Câu 52,0đ Cần ít nhất bao nhiêu quả cân và một cái cân đĩa để có thể cân được những khối lượng có giá trị là số nguyên từ 1 đến số 13... a Chứng minh AHBP là hình vuông b Vẽ đường cao B
Trang 1TRƯỜNG THCS DIỄN HẠNH
ĐỀ THI VÒNG I -TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023
Môn Toán 8 Vòng 1 (Thời gian 120 phút)
Câu 1 :(4,0đ)
a) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương; chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố
b)Cho 3 số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 6 thì
a + b + c chia hết cho 6
Câu 2:(6,0đ) 1 Cho biểu thức:
2
2 6
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A = 6
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
2 Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a + b + c = a + b + c2 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức :
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
Câu 3(1,0đ) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x3y33xy1
Câu 4 (7,0đ) Cho tam giác ABC nhọn có góc B bằng 450 và vẽ đường cao AH Gọi M
là trung điểm của cạnh AB, E là điểm đối xứng với H qua M
a) Chứng minh AHBP là hình vuông
b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC Chứng minh HP = 2MK
c) Gọi D là giao điểm của AH và BK Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH Sao cho chúng cắt nhau tại Q Chứng minh P, K, Q thẳng hàng d) Chứng minh các đường thẳng CD, AB và PQ đồng quy
Câu 5(2,0đ) Cần ít nhất bao nhiêu quả cân và một cái cân đĩa để có thể cân được
những khối lượng có giá trị là số nguyên từ 1 đến số 13
Hết
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ VÒNG I
NĂM HỌC 2022-2023
Môn Toán 8 (Thời gian 120 phút)
m Câu 1 :(4,0đ) a) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính
phương; chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố
b)Cho 3 số tự nhiên a, b, c Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 6 thì
a + b + c chia hết cho 6
1 a) Lập luận được d = 5,
vì abcd 100 2 suy ra abcd x5 2
Vì abcd chia hết cho 9 => x5 2 chia hết cho 9 => x5 chia hết
cho 3
Suy ra x 5 6;9;12 x 1;4;7
+ Nếu x = 1 thì abcd 15 2 225vô lý
+ Nếu x = 4 thì abcd 45 2 2025thoả mãn
+ Nếu x = 7 thì abcd 75 2 5625thoả mãn
Vậy số tự nhiên có bốn chữ số cần tìm là 2025 và 5625
0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
b
a b c (a b c) (a 1)a(a 1) (b 1)b(b 1) (c 1)c(c 1)
Mà (a 1)a(a 1); (b 1)b(b 1); (c 1)c(c 1) là tích của 3 số
nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
a3b3c3 (a b c) 6 mà a b c 6 nên a3 b3c 63
1,0đ 0,5đ 0,5đ
Câu 2:(6,0đ) 1 Cho biểu thức:
2
2 6
x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A = 6
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
2 Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a + b + c = a + b + c2 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức :
a + 2bc b + 2ac c + 2ab 2
1
a) ĐKXĐ: x R
2
2 6
x
2
6
A
x
0,25 đ
0,25 đ 0,25
Trang 3 2 2
2
6
A
x
2
đ 0,5đ
0,25 đ b
)
2
x 1 3 x 5 0
1
1 0
5
3 5 0
3
x x
Đối chiếu điều kiện ta có
5 1;
3
x
thì A = 6
0,25 đ 0,5đ 0,5đ
0,25 đ
A x x x x x
Vậy GTNN của A bằng
2
2
2 a + b + c = a + b + c2 2 2 2 ab + ac + bc = 0
a + 2bc a + 2bc - ab - ac - bc a - ab - ac + bc a - b a - c
Tương tự: b + 2ac2 b - a b - c ,c + 2ac 2 c - a c - b
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
a - b a - c b - a b - c c - a c - b
a b - c + b c - a + c a - b
P =
a - b b - c a - c
a b - a c + b c - ab + c a - b
P =
a - b b - c a - c
ab a - b - c a - b + c a - b
P =
a - b b - c a - c
2
ab a - b - c a - b a + b + c a - b
P =
a - b b - c a - c
2
a - b ab - ca - cb + c
P =
a - b b - c a - c
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25
Trang 4
a - b b - c a - c
a - b b - c a - c
đ
0,25 đ Bài 3(1đ) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x3y33xy1
3 1 3x 1 2
x y y x y
1 2 1 3x 1 2
Vì 2(x2y2 1 xy x y )x y 2x12y12 0 x R
x y xy x y Do đó ta xét hai trường hợp sau :
TH1 :
1 1
x Z
TH2 :
0 hoac x = 1 1
hoặc
1 0
x
y
Vậy: x y; 1;0 ; 0;1
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ Bài 4(7 đ) Cho tam giác ABC nhọn có góc B bằng 450 và vẽ đường cao AH Gọi M là trung điểm của cạnh AB, E là điểm đối xứng với H qua M
a) Chứng minh AHBP là hình vuông
b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC Chứng minh HP = 2MK
c) Gọi D là giao điểm của AH và BK Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song với BC và AH Sao cho chúng cắt nhau tại Q Chứng minh P, K, Q thẳng hàng d) Chứng minh các đường thẳng CD AB và PQ đồng quy
4 Hình vẽ : 0,5 đ
a) Vì M là trung điểm của AB và PH nên tứ giác ABCD là hình bình 0,5đ
N
M
K
Q P
H F
E D
C B
A
Trang 5hành mà AHB = 90 nên AHBP là hình chữ nhật, 0
vì ABH 45 0 nên tam giác ABH vuông cân tại H HA HB
Hình chữ nhật APBH có HA = HB nên là hình vuông
0,5đ
0,5đ 0,5đ b
)
Sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông ABK suy ra
AB = 2MK
dùng kết quả câu a) suy ra HP = AB do đó HP = 2MK
0,5đ
0,5đ c) Từ HP = 2MK suy ra tam giác HKP vuông tại K Suy ra HKP 90 0
Chứng minh tương tự ta có HKQ 90 0 PKQ 90 0 900 1800
Suy ra P, K, Q thẳng hàng
0,5đ 0,5đ 0,5đ d
)
Gọi E là giao điểm của PQ và AB, F là trung điểm của BC
Ta có ME//HQ (vì cùng vuông góc với PH) mà M là trung điểm của
PH nên ME là đường trung bình của tam giác HPQ Suy ra E là trung
điểm của PQ suy ra EF là đường trung bình của hình thang BPCQ:
vuông tại E
BEC 90
Mặt khác ta có: CD AB do D là trực tâm của tam giác ABC
Như vậy CD AB,CE AB E,D,C thẳng hàng do đó CD, AB và
PQ đồng quy
0,5đ
0,5đ
0,5đ 0,5đ
Câu 5(2đ) Cần ít nhất bao nhiêu quả cân và một cái cân đĩa để có thể cân được những khối lượng có giá trị là số nguyên từ 1 đến số 13
có giá trị là số nguyên từ 1 đến số 13 Cụ
thể như sau:
0,25 đ
1 = 1
2 = 2
3 = 2 + 1
4 = 4
5 = 4 + 1
6 = 6
7 = 6 + 1
8 = 6 + 2
9 = 6 + 2 + 1
10 = 6 + 4
11 = 6 + 4 + 1
12 = 6 + 4 + 2
13 = 6 + 4 + 2 + 1
Trang 6Giả sử chỉ dùng tối đa 3 quả cân mà cũng làm được những điều đề bài yêu
cầu Phải có ít nhất 1 quả cân a1 nặng 1kg để cân được khối lượng 1kg
TH1: Quả cân có khối lượng lớn nhất là a2 nặng hơn 4kg Lúc này
không thể cân được khối lượng 2kg, do đó cần có thêm quả cân a3
+ Nếu quả cân a3 nặng hơn 2kg thì không thể cân được khối lượng 2kg
+ Nếu quả cân a3 nặng 1kg hoặc 2kg thì không thể cân được khối lượng
4kg
Vậy TH1 sai
TH2: Quả cân có khối lượng lớn nhất là a2 nhẹ hơn 5kg Lúc này kể cả
khi có thêm quả là cân a3 đi nữa cũng không thể cân được 13kg
Vậy TH2 sai
Vậy số quả cân ít nhất để thực hiện được yêu câu cầu bài toán
0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
0,5đ 0,25
