k.u)’ =k.u’

3) (u.v)’ =u’.v + u.v’

4) ' '. 2 . '

v

v u v u v













(v 0≠ )

5) 1 ' 2'

v

v v

−

=













(v 0≠ ) 6) y'x = y'u.u'x

) (

d cx

c b d a d

cx

b ax

+

−

=









+ +

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Một điểm M0(x0,y0)∈(C):y= f(x).Ta có f’(x0)=k:là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M0

III/ Nguyên hàm:

Hoang Thanh Vinh

1) Định nghĩa:F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên (a;b) F’(x) =f(x) , ∀x∈( b a, )

2) Bảng các nguyên hàm:

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp

1) ∫dx=x+c

2) ∫x dx= x + +1 +c

1α

α α

3) ∫ dx= x +c

1

4) ∫cosx.dx=sinx+c

5) ∫sinx.dx=−cosx+c

6) ∫ dx=tgx+c

x.

cos

1

2

7) ∫ dx=− gx+c

sin

1

2

8) ∫e x dx=e x +c

a

a dx

a

x x

ln

+

+

=

a dx b ax

1

) ( 1 ) (

1 α α

+b dx a ax b c

1 1

a dx b

cos(

4) ∫ + =− ax+b +c

a dx b

sin(

+b dx a tg ax b c

1 ) ( cos

1 2

1 )

( sin

1 2 7) ∫ + = e + +c

a dx

e ax b 1 ax b

8) ∫ + = + +c

a

a m dx a

n mx n

mx

ln 1

3)Các phương pháp tích phân:

Dạng 1:

Tích phân của tích , thương phải đưa về tích phân của 1 tổng hoặc 1 hiệu bằng

cách nhân phân phối hoặc chia đa thức

*Chú ý: n

m

Dạng 2:Phương pháp tính tích phân từng phần:

a/ Loại 1 : Có dạng: A=∫





























+

b

a

b ax

x

dx e

x x

e x P

cos

sin )

(

Trong đó P(x) là hàm đa thức

Phương pháp:

Đặt u=P(x) ⇒du=P'(x).dx

dv = ⇒ =





























+

V dx e

x x e

b ax

x

cos sin

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần

Hoang Thanh Vinh

A=[ ] −∫b

a

b

v

b/Loại 2:có dạng : B=

a

dx b ax x

P( ).ln( )

Phương pháp :

Đặt u = ln(ax+b) => du =

dx b ax

a

+

dv = P(x)dx => V =

Áp dụng công thức B =[ ] −∫b

a

b

v

Dạng 3:Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:

A= f[ ( )x ] x dx

b a

)

'.(

.ϕ ϕ

∫

Phương pháp :

Đặt t = ϕ.(x)=>dt =ϕ'(x).dx

Đổi cận:







=

=>

=

=

=>

=

) (

) (

a t a x

b t b x

ϕ ϕ

Do đó A =ϕ(b) F(t).dt=[ ] ( )

) ( ) (t b a

F ϕϕ

Dạng 4:Các dạng đặc biệt cơ bản:

a/Loại 1: I=∫a a dx+ x

0

2 2

Phương pháp:Đặt x=a.tgt 









− < <

2 2

π

=> dx= dt a tg t dt

x

a

) 1

( cos

2

Đổi cận:

a

0

2 2









− ≤ ≤

2 2

π

=> dx = acost.dt

Đổi cận

dx

2 Nếu ∆>0:ax2 +bx+c=a(x−x1)(x−x2)

Hoang Thanh Vinh











−

−

−

−

= +

2

1 1

) (

1 1

x x x x x x a c bx ax

Nếu















−











 +

= + +

=

∆

2

2 2

4 2

1 1

: 0

a a

b x a c bx ax

Để tính I=∫b









−











4 2

1

a a

b x a

Phương pháp : Đặt x+ tgt

a a

b

2 2

∆

= (làm giống dạng 4)

*Dùng phương pháp đồng nhất thức để tính tích phân hàm số hữu tỉ:

1)Trường hợp 1:Mẫu số có nghiệm đơn

c x

C b x

B a x

A c

x b x a x

x P

−

+

−

+

−

=

−

−

(

) (

2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm

c bx ax

C Bx a

x

A c

bx ax a x

x P

+ +

+ +

−

= + +

(

) ( 3)Trường hợp 3: Mẫu số có nghiệm bội

b x

E b

x

D b

x

C a

x

B a

x

A b

x a x

x P

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

−

(

) ( VD:Tính các tích phân sau:

A=∫3 − +

2

2 2 1

3x x

dx

B=∫3 − +

2

2 6x 9

x dx

C=∫3 + +

2

2 x 1

x dx

Dạng 6: A=∫sinn.x.dx hay ∫cosn.x.dx

Nếu n chẵn :

Áp dụng công thức Sin2a=

2

2 cos

1− a

Cos2a=

2

2 cos

1+ a

Nếu n lẽ:

A= sinn 1.x.sinx

∫ − Đặt t= cosx (biến đổi sinx thành cosx)

Dạng 7: A=∫tg m x.dx hay B=∫cotg m x.dx

Đặt tg2x làm thừa số

Hoang Thanh Vinh

Thay tg2x = 1

cos

1

2 −

x

4.Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

1) Cos2a=

2

2 cos

1+ a

2) Sin2a=

2

2 cos

1− a

3) 2sina.cosa = sin2a 4) Cosa.cosb = [cos( ) cos( )]

2

1

b a b

5) Sina.sinb = [cos( ) cos( )]

2

1

b a b

− 6) Sina.cosb = [sin( ) sin( )]

2

1

b a b

*Các công thức lượng giác cần nhớ:

1) Sin2a+cos2a = 1 2) 1+tg2a =

a

2 cos 1

3) 1+cotg2a =

a

2 sin 1 4) Cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a -1 = 1- 2sin2a 5) Tg2a =

a tg

tga

2 1

2

− 6) Sin 3a = 3sina – 4sin3a 7) Cos 3a = 4cos3a – 3cosa *Các giá trị lựơng giác của góc đặc biệt:

Hoang Thanh Vinh

IV: Diện tích hình phẳng

1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c):y= f(x)và hai đường thẳng x=a; x=b

Phương pháp:

+ dthp cần tìm là:S f(x).dx (a b)

b

a

<

=∫

+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:

 Nếu phương trình f(x) = o vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [a;b] thì

∫

=

b

a dx x f

 Nếu f(x) = 0 có nghiệm thuộc [a;b] Giả sử x=α;x=β thì

∫

∫

∫

∫

+ +

=

+ +

=

b

a

b

a

dx x f dx x f dx x f S

dx x f dx x f dx x f S

β

β

α α

β

α

) (

) (

) (

) ( )

( )

(

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c):y= f(x)và trục hoành

Phương pháp:

• Hđgđ của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình : f(x) = 0







=

=

⇔

b

x

a

x

=

b

a

b

a dx x f dx x

f

3) Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi 2 đường (C 1 ): y=f(x) và (C 2 ): y=g(x) và 2 đường x=a; x=b

0

1

1 2

1

2 / 3

1/2/ 2 2

2

3 2 2

sin

cos

3

1

2 /

π

π-1

-1

2

3π

cost

Hoang Thanh Vinh

Phương pháp:

• Dthp cần tìm là: =∫b −

a

dx x g x f

• Hđgđ của 2 đường (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình

• f(x) – g(x) = 0

• Lập luận giống phần số 1

V) Thể tích vật thể

1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox và y=f(x) liên tục trên [a;b] Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:

∫

= b

a

dx x f

2) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục oy và x=g(y) liên tục trên [a;b] Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: = ∫b[ ]

a

dy y g

VI) Đại số tổ hợp

1) Giai thừa

n! = 1.2.3.4… n

2) Ngắt giai thừa

n!=(n-3)!(n-2).(n-1).n

7!=1.2.3.4.5.6.7

7!=5!.6.7

K!K=(K+1)!

Qui ước:

0!=1

1!=1

3) Số hoán vị của n phần tử

Pn! = n! n≥1,n∈N

4) Số chỉnh hợp chập K của n phần tử

n k k

n

n

A k

−

)!

(

!

,n∈N

5) Số tổ hợp chập K của n phần tử

N n n k k

n

k

n

C k

−

)!

(

!

* Tính chất của Tổ Hợp:

• 0 = n =1

n

C

• C n10 =n

n

k

1

+ + =

n

k n

k

C

6) Nhị thức Newtơn

n n n k

k n k n

n n

n n

n n

b

Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a+b)x là T 1 C k a n k b k (k o,1, ,n)

n

+ 7) Khai triển theo tam giác Pascal

Hoang Thanh Vinh

VII) Các vấn đề có liên quan đến bài toán

Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số

Phương pháp:

1) Tập xác định

2) Tính y’







=

⇒

=

=

⇒

=

⇔

=

y x

y x

y' 0

3) Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu là hàm số hữu tỷ)

4) Bảng biến thiên

5) Tính y’’ Lập bảng xét dấu y’’

6) Điểm đặc biệt

7) Vẽ đồ thị

Vấn đề 2: Biện luận phương trình f(x,m)=0 (1) bằng đồ thị (C)

Phương pháp:

• Chuyển m sang 1vế để đưa về dạng : f(x)=m

• Đặt y=f(x) có đồ thị (C)

• y=m là đường thẳng d cùng phương với trục ox

• Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d

• Dựa vào đồ thị kết luận

Vấn đề 3: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường (C1): y = f(x)và (C2): y = g(x)

Phương pháp:

+ Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)là nghiệm của phương trình:

) 1 ( 0 ) ( ) ( )

(

)

(x =g x ⇔ f x −g x =

f

+ Biện luận:

• Nếu (1) có n nghiệm =>(C1) và (C2) có n điểm chung (Hay n giao điểm)

• Nếu (1) vô nghiệm => (C1) và (C2) không có điểm chung (Hay không có giao điểm)

Chú ý:

Nếu pt (1) có dạng ax + b = 0 chỉ khi biện luận phải xét 2 trường hợp

1) Nếu a=0

2) Nếu a≠0

Nếu pt (1) có dạng ax2 + bx + c = 0 xét 2 trường hợp

1) Nếu a=0

2) Nếu a≠0 Tính ∆ Xét dấu ∆ Dựa vào ∆ lập luận

Nếu pt (1): ax3 + bx2 + cx + d = 0 Ta đưa về dạng :

0 ) ' ' '

)(

(x−α a x2+b x+c =







= + +

=

0 ' '

'x2 b x c

a

Thế x=α vào (1).Tìm m.Xét pt (2).Tính ∆

Hoang Thanh Vinh

Đưa vào∆biện luận theo m để tìm số nghiệm của (1) => Số giao điểm của 2 đường (C1) và (C2)

Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x)

1) Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M0(x0,y0)

Phương pháp:

+ Tính y’ => y’(x0)

+ phương trình tiếp tuyến với (C) Tại M0 có dạng: y – y0 = y’(x0).(x-x0)

2) Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (d)

Phương pháp:

+ Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm

+ Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 có dạng y – y0 = y’(x0).(x-x0)

+ Vì tiếp tuyến song song với d nên: y’(x0).= a (1)

+ Giải (1) tìm x0 => y0

+ Kết luận

* Chú ý:

Biết tiếp tuyến vuông góc Vuông góc với đường thẳng d: y=ax + b thì

a x

y

a x y

1 ) (

'

1 )

(

'

0

0

−

=

−

=

⇔

3) Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA,yA)

Phương pháp:

+ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k có phương trình:

y - yA = k(x – xA)

<=> y = kx – kxA + yA

+ ∆ tiếp xúc với đường cong (C) <=> Hệ phương trình sau có nghiệm

( )

) 2 ( )

(

'

) 1 )

(

k x

f

y kx kx x

=

+

−

=

+ Thế (1) vào giải tìm x

+ Thế x vừa tìm được vào (2) Suy ra k

+ Kết luận

Vấn đề 5: Tìm m để Hàm số có cực đại và cực tiểu.

1) Trường hợp 1: Hàm số ax3 + bx2 + cx + d = 0

Phương pháp.

+ Tập xác định : D = R

+ Tính y’ Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt







>

∆

≠

⇔

0

0

a

2) Trường hợp 2: Hàm số :

' '

2

b x a

c bx ax y

+

+ +

=

Phương pháp:

+ Tập xác định D = R\{-b’/a’)

+ Tính ( ' )2

) ( '

b x a

x g y

+

=

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Hoang Thanh Vinh









≠

−

>

∆

'

' (

0 '

a

b g

g

Vấn đề 6: Tìm m để Hàm số đạt cực đại tại x0 (hoặc cực tiểu, cực trị)

Phương pháp:

+ Tập xác định

+ Tính y’





=

=

⇔

=

⇒

m

m x

f'( 0) 0

Đảo: Thế m vào y’ Lập bảng biến thiên để kiểm lại.

+ Kết luận

Chú ý:

Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y’ chỉ cần đổi dấu khi x đi qua x0

Vấn đề 7: Tìm m (hoặc a, b) để hàm số: ax3 + bx2 + cx + d = 0 nhận điểm I(x0;y0) làm điểm uốn

Phương pháp:

Hoang Thanh Vinh

3) Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Logarit

 LogaN=b (A>0;A≠1;N >0)

 aloga N = N

 loga a=1

 loga1=0

 loga(A.B)=loga A+loga B

B

A

a a

log = −

 loga bα =αloga b

 loga b 1loga b

α

α =

 loga b loga b

α

β β

α =



a

b

b a

log

1 log =

 loga b.logb c=loga c



a

b b

c

c a

log

log log =











>

=

≠

>

⇔

=

0 1

0 log

log

2 1

2 1

α α

α

a a

a

 Nếu a>1

0 log

logaα1 ≥ aα2 ⇔α1 ≥α2 >

 Nếu 0<a<1

2 1 2

1 log

loga x ≥ a x ⇔a<x < x

 Đưa về cùnng cơ số

 Đưa về pt và bpt cơ bản

 Đặt ẩn số phụ

 Phân khoảng

 Giải pp đặt biệt

Hoang Thanh Vinh

Hàm Số Lượng Giác

a g

a a

a a

tga

ga

a tga

ga

a a

a

2 cot 2

cos sin 2

) cos (sin

2 cot

*

2 sin

2 cot

*

2 sin 1 ) sin

(cos

*

2 2

2

=

−

=

−

= +

±

=

±

 Cos đối [ ]−α : đối của α

 Sin bù (π −α): Bù của α

 Khác πtg hoặc cotg (π +α)

Lưu ý:

 Hàm số lượng giác (α+k2π)= hslg α



) lg(

) lg(

) ( cot ) (

cot

a b hs b a

hs

g

tg k

g

tg

−

→

−

=

α

 Hàm cos không đổi dấu giá trị

 Hàm sin, tg, cotg đổi

 (α+β): bù nhau

α β

α β

α β

α β

π β

α

g g

tg tg

cot cot

cos cos

sin sin

) (

1800

−

=

−

=

−

=

=

⇒

= +

⇔

gC B

A g

tgC B

A

tg

C B

A

C B

A

C B A ABC

cot )

(

cot

) (

cos )

cos(

sin ) sin(

−

= +

−

= +

−

= +

= +

⇒

= + +

=

) ( cot ) (

) cos(

) sin(

2

kia g này

tg

kia này

=

=

⇔

= +β π

α

β α

β

β α

β

tg =cot cot

 Khác π/2

α α

π

α α

π

tg g

g tg

−

= + +

−

= + +

) 2 ( cot

cot )

2

(

Hoang Thanh Vinh

Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Căn

 Các tính chất:

-









=

=

⇔

≥

−

a a

a a a

đk

2 ) ( 0 ,

 Phương trình chứa căn bậc 2

 Phương trình chứa căn bậc 3:

 Cách giải