Giáo trình phương pháp tính kỹ thuật Trần, Minh Thuận, Trần, Đức Trung, Lê, Thành Phiêu Trường Đại học Cần Thơ, 2020

Trong các thập niên gần đây với đà phát triển nhanh chóng của công cụ máy vi tính, sự trợ giúp cho việc giải quyết các bài toán chuyên môn kỹ thuật bằng phương pháp số ngày càng chính xác và hữu hiệu. Vì vậy việc trang bị cho sinh viên và học viên các ngành kỹ thuật các kiến thức về thuật toán phương pháp số nhằm hiểu rõ bên trong các chương trình phần mềm kỹ thuật có sẵn trên thị trường cũng như ứng dụng được các thuật toán này để phục vụ trong ngành nghề của mình là một việc hết sức cần thiết. “Giáo trình Phương pháp tính Kỹ thuật” nêu lên các thuật toán cơ bản để ứng dụng tính toán cho các bài toán kỹ thuật thông dụng. Áp dụng các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn để giải những bài toán phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng tuyển tính, không tuyến tính và có điều kiện biên đa dạng trong lãnh vực dòng chảy, truyền nhiệt, cơ học đất, sức bền vật liệu, v.v... Từ những thuật toán đưa ra trong bài giảng và các đoạn chương trình con đơn giản viết bằng ngôn ngữ Matlab sinh viên có thể ứng dụng giải bài tập trên máy tính hoặc để kiểm tra kết quả tính toán giải bằng phương pháp thủ công, ngoài ra sinh viên có thể tự lập trình cho mình những bài toán kỹ thuật phức tạp hơn phục vụ cho mục đích chuyên môn cụ thể của mình. Trong quá trình biên soạn nhóm tác giả đã có tham khảo nhiều sách giáo trình, bài giảng, cũng như tài liệu của các tác giả khác ở trong và ngoài nước, cộng với ý tưởng và kinh nghiệm của tác giả nhằm đúc kết và làm phong phú thêm nội dung giáo trình này nói riêng, cũng như góp thêm phần nào vào việc ứng dụng các thuật toán của môn phương pháp tính kết hợp công cụ tin học vào các lãnh vực kỹ thuật nói chung. Do nội dung của môn học phương pháp tỉnh cho đến nay rất rộng và vì kiến thức của tác giả có hạn nên không tránh khỏi sự thiếu sót trong khi biên soạn, mong quý độc giả vui lòng góp ý và xây dựng thêm.

T$ TRẤN MINH THUẬN (hủ hiên) ThS TRAN BUG TRUNG - Th$ LÊ THÀNH PHIÊU

1, Engineering mathematics _ 2 Toán kỹ thuật

1.Nhan đề II Trần Đức Trung II Lê, Thành Phiêu

621.8 - DDC 23 MEN 236228

Th502.

LỜI GIỚI THIỆU

Nhằm góp phần làm phong phú nguồn tư liệu phục vụ nghiên cứu, học tập cho bạn

đọc, sinh viên, học viên và nghiên cứu ngành Kỳ thuật xây dựng Công trình thủy, Kỳ thuật Tài nguyên nước, Biến đồi khí hậu và Quản lý đồng bằng Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ ấn hành và giới thiệu cùng bạn đọc giáo trình "Phương pháp tính - Kỹ thuật"

do TS Trần Minh Thuận, ThS Trần Đức Trung, ThS Lê Thành Phiêu biên soạn

Gi

Sai số, Giải các phương trình phi tuyến

và Tích phân bằng số Giáo trình là tài

pháp tính - Kỹ thuật

trình gồm 6 chương, nội dung giới thiệu về Sự chính xác = Sự ôn định -

a tinh giá trị một hàm số; Nội suy; Đạo hàm

ệu học tập có giá trị liên quan đến Phương

Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ chân thành cám ơn các tác giả và sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô trong Hội đồng thâm định Trường Đại học Cần Thơ đề giáo trình

“Phương pháp tính - Kỹ thuật” được ra mắt bạn đọc

Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ trân trọng giới thiệu đến học viên, sinh viên,

giảng viên và bạn đọc giáo trình này

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CÀN THƠ

LOENOI DAU

Trong các thập niên gần đây với da phát triển nhanh chóng của công cụ máy vi

tính, sự trợ giúp cho việc giải quyết các bài toán chuyên môn kỹ thuật bằng phương

pháp số ngày càng chính xác và hữu hiệu Vì vậy việc trang bj cho sinh viên và học

viên các ngành kỹ thuật các ién thức vẻ thuật toán phương pháp số nhằm hiễu rõ bên

trong các chương trình phần mềm kỳ thuật có sẵn trên thị trường cũng như ứng dụng được các thuật toán này để phục vụ trong ngành nghề của mình là một việc hết sức

phương s nhấp sai TOME hữu hạn để giải nhữi

trình đạo hàm riêng tuyến tính, không tuyến tính và có điều

lãnh vực dòng chảy, truyền nhiệt, cơ học đất, sức bền vật liệu, v.v Từ những thuật

toán đưa ra trong bài giảng và các đoạn chương trình con đơn giản viết bằng ngôn ngữ Matlab sinh viên có thể ứng dụng giải bài tập trên máy tính hoặc đề kiểm tra kết quả tính toán giải bằng phương pháp thủ công ngoài ra sinh viên có thể tự lập trình cho mình những bài toán kỹ thuật phức tạp hơn phục vụ cho mục đích chuyên môn cụ thể của mình

Do nội dung của môn học phương pháp tính cho đến nay rất rộng và vì kiến thức tác giả có hạn nên không tránh khỏi sự thiếu sót trong khi biên soạn, mong quý độc vui lòng góp ý và xây dựng thêm

Xin chân thành cám ơn

NHÓM TÁC GIẢ

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

MỤC LỤC

Chương 1 SỰ CHÍNH XÁC - SỰ ÔN ĐỊNH - SAI SO

1.1 CÁCH BIÊU DIỄN DỮ KIỆN TRỊ SỐ TRONG MÁY VI TÍNH

1.5.1 Sai số tuyệt đối

1.6.2 Sai số của I biểu thức phức tạp

1.6.3 Bài toán ngược của sai số

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Chương 2 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ

MOT HAM ä

2.1 BƯỚC GIẢI SƠ BỘ MỘT PHƯƠNG TRÌNH

2.1.1 Khảo sát hàm số theo giải tích

2.1.2 Vẽ đồ thị của hàm số /(x)

2.1.3 Hoặc nếu được ta có thể biến đổi /(x) = 0 thành dạng /i(+) =,80) 4

2.2 GIAI MOT PHUONG TRINH PHI TUYEN BANG CAC PHUONG PHAP LAI aL

2.2.1 Phép lặp đây cung

2.2.2 Phép lặp Newton hay phép lặp tiếp tuyến

2.2.3 Phương pháp lặp don để giải một phương trình phi tuy:

2.3.1 Giải hệ phương trình bằng phép lặp đơn

2.3.2 Đưa hệ phương trình về dạng lặp đơn dùng ma trận nghịch đảo hằng s

2.3.3 Dang lap đơn thay đổi ma trận nghịch đảo - Phép lặp Newton

2.4 DAISO DA THUC sess eee

2.4.1 Tính giá trị của | da thite - Thuat ton Horner,

2.4.2 Dùng thuật toán Horner tìm vây nghiệm của 1 đa thức

2.5 TINH GIA TRI MOT HAM SO

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Chương 3 NỘI SUY

3.1 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

3.1.1 Sai phân cho các điểm x¡ cách đẻ

3.12 Đa thức nội suy Newton tiến Ứng với các điểm x¡ cách đi

3.2 CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE

3.2.1 Trường hợp với các điểm x: không cách đ

3.2.2 Trường hợp các điểm x¡ cách đều

3.3 NOI SUY VOI HAM 2 BIEN Hee

3.3.1 Phương pháp 2 lần nội suy đơn _ _ « 40

3.3.2 Phương pháp sai phân đôi

3.3.3 Công thức nội suy Lagrange của hàm 2 biến

3.4 XAP Xi ĐỀU TÓT NHẬT - PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TÔI THIÊU

4.2 TICH PHAN BANG SO

4.2.1 Tích phân một lớp - Công thức tích phân Newton-Cotes

4.2.2 Phương pháp tích phân hai lớp

4.2.3 Tích phân Monte Carlo (áp dụng cho tích phân ba lớp),

5.3.1 Phuong phap Khir Gaus:

5.3.2 Phuong phap Khir Gauss - Jordan

5.4 PHUONG PHAP LA

5.4.1 Phương pháp giảm dư (phương pháp hiệu chỉnh

5.4.2 Phương pháp lặp đơn giản (Jacoby)

Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật

Chương 6: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HAN 96

6.2 CÔNG THỨC XÁP XĨ GIỮA SAI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HAM | BIEN 96

6.3 PHÉP TÍNH XÁP XỈ CỦA CÁC VI PHÂN CÁP I VÀ CÁP II THEO CÔNG THỨC

TAYLOR

6.4 SAI PHAN HOA CAC DAO HAM RIENG

6.5 PHƯƠNG PHÁP SAI PHẦN ĐẺ GIẢI BÀI TOÁN BỜ (HAY BÀI TOÁN BIÊN TRỊ) 98

6.5.1 Theo sai phan ti

6.5.2 Theo sai phan trung tâm

6.6 PHUONG PHAP SAI PHAN DE GIAI PHUONG TRINH DAO HAM RIENG

6.6.1 Phương trình đạo hàm riêng của bài toán 1 phương dạng Paraboli

6.6.2 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

6.6.3 Giải phương trình đạo hàm riêng không tuy:

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật

sự biểu diễn các con số trên máy vi tính là thật sự cần thiết

1.1 CACH BIEU DIEN DU KIEN TRI SO TRONG MAY VI TINH

„Máy tính lưu trữ dữ kiện

trị xấp xỉ, các trị số này được mã hóa bằng một hệ tỈ

phan (binary digits hay bits) Hệ thống số nhị phân chỉ sử dụng 2 ký số 0 và I thay vi

10 ký số từ 0 đến 9 như trong hệ thống số thập phân Hai ký số nhị phân này chỉ diễn

tả được hai trị là 0 và 1, cho nên muốn diễn tả một con số lớn hơn thì cần phải kết hợp

nhiều bit đó với nhau tạo thành các bytes (nhóm cia 8 bits)

Các kiểu của dừ kiện số khác nhau sẽ được trừ bằng số bit khác nhau Chẳng hạn

được biểu diễn bằng số có đấu chấm tĩnh (fixed point number), đơn vị chiều dài để chứa từ 2 đến 4 bytes, trong đó bịt đầu tiên là bịt dau (s) có trị theo quy ước = 0 nếu số dương và 1 nếu số âm

Kiểu số thực được biều diễn bằng số có đấu chấm động (floating point number)

Đối với các số cực nhỏ hay cực lớn gồm nhiều số không bên trái hay bên phải người ta

dùng cách viết dưc dạng § số mũ (Lưu ý trong máy tính dau phẩy trong số tượng trưng

cho phần ngàn, và dấu chấm phân biệt thập phân):

trong đó B là cơ số của hệ và e là số mũ là số vị trí cần dời dấu chấm đẻ có lại trị số

nguyên thủy Do đó có tên dấu chấm động Mỗi lần dời dấu chấm sang trái số mũ e tăng lên 1 đơn vị, mỗi lần dời dấu chấm sang phải số mũ e giảm đi 1 đơn vị M được gọi là phần định trị (Mantissa) Người ta thường biểu diễn M dưới dạng phân số sao

cho ký số đầu tiên bên trái (sau dấu chấm) khác 0

Số mũ e có thể âm Để khỏi mắt 1 vị trí để chứa dấu, người ta cộng thêm 1 hằng

số vào số mũ để luôn luôn có 1 tri dương C trong giới hạn biến thiên của số mũ, số C này được gọi là phần đặc trị Để biểu diễn số có dấu chấm động, người ta dùng

32 bits với hệ thống cơ số 16 trong đó gồm I bít cho dấu s, 7 bít cho phải i

C = số mũ + 64 (64= 2/2), 24 bit còn lại biéu dién phan dinh trị theo dang chuẩn `

có thể chiếm, trong khí đó s» tùy thuộc vào số bít mà phần định trị có thể chiếm

Sự ồn định nghiệm

Hầu như với bắt cứ phép tính số học nào trên số chấm động, kết quả đều có một

sai số ít nhất là bằng độ chính xác của em Sai số này được gọi là sai số làm tròn Sai số

làm tròn được tích lăy khi tăng số lân tính toán lên Thí dụ khi thực hiện N phép tính

số học như vậy, thì có thé một cách may mắn nhận được tổng sai số làm tròn vào

khoảng VNe„

Thường trong một thuật toán không ồn định, sai số làm tròn sẽ đi vào trong tính

toán từ bước đầu của quá trình tính và sai số lũy tích sẽ lớn dần lên cho đến lúc nó làm sai lệch toàn bộ lời giải thật của nghiệm

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật

theo phép truy toán: g”"!= 6"! - 9"

với ý! =1 và ý! = 0.61803398 ta tính trượt dần để có các luỹ thừa nguyên dương ø của ó bằng cách đơn giản là dùng phép trừ thay vì phép nhân Tuy nhiên với ø cỡ khoảng = 25

(ứng với máy u trúc bus dữ liệu 32 bit máy bắt đầu cho ra giá trị hoàn toàn sai,

giá trị Ø" thấp nhất tính được chỉ đến 10° (xem phụ lục 1), do đó thuật truy toán trên

đây không ổn định, và không thẻ dùng cho mục đích tính toán nêu trên

1.2 GIÁ TRỊ XÁP XỈ - SỐ GAN DUNG

Trong tính toán các bài toán kỹ thuật kết quả thường là những giá trị gần đúng hay còn gọi là giá trị xấp xi Khi lấy giá trị xấp xi nay ta phai chấp nhận một sai số Sai số thường xuất phát từ hai nguyên nhân: sa do đo đạc không chính

xác hoặc con s6 e, m, ¥2,

mà trong hệ thập phân ta không thể lấy được giá trị chính xác và ta bắt buộc phải chọn

số gần đúng bằng cách làm tròn số đến một con số thập phân nào đó

Thật vậy với mọi số chính xác A trong as io các số thực duong R* ta luén tim

được it nhất 1 số nguyên & sao cho

k k+l

—~< As—— 1.1

10" 10" at

ee ae ey k+l

voi Tấn: là giá trị xấp xỉ thiêu của 4 và Tên là giá trị xấp xi thừa của 4 đến

mức = Theo quy tic làm tròn số ở phần chữ số đúng ta thấy trong hai giá trị xắp xi

thừa và thiếu chỉ có một là số xắp xỉ đúng được chọn mà thôi

1.3 CHỮ SÓ CÓ NGHĨA

Chữ số có nghĩa ở đây được định nghĩa là những chữ số chính xác của một con số hơn là nói lên độ lớn của con số đó Trong một số xắp xỉ a nào đó các chữ số có nghĩa là các chữ số: 1, 2, 3 , 9 Chữ số 0 tùy vị trí mà nó là chữ số có nghĩa hay không có nghĩa

Thí dụ 1.7 Ta có thê viết một số 0,02140 ở dạng số học cơ số 10:

0,02140 = 2 107+ 1 10° +4 104+ 0 10%

1.4 LAM TRON SO

Trong tính toán, khi gặp một phép chia cho kết quả là thương số có nhiều chữ

sd thập phân không dứt, ta phải ngưng ở một chữ sỐ thập phân nào đó kể từ sau dau

phây và chấp nhận một sai số, được gọi là làm tròn số Làm tròn một số a là giữ lại

một số chữ số tính từ bên trái và xoá bỏ các chữ số khác với mục đích sai số nhỏ nhất càng tốt

Làm tròn đến n chữ số có nghĩa là xoá mọi chữ số ở sau chữ số thứ n Gọi chữ số

đầu tiên bị xoá là X, nếu X <5 ta để nguyên các chữ số còn lại Nếu X> S5, ta cộng I cho chữ số thứ n được giữ lại

5 SAI SỐ

Khi làm tròn một số ta được một số xắp xỉ và một sai số tương ứng Gọi a là giá

trị gần đúng của A Ta có các định nghĩa sau:

1.5.1 Sai số tuyệt đối của a

đA=LIA-a (13)

1.5.2 Độ ngờ tuyệt đối (AA)

Do A là giá trị chính xác thường không biết được nên dA không xác định được nên người ta phải đưa vào giới hạn trên của dA là AA (giá trị lớn nhất của dA) là

có thê xác định dễ hơn

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật

đA <AA hay a— A4<A<a+AA

hay: A=a+AA (A)

Thi dụ 1.8 Khi tinh gid tri x ta có:

3,141592 << 3,1416

Ta có thể chọn Am bằng 0,0001 là giới hạn trên của đm

1.5.3 Sai số tương đối của ø (5)

Vi sai số tuyệt đối có thứ nguyên nên việc so sánh độ chính xác của các phép đo

hoặc tính toán không thẻ thực hiện được do đó người ta đưa vào khái niệm sai số

tương đổi theo định nghĩa: a

Sai số tương đối thường được tính bằng phần trăm (%)

nguyên tắc làm tròn số Về phải của bất đẳng thức chính là sai số lớn nhất (độ ngờ) của

a trong phép làm tròn số (vì chữ số đầu tiên là X so với số 5 = zỊU và l0®

là con số thập phân có (ø — m~1) chữ số 0 sau dầu phây và trước chữ số I)

Thí dụ 1.9 Giả sử z có giá trị chính xác là z= 3,141592 Hãy xác định giá trị xắp xi đúng đến 3 chữ số của mr

1.6 CÔNG THỨC TÍNH TOÁN SAI SỐ

1.6.1 Công thức tổng quát

Cho hàm nhiều biến W = f(xi, x,

c biển Xi, X2, X3, Xu tương ứng

Nghia i: W+ dW = f ( xrtdxi, , Xotd%9) Str dung céng thie khai t

cho ham nhiéu bién ta duge:

) khả vi Gọi đxi, đo, d:

ic sai SỐ này tạo ra sai đXu là các sai

Vi dxi, dxo, , dn rat nho, nén ta othe công thức khai triển đến đạo hàm cấp

một và bỏ qua các số hạng có đạo hàm từ cắp hai trở lên

Ta có thể chọn được độ ngờ tuyệt đối:

Aw= ŸS ls| (với Ax: độ ngờ tuyệt đối của dx) “|2x (1.15) Sai số trơng đối: 9 cy ae (1.16)

Mễ

Độ ngờ tương đối:

Vậy: aoe & (1.17)

1.6.2 Sai số của 1 biểu thức phức tạp

Thường trong tính toán các công thức ở dạng biểu thức với nhiều tham số liên kết với nhau bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, v.v Ta đặt kết quả của

nó là giá trị W của I hàm nhiều biến sau đây:

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

1.6.3 Bài toán ngược của sai số

Cho hàm nhiều biến Jƒ= ƒ(xi,xa, xạ) nếu ta muốn JWƒ đạt được độ chính xác ấn

định trước nào đó thì những sai số cho phép Ax; phải được xác định ra sao? Bài toán sẽ

Nghĩa là:

từ đó:

suy ra (120)

Thí dụ 1.10 Biết diện tích của hình tròn có sai số tương đối trong vòng 0,1%

Ta phải chọn độ chính xác thê nào khi đo bán kính # = 25,5cm và trong những trường

hợp đó nên chọn z với bao nhiêu số thập phân

Giải Diện tích hình tròn S= xR2 với öS= 0,1 % ; R ~ 25,5 cm

AS _ AZ

Tacó: ss= A947, 248-9001 s z R

Theo nguyên lý đẳng tác dụng ta phải có: “7 = ra =0,0005 z

Nếu chọn x= 3,14 => Am = 0,00157 < dx = 0,001592 (không thỏa)

Và =0,0005 => AR = 0,006375 em, với kết quả này khó mà đo R cho đến

chữ số thập phân thứ 3 trong thực tế (chỉ đo được đến 0,Imm = 0,01 cm)

Vi vậy ta chọn x =3,142 => An =L10”**! = 0/0005 => ÂZ = 09005 3 a 3,142 _ 0001so Suy ra: 2B as ~A2 -0,001-0,000159 = 0,000841 7

=> AR =0,000841 R/2 = 0,011 cm, vậy sai số cho phép này có thẻ chấp nhận được

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài II Để xác định độ cứng trụ của tắm mỏng chịu uốn người ta dùng công

thức: D = 124—y?)

Biết h = 20cm (chiều dày tắm); E =20 GPa (mô đun đàn hồi); v = 0,25

Các độ ngờ tương đối được cho như sau:

BE = 1%; dh = y= 0,1%

Tinh 2 và suy ra D

(HD: áp dụng công thức sai số của biểu thức phức tạp)

Bài L2 Tính thể tích V của hình nón biết: đường kính R = (5,60 + 0,05)em, h= (7.45 + 0,02) em và x= 3.14

(Hướng dẫn: V =3zRh và áp dụng công thức sai số của biểu thức phức tạp)

3(1-2r)

Bài 13 Tính giá trị của hệ số biến dạng thể tích:Ø = o, ®

Biét v= 0,25 40,05; o =0,15+0,01; E=20+0,1

(HD: áp dụng công thức sai số của biểu thức phức tap)

Bài I4 Cho diện tích xung quanh của một mặt hình cầu (4zR?) có sai số tương đối

trong vòng 0,1% Ta phải chọn độ chính xác thế nào khi đo bán kính R = 22,5cm và trong những trường hợp đó nên chọn œ với bao nhiêu số thập phân

(HD: áp dụng bài toán ngược của sai số)

Bài 1.5 Cho diện tích xung quanh của mái nhà hình nón tròn xoay (xRL), có bán kính

là R> 5m, L> 50m Biết AS = 1m” (S là diện tích) Tính sai số cho phép của x, R và L

(HD: áp dụng bài toán ngược của sai số)

Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật

Chương 2

GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

VÀ TÍNH GIÁ TRỊ MỘT HÀM SỐ

Trong các bài toán kỹ thuật phức tạp, ở bước tính toán trung gian đôi khi ta phải

đi tìm nghiệm của một số phương trình phí tuyến, các nghiệm này thường không phải

là số nguyên mà là các số thực có các chữ số thập phân không dứt Vì thế việc tim

nghiệm phải được thực hiện tương đối tỉ mỉ và mắt thời gian dé đạt được yêu cầu theo

độ chính xác cho trước Trong chương này ta sẽ nói các trình tự các bước đề giải

ng như hàm đa thức và hệ các phương trình phi tuyến

tìm nghiệm về mặt thời gian và độ chính xác

một phương trình phi tuyến c

nhằm tăng hiệu quả của

2.1 BƯỚC GIẢI SƠ BỘ MỘT PHƯƠNG TRÌNH

Khi ta cần giải phương trình:

với /tx) là hàm số thực và x là biến số thực

Ta được yêu cầu phải tìm hết các nghiệm hoặc chỉ một số nghiệm cần thiết (chẳng hạn nghiệm đương) Muốn thế ta phải tìm xem phương trình có bao nhiêu nghiệm và nằm trong khoảng nào Ta có nhiều cách để giải:

2.1.1 Khảo sát hàm số theo giải tích

Tại những đoạn [a,b] có chứa một nghiệm duy nhất phải có /{a) khác đấu với

Alb) va f°(x) ton tai và không đôi dấu thì đó là đoạn chứa nghiệm

Hình 2.]

ta tìm được 3 đoạn chứa nghiệm là [-1,3; -1,1] , [-0,2; 0] và (1,1; 1,3]

2.1.3 Hoặc nếu được ta có thẻ biến đổi f(x) = 0 thành dạng fi(x) = Ð(x)

Trong đó fi, 6 là những hàm số có dé thi dé vẽ; sau đó ta vẽ các đồ thị của f(x), ÿ(x) trên cùng một hệ trục toạ độ Những điểm tại đó hai đồ thị cắt nhau sẽ

cho các giá trị thô sơ của các nghiệm của ffx) = 0

Thí dụ 2.3 Tìm đoạn chứa nghiệm của hàm số x? - logx — 6 = 0 Ta phân ra làm 2hảm f (x)= f(x) => f(x)=x?— 6 và f(x) = logx Vẽ 2 đồ thị trên cùng 1 hệ toạ

độ (hình 2b) ta thấy đoạn chứa nghiệm là [2; 3], tương đương với đoạn chứa nghiệm khi ta vẽ đồ thị của hàm ffx) (hình 2a)

Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật

2.2 GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LẬP 2.2.1 Phép lặp dây cung,

Trước hết ta tìm được đoạn [a, ] chứa một nghiệm x* của phương trình /tx) và ta

muốn tính chính xác nghiệm này Trên [a, Đ], /x) /'(x) /"+) phải thoả các giả thiết

#)./'œ),/"@) đều liên tục

/#) #0 và không đồi dầu

#"{x) #0 và không đổi dầu

2 điểm (k ,/49) va (o,f), day cung sẽ cắt trục hoành tại điểm x°” Lập dây cung

thứ hai qua 2 điêm (k , /Ÿ&)) và @', 8x2) t trục hoành tại điểm x2), Làm tiếp tục

như vậy ta sẽ có được các điềm cắt trên trục hoành là: x'9, x0), x2), x9, Dãy này sẽ tiến đến x* từ một phía bên trái (hình 4a) hoặc bên phải (hình 4b) Nếu ta lập công

thức tính zan(ø) cho hai tam giác đồng dạng lập được bởi mỗi dây cung ta được:

x) ok 7°)-/09 Thí dụ 2.4 Dùng phương pháp lặp dây cung tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 10 của phương trình: /x)= x+3/n(x) - x`; cho biết nghiệm nằm trong khoảng xe(,15; 1.4)

£"(k)

-9.57515

J xf x0]

0.014716 0.004339 0.001198 0.000325

Vậy nghiệm gần đúng là: x = 1,221 (làm tròn của nghiệm với số lần lặp m=4 và

sai biệt giữa 2 nghiệm kế tiếp nhau thỏa độ chính xác < 10°)

ĐỂ thực hiện nhanh thuật toán lặp ta xem đoạn chương trình MatLab để giải một phương trình phi tuyến theo phương pháp lặp dây cung như sau:

% Lap day cung giai phuong trình f(x)=5*x^3-20*x +3=0 ;

Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật

2.2.2 Phép lặp Newton hay phép lặp tiếp tuyến

Trong phép Hip Newton, các đoạn dây „

cung biểu diễn hảm /x) trong phép lặp dây

củng được thay bằng những đường tiếp tuyến

với đường cong tại các điểm (x”", /'”) với yy

- + Muôn vậy trước tiên ta chọn

trị ban đầu lax e[a, b] sao cho fx)

cùng dấu với ƒ"(), ta vẽ tiếp tuyến tại điểm

@', /'9)) nó sẽ cắt trục hoành tại xt) Tiếp

tục làm tương tự ta lập được day x, x0,

Hho „”" là các giao điêm của trục hoành với

đường tiếp tuyển của đường cong f(x) y=/0) Day x, x), x, x2 sẽ tiến đến x* từ một Hình 2.5

phía (xem hình 3) Nếu lập công thức tính

tan( al) = f(x") ta duge:

x f(x) f" (x) f"(x)

Chọn xe= 0.9 009333 2.42161 1.216673

Phương pháp tiếp tuyến

i xen) faem) f@) ent) j xi xt]

1 0.9 009333 2.42161 0.861461 0.038539

2 08614461 0400091 2374251 0.861078 0.000383

va tha sai s6 < 107

Vậy nghiệm gần đúng là: 0,861 sau số lần lặp

Dưới đây là đoạn chương trình MatLab để giải phương trình phi tuyến theo

phương pháp lặp tiếp tuyến:

% Lap tiep tuyen giai phuong trinh f(x)=5*x*3-20*x 43-0; x=(0; 1) clear,cle

while (ex > err_x) & (j<10) % Vongl ap

xl=x-f/df % Cong thuc tinh lap tiep tuyen

trong đó fx) là hàm khả vi, trước hết ta tìm được một đoạn chứa nghiệm x* của

phương trình là [a, b] Dé làm chính xác nghiệm đó, ta tìm cách đưa phương trình f(x) = 0 về dạng phương trình:

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

(2.7)

Néu day (2.6) được ngừng tại một bước lặp m nào đó và x'”'được chọn làm giá trị của x*, thì )có thể đánh giá bằng a

phương trình f(x) =0,046cos(2,62x)—0,0476x° +0,114x-0,046=0 theo

phép lặp đơn dé tim x (don vi m) là hoành độ của độ võng cực đại của tắm chịu uốn,

cho e= 103 m Cho biết nghiệm x; e [0,2 ; 1]

Giải Ta biến đổi /x) thành dạng: x=đ(x)=

2.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Ta có hệ ø phương trình phi tuyến, với ø ẩn số, có dạng tổng quát như sau:

l; (x;x; x,)}=0

2.3.1 Giải hệ phương trình bằng phép lặp đơn

Trong hệ f(x)=0 các hàm số thực f(x) khả vi đối với các biến x¡ Giả sử ta đã

tách được một nghiệm x* của hệ trên một miền đóng D

Để giải lặp trước hết ta chọn một véc to ban dau x”) D và dùng công thức lặp:

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

trong đó 44 là ma trận vuông cấp ø không suy biến Vậy ta có thẻ chọn dạng của véc tơ

hàm ổ (š) là về phải của (2.17) và chon A sao cho |(b(x)|< C <1 trong Ð đang xét

#

Chẳng hạn với dạng (2.17), lấy đạo hàm riêng của ø(x) theo xị ta được:

E là ma trận đơn vi cap n, F(x) la ma tran Jacoby của véc to ham f(x) Dé chon

A ta có thể lấy véc tơ ban đầu x [1 D va cho

Giải Tính đạo hàm của f(x) ta được ma trận Jacoby: F =

Lặp đơn giữ nguyên giá trị ma trận nghịch đảo F”!(x'))

Vậy nghiệm x là (x=0,704 ; y=1,087) ở sau lần lặp và thỏa sai biệt |x'”! — x/°?"|< 103, Dưới đây là đoạn chương trình MatLab để giải cho hệ hai phương trình theo phương pháp lặp đơn:

UCB BEBE BOE OEE nhanh)

%* Giai he hai phuong trinh phi tuyen theo PP Lap don *)

%* dùng mm trận nghịch đảo hằng số *)

%* Khoa Cong Nghe - Truong Dại Hoc Can Tho *)

%* Lap trỉnh: Tran Mnh Thuan *)

ĐÁ 3X XS XE + + Y4 ET2£X4CTCEECK KP KEO CC K X4 4C S4 408 4 #)

clear,ele

sym f J x y real

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

formats Long,

@Nhap hai \phiiong trinh

SIx*3ˆ2*x*y+y^2;~x^2-2*x-y+2]

$Tinh ma tran Ốacoby

Jatdite(f (1), x), diff (£(1),y) diff (£(2),x) diff (£(2),y)]

x=0.7, y=1.09

Ma tran Jacoby giu khong doi

Ma tran nghich dao cua Jacoby giu khong doi

Do chinh xac cua nghiem x

Do chinh xac cua nghiem y

2.3.3 Dạng lặp đơn thay đổi ma trận nghịch đáo - Phép lặp Newton

Gọi š* là một véc tơ nghiệm của hệ phương trình ƒ() =Ö, và Ð là một miễn lân

in cia ¥* tại đó định thức Jacoby của véc tơ hàm ƒ(š) khác không Ta chọn một

điểm #' trong lân cận dy, va lap khai trién Taylor tai # cho vée to ham ƒ(#*) đến đạo hàm riêng cấp 1:

hay: 3) 2x

2, m vao F ta duge F(x'") thay đổi theo từng bước lặp:

Giải Tính đạo hàm riêng F = = ta lần lượt thay x!” với m =0, 1,

Lap Newton thay di gid tri ma tran nghịch đảo F"'(x'”) mỗi lần lặp

1 |0.7043 ~0.6866|0.7661|-0.8775 |-0.6723 |0.0001 |-0.0001 0.7044 0.00007 1.0874 0.5913 -1|0.5189 |-0.6025 |0.0000 |0.0000 1.0874 0.00002

Vậy nghiệm gần đúng x vẫn là x= 0,704 và y = 1,087 sau 2 lần lặp thỏa sai biệt

Bo _ EDI< 103,

Dưới đây là đoạn chương trình MatLab để giải cho hệ hai phương trình theo phương pháp lặp Newton:

D Tnhh nnn nh nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

%* Giai he hai phuong trinh phi tuyen theo PP Lap Newton *)

%* dùng mm trận nghịch đảo thay doi *)

%* Khoa Cong Nghe - Truong Dai Hoc Can Tho *)

%* Lap trỉnh: Tran Mnh Thuan *)

ĐÁ YYYYYYYY****#*#*K** X#X*X XE TT TCTĐTOEODEEEOETOETOEEE OI)

%inh m tran Jacoby

J=[di ff(f(1),x), đi ff(fC1),y); diff(£(2), x), di ff(£(2), y) ]

.7., y=l.09

err x=l0^(-5) % Do chỉnh xac cua nghiemx

err y=l0^(-5) % Do chỉnh xac cua nghiemy

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

2.4.1 Tính giá trị của 1 đa thức - Thuật toán Horner

a, Tinh giá trị của đa thức P„(x) tại x— ø, ta xét đa thức bậc ø với các hệ số thực

Pu(G)= (( (((@60+ ai)0 + đ)0 + as)ort +da-t Jot + dn)

Để tính giá trị của P„(œ) ta bắt đầu tính biểu thức trong dấu ngoặc trong cùng trở

ra ngoài, ta đặt:

bo=do =>bi =(boa + ai) =>br = (brat ar)=> =>bnt= (bn2@+ ani) =>

bn = (dna + an)

Cuối cùng ta tinh được ð„ chính là giá trị của đa thức ,(œ) Thuật toán Horner

có thể sắp theo bảng tính sau đây:

Thay (2.25) vào (2.24) và khai triển ta được:

Pa(x) = box"+ (bi - bo ax"! (b2 = bi a)x*2+ +(Dn-1 = bn.2 @)X + (bạ bạn Œ)

So sánh với bảng | ta thay:

bo= ao; (bi- boa) = ar; (b2- bia) = a2; .5 (bn- bn-1 4) = an

va a; diing 1a cdc hé sé ctia da thite Pa(x) 6 dang dau tiên (2.22) Vậy giả thiết trên

là đúng

Vì thế ta có thể tìm được các hệ số bự của Q„¡(x) và giá trị của P;(ø) theo thuật

toán Horner ma không cần chia P„(x) cho (x-0)

Thi dy 2.10, Cho Po(x) = 3x°+ 2x5 — 15x'+ 8x`+ x”— 12x - 60 Tính Po(2) va hãy xác định Q, (x) nh Xác định Qs(2) -

Giải

* Tinh Po(2) ta dùng bảng Homer:

Po(x) 3 2-15 § 1 -12 +60

+ 616 2_ 20 42 60 Q3 8 1 10 21 30 0

Ta thay Po(2)=0 1] x=2 là nghiệm của Pa(x)

Thay thế vào (2.26) ta được:

Pax) = (Xeg)? Qu2() + (Xea)Rai(0) + Ra()

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

Tính đạo hàm cấp một ta được:

Pr’ (x) = 2(¢-c4) Deal) + (A-c4)?Qn.2 (2) + Rui (Ct) => P'(t) = Rr-()

và tiếp tục như thế cho Qy-2(x), Ona) Qi(x), Qolx)-

Với Qaz(x) = (x-0)Ø;3(x) + Rua(0)

và Ø2) = Ro(g)

Tóm lại các đạo hàm các cấp & được tính từ các phần dư #;(œ) như sau:

Rilo) = Pr) Rua(0) = PS(g)

với

với

Pox) 3 2 -l§ 8 1 -12 -60

+ 6 16 2 20 42 60 Qs(x) 3 § 1 10 2130| 0 |¡: Ra2)=Pa(2)=0

+ 6 28 58 lâ6 314 Q@œ) 3 14 29 68 157 | 344 |- Ra2)=Ps(2)=344

+ 6 40 138 — 412 n(x) 3 20 69 206 | 569 P.(2

+ 6 52 22 x) 3 26 121 | 448 P.2

Qu.2(X) = cox"? + crx" 3 + cox™! + cnr (*)

Khi x= zthì @È+px +q) = 0 0 Py(z)= Ra(z) = sztt = satisp+t

= (satt)+isB

Vay: Re(z) = satt (2.29) Im(z) = sB (2.30)

thay (*) vào (2.28) ta được:

P(x) = cox" + (ci +pco)x™! + (cr +pertqco)x"? + +(Pen-2 + Gens +8)X +4en2tt

đồng nhất với (2.22) ta duge: co= ao; ¢1 +pco = ai; c2+pertqeo = ars 5

n2 +Pen-3+q4Cn-s= And POn2 + Gens +8 = amt Va qon2+t = an

Từ đó ta tính được các hệ số c¡ và đưa vào bảng sau đây:

Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật

Bang 3

a a a HN aya an

” + “âp — -cp <ensp <Gap

- -avg “GA — “enon

2.4.2 Dùng thuật toán Horner tìm vây nghiệm của 1 đa thức

Cho đa thức: P,(x) = đu" + aix!

+ dn

Khi phân tích bảng Horner với x = (>0) nếu ta được cdc hé sé be > 0 (k= 0, 1,

2, m ) Lúc đó ta nói mọi nghiệm thực x: thoả x; < B

Vì khi x => 0 và bạ > 0 ta có:

Pale) = (box! + Bix? b + but (ar = B) + by > 0 (2.36)

Tức là khi x càng lớn hon f thi ,(+) càng dương Vậy / là một cận trên của các nghiệm thực x,

Ta tiếp tục xét đa thức đối của P„(x):

DPrlx) = (-1)!" Pa(-x) = ox" = ax! tax’? + 4(-1)" dn (2.37)

Giả sử với x = œ (œ > 0), các hệ số b'¿ > 0 trong thuật toán Homer, tương tự như

(1)? = -1 => Py-x) <0 => Pyl-x) = Chờ x® = by? x"? -

sot Dna? x= a1) + by > 0 với bệ >0

Det” (x 0) ~ bn’< 0

Ta thấy khi x > ơ thì P;(-x) càng âm, vậy x¡< œ mới là nghiệm của P.(-x)

hay: -%< ơ mới là nghiệm của P,(x) => x:> - :đpem

Khi n chin:

Ci"

Ta thdy khi x> a thi P(-x) cing duong, vậy x:< œ mới là nghiệm của P;(-x)

> Pa(-x) > 0 => Pn(-x) = (bo x®! + bị x2 +, + bại” )(X - 0) + bạ > 0

hay: -x:< ơ mới là nghiệm của P;(x) => x¡> -ư :đpcm

Vậy tắt cả các nghiệm thuc x; thoa xi [- @, fl

Thí dụ 2.13 Hãy xác định cận trên và dưới của các nghiệm thực của

Ta thấy b¿> 0 vay -xi<3 hay nghiém x¡> -3 Vậy Ps(x) có nghiệm x; [1 [-3, 2]

2.5 TINH GIA TRI MOT HAM SO

ding cia him sé y = f{x) ta có thể dùng công thức Taylor

Dé xác định giá trị

để khai triển cho hàm x) thành một hàm đa thức xâp xỉ ở trong miễn lân của điểm

xo Giả sử hàm số thực f{x) khả vi đến cấp n+l và có các đạo hàm f“? liên tục trên (a, b) Ta có khai triển Taylor cho hàm ffx) tại x lân cận của điểm xu:

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật Trong đỏ:

là đa thức bậc ø của tông các luỹ thừa nguyên durong i cua nhj thite (x — xo) voi ¡ = 0,

1, 2, , 2, và Rp(x) 1a sai so phạm phải khi ta coi P„(x) xâp xỉ với /[x)

Bài 22 Dùng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 103 của

các phương trình phi tuyên sau đây:

a 5x`- 20x +3 = 0, biết đoạn chứa nghiệm là (0; 1)

b, x`+3xÈ ~3 = 0, biết đoạn chứa nghiệm là (-2,75; -2,5)

c x—cos x= 0, biết đoạn chứa nghiệm là (0; 1)

d, Tinh 0 khi biét oy =12 MPa, omin = -14 MPa và tạ = 20 MPa (hoặc ơuax = 27.38461538 MPa) Theo phương trình:

Ø Tớ, min = cho biết øy 5 (-14 ; 27,385)

e Giải phương trình phí tuyến sau đây để tìm x (đơn vị m) là hoành độ của độ võng cực đại của tắm chịu uốn, cho e= 102m

A(x) = ~0,10885.cos(2,618.x) — 0,113.x2+ 0,0544

Cho biết nghiệm x¿ - (0,3 ; 0,7)

Bài 23 Dùng phương pháp lặp dây cung và lặp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng với

độ chính xác 102 của phương trình phi tuyến sau:

a x°+3x+5 =0; Cho biết nghiệm xỉ ï (-1-

0,8)

b x'-3x +1 =0; Cho biết nghiệm xi -' (0,1 ;0,5)

Bài 24 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phép lặp đơn và Newton với

102 cho các hệ phương trình sau đây: chính xác

b 2x? —xy-5x+1=0 có một nghiệm ở lân cận điểm x= 3,4, y=2,2

Bài 2.5 Cho P,(x) =x’ -2x°+x5 3x! +4x)=x” +6x~—L, Hãy tính Pz(3) và suy ra cận trên các nghiệm thực của Pz(x)

a) Hãy xác định 1 cận dưới

b) Tính P;(-1,5)

Bài 2.6 Cho P,(x)=xÌ~=2xÌ+3x)+4x~l

a) Xác định các cận của các nghiệm thực của Pa(x)

b) Hãy chia Pa(x) cho x? + x - 2

Bài 2/7 Hãy đặt đa thức: P,(x) =2xÌ+5x”+3x+1 theo các lũy thừa nguyên dương của

nhị thức x+l.

Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật

Chương 3

NOI SUY

Jrong các bài toán kỹ thuật, ta thường gap các bảng tra số được tính sẵn từ các

Axn ) = Yn VOi xị thuộc vào đoạn [a, ð] Ta tìm cách thay thế chúng bằng một hàm đa

thức P,(a) có bậc < ø và thoả giả thiết:

Palo) = Vos Pr(X1) = Vi geeees Palin) = Yn

Hinh 3.1

Ta da ham đa thức là hàm tương đối dễ tính toán (như ở chương 2) sẽ rất tiện

lợi để thay thế cho các hàm phức tạp khác trong việc tính toán về sau (đạo hàm,

tích phân, v.v)

Giả sử hàm số /Qx) có đồ thị là (C) thì hàm đa thức (+) sẽ có đồ thị là (C')

Dé thi (C’) không nhất thiết phải trùng (C) nhưng bắt buộc phải đi qua các điểm

(xo, yo), (xi, y9) 0ø, y2), Hàm đã thức P;(x) được gọi là hàm nội suy