Bài tập toán học cao cấp tập 1 part 7 doc

a Tìm trị riêng, vectơ riêng của toán tử tuyến tính với ma trận C - BÀI GIẢI VẢ HƯỚNG DẪN 1... + Aagx”, Với hai phép toán trên dễ dàng kiểm tra lại 10 tiên đề của không gian vectơ sinh

g) f: V - R, xdc dinh boi f(x,e) + + x,e,) = X;, trong dé {e,, e,}

là một toán tử tuyến tính Tìm ma trận của f

26 a) Cho hai toán tử tuyến tính f, g : RỶ —> RỂ, xác định bởi :

f(x, y, 2) = & + 2y + 32; 4X + 5y + 62; 7x + By + 92);

ø(X, Y, Z) = (x + 3y + 4,52; 6x + 7y + 9z; 10,5x + 12y + 132) Tìm ma trận của toán tử 3f - 2g va feg

b) Cho hai toán tử tuyến tính f, g : R” —> RỶ, xác định bởi :

Í(%, y, Z) =Œ + Y,Y +2, Z + K) B(X, Y,Z)=(y+Z.Z+X,X+y)

Tim ma trận của toán tit fog va gof

150

27 a) f là phép quay mỗi vectơ trên mặt phẳng xOy một góc œ = 5 Biểu diễn toán tử tuyến tính f + I đưới dạng tọa độ, I là toán tử đồng nhất b) f là phép quay mọi vectơ của mặt phẳng xOy một góc a Tim ma tran

của toán tử tuyến tính g = f + £ 1,

28 a) Tìm trị riêng, vectơ riêng của toán tử tuyến tính với ma trận

C - BÀI GIẢI VẢ HƯỚNG DẪN

1 a) Xét tap hop R" = {x = ŒXỊ, X;, Xa) |Xị 6 R,¡ = 1,2, , n}

X=(XỊ,X¿, Xn) 6Ñ”; y=(Y, y2, yạ) e RP, Phép cộng được định nghĩa : x + y = (XỊ + YỊ, Xa + Y2, Xạ + Yn)

và phép nhân với số thực ^.: ÀX = (ÀXị, ÀXa, , ÀXn)

Ta kiểm ta lại L0 tiên để của không gian vectơ :

1) Dox;, y,; e R,i= Ln nénx,+y,¢R

X+Y=(XỊ +ÿi,X;y +Y¿, Xa + yn) € R"

2) Xị+yi = Vị + Xị Í= 1,n nên

x+y=ytx

3) Xị + (yi tZ)= Oty) +g.4= Ln, z= (aq, 2 2%) ER

X+(yt+D=(Kty)+z

4) Phần tử trung hoà 9 = (0, 0, , 0) e IR” ; do X¡ +0 = xị¡, nên

TDrAER x, e Ry, eR, i= In nên À(ị + yị) = Ax; + Ay,

=> MX + y) = (MK + YP), AÓ; + Y2), Ä(Xa + Yn)) =

= (AK, + Ay, AX + lygy ., AX, + ly,) =ẤX + AY

Phép cộng : p(x) + q(x) = (a, + bạ) + (ai + bị)X + + (An + b,x"

Phép nhân véi s6 thuc A: Ap(x) = Aa, + Aayx + + Aagx”,

Với hai phép toán trên dễ dàng kiểm tra lại 10 tiên đề của không gian

vectơ (sinh viên tự kiểm ta), ở đây vectơ trung hoà 0 là vectơ :

A = [ãilm xạ € Đẩm xn B= [bila xn © Mmxni

A+B= [ain xa + [bigdm xn = [ay + Bila xns

MA = Malan xn = [À3 m xạ:

Ta sẽ chỉ ra rằng với hai phép tốn trên thỏa mãn 10 tiên để của khơng gian vectơ

Thực vậy

DA=[ilmxns B= [bilmxp- Do aj, bj € Rnén ajtbjeR

AEM xg BE Myx, thi A + B= [ay + Bil xn © Mm x ne 2C= [tilm xn € My x g Do (ayy + by) + Cy = ag + (b,j + oj) Vij,

Vi, j nên

A+0= [ay + Olm xạ = [Ơ + Au]m xạ = Ơ + A=A

5) ay ¢ R nên 3-a, để ajj+ (aj) =0

=> A+ CA) = [ai + (—â¡)]m xạ = [Ợm xn = Ơ

6@2^eTR;a, e R Ví, j = Aau e R Ví, j nên

AA = Kain xa = Aaighm xn © Mm xn T) A € My x93 BE My xg A € R Do aj,.by ¢ Rnén

Majj + by) = Aaj + aby Vi, jnén

MA + B) = [A(ay + bi) )m xn = [Aaj + Xb¡]m xạ =ÀA + AB

8)aA,ueR, ay € R>(A+ Way = Xãi + Hai; nên

(A+ WA = (0+ Waid xn = Peay + Bagh xn = AA + HA

9) ACMA) = [A (ua Vn xn = FAW ayn xn = AIDA

10) LA = [aim xn = Bijlm xn =A

Vay Of, x ạ với hai phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với số thực

là không gian vectơ

2.a4)U= {x = (xj, xạ, 0, 0) | xị, x; e R)

Với các phép toán đã xét trong bài tập 1 Ta thấy U e RỂ

Xét x =Œxị, Xp, 0, 0) € U, y = (yj, yz, 0, 0) € U thi

Vậy W không phải là không gian vectơ

3 Tap hop X = {x = (Ky, Xp Xa XQ) [KER i= 14}

XEt x = (X1, Xp, X3.X4) © Xs Y= (Vp, You Ya Ya) E X

Phép cộng : K + y = (XỊY\, X2Y2, X3Y4, XaY4)-

Phép nhân với số thực 2 : Àx = xh, x4, x4, xh)

'Ta kiểm tra 10 tiên đẻ của không gian vectơ đối với hai phép toán trên

154

1) Dox, y, ¢R,i=14 >xy, ¢ R,i= L4=>x,yeXthi

K+ Y= (XIY|, XaY2, XaYa, Xaya) € X

2) Do xiy¡ =yjX„Í= L, 4 nên

X+Y= (XỊY: X2Y2, XạY, X4Y4) = Y +X

3)x,y € X\vàz=Œ\, 22, 74, z4) € X

Do (xyz = Xị(y2), Í = 1, 4 nên

(ŒX+y)+Z= (XIY4)Z4, (XaY2)Z2, (X3Y3)Z, (XaY4)24)

= (XI), X2(ÿ2Z2), Xa(V2Z4), X4(Y4Z4)) = X + Ôy +2)

4) Phần tử trung hoà 6 chọn : 8 = (1, 1,1, De Xvile R,

DxwyeX, AER Dox, ye RA € Rnén (wy) xhyh i= 1,4

=> Ax t+ y)= xy), (aya)*, Gạya)Ê, Gaya}*)

= GẬy}, xây}, xty4, xhyhy = ax + ay

À

8xeX;ÀuheR= xAth = y? xtish4 1 1 i

> Atpx= oe, xhth xÂh, xithy = Ax + px

V)aApwe Rx eX, xậu = (xis 14

> (Apx= (xt#, xât, xh, XU)

= (GẦ)P, G3)", G31", GÃ)P) = H*)

10) 1.x = (xy, X2, X3,%4) = (XI, X;, Xạ, Xã) = K

Vay tap hop X véi hai phép toán trên là không gian vectơ

4 a) f(x), g(x) 1a hàm số liên tục trên [a, b] => f(x) + g(x) 1a hàm số liên

tuc trén [a, b]

2 € R thi Af(x) là hàm số liên tục trên [a, b] ;

Phần tử trung hoà Ô = 0 liên tục trên [a, b] ; Phần tử đối của f(x) là -f(x) liên tục trên [a, b] ; (Sinh viên tự kiểm tra 10 tiên đẻ không gian vectơ)

Vậy F = (f(x) | ham liên tục trên [a, b]} là không gian vectơ

b) Tap hop G = {f(x) | f(x) khả vi trên [a, b]}

Do f(x), g(x) kha vi trén [a, b] nên f(x) + g(x) cũng khả vi trén [a, b] va

[f(x) + gGŒ)]' = f(Œ) + g'Œ), Af(x) cũng khả vi trên [a, b} và AfŒ)T = AfŒ@œ)

Phần tử trung hoà là 8 = 0

Do f(x) e G thì tồn tại -f&) e G để [x) + (-f@))] = f@œ) - f@) =0

Vay G.1a không gian vectơ (sinh viên tự kiểm tra)

c) (Sinh viên tự kiểm tra)

6 Hệ phương trình đã cho được viết lại dưới dạng AX = 0 (1), trong đó

a) Nếu đet(A) # 0 thì hệ (1) chỉ tồn tại nghiệm X = 0 nên tập hợp nghiệm

F chỉ gồm một phần tử X = 0 vậy E = {0} Tap hợp F đó là không gian vectơ b) Nếu det(A) = 0, hệ (1) có nghiệm X = 0, ngoài ra còn có nghiệm

X =0 Gọi tập hợp nghiệm của hệ (1) là G

2x © G => GIA khong g6 gian vecto (sinh viên tự kiểm tra 8 tiên đề còn lại)

6 đây cũng có thể nói G RỂ Các phép toán cũng là các phép toán trong RỶ; nên G là không gian con của không gian vectơ R

Va Au = (0, Aug, Aug, Aug) € Fviu, ¢ R;i=2,3,4,0 € R Vay Fla

không gian con của không gian Rr’

10 Tap hop F = Ly = (Vụ, Ya, V3, Ya) | Ya + ¥3 + Yq =O} Trước hết FC R*

với đặc điểm tổng các thành phần thứ hai, ba, bốn của vectơ y bằng 0

Xét Y=ỚI,Ys.Ys, Y4) © Fs V = (vy, Vạ, Và, Và) 6 E

với Y2 + Y3 + Ya =Ũ; Vạ + Vị + vạ= 0

> Y+V=(y¡ +Vị, Ÿ; + Vạ, Y2 + Vạ, ÿ¿ + Vụ) 6 F vì

(yo + V2) + (¥3 + V3) + (yg + V4) = 2 + 3 + Y4) + (V¿ + Và + V„) = Ö

và Ay = (Ay), Aya, Ay3, Ay4) 6F vì

Aya + Ay + Ay4 = Myo + ¥3 + Yq) =O

Vậy E là không gian con của không gian Rt

158

Trong trường hợp này dé dang thay rang p3 = 1.p; + Lp)

Vay ho S phu thuéc tuyén tinh

b) Ho vecto_V = {q 1(%), do(x), a3(x)} CP2;

= ey(ax? + bx +c) + co(2ax + b) +.¢3.2a

= ac, x? + (be, + 2acy)x + (ccy + be, + 2ac3) = 0

acy = 0

=> $4bc¡ + 2ac¿ =0 > c¡=c=cœ;=0

ccị + bcạ + 2ac3 =0 Vậy họ vectơ V độc lập tuyến tính

13 Họ vectơ S = {vị, vạ, vạ, vạ} C R?;

vị=(l,l; vạ=(0,1); vy=(2,3); vạ=(I,0)

Ket CỊVị +C2V;¿ +CạVạ +CaV¿=

=eilfl+e;|?|+e;|2|+e4| Way 24i| 33] ^4| o| !|=|? Lo

——- là hệ hai phương trình bốn ẩn : cho c¡, cạ tự do

YVx, œ, , y không đồng thời bang "0" :

a + bx + CA” = (œ + 2B + 3y) + (2y + 3B + 5y)x + (30 + 4B + 7/)x2

- _ 1 2 3la (hy -2h,)| 4 2 Bla

1 2 3la

1 1|2a-b (h3 — 2h)

0 0 Olc~3a-2b+ 4a Điểu kién (A) = r(A)=2 = c - 3a - 2b + 4a =0 =c=2b-— a Vậy tập hợp đa thức q(X) có dang : q(x) = a + bx + (2b — a)x?,

13) ST 6 220,

24

Vay A, = A, =0 Vay hé S độc lập tuyến tính

b) Để chứng minh họ S là một cơ sé cia R?, ta con phải chứng minh họ

Có detA = 13 =-2z0

2 4

Vậy họ vectơ § = [e, e';} là một cơ sở trong RẺ

c) F = {e, e¿}, eị = (1, 0), e; = (0, 1) là hệ cơ sở chính tắc trong RỂ

Vậy x= (7, 10) 6 RỶ ta có x = œei + e;

11- BTTHCCT.1-A

11-1 1

(Œạ=h2)Ío o 9 0 (Œạ¿-h2)Ílo g 9 0 Œz~h2) lo 9 9 9

=> 1(A) = 2 Hang cha ma tran A ciing 1a hạng của họ § Vậy r(S) = 2

18 Viết lại hệ phương trình đã cho dưới đạng ma trận AX = 0 (1), trong đó :

Dé dàng chỉ ra hệ {y,, ya, y3} ddc lập tuyến tính và là hệ sinh ra không

19, Hướng dẫn : Tìm tập hợp nghiệm F C RỂ như trong bài tập 18 ta được kết quả

20 Hệ cơ sở chính tẮc {ey, cạ, cạ, e4} CR’

và hệ cơ sở khác {e}, e2, €3, e4} C R,

Vecto x = (1, 1, 1, 1) theo hệ cơ sở chính tic Dé tim toa độ của x theo

hệ cơ sở {e'¡ hela ta tiến hành như sau :

Do

eị =(0,L11) > e¢', =Oey +e, +e, + eq

e', = (1,0, 1,1) = e'2 =e, + Oe, + e3 + eq

e'3 =(1,1,0,1) => e'y =e; +e, + eg + ey

e'g = (1,1, 1,0) > e'g =e; +e2 + €3 + Oey

†a có ma trận chuyển cơ sở

9 1 1 1

1 0 1 1 Peli 101

1110

at

Dat & = 2 3 là toạ độ của vectơ x theo hệ cơ sở {e¡],_+.a thì theo +

Š

công thức biến đổi toạ độ :

0 1 1 LH 1 &2 +&3 + &4=1

101 1lJllạ‡ |ì Eị +Ệy +Éa =1

1 1 0 1|133 1 & +82 +64 =1

11 4 OjE&4 1 &p+& +3 =1 Giai ra ta duge &) = & =Bạ “âu Tả

164

Vay x = (1, 1, 1, 1) = e, + &; + ©; + e¿ theo hệ chính tắc thì

x=32(1 +2 +e3 +e4) we=(ith là toạ độ của vectơ x theo hệ cơ sở {e;}

=1, 4"

21 Viết lại dạng bài toán 20 :

Cho x = 8e, + Ốc; + 4e; — 18e¿ = x = (8, 6, 4, -18) theo hệ cơ sở chính {€¡1;~1 4 : hệ cơ sở mới sẽ là

f(a + v) = ÍŒXI + X, Y1 + Y2, Z¡ + Z2) = (Ky + X;; VỊ + Ÿ2y —Z4 — Z2)

= Gị, YI; -ZI) + (Xạ, Y2, Z2) = f(a) + fv)

f(Au) = £(AX), AX2, AX3) = (AX), AX, -AX3)

166

đ) Xét u,uy e V =0 +u V

f(u, + ug) = (uị +uz) +u;

f(uy) + f(ug) = (uy + u) + (uy + U) = Uy + Uy + 2u Dou # 8 nén

f(u, + uy) # f(u)) + f(uy)

Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính

e) Xét như trong câu a, b

f) f:R->IR;f(%) = x”

f(x + y) = (x+y) # fx) + fy)

Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tinh

8) Xét như trong câu a, b

24 a) Phan tích u = (x, y) theo e = (2, ~l) ; e2 = (1, 1)

us Ñ = ae! + Be' = lỗ] + all

f(A) = fe", + Age's + Age's + Age's)

= Ayf(e'|) + Agf(e'g) + Agfle's) + Agfle'4)

= (a+ b-c).3 + b(-1) + (c - b).0 + d.0 = 3a + 2b ~ 3c

25 a) Xết x= Œụ, x2) € R?; y=(y,, y2) € R?

2Sx+y=Œ + yl, X2 + Yo) cR?;Ax e RẺ

fŒ + y) = £0) + yp, Xp + Yo) = (XK) + 1) + 2Œ + Y2), (XI + YI) ~ H+ Yo)

= (Oxy + 2x2) + Ớy + 2ÿ2), (Xị - X2) + | ~ V2)

= (Xị + 2X; Xị T X;) + (y| + 2ÿ2, Yị — Y2) = £0) + fly)

f(Ax) = (Ai + 2X), XŒ: — X;)) = ÀŒXị + 2X, Xị - X;) = A(X)

Vậy f là toán tử tuyến tính

Để tìm ma trận của f ta tính :

f(e1) = f(,0) = (1, D = e| + e;

(e2) = f(0, 1) = (2,~1) = 2e — e2

1 2

= a-[i 3 | là ma trận của toán tử £

b) Thực hiện biến đổi như câu a) được kết quả (sinh viên tự giải)

26 a) Do f(x, y, z) = (x + 2y + 3z; 4x + Sy + 6z; 7x + 8y + 9z)

f(c}) = F(, 0, 0) = (1,4, 7) = ey + 4eq + 7es

=_ f@;)=f(0,1,0)= (2,5, 8) = 2c) + Sen + 8ca

£(e3) = £0, 0, 1) = 3,6, 9) = 3e, + Gey + 9e,

Ma tran của toán tử f :

1 2 3 A=/4 5 6]

789 8(X, Y, 2) = Π+ 3y + 4,57; 6x + 7y + 9z; 10,5x + 2y + 132)

ø(e¡) = g(1, 0, 0) = (1; 6 ; 10,5) = e¡ + 6e; + 10,56;

=_ g(e;)=g(0,1,0)= (3; 7; 12) = 3e, + 7e; + 12e;

gíc;) = 2(0, 0, 1) = (4,5; 9; 13) =4,5e, + 9e; + lầec;

b) Thực hiện như trong câu a) ta được kết quả

27 a) Gọi ¡, j là hai vectơ đơn vị trên hệ trục toa d6 xOy

5 Hiya jeoe™ «cpt V2, , 2

fỘ)= icosSf « jsin3® = 1cos 3 jsl 4272 = -22; , 22, 2 i

(f+ DỌ, y) = &), y)= (2 + th — Wy, v2, + (2 + i} 2 2 2 2

b) Tương tự cau a) ta có ma trận của toán tử f :

Ma tran cia todn tit g =f +! = 2Icosa 1

thi x = c¡ - cạ, ta được vec(ơ riêng

U= (Cy ~ C2)€ + C¡e2 + cyea, với c¡, cạ bất kỳ V6i A; = 3 ta có vectơ riêng xác định :

Mọi hàm số liên tục trên khoảng (a, b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó

« Các phương pháp tính tích phân bất định :

1) Phương pháp đổi biến số

Để tính ff (x)dx cĩ thể đối biến số x = 0Œ) với (1) 1a mot ham số khả

vi liên tục và cĩ hàm số ngược Khi đĩ ta cĩ cơng thức

jf@©dx = [ffg(lexOäL

Nếu biểu thức dưới dấu tích phân cĩ dạng g[@(x)]ø (x)dx thì để tính tích

phân feeodx „ ta đổi biến số @(x) = 1 va duge

Jreodx = fstocolp'oodx = facndt

2) Phương pháp tích phản từng phần

Nếu u(x), v(x) là hai hàm số khả vi liên tục, ta cĩ cơng thức

fudv =uv — fodu

Cơng thức này được sử dụng khi tính fodu đơn giản hơn tính [udv

Để tính các tích phân ƒh (x)sinaxdx , JP (x)cosaxdx , fPa (xe dx, trong đĩ : a là hằng số, Pn(x) là đa thức bac n, ta dat

u= P,(x), dv = sinaxdx (cosaxdx, e™*dx)

172

Để tính các tích phân P (x)Inxdx, Pa (x)arcsinxdx, Pa (x)arccosxdx ,

ƒh (x)aretgxdx , iP, (x)arccotgxdx , ta dat

u=lnX (arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx), dv = P,(x)dx

3) Tích phân các phân thức hữu tỷ

Pay)

Qn

những da thức bậc m và n Phân thức đó gọi là thực sự nếu m < n, không thực sự nếu m > n Nếu phân thức là không thực sự, ta được một đa thức cộng với một phân thức thực sự

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng „ trong đó Pm(œ), Q@œ) A

Các phân thức đơn giản là những phân thức có dạng sau :

P(x) i=1, ., s, thì phân thứ

sie * OG) có thể phân tích thành tổng của các phân thức đơn giản như sau :

Ứng với thừa số (x - b)" của Q(x), tổng các phân thức đơn giản thành phần là