6 chuyên đề 6 đường tròn đường tròn và đường thẳng đường tròn và đường tròn

Cho đường tròn O đường kính AB, các dây cung AC và BD cắt nhau tại E.. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.. Kẻ tiếp tuyế

C huyên đề 6

ĐƯỜNG TRÒN – ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG

ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Theo bất đẳng thức Bun-nha-cốp-ski

 2 2  2 2  2 2 2 2 2 2 2

.

Từ     1 , 2 và   3 suy ra 2 S  R2 d 2 R2 d2 (không đổi).

2 2 2 2 maxS=

2

a b







 IA và IB tạo với IO góc 45.

II Đường tròn và đường thẳng

1.Có hai dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn

- Nếu đường thẳng a vuông góc với bán kính OC tai điểm C của đường tròn   C thì

a là tiếp tuyến đường tròn   O .

- Nếu đường tròn  O R ; 

có khoảng cách từ O đến đường thẳng a thỏa mãn d  R

thì a là tiếp tuyến đường tròn   O .

2.Cần nắm vững các tính chất của hai tiếp tuyến khác nhau.

3.Với đường tròn nội tiếp tam giác ABC có cạnh a b c, , và D E, là các tiếp điểm trên

,

b c a

.

Ví dụ 50 Cho đường tròn O đường kính AB, các dây cung AC và BD cắt nhau tại

E Gọi H là hình chiếu của Etrên AB Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt HE ở I .

Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của đường tròn   O

.

Giải:

Gọi K là giao điểm của AD và BC Ta có ACKB BD, KA nên Elà trực tâm của tam giác KAB, do đó các điểm K I E H, , , thẳng hàng

DI là tiếp tuyến  D1 phụ D 2

Mặt khác, E 1  E  2 mà  E phụ 2  B nên 1 E phụ 1 B 1

Ta lại có D  2   B1 nên D  1  E1  D3  K  1do đó IK ID IE .

ECK

 vuông có IC là đường trung tuyến nên IC IE ID   .

.

Vậy IC là tiếp tuyến của đường tròn   O .

Ví dụ 51 Cho tam giác ABC vuông tại A AB, AC Gọi R là bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Đặt

, ,

BC a AB c AC b   Tính tỷ số : : a b c biết rằng

2 5

r

Giải:

5 r  2 R Ta sẽ tính a b c, , theo R.

Ta có a  2 r  5 R .

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, D và E là các tiếp điểm trên AB và AC Ta có

AD AE b c a     Kết hợp với ADIE là hình vuông nên 2r b c a    .

 2

2 2 2 5 25 2

  2

Từ   1 và   2 suy ra

 b c  2   b c  2  b2 c2    7 r 2 25 r2  24 r2

  3

Từ   2 và   3 suy ra

 b c  2  b2 c2 2 bc  25 r2 24 r2  r2

  4

Từ   1 và   4 suy ra b4 ,r c3r hay : : a b c  5 : 4 : 3 .

Ví dụ 51 Cho đường tròn   O

đường kính AB, điểm M thuộc tia đối của tia AB.

Kẻ tiếp tuyến MI với đường tròn ( I là tiếp điểm) Gọi C là hình chiếu của trên AB Chứng minh hệ thức MB AC MA CB  .

MIO    

1

Ta có:  AIO OAI   ( Tam giác OAI cân) nên từ   1

và   2 suy ra  I1  I2 Ta có IB vuông góc với IB mà IA là phân giác trong nên IA là phân giác ngoài của tam giác IMC Suy ra

AC  IC  BC  MB AC MA CB 

Ví dụ 53 Trong các tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC a  Tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.

Giải:

Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bạn đọc tự chứng minh

2r b c a      1

Ta có:  b c  2  2  b2 c2  2 a2   2

Từ   1

2

a

Vậy

2

Max

a

Dấu bằng xảy ra  AC AB 

III ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1 Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn.

2 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì tiếp điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm của hai đường tròn.

Ví dụ 54: Cho đường tròn   O

đường kính AB và đường tròn   O

đường kính BC tiếp

xúc ngoài tại B Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn   O E

là tiếp điểm CE cắt đường tròn

  O

ở D (khác C ) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABD

Giải

Gọi giao điểm của EO , DB với   O

lần lượt là F K, EF DK mà / /  F  B  2

Ta có EBF   90o nên  B phụ 3 

2

B ,  4

B phụ 

1

3 4

Do đó BE là tia phân giác của góc ABD

Ví dụ 55: Cho đường tròn   O bán kính 4 cm, điểm A nằm ngoài đường tròn và có

8

OA  cm Kẻ tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C, là các tiếp điểm) Vẽ đường tròn

  K

đi qua C và tiếp xúc với AB tại A

a) Tính bán kính của đường tròn   K

b) Vẽ đường tròn   I

bán kính 3cm tiếp xúc với đường   O

tại B Chứng minh rằng đường tròn   K

và   I

tiếp xúc ngoài với nhau.

Lời giải

a) Đặt AK=R Vẽ đường kính AE của   K

Ta có  ACE ACO    90o 90o  180O

nên E C O, , thẳng hàng.

OBA

 vuông tại B có

1 2

nên  A 1 30o,  E  60o Do đó AOE  đều.

8

AE  AO  cm, Vậy R 4 cm.

b) Điểm O thuộc đoạn OB và OI OB IB     4 3 1  (cm).

ABOK là hình chữ nhật OK AB Ok2 AB2 OA2 OB2 82 42 48

 

KI  OK  OI   KI  cm   1

Tổng các bán kính của hai đường tròn   K và   I bằng 4 3 7 cm       2

Từ     1 ; 2

suy ra   K

và   I

tiếp xúc ngoài

a/ Tính CH theo R x,

b/ Tính x

Giải

a/  CHI   EDC g g  

    1

Từ   1

và   2

suy ra

.3 2 9

3

CD



 R x 2  R 6 2 x2 CH2

Từ     3 ; 4

suy ra  R x  2   R  6 2 x2 x2 2 R  9 

 2 R 9  x2 2 Rx 12  R 3  0

2 12 2 9 3 5 18



 

2

R

Ví dụ 57.Cho hai đường tròn     O , O

BCD

Giải

/ / ,

1 2

,

kết hợp với   1

có

1 2

1 / / ,

2

Từ     1 , 2

và   3

/ /

BA CD 

và  O r  ; 

và đến   O

Giải

Gọi các tiếp tuyến bằng nhau kẻ từ M đến     O , O

là MA MB,

x  y  OM  MH  O M   MH  OM  O M 

 MA2 R2  MB2 r2 R2 r2

Từ     1 , 2 suy ra

2 2 2

x y

d



Từ     1 , 3 suy ra

2

2

với OO tại H

tròn Gọi   I

là đường tròn

theo thứ tự là D E, Tìm giá trị nhỏ nhất của DE

Giải

Đặt ID r KR r 1,  2

OD  OI  ID  x   r  r   r

2

1

1 x 2r   1

 

1

1 2 2

r

xy r r

  3

Từ       1 , 2 , 3

suy ra  1  x2  1  y2  4 xy

 1 xy 2  x y 2

Do xy 1 nên 1 xy  x y

Đặt x y a   thì

 2 2

2 2

min a  2 2 1   x  y

BÀI TẬP

Đường tròn

AC  CD  cm BD  cm Tính bán kính của đường tròn

96 Cho đường tròn   O

AEFB ACBG

3

2R



tại B và C sao cho BC  a 0   a  2 R 

đường kính AB, có MA , a MB .b Điểm C chuyển động trên đường tròn Gọi D E, theo thứ tự

lớn nhất

a) Chu vi lớn nhất.

b) Diện tích lớn nhất

1 2

và MB  2 MC có giá trị nhỏ nhất

Đường tròn và đường thẳng

bán kính 2cm nội tiếp tam giác

2 3

DB

Gọi D C , theo thứ tự là hình chiếu của A B, trênd Chứng minh hệ thức CD2 4AD BC

cắt

a) BE DF  OB OD

107 Cho tam giác có diện tích làS , chu vi 2 , p r là bán kính đường tròn nội tiếp; R R R1; ;2 3 theo

a) S  R p a1    R p b2    R p c3   ;

b)  A  900 nếu R1 r R  2 R3.

nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC AC AB, , theo thứ tự , ,

D E F Tia IA cắt EF ở H và cắt đường tròn   I

d) Ba điểm A N M, , thẳng hàng

đường tròn nội tiếp lớn nhất?

huyền nhỏ nhất?

các cạnh CB CD, theo thứ tựE F, Tìm vị trí của điểm I để tam giác CEF có diện tích lớn nhất.

tròn   D

và  E 

Vẽ đường tròn   I

tiếp xúc với

114 Cho ba đường tròn  A ;1 ;   B ; 2 ;   C ;3 

tiếp xúc ngoài đôi một và cùng tiếp xúc trong với đường tròn  O R ; 

Tính R

và  O r ; 

ở ngoài nhau  R r  

Đường tròn   I

tiếp xúc ngoài với hai đường tròn   O

và   O ’

theo thứ tự tạiA B, Chứng minh rằng khi đường tròn   I

thay đổi thì

và  O r ; 

tròn   O ’

, cắt đường tròn   O

ởC và D Kẻ các tia tiếp tuyến O E O F’ , ’ đến đường tròn   O

, cắt đường tròn   O ’

ở G và H Chứng minh rằngCD  GH

tròn   O ’

118 Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d Tìm giá trị nhỏ nhất của tích hai bán kính

của các đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài nhau, tiếp xúc ngoài với đường tròn (O) và tiếp xúc với đường thẳng d

đường kính AB= 2R, điểm C trên đường tròn đường kính AB đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn tại D Tìm giá trị lớn nhất của tổng hai bán kính của

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN, ĐÁP SỐ

Chuyên đề 6

ĐƯỜNG TRÒN – ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG THẲNG

ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN

94 (h.252) Gọi H là giao điểm của OC và AD Ta có CA CD và OA OD nên OCAD Đặt OA OC x.

Từ AC2  HC2  OA2  OH2 suy ra

 2

30  x  7  x  7  x  7 x  450 0 

 x 25   x 18  0 ; OA 25 cm

95 (h.253)

AIC

 vuông nên AI2  AC AE   1

AKB

 vuông nên AK2  AB AF   2



 cos 

A

 

Từ (1), (2), (3) suy ra AI  AK

96 (h.254) Gọi D’ là giao điểm của DG và AB Kẻ CC' AB.

ACBG ABC ABG

' '

.

2



(vì DD'GD').

Gọi M là trung điểm của CD, kẻ MM '  AB thì

' DD' '

2

CC

nên

 

Gọi K là giao điểm của AM và BF, dễ chứng minh

  nên SAEFB  SABK  2 SAMB   2

Từ (1) và (2) suy ra SACBG  SAEFB

97 (h.255)

Đặt SAOB  S1, SAOC  S2, SBOC  S3.

ODB S

OD

AO  S

3

.

ODC ODB ODC



3

1 2

.

S

OD



Tương tự

2

1 3

S OE

R  S  S ,

1

2 3

S OF

R  S  S

Suy ra

3

2 3 1 3 1 2

.

S

OD OE OF

Bạn đọc tự chứng minh

3

2 3 1 3 1 2

3 2

S

S  S  S  S S  S 

Do đó

3 2

OD OE OF    R

Xảy ra đẳng thức  S1  S2  S3   ABC đều.

98 (h.256) Cách dựng : Dựng dây B C' 'a, dựng OH'B C' ' Dựng đường tròn đường kính

AO, cắt đường tròn  O OH ; '  tại H AH cắt (O) tại B và C.

Chứng minh: Bạn đọc tự giải.

99 (h.257) SMDCE  MD ME .

Đặt  MAD BME     , ta có

sin sin

cos cos

2

MDCE

ab

2

ab



.

2

ab

45



    C là điểm chính giữa của cung AB.

100 (h.258) Gọi I là giao điểm của AC và BM Do MI  IB nên OI BM, I chuyển động trên đường tròn đường kính OB.

AC lớn nhất  AI lớn nhất  đoạn AI đi qua trung điểm K của OB Khi đó M ở vị trí M’ đối xứng với B qua điểm I’ vừa xác định.

101 (h.259) COD đều  

2 3 1 4

COD

R S

Đặt SACDB  thì S lớn nhất S  SAOC  SBOD lớn nhất.

Gọi I là trung điểm của CD Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB.

2

AOC BOD

CC

Ta lại có ' 3   3

2

R

II  IO 

Từ (1), (2), (3) suy ra

2 3 3 3 2 3

.

. 2

max

4

R

I’ trùng O   AOC  BOD   60 

102 (h.260) Đặt MH x, OH  y

a) Chu vi MOH bằng R x y   Ta có  x y  2  2  x2  y2  2 R2

.

Chu vi MOH lớn nhất bằng R R  2  x   y BOM   45 

b)

2 2 2

MOH



2

4

R

103 (h.261) Giải tương tự Ví dụ 48.

Dựng D là trung điểm của AB, I là trung điểm của AD.

Dựng M là giao điểm của đoạn IC và đường tròn  A AD ;  .

104 (h.262) a) Đặt AC b, AB c .

Ta có b2  c2  132  169   1

Do b c BC  2r (r là bán kính đường tròn nội tiếp) nên b c    4 13 17    2

Từ (1) và (2) tính được 2bc 120.

Vậy S ABC 30 cm2.

b) Đặt BD2k, DC3k thì BC 5k.

Từ AB2  AC2  BC2 ta có  2 k  2 2   3 k  2 2   5 k 2

.

Tìm được k 2, BC  10  cm 

105 (h.263) Kẻ MH  AB

Ta có MBC OMB B      1  MH  MC  MD

 2

106 (h.264)

a) Đặt OBA OBC ODA m       , OEF   OEB n   , OFE OFD     p

Tứ giác BEFD có 2  m n p     360   m n p    180   BOE   p

Từ (1) và (2) suy ra . .

(c.g.c)

1 1

(I, K lần lượt là giao điểm của BD với EG, FH)  EG/ /FH

107 a) Bạn đọc tự chứng minh bằng cách xét diện tích các tam giác.

b) Từ

 S r

p , R1 r R  2 R và câu a) suy ra3

 p p a   p b p c    2 p  2 p  2 a    2 p  2 b   2 p  2 c 

 a b c b c a      a c b a b c    

 2 2 2  2

 b  c  a   A  90  .

108 (h.265) a) Ta sẽ chứng minh IMC KDC Đặt    B 1 x , C 1 y

Ta có

1

180

90

  

(1).

2

Mà FDE   180   D  1  D2  180    90   x    90   y    x y

Nên



 x y       x  y

(2).

Từ (1) và (2) suy ra  IMC KDC    IM KD// .

b) IM KD//  DIM    IDK  IKD ,  KHN∽IDM (g.g).

c) Ta sẽ chứng minh 

Ta có IH IA IE  2  IK 2  

 IK IH  IA IK

Từ (3) và (4) suy ra 

IM IA Từ đó AKN∽AIM (c.g.c).

d) Từ câu c) suy ra  KAN  IAM Suy ra A ,  N, M thẳng hàng.

109 (h.266)

Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp . 2



ABC

AB BC CA

mà

1 2



ABC

không đổi nên r lớn nhất  AB BC CA  nhỏ nhất AB AC nhỏ nhất Bạn đọc

tự chứng minh khi đó ABC cân tại A

110 (h.267)

Ta có 2 BC2  2  AB2 AC2   AB AC  2   BC  2 r 2  BC 2  BC  2 r

2

2 1



r

.

111 (h.268)

Đặt CEx, CF  y Ta có

1 2



CEF

.

Do  EAF  45  nên ta chứng minh được CE CF EF CB CD    2a (xem bài tập

21).

Suy ra x y   x2 y2  2 a (1)

Ta lại có x y   2 xy , x2 y2  2 xy nên

(2).

Từ (1) và (2) suy ra 2  2 2 



a

.

CEF

S lớn nhất  xy Khi đó I là giao điểm của cung BD và đường chéo AC.

112 (h.269) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Kẻ IH BC, IH cắt DE ở K

Ta có 

4 cm



x

.

113 (h.270) Gọi K là tiếp điểm của   I và cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại K cắt AB , AC

theo thứ tự ở D , E Đường tròn   I

nội tiếp tam giác đều ADE nên M , N lần lượt

là trung điểm của AD , AE , do đó MN đi qua O.

Gọi AH là đường cao của ABC, ta có 2 4 cm  

MN

114 (h.271) Ta có AB  1 2 3, AC   1 3 4, BC   2 3 5 nên  BAC   Vẽ hình 90

chữ nhật ABO C .

Do O C AB3 nên O    C Vẽ đường tròn  O ;6  .

Đường tròn  A ;1 

tiếp xúc với  O ;6 

vì O A  6 1 Đường tròn  B ;2  tiếp xúc trong với  O ;6  vì O B  6 2.

Đường tròn  C ;3  tiếp xúc trong với  O ;6  vì O C  6 3.

Vậy O trùng O và R  6cm .

115 (h.272) Gọi K là giao điểm của AB và OO.

Gọi C là giao điểm thứ hai của AB với   O

Ta có  A1  B1 B  2  C 1  O C OI //

K

 cố định

116 (h.273) Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của OO với CD và GH.

Ta có

 1

OO



 1

OO

 Nên CI GK Suy ra CD GH .

117 (h.274) Ta đã có IBOO Sẽ chứng minh OO AC bằng cách chứng minh

O A O C   (đã có) và OA OC Xét OEA và OBC, ta có OE OB , AEAD BC

, cần chứng minh OEA OBC    .

Do BE BF  nên OB là đường trung trực của EF  OBF OBE OEB     

OBC OEA

  (bù với hai góc trên) OEAOBC (c.g.c)  OA OC .

Kết hợp với O A O C   ta có OO là đường trung trực của AC.

Ta lại có OO là đường trung trực của IB nên AC IB// .

118 (h.275) Gọi A , B , C theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn   O

,   I

,   K

trên d.

Gọi x và y theo thứ tự là bán kính của các đường tròn   I ,   K .

4

.

2

min xy  16 R  x   y 4 R

.

119 (h.276) Gọi   I 

là đường tròn đối xứng với đường tròn   I

qua AB Đặt x và y là bán kính của các đường tròn   I và   K .

Ta có I K CI  CK x 2y 2.

Từ I K I O OK  suy ra x 2  y 2   R x     R y     2 1    x y    2 R

2

2 1

R

max x y   2 R 2 1   xy  C trùng O.