bài giảng cơ sở lý thuyết xác suất

Chương 1 Cơ sở lý thuy‚t x¡c su§t 1.1 BŒ túc v• gi£i t‰ch tŒ hæp 1.1.1 Quy t›c cºng Cƒn hoàn thành mºt công vi»c H, đ” hoàn thành công vi»c này chúng ta ch¿ hoàn thành mºt trong c¡c công vi»c H1 hoặc H1 · · · ; hoặc Hk: N‚u +) H1 có n1 c¡ch hoàn thành +) H2 có n2 c¡ch hoàn thành · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · +) Hk có nk c¡ch hoàn thành khi đó, sŁ c¡ch hoàn thành công vi»c H là n = n1 + n2 + · · · + nk: V‰ dụ 1.1.1. Mºt tr⁄m giŁng thực v“t cƒn lai t⁄o mºt lo⁄i giŁng c¥y trồng, dự ¡n đó ch¿ có th” thực hi»n t⁄i 3 huy»n A, B, C. N‚u chọn huy»n A th… có 3 phương ¡n đ” thực hi»n, n‚u chọ huy»n B th… có 5 phương ¡n đ” thực hi»n, n‚u chọn huy»n C th… có 7 phương ¡n đ” thực hi»n. Hỏi tr⁄m giŁng c¥y trồng có t§t c£ bao nhi¶u phương ¡n đ” thực hi»n dự ¡n cıa m…nh.

· · · ·+) Hk có nk cách hoàn thànhkhi đó, số cách hoàn thành công việc H là n = n1 + n2 + · · · + nk.

Ví dụ 1.1.1 Một trạm giống thực vật cần lai tạo một loại giống cây trồng,

dự án đó chỉ có thể thực hiện tại 3 huyện A, B, C Nếu chọn huyện A thì

có 3 phương án để thực hiện, nếu chọ huyện B thì có 5 phương án để thựchiện, nếu chọn huyện C thì có 7 phương án để thực hiện Hỏi trạm giốngcây trồng có tất cả bao nhiêu phương án để thực hiện dự án của mình

Ví dụ 1.1.2 Một lớp học có 30 sinh viên nam và 40 sinh viên nữ, cầnchọn một sinh viên làm lớp trưởng Hỏi có bao nhiêu cách chọn một lớptrưởng.

1.1.2 Quy tắc nhân

- Cần hoàn thành một công việc H, để hoàn thành công việc nàychúng ta cần hoàn thành hết tất cả các công việc H1, H1 · · · ; và Hk Nếu

+) H1 có n1 cách hoàn thành+) H2 có n2 cách hoàn thành

· · · ·+) Hk có nk cách hoàn thànhkhi đó, số cách hoàn thành công việc H là n = n1 × n2 × · · · × nk

Ví dụ 1.1.3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lậpnên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Phân tích bài toán Nếu chúng ta gọi số tự nhiên có 4 chữ số khácnhau thỏa mãn bài toán là abcd (a, b, c, d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; a 6= b 6= c 6=d)

Công việc H của chúng ta là tìm số tự nhiên có 4 chữ số khác nhauabcd thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài toán xác định có bao nhiêu số tự nhiên đưa về bài toán xác định

có bao nhiêu cách thực hiện công việc H

Để tính được số cách thực hiện công việc H ta chia công việc H thànhcác công việc H1, H2, H3, H4 Trong đó,

H1 chọn chữ số a, H2 chọn chữ số b,H3 chọn chữ số c,H4 chọn chữ số d

Chúng ta thấy rằng

+) H1 có 7 cách hoàn thành+) H2 có 6 cách hoàn thành+) H3 có 5 cách hoàn thành+) H4 có 4 cách hoàn thành

Để hoàn thành công việc H thì chúng ta phải hoàn thành hết tất cả các côngviệc nhỏ H1, H2, H3, H4 Vậy số cách hoàn thành công việc H là 7×6×5×4 =

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

- Chúng ta có thể hiểu rằng mỗi cách thay đổi thứ tự hai phần tửbất kỳ trong tập hợp n phần tử sắp thứ tự ta được một hoán vị của n phần

Ví dụ 1.1.6 +) Số hoán vị của 3 phần tử là P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

+) Số hoán vị của 10 phần tử là P10 = 10! = 10 × 9 × 8 × · · · × 2 × 1.Đây là số khá lớn, trong thực tế giai thừa có ý nghĩa về mặt ký hiệu, việctính toán ra giá trị cụ thể nhiều khi khó có thể thực hiện

Nhận xét 1.1.7 0! = 1; 1! = 1; n! = k!(n − k + 1)(n − k + 2) · · · (n −1)n, ∀k > 0, n > k

- Từ ví dụ trên ta thấy để có được một tổ hợp chập k của n phần tử

ta phải lấy k phần tử bất kỳ (không quan tâm đến thứ tự) từ n phần tử

đã cho, nên ta có thể hiểu tổ hợp chập k của n như sau:

- Mỗi cách lấy k phần tử bất kỳ (không thứ tự) từ tập hợp n phần

tử cho trước ta được một tổ hợp chập k của n

(•) Số tổ hợp chập k của n là một số ký hiệu là Cnk và được xác địnhbởi

Để có được một số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau thỏa mãn yêucầu bài toán chúng ta phải lấy 4 chữ số từ tập gồm 7 chữ số sắp thứ tự{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} Vậy mỗi số tự nhiên thỏa mãn chính là một chỉnh hợpchập 4 của 7 Suy ra số lượng số tự nhiên là:

A47 = 7!

3! = 7.6.5.4 = 840 (số)Nhận xét 1.1.14 Akn = n.(n − 1) · · · (n − k + 1); Ann = n!; Akn = k!Cnk

1.2.1 Không gian mẫu và biến cố

- Trong thực tế thường gặp rất nhiều hành động mà các kết quả của

nó không thể dự báo trước được ta gọi chúng là các phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ 1.2.1 - Khi ta gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất, chúng

ta không thể khẳng định trước là lần gieo đó mặt trên cùng xuất hiệnbào nhiêu chấm

- Một xạ thủ bắn vào mục tiêu một viên đạn, chúng ta không thể khẳngđịnh được lần đó anh bắn có trúng hay không

Mặc dù kết quả của phép thử ngẫu nhiên không đoán trước đượcnhưng ta có thể liệt kê được tất cả các kết quả có thể xãy ra của phép thử

- Tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử được gọi là khônggian mẫu (KGM) hay không gian biến cố sơ cấp (KGBCSC) Ký hiệu là

Ω Mỗi phần tử ω ∈ Ω được gọi là một biến cố sơ cấp

Ví dụ 1.2.2 - Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất, kết quả củaphép thử là số chấm xuất hiện ở mặt trên cùng Khi đó, không gian

biến cố sơ cấp sẽ là,

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- Một xạ thủ bắn vào mục tiêu hai viên đạn, kết quả của phép thử

là trúng (T) hay trượt (F).Khi đó, không gian biến cố sơ cấp sẽ là,

Ω = {T T, T F, F T, F F }

- Xét một phép thử ngẫu nhiên Biến cố (hay sự kiện) mà việc xảy

ra hay không xảy ra của chúng hoàn toàn phụ thuộc vào kết quả của phépthử ngẫu nhiên

- Người ta dùng các chũ cái in hoa (A, B, C, H, K, ) để đặt tên chocác biến cố Các sự kiện xảy ra được mô tả trong dấu ngoặc kép ""

- Mỗi phần tử ω ∈ Ω được gọi là thuận lợi cho biến cố A nếu A xảy

ra khi kết quả của phép thử là ω Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp thuậnlợi cho biến cố A ký hiệu là ΩA

Ví dụ 1.2.3 - Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất, kết quả củaphép thử là số chấm xuất hiện ở mặt trên cùng Gọi A là biến cố "Số chấmxuất hiện ở mặt trên là số chẵn" Khi đó

- Biến cố kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy

ra thì B cũng xảy ra Ký hiệu A ⊂ B

- Biến cố đối: Biến cố đối của biến cố A là biến cố ký hiệu là A mà nóxảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra, A = Ω\A

- Hợp hai biến cố: Hợp của hai biến cố A và B là một biến cố mà nó xảy

ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra Ký hiệu là A ∪ B

ΩA∪B = {ω ∈ Ω| ω ∈ ΩA hoặc ω ∈ ΩB}

-Hợp của các biến cố: Hợp của các biến cố A1, A2, , An là một biến cố

mà nó xãy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố xãy ra Ký hiệu là ∪ni=1Ai

Ω∪n i=1 A i = {ω ∈ Ω|Tồn tại i để ω ∈ ΩAi}

- Giao hai biến cố: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố mà nó xảy

ra khi và chỉ khi cả hai biến cố xảy ra Ký hiệu là A ∩ B hoặc AB

ΩA∩B = {ω ∈ Ω| ω ∈ ΩA và ω ∈ ΩB}-Giao của các biến cố: Giao của các biến cố A1, A2, , An là một biến cố

mà nó xãy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố A1, A2, , An xãy ra Kýhiệu là ∩ni=1Ai hoặc Πni=1Ai

Ω∩n i=1 A i = {ω ∈ Ω|ω ∈ ΩAi∀ i ∈ {1, 2, , n}}

- Hai biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nấu A

và B không đồng thời xảy ra

A và B xung khắc ⇔ ΩA∩B = ∅

1.2.2 Định nghĩa xác suất của một biến cố

- Xác suất của một biến cố là một số p ∈ [0, 1] đo khả năng xuấthiện của biến cố khi phép thử được thực hiện Xác suất của biến cố A ký

hiệu là P(A) (Probability).

Định nghĩa 1.2.4 (Dạng cổ điển) Giả sử phép thử có hữu hạn các kếtquả có thể Hơn nữa các kết quả đồng khả năng xuất hiện Xác suất củabiến cố A là tỉ số giữa số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và số biến cố sơcấp của không gian biến cố sơ cấp

b) Một xạ thủ bắn vào mục tiêu hai viên đạn, kết quả của phép thử

là trúng (T) hay trượt (F) Tính xác suất có ít nhất một lần bắn trượt

Giảia) Thực hiện giao một con xúc xắc cân đối đồng chất, kết quả củaphép thử là số chấm xuất hiện ở mặt trên Khi đó không gian biến cố sơcấp là:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} =⇒ |Ω| = 6Gọi A là biến cố "Số chấm xuất hiện ở mặt trên là số chẵn" Khi đó sốbiến cố sơ cấp thuận lợi cho A là

a) Cả 3 sinh viên được chọn đều là nữ.

b) Cả 3 sinh viên được chọn đều là nam

c) 3 sinh viên được chọn có 2 nam và 1 nữ

d) 3 sinh viên được chọn có ít nhất 1 nam

GiảiLấy ngẫu nhiên 3 sinh viên từ lớp học nên số phần tử của Khônggian mẫu là : C1003

+) Gọi A là biến cố "Cả 3 sinh viên được lấy ra đều là nữ " Khi đó, sốBCSC thuận lợi cho A là: C403

Vậy xác suất của A là: P(A) = C403

C 3 100

+) Gọi B là biến cố "Cả 3 sinh viên được lấy ra đều là nam" Khi đó, sốBCSC thuận lợi cho B là: C603

Vậy xác suất của B là: P(B) = C603

C 3 100

+) Gọi C là biến cố " 3 sinh viên được lấy ra có 2 nam và 1 nữ " Khi đó,

số BCSC thuận lợi cho C là: C602 × C1

40

Vậy xác suất của C là: P(C) = C602×C 1

40

C 3 100

+) Gọi D là biến cố " 3 sinh viên được lấy ra có ít nhất 1 nam" Khi đó,

số BCSC thuận lợi cho D là: C1003 − C3

40

Vậy xác suất của D là: P(D) = C1003 −C 3

40

C 3 100

Nhận xét 1.2.7 Nếu số các kết quả có thể có là vô hạn hoặc hữu hạnnhưng không đồng khả năng thì ta không thể tính xác suất theo Địnhnghĩa 1.2.4 Trong một số trường hợp, người ta thường định nghĩa xác suấttheo kiểu khác Sau đây chúng ta định nghĩa xác suất bằng phương pháptần suất

Định nghĩa 1.2.8 (Tần suất của một biến cố) Giả sử phép thử G, A làmột biến cố Thực hiện n lần phép thử G một cách độc lập Giả sử trong

n lần đó, A xuất hiện kn(A) lần Khi đó tỉ số

fn(A) = kn(A)

nđược gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n lần thử

Mệnh đề 1.2.9 Có thể dễ dàng nhận thấy rằng tần suất có những tínhchất sau đây

Do đó ta có thể định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.10 (Định nghĩa xác suất bằng tần suất) Xác suất P(A)của biến cố A là giới hạn của tần suất xuất hiện A khi số lần thử n tăng

Ví dụ 1.2.12 Gieo một đồng xu cân đối, đồng chất Tính xác suất xuấthiện mặt sấp (S) Dùng định nghĩa dạng cổ điển chúng ta có P(S) = 0, 5.

Để tính xác suất P(S) bằng phương pháp tần suất các nhà khoa học

đã tung đồng tiền cân đối đồng chất và thu được kết quả như sau:

- GLL De Buffon (1707-1788, Bá tước người Pháp) gieo 4040 lần,thấy có 2048 lần sấp, do đó

Xác suất của một biến cố có các tính chất sau đây

Tính chất 1.2.13 Xác suất của một biến cố bất kỳ có tính chất sau1) 0 6 P(A) 6 1; P(∅) = 0, P(Ω) = 1;

4) P(A) = 1 − P(A).

5) Với hai biến cố A và B ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)6) Với 3 biến cố A, B, C ta có

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(AC) + P(ABC)

Ví dụ 1.2.14 Ở một khu dân cư tỉ lệ người chơi tốt môn bóng bàn là60%, tỉ lệ người chơi tốt môn bóng chuyền là 70%, tỉ lệ người chơi tốt cảhai môn là 40% Chọn ngẫu nhiên một người từ khu dân cư Tính xác suất

để người dân được chọn ra không biết chơi môn thể thao nào

GiảiGọi A là biến cố "Người dân được chọn ra biết chơi môn bóng bàn".Xác suất của A là: P(A) = 0, 6

Gọi B là biến cố "Người dân được chọn biết chơi môn bóng chuyền".Xác suất của B là: P(B) = 0, 7

AB là biến cố " Người dân được chọn ra biết chơi cả hai môn thể thao".Khi đó, xác suất của AB là: P(AB) = 0, 4

A ∪ B là biến cố " Người dân được chọn ra biết chơi ít nhất một môn thểthao" Khi đó,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0, 6 + 0, 7 − 0, 4 = 0, 9

Gọi H là biến cố "Người dân được chọn ra không biết chơi thể thao".Khi đó,

H = A ∪ B ⇒ P(H) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0, 9 = 0, 1

1.3 Xác suất có điều kiện

1.3.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện và công thức

nhân xác suất

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A là một biến cố, B là một biến cố khác, xácsuất của biến cố A với điều kiện biến cố B là một số p ∈ [0, 1] đo khả năngxảy ra của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là P(A/B) và đượcxác định bởi

P(A/B) = P(AB)

P(B) P(B) > 0.

(1.1)

Ví dụ 1.3.2 Một lớp học được chia làm 3 tổ: Tổ I gồm 20 nam và 15

nữ, tổ II gồm 25 nam và 10 nữ, tổ III gồm 30 nữ 10 nam Lấy ngẫu nhiênmột sinh viên của lớp Gọi A là biến cố "Sinh viên được chọn ra là sinhviên nữ" B là biến cố "Sinh viên được chọn là sinh viên thuộc tổ II" TínhP(A/B)

GiảiLấy ngẫu nhiên một sinh viên của lớp khi đó số biến cố sơ cấp củakhông gian biến cố sơ cấp là:

|Ω| = C1101

B là biến cố "Sinh viên được chon là sinh viên tổ II"

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho B là: |ΩB| = C1

35

Xác suất của B là: P(B) = C351

C 1 110

= 227 > 0

A ∩ B là biến cố "Sinh viên được chọn là sinh viên nữ thuộc tổ II"

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A ∩ B là |ΩA∩B| = C1

10.Xác suất của biến cố A ∩ B là: P(A ∩ B) = C101

C 1

110 = 111

= 2

7.Tính chất 1.3.3 1) 06 P(A/B) 6 1; B ⊂ A ⇒ P(A/B) = 1;

AB = ∅ ⇒ P(A/B) = 0

2) AC = ∅ ⇒ P(A ∪ C/B) = P(A/B) + P(C/B),

4) P(A/B) = 1 − P(A/B)

+) Với hai biến cố A, B bất kỳ ta có

P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) (1.2)Công thức (1.2) được suy ra trực tiếp từ công thức xác suất có điều kiện

+) Với các biến cố A1, A2, · · · An bất kỳ soa cho P(A1A2· · · An−1) 6= 0thì

P(A1A2· · · An) = P(A1)P(A2/A1) · · · P(An/A1A2· · · An−1) (1.3)Công thức (1.3) được chứng minh bằng phương pháp quy nạp (Sinh viên

tự chứng minh xem như bài tập)

Ví dụ 1.3.4 Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 7 chìa bề ngoàigiống hệt nhau trong đó có 3 chìa mở được kho Anh ta thử ngẫu nhiêntừng chìa, (chìa nào không mở được thì bỏ ra ngoài) cho đến khi tìm đượcchìa mở được kho Tính xác suất để anh ta mở được kho sau 3 lần thử

GiảiGọi Ai là biến cố "Mở được kho ở lần thử thứ i " i = 1, 5

- Gọi H là biến cố "Mở được kho sau 3 lần thử " Khi đó,

1.3.2 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

- Dãy các biến cố H1, H2, · · · , Hn được gọi là lập thành họ đầy đủcác biến cố nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Ví dụ 1.3.5 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đựng 5 bi trắng và 7 bi đỏ

H1 là biến cố "Hai viến bi lấy ra đều là bi trắng"

H2 là biến cố "Hai viến bi lấy ra có 1 bi trắng và 1 bi đỏ"

H3 là biến cố "Hai viến bi lấy ra đều là bi đỏ"

Khi đó H1, H2 H3 lập thành họ đầy đủ các biến cố

Ta có

P(H1) = C

2 5

C122 =

7

22.

Dễ thấy, P(H1) + P(H2) + P(H3) = 1

Nhận xét 1.3.6 - Nếu dãy H1, H2, · · · , Hn lập thành họ đầy đủ các biến

- A và A luôn lập thành họ đầy đủ các biến cố

- Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên nào đó ta có thể xây dựng đượcnhiều họ đầy đủ các biến cố

Định lý 1.3.7 (Công thức xác suất đầy đủ) Giả sử dãy H1, H2, · · · , Hnlập thành họ đầy đủ các biến cố, A là một biến cố nào đó Khi đó,

bi trắng và 15 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp

II Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi Tính xác suất để bi đượclấy ra có màu trắng

GiảiGọi H1 là biến cố "2 viến bi chuyển từ hộp I sang hộp II đều là bitrắng"

H2 là biến cố "2 viến bi chuyển từ hộp I sang hộp II có 1 bi trắng và

C122 =

7

22.Gọi A là biến cố "Bi được lấy ra là bi màu trắng" Theo công thức xácsuất đầy đủ ta có:

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3),

Trong đó,

P(A/H1) = C

1 12

C217 =

4

9; P(A/H2) = C

1 11

C217 =

11

27; P(A/H1) = C

1 10

C217 =

1027Thay vào ta có

Định lý 1.3.9 (Công thức Bayes) Giả sử dãy H1, H2, · · · , Hn lập thành

họ đầy đủ các biến cố, A là một biến cố nào đó với P(A) > 0 Khi đó,

P(Hk/A) = P(Hk)P(A/Hk)

Pn i=1P(Hi)P(A/Hi) ∀ k = 1, n (1.5)Chứng minh Theo công thức xác suất có điều kiên ta có

P(Hk/A) = P(HkA)

P(A)Mặt khác, theo công thức nhân xác suất và công thức xác suất đầy đủ tacó:

Ví dụ 1.3.10 Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10

bi trắng và 15 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp

II Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng Tính xácsuất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu

GiảiGọi H1 là biến cố "2 viến bi chuyển từ hộp I sang hộp II đều là bitrắng"

H2 là biến cố "2 viến bi chuyển từ hộp I sang hộp II có 1 bi trắng và

C122 =

7

22.Gọi A là biến cố "Bi được lấy ra là bi màu trắng" Yêu cầu của bài toánchính là tính P(H2/A) =? Theo công thức Bayes ta có:

Định nghĩa 1.3.11 - Hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu việc xảy

ra hay không xảy ra của biến cố nay không ảnh hưởng đến khả năng xảy

ra của biến cố còn lại

- Dãy các biến cố A1, A2, · · · , An được gọi là độc lập nếu việc xãy ra haykhông xãy ra của k biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xãy ra củacác biến cố còn lại

Nhận xét 1.3.12 +) A, B độc lập khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hoặcP(B/A) = P(B)

+) A, B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A)P(B).

+) Nếu dãy các biến cố A1, A2, · · · , An độc lập Khi đó,

P(A1A2· · · An) = P(A1)P(A2) · · · P(An)

Ví dụ 1.3.13 Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu một cách độc lập A là biến

cố " Xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu" B là biến cố "Xạ thủ thứ haibắn trúng mục tiêu" Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập

Nhận xét 1.3.14 +) Nếu hai biến cố A, B độc lập thì

Các trường hợp ii); iii) chứng minh tương tự Tổng quát chứngminh bằng quy nạp

Ví dụ 1.3.15 Ba xạ thủ cùng bắn vào mục tiêu một cách độc lập Xácsuất bắn trúng mục tiêu của mỗi người lần lượt là 0, 6; 0, 7; 0, 8 Tính xácsuất để:

a) Cả 3 xạ thủ bắn trúng mục tiêu

b) Có 1 xạ thủ bắn trúng mục tiêu

c) Có 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu.

d) Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng mục tiêu

GiảiGọi Ai là biến cố "Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu" i = 1, n Suy

ra A1, A2, A3 là các biến cố độc lập - Gọi H là biến cố "Cả ba xạ thủ bắntrúng mục tiêu" ta có

H = A1A2A3 ⇒ P(H) = P(A1A2A3)

= P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 6 × 0, 7 × 0, 8 = 0, 336

- Gọi K là biến cố "Có 1 xạ thủ bắn trúng mục tiêu" ta có

K = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3

⇒ P(K) = P(A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3)

= P(A1A2A3) + P(A1A2A3) + P(A1A2A3)

= P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3)

= 0, 6 × 0, 3 × 0, 2 + 0, 4 × 0, 7 × 0, 2 + 0, 4 × 0, 3 × 0, 8 =?????

- Gọi M là biến cố "Có 2 xạ thủ bắn trúng mục tiêu" ta có

K = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3

⇒ P(K) = P(A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3)

= P(A1A2A3) + P(A1A2A3 + P(A1A2A3)

= P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3)

= 0, 4 × 0, 7 × 0, 8 + 0, 6 × 0, 3 × 0, 8 + 0, 6 × 0, 7 × 0, 2 =?????

- Gọi N là biến cố "Có ít nhất một xạ thủ bắn trượt mục tiêu" ta có

N = A1A2A3 ⇒ P(N) = 1 − P(H) = 0, 644

- Thực hiện bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu một cách độc lập vớixác suất bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần là 0,95 Ta có 10 phép thử Bernoullivới xác suất thành công là p = 0, 95.

1.4.2 Tần suất thành công

Chúng ta biết rằng khi thực hiện n phép thử Bernoulli với xác suấtthành công là p ∈ (0; 1) thì trước khi thực hiện phép thử chúng ta khôngthể khẳng định rằng "trong n phép thử chắc chắn có k lần thành công"

Ma chúng ta chỉ có thể nói rằng "xác suất để trong n phép thử có k phépthử thành công là pk nào đó" mà thôi Vấn đề là pk bằng bao nhiêu? Định

lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời về vấn đề này

Định lý 1.4.3 Thực hiện n phép thử Bernoulli với xác suất thành công ởmỗi phép thử là p Xác suất để trong n phép thử có k phép thử thành công

là một số ký hiệu là Pn(k; p) và được xác định bởi

Pn(k; p) = Cnkpkqn−k ∀ k = 0, n (1.6)Chứng minh Giả sử biến cố A xuất hiện khi thực hiện phép thử thì ta nóiphép thử thành công và A xuất hiện thì phép thử thất bại (P(A) = p; P(A))

Gọi Hk là biến cố "Trong n lần thực hiện phép thử có k lần thànhcông" Khi đó, biến cố Hk có thể biểu diễn thành tích của n biến cố màcác biến cố thành phần chỉ là biến cố A và A Nếu ở lần thử thứ i thànhcông thì vị trí thứ i là A nếu lần thử thứ i thất bại thì vị trí thứ i là A

Do A và A độc lập và k biến cố A xuất hiện ở k vị trí nào đó trong n vịtrí của Hk vì vậy

P(Hk) = Pn(k; p) = Cnkpkqn−k ∀ k = 0, n

Ví dụ 1.4.4 Trong một cuộc thi bắn quốc tế mỗi xạ thủ bắn 60 viên đạnvào mục tiêu Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ Việt nam là 0, 92.Tính xác suất để trong 60 lần thực hiện của xạ thủ Việt nam có:

a) 20 lần thành công

b) 3 lần thất bại

c) Có ít nhất 1 lần thành công

Giải

Xạ thủ Việt nam bắn vào bia 60 lần độc lập với xác suất bắn trúng

là 0,92 ta có 60 phép thử Bernoulli với xác suất thành công ở mỗi phépthử là p = 0, 92

- Xác suất để trong 60 lần thực hiện có 20 lần thành công là:

P60(20; 0, 92) = C6020(0, 92)20(0, 08)40

- Xác suất để trong 60 lần thực hiện có 3 lần thất bại là:

sẽ có giá trị lớn nhất Số lần thành công ứng với giá trị xác suất lớn nhấtđược gọi là số lần thành công có khả năng nhất Nghĩa là

m0 là số thành công có khả năng nhất ⇔ Pn(m0; p) = max{Pn(k; p)| k = 0, n}

Vấn đề là làm thế nào để tìm được số lần thành công có khả năngnhất khi thực hiện n phép thử Bernoulli (đặc biệt là khi n lớn)

Định lý 1.4.5 Thực hiện n phép thử Bernoulli với xác suất thành công ởmỗi phép thử là p m0 là số thành công có khả năng nhất Khi đó m0 đượcxác định bởi:

1.5 Biến ngẫu nhiên

1.5.1 Giới thiệu về biến ngẫu nhiên

Khi một phép thử ngẫu nhiên được thực hiện, nói chung ta thườngquan tâm đến một hàm số nào đó của kết quả xảy ra Ví dụ, khi ta tunghai con xúc xắc, ta có thể chỉ quan tâm đến tổng số chấm trên hai mặtcủa con xúc xắc Nếu biến cố (3, 2) hoặc (2, 3) xảy ra, đều cho ta kết quảtổng hai chấm là 5, nếu biến cố (5, 6) hoặc (5, 6) xảy ra, đều cho ta kết quảtổng hai chấm là 11 Những hàm cho tương ứng một kết quả của phép thửngẫu nhiên với một số thực gọi là biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5.1 Biến ngẫu nhiên X là một hàm số xác định trên khônggian mẫu Ω và nhận giá trị trong R:

P (a < X < b) := P ({ω ∈ Ω : a < X(ω) < b}),trong đó x, a, b là các số thực

Ví dụ 1.5.2 Tung một đồng xu cân đối ba lần Gọi X là số mặt ngửaxuất hiện Khi đó không gian mẫu có 8 phần tử

Ω = {(sss), (ssn), (sns), (nss), (snn), (nsn), (nns), (nnn)}

Ta có

P (X = 0) = P (mặt ngửa xuất hiện 0 lần) = P

(sss)



= 1

8.Tương tự

Định nghĩa 1.5.3 Giả sử I là một tập chỉ số nào đó Các biến ngẫu nhiên{Xi, i ∈ I} được gọi là độc lập nếu với mọi họ con {Xk1, Xk2, , Xkn} ⊂{Xi, i ∈ I} đều thỏa mãn

P (Xk1 6 x1, , Xkn 6 xn) = P (Xk1 6 x1) P (Xkn 6 xn),

với mọi x1, , xn ∈ R Các biến ngẫu nhiên {Xi, i ∈ I} được gọi là độclập đôi một nếu với mọi i 6= j, {Xi, Xj} là hai biến ngẫu nhiên độc lập

1.5.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Một đại lượng ngẫu nhiên gọi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu nóchỉ nhận một số hữu hạn hoặc đếm được giá trị

Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất cả các giá trị cóthể có của nó có thể được liệt kê bằng một dãy hữu hạn hay vô hạn

x1, x2, x3, , xn,

Tập hợp các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên X được kíhiệu là X(Ω)

Ví dụ 1.5.4 1 Tung hai đồng tiền cân đối đồng chất Gọi X là số mặt sấpxuất hiện Khi đó X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và X(Ω) = {0, 1, 2}.

2 Kiểm tra ngẫu nhiên 3 học sinh trong một nhóm gồm 4 em họckhá và 5 em học trung bình Gọi X là số em khá được kiểm tra Khi đó X

là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và X(Ω) = {0, 1, 2, 3}

Như vậy, mỗi đại lượng nhẫu nhiên là một đặc trưng về lượng nào

đó của các biến cố

1.5.3 Bảng phân phối.

Khi nghiên cứu về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần biết tất

cả các giá trị của nó cùng với các xác suất tương ứng Các thông tin nàyđược xác định tiện lợi trong một bảng gọi là bảng phân phối

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, , xn, với các xác suất tương ứng là P(X = xi) = pi (i = 1, 2, 3, , n ) Khi

đó bảng có dạng

X x1 x2 xn

P p1 p2 pn được gọi là bảng phân phối của X (chú ý rằng P

1

4,P(X = 1) = P((S, N )(N, S)) = 2

4 =1

2,

12Chú ý 1.5.6 Trong các bài toán thực tế, các giá trị của đại lượng ngẫunhiên thường gắn với các biến cố của phép thử Khi đó, xác suất của cácbiến cố đó chính là xác suất của các giá trị tương ứng.

1.5.4 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.5.7 Hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X là hàm

số F (x) = FX(x) được xác định bởi công thức

12Nếu x < 0 thì không có giá trị nào của X nhỏ hơn x nên:

F (x) = P(X 6 x) = P(∅) = 0

Nếu 0 6 x < 1 thì

F (x) = P(X = 0) = 1

4.Nếu 1 6 x < 2 thì

F (x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1

4 +

1

2 =3

4.

4 nếu 0 < x6 1,3

Tính chất này suy ra từ định nghĩa và tính chất tương ứng của xác suất

2 Nếu a < b thì F (b) − F (a) = P(a < X 6 b); do đó F (x) là hàm khônggiảm

1.5.5 Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa 1.5.10 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là đại lượng ngẫunhiên liên tục nếu hàm phân phối F (x) của nó là hàm liên tục và tồn tạihàm số P(x) sao cho

1 P(x) > 0, −∞ < x < +∞,

2 F (x) =R−∞x P(t)dt, −∞ < x < +∞

Hàm số P(x) nêu trên được gọi là hàm mật độ xác suất của X

Ví dụ 1.5.11 1 Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối là

2].

Tìm hàm phân phối của X

Giải Nếu x < 0 thì P(t) = 0, ∀t 6 x Khi đó

sin 2tdt = − cos 2t

2

x

0

= 1 − cos 2x

2 .

0dt = − cos 2t

2

π 2

1 Với mọi a, b : −∞6 a < b 6 +∞ ta có

P(a < X < b) =

Z b a

Tương tự

F−0 (x) = P(x)

Suy ra

F0(x) = p(x)

1.5.6 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.5.13 Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếuvới mọi x, y ∈ R , ta có

Ví dụ 1.5.14 1 Tung hai con xúc xắc Gọi X là số chấm xuất hiện trêncon xúc xắc thứ nhất; Y là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ 2 Khi

đó X và Y độc lập

2 Hai người độc lập nhau bắn vào một cái bia Gọi X và Y lần lượt

là số viên trúng của người thứ nhất và người thứ 2 Vậy thì X và Y cũngđộc lập