---Hàm số mũ và logarit I.Tóm Tắt Về Luỹ Thừa Và Hàm Số Mũ.. 1.Các phép toán về luỹ thừa với số mũ thực.. • Hàm số mũ có tập xác định là R.Liên tục trên R... HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠ
Trang 1-Hàm số mũ và logarit I.Tóm Tắt Về Luỹ Thừa Và Hàm Số Mũ.
1.Các phép toán về luỹ thừa với số mũ thực.
2.Hàm số mũ.
a.Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số a( a>0) là hàm số được xác định bởi công thức:y a= x
vd: 2 ; ( )1
3
b.Các tính chất
• Hàm số mũ có tập xác định là R.Liên tục trên R
• a x> ∀ ∈0, x R
• Nếu a=1 hàm số không đổi trên R:y=1
• a>1: Hàm số đồng biến trên R
• 0< <a 1: Hàm số nghịch biến trên R
• Với 1
m
a
> ⇔ >
> ⇒
> ⇔ >
• Với 0 1
m
a
> ⇔ <
< < ⇒
> ⇔ <
• a m =a n ⇔
≠
M,N tuỳ y ùnếu a = 1
M = N nếu a 1
• Đồ thị hàm số mũ luôn luôn đi qua điểm I(0,1)
• Đồ thị hàm số mũ luôn luôn nằm ỏ trên trục hoành
c.Đồ thị của hàm số mũ:
II.Tóm tắt về hàm số lôgarit:
a.Định nghĩa: Cho số thực a>0 và a≠1,lôgarit cơ số a của một số dương N là một số M sao cho
M
N =a Ký hiệu : loga N Ta có:
b.Các phép toán về logarit:
Giả sử a>0 và a≠1,A,B,N…>0.Ta có các công thức sau đây:
n
a
−
a>1 0< a<1
X
Y
Y
O 1
a N =M ⇔ =N a
Trang 2Bài tập 1: Giải các phương trình sau đây:
6
2
2x − −x =16 2
2
5x+ − =5x 2x+ +2x+
3 2 5x+ 2 x+ 2 =2 53x 3x
4 334 2 − x =95 3 − −x x2
5 2x− 3 =5x2 − + 5x 6
6 5 8x x x−1 500
=
7
3 2 1
2 3 5x+ x− x+ =4000
8 4x+ − =2x 6 0
9 25x−23.5x− =5 0
10 9x2 + 1−3x2 + 1− =6 0
11 5.4x−7.10x+2.25x =0
12 (49)1x −(35)1x =(25)1x
13 8x+18x =2.27x
14 3.16x+2.81x=5.36x
15 (2− 3)x+ +(2 3)x =14
16 (4− 15)x+ +(4 15)x =62 17
3 (5− 21)x+7(5+ 21)x =2x+
18 4x+(2x−5).2x+6x−24 0=
19 2x+2−x+ =2 4x x− 2
20 9x+2(x−2)3x+2x− =5 0
4x− x− −12.2x− − x − + =8 0
21 3.22 7.24 10
22 2 2 1 2 221 3.( ) 7.( ) 6 0
x
23 2x = − +2x 8
24 −2.12x+3.6x+ =3x 0
25 2x+ =3x 5x
26 4cos x2 +41 sin + 2x=10 27
4x − +x +4x + +x =4 x + +x +1
28 81sin 2x+81cos x2 =30
29 3.8x+4.12x−18x−2.27x =0
30 4x+ x2 − 2 −5.2x− + 1 x2 − 2 − =6 0
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1.log (4 x+ −3) log (4 x− = −1) 2 log 84
2 lg(x− +2) lg(x− = −3) 1 lg 5
3 log x+log x+log x=6
4.log (2x x2−7x+12) 2=
5.log (9 2 ) 32 − x = −x
6.log (3.22 x− =1) 2x+1
7.log (1 log (23 + 3 x−7)) 1=
5
log −x(x −2x+65) 2=
7 log 2 log 0
6
x − x+ =
log (x + + −x 1) log x=2x x−
11 log 64 log 16 32x + x2 = 22.
log x+ log x+ − =1 5 0
12 xlg 4+4lgx =32 23
log (log ) log (log ) 2x + x =
13 xlg9−4.3lgx+ =3 0
14 xl g 3o 3 x+2(3 )x l go 3x=27
3
log log
3 x+x x =6
16 log2 x −4 log4 x − =5 0 17
2
log x+ −(x 1) log x+2x− =6 0
18 log7 x=log (3 x+2) 19
log (x+1) + =2 log 4− +x log (4+x) 20
log ( 5 6) log log 3
x
21.log2 x+2log7x= +2 log2xlog7 x
Bài tập 3:Giải các bất phương trình sau đây?
1 52x+ 1−26.5x+ >5 0
5
4 6 log x 0
2
6 9
2( 1)
x x
+
log ( ) log log ;log log log
1
1
log 1
.log log
n
b
A
B
n
x
β
β
β
β
log ; log ; log
10
log ln log lg
e x x
=
=
Trang 3-3 3.22 7.24 10
4 7.3x+ 1−5x+ 2 ≥3x+ 4−5x+ 3
5
3 (7 3 5)+ x+7(7 3 5)− x ≤2x+
7 2
3
log log
3 x+x x ≤6
5 log (6x+ −36 ) 2x ≤
9 log (log (93 x 72)) 1
11.4 2 2 0
4 2 2
x x
x+ − >x
− −
12.log (3 2) 1
2
x
x x
+ >
+
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.phương trình căn thức:
Dạng 1: ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( )
g x
>
Dạng 2:
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
g x
>
Chú ý: để giải phương trình chứa căn bậc hai,ta chỉ cần đặt điều kiện và làm cách nào đó “làm mất
căn”
Bài tập 1: Giải các phương trình sau đây:
2 Bất phương trình căn thức:
Dạng 1: Dạng 2:
1 7 3+ x = −4 x
2
3 x+ =3 2x− +8 7−x
4 5x− −1 3x− −2 x− =1 0
5 5 4− x + 5 4+ x =4
6
2x +5x+ −2 2 2x +5x− =6 1
7 x2+3x+ = +1 (x 3) x2+1
8 (2+ 3)x+ −(2 3)x =4
9 ( 2− 3 )x+( 2+ 3 )x =4
10 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x2−5x+2
11 7− +x2 x x+ =5 3 2− x x− 2
12 2x+ =9 4− +x 3x+1
13 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x) 3=
14 2x2+8x+ +6 x2 − =1 2x+2
Dạng 3: f x( )+ g x( ) = h x( )
*Đặt điều kiện để các biểu thức trong căn có nghĩa
* Bình phương 2 vế
()0
()0
() ()
()0
() ()
fx
gx
fx gx
gx
fx gx
≥
≤
≥ ⇔ ≥
≥
2
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
Trang 4Dạng 3:
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau đây:
1 x2+2x+ ≤5 4 2x2+4x+3( : 1 2 6ds − − ≤ ≤ − +x 1 2 6)
2
x − x> −x ds x>
3 2( 2 16) 3 7 ( : 10 34)
4 5x− −1 x− >1 2x−4( : 0ds ≤ <x 10)
2
7 x+ −2 3− <x 5 2 ( : 2− x ds − ≤ <x 2)
1
2
x
x
=
3
3 x+ −4.3x+1(log x− ≥1) 0(ds:
3 1 0
3
x x
≥
< ≤
( : 4 5 6 7)
≤ ≤ ∨ ≤ ≤
11 ( 1)( 4) 5. 2 5 28 ( : 9 4)
− < <
12
5 13
2
( : 0 1)
≤ ≤
( : 1 0)
− ≤ <
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2x2+mx− = +3 x 1(Đs:m≤ −1)
Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nhiệm:
x2−2x+ =2 2m+ −1 2x2+4x(Đs:m≥ −1)
Bài tập 5:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y= x− +1 9−x ,x 3;6 (Đs:y∈[ ] max=4 với x=5.ymin= 2+ 6với x=3)
Bài tập 6:Cho phương trình : 2 2
log x+ log x+ −1 2m− =1 0.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3
.(Đs:0≤ ≤m 2).
Bài tập 7:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 4 2
4
x
4 2
x
y=
(ĐS: 2 4
3
Bài tập 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:y= − 4−x2 và x2+3y=0
(ĐS: 4 3
3
-HỆ PHƯƠNG
TRÌNH -A HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ :
[ ] ( ) 0; ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) ( ) 0
( ) 0 ( ) 0
g x f x
f x
g x f x
f x
g x
≥
>
>
Trang 5-Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
1
6 2
3
3 4
1
+ =
− = −
2
13 6 5
x y
+ =
+ =
3
4( 2 ) 3( ) 10 5( 2 ) 2( ) 1
4.Tìm k nguyên để hệ phương trình sau đây có nghiệm nguyên duy nhất x y 1
kx y k
+ = −
− =
B HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I :
Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
1
2 2 13
3( ) 2 9 0
2
4 4 34
2
x y
3
3
x y xy
x y xy
4
2 2 30
11
x y xy
x y xy
5
2 2
4 4 2 2
7 21
6
2 2 3( ) 28
11
x y xy
7
2 2 3 3
4
x y
8
3 3 8
9
2 2 1
1 2
C HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II :
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
1
3 3
2 2
2
2
2
2 1 2 1
y x
y x y x
=
=
3
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x x x y
=
4
5
2
2
3 2
3 2
x y
x
y x
y
+ =
+ =
6
3
y x
− = −
7
2 2
3 3
= −
m để phương trình có nghiệm duy nhất
2 3 2
4 4
9
D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau:
Trang 6
E.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau:
F HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1
3 3
7
− =
2
2
3
4
2
5
6
3 3
35 30
x y xy
7
3 11
8
9
2 2 3 2 0
2
1
35 30
x x y y
x y y x
2
2
2
3 1
4 3 1
4
3
2 2
6 20
x y y x
x y y x
5 2 2 2 22
4
7
3
2
9
7 1 78
0, 0
x xy y xy
> >
Trang 7-Bài tập 6: Giải các hệ phương trình sau:
2
2
2 log 2 log 5
4 log 5
x
y
2
5
3 2 1152
log ( ) 2
x y
x y
−
3
log log
4 log log 1
2 2
1 log ( ) log 1
25
y x
y
+ =
5
2
3( ) 7( ) 6 0
lg(3 ) lg( ) 4lg 2 0
x y
x y
−
−
6
1
4 2
2 2
x
x x x
y
+
7 log2 3 3 (2 12)3x 81
8 log (3log (2x 2 ) 23 ) 2
y
3log (9 ) log 3
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
11
4 32 log ( ) 1 log ( )
x y
y x
+
-LƯỢNG
GIÁC -A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :
1.công thức cộng
*sin( ) sin cos sin
* ( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb
± =
±
± =
m
m
2.công thức nhân đôi.
2
*sin 2 2sin sin 2sin
2
* 2
1
tga
tg a
tg a
=
−
Hệ quả.
3 3
*sin 3 3sin 4sin
3.công thức hạ bậc
cos a
cos a
−
+
4.công thức tính sina,cosa,tga theo
2
a
t tg=
Đặt
2
a
2 2
a
k
≠ +
2
2
2
2
*sin
1
1
*
1
t
a
t
t
cosa
t
=
+
−
=
+
6.công thức biến đổi tổng thành tích
* sin 2sin
sin( )
*
cosa cosb
a b tga tgb
cosacosb
±
Hệ quả:
7.công thức về cung liên kết.
a.Cung đối nhau:
*
*
b.cung bù nhau:
*
*
c.cung phụ nhau.
* ( ) sin sin( )
*
*
π
Trang 85.công thức biến đổi tích thành tổng.
1
2
1
2 1
*sin sin( ) sin( )
2
*
*
Hệ quả:
*sin( 2 ) sin ( 2 )
*
*
A.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
Bài 1:Giải các phương trình sau đây
2
2)(1 )(2sin ) sin
3)sin(2 ) 3 ( ) 1 2sin ; ;3
4) 2(2sin 1) 4(sin 1) (2 ) sin(2 )
1
2
3 7) ( ) 2 sin( )
2
9) 3 2sin 3 0 10)1 sin sin sin 2 ( )
π
B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA (COSX+SINX);(SINX-COSX) VÀ SINX.COSX
Phương pháp: (sina x cosx± )+bsinxcosx c+ =0
Dạng 1:PTLG chứa sinx+cosx
và sinx.cosx
* Đặt
4
Điều kiện:− 2≤ ≤t 2
2 1 sin
2
t
Dạng 2:PTLG chứa sinx-cosx và sinx.cosx
* Đặt
4
Điều kiện:− 2≤ ≤t 2
2 1 sin
2
t
Dạng 3:PTLG chứa sinx cosx ± và sinx.cosx
* Đặt
4
Điều kiện:− 2≤ ≤t 2
2 1 sin
2
t
Bài 2:Giải các phương trình sau đây
sin 3 3) sin 4sin 2 1
4)2( sin ) 3(cot ) 5 0
3
3
3 sin 3 1
1 sin
1 2 sin 8)
1 sin
cos x
x
x cos x
−
−
=
−
7)
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC
Chú ý:* Khi PTLG chứa sinx,cosx có chứa luỹ thừa bậc chẵn thì ta thường sử dụng công thức hạ bậc.
*Ta thường sử dụng các kết quả sau:
6 6 2 3 2 3
8 8 4 2 4 2
= = Bài 3:Giải các phương trình sau đây
Trang 9-D.PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng: a.sin2x b+ sinxcosx c cos x d+ 2 =
PP:* Xem thử cosx=0 (sin2 x=0)có là nghiệm của phương trình hay không?
* Trong trường hợp cosx=0 không là nghiệm ,chia 2 vế của phương trình cho cos x2 ≠0ta được 1 pt bậc 2 theo tgx:a tg x b tgx c 2 + + =0,giải phương trình này tìm được nghiệm của phương trình Bài 4:Giải các phương trình sau đây
E.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng : sina x b cosx c+ =
Bài 5:Giải các phương trình sau đây
1 1)sin
4 1
4 4
1 4)sin
8
x cos x
x cos x
x cos x
π
17 5)sin 2 8 sin( 10 )
2
1
16 1
4 4
x cos x
π
π
[ ]
3
1)3sin (3 3)sin 3 0, 0; 2
3)6sin 2 5sin 2
π
3 3
5sin 4 4)6sin 2
2 2 5)2 sin 3
sin
2 sin
xcosx
cos x
x cos x
cos x
=
−
1)3sin 2 2
2
sin 2
x
4)4sin 2 3 cot
5)8sin
sin
x
Trang 10-MỘT SỐ ĐỀ THI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NHỮNG NĂM GẦN
ĐÂY -Bài 7:Giải các phương trình sau đây
2
2
3 sin 3
1 2sin 2
2) cot 1 sin sin 2
4)sin 3 4 sin 5 6
2 5) cot 4sin 2
sin 2 6)5sin 2 3(1 sin )
7)1 sin sin 2 2
x cos x
tgx cos xcos x cos x
x
π
+
+
+
[ ]
0 8) 3 4 2 3 4 0; 0;14
x
=
2
2
22)2sin(3 ) 1 8sin 2 2
4 23) 3 sin 2 2 2 2 2 2 24)sin 3 3 2 0
26)1 sin sin 2
28) 2
x
tg cosx
π
sin 2x 0
2
2
1) 3 4 2 2
2) 1 8sin 2 2 2sin(3 )
4 sin 3 sin
4) sin sin sin 1 0
5)3 1(sin 2 ) 5(sin 3 )
6)sin sin 2 sin 3 2 3
x cos x x cos x
π π
−
2
2007 2007
7)sin (1 cot ) (1 ) 2 sin
sin 5
5sin
3
4 11)sin 2 sin sin 2 sin 3
x x
x cos x cos
+ =
=
Trang 1110)(2 1)(2sin ) sin 2 sin
3
2( sin ) sin
2 2sin
sin 2 2
tg x cos
x
x cos x
x
π
π
−
2
) sin 3 sin 5
15)
16)3sin 2 2 3
17)sin 2 2 2 1 sin 4
18)4sin 3 4 sin 3 3 3 4 3
19)sin 3 2 ( 2 )
20) 2 cot 2 sin 2
x cosx cos x tg x tg x
=
2
2
3
2
cot cot
13
8 31)4 3 2 sin 2 8
sin 3 33)sin ( 3 sin sin 3 ) sin sin 3
3sin 4 34)1 3 2sin 2
36)( 5 2 6 ) ( 5 2 6 )
cos x cos x
gx gx
x
x
3
2 37)4 3 sin 2 sin 8
38)2 2 2 2 3 3 4 (2sin 2 1) 39)sin ( ) 2 sin
4 40)3sin 2 2 3
41)
sin 2 sin 4 42)sin 3 ( 2sin 3 ) 3 (1 sin 2 3 ) 0
π
=
=
-HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC -Bài tập 8.CMR tam giác ABC thoả các hệ thức sau là tam giác vuông
2
sin sin
1)sin
2)sin 4 sin 4 sin 4 0
3) 2 sin sin
A
cosB cosC
+
=
+
4)2cot 2 cot cot 5)sin 2 sin 2 4sin sin 6)sin sin sin 1 cos cos
cos A cos B cos C
Bài tập 8.CMR tam giác ABC thoả các hệ thức sau là tam giác cân
2 2
1) 2
2
1 cos 2
3)
A B
=
+
−
2
2 5)2cot 2 cot cot
7) sin 2 sin 2 cot
2
C
C
Bài tập 9.CMR tam giác ABC thoả các hệ thức sau là tam giác đều
3 3 3
2 1)
2
a
a b c
− −
=
2 2
1 cos 2 sin
Bài tập 10.Tính số đo các góc của ∆ABCbiết chúng thoả 2 2 1
sin sin
2
Bài tập 11 Tính số đo các góc của ∆ABCbiết chúng thoả.cos sin sin 3
2
Bài tập 12 Tính số đo các góc của ∆ABCbiết chúng thoả.sin 2 sin 2 3
2
Trang 12BẤT ĐẲNG THỨC 1.Định nghĩa: a b≥ ⇔ − ≥a b 0
2.Tính chất :a2 ≥ ∀0, a dấu “=” xảy ra khi a=0
, 0
*
, 0
ac bc c
a b
ac bc c
≥ ⇔ + ≥ + ∀ ∈
≥ ⇔
> > ⇒ > ∀ ∈
0
*
0 0
*
0
*
a b
a c b d
c d
a b
ac bd
c d
a b
a c
b c
≥ >
≥ >
≥ >
≥ >
>
>
1 1
* , 0
x y
> > ⇔ <
∀ > > > ⇔ <
> ⇔ + ≥
+
Bài 1: Sử dụng định nghĩa: a b≥ ⇔ − ≥a b 0
1.CMR,∀a b c R a, , ∈ : 2+ + ≥b2 c2 ab bc ca+ +
2.CMR với 5 số a,b,c,d,e tuỳ ý ta luôn có :
a2+ + +b2 c2 d2+ ≥e2 a b c d e( + + + )
3.CMR, ∀x y R x, ∈ : 4+y4 ≥xy3+x y3
Hệ quả:
4 4 2 2
2 2
, 0 :
4.Cho a,b,c là các số dương CMR ta luôn có
a5+ >b5 a b3 2+a b2 3
5.CMR.(a b c+ + )2 ≥3(ab bc ca+ + )
6.a)CMR,với x>0,y>0 ta có:1 1x+ ≥y x y+4
Chú ý quan trọng 1 1 1( 1)
4
+
b) Nếu ABC∆ thoả mãn hệ thức sau
sin sin sin
thì
ABC
∆ đều 7.Cho x,y,z >0 và 1 1 1 4
8 CMR,với ab≥1 thì 1 2 1 2 2
1 a +1 b ≥1 ab
Bài 2: Sử dụng các BĐT quen thuộc
1.CMR, a b, 0 : (a b)(1 1) 4
a b
2 CMR, a b c, , 0 : (a b c)(1 1 1) 9
a b c
3 CMR, a b c, , 0 :a b a c c b 6
2
a b c
b c c a a b
+ + + (nesbit)
5 CMR,
, , 0 :
2
a b c
b c c a a b
+ +
6.CMR,∀a b c, , >0ta luôn có.
15 2
7.Cho a,b,c>0,abc=1 Tìm GTNN của biểu thức
P a2 b2 c2
b c a c a b
8.Cho
1
a b
b
≥
≥
13.Cho 2a+3b=5.CMR.2a2+3b2 ≥5
9 Chứng minh rằng với mọi x∈R, ta có
x x x x x
x
5 4 3 3
20 4
15 5
12
+ +
≥
+
+
10 Cho các số x, y, z thoả mãn xyz=1.Chúng minh rằng
3 3
11.Cho , , 3
4
a b c≥−
và a b c+ + =3.CMR
4a+ +3 4b+ +3 4c+ ≤3 3 7 12.Cho a,b,c>0.CMR nếu a b c+ + =1thì
6
a b+ + b c+ + c a+ ≤
14.Cho a,b,c>0.CMR
+ +
15.Cho a,b,c,d>0.CMR
a b c d