PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG
KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI VÒNG II
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi một khác nhau
Chứng minh rằng 2 2 2
1 1
1
a c c b b
a bằng bình phương của một số hữu tỷ
Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z
Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2 42 1
x
x
x
Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu
thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm
Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200 Trên AC lấy điểm E sao cho góc EBC = 200 cho AB = AC = b, BC = a
a) Tính CE
b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2
Trang 2
-Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2
Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009
Bài 1: (2 điểm)
2 2 2
1 1
1
a c c b b
a
1 1 1
1 1
1 2 1
1
(1đ)
) )(
)(
( 2 1
1
a c c b b a
b a c b a c a
c c b
b
=
2
1 1
1
Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*)
5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 33 53 (0.5đ)
5x = 53; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35 (0.5đ)
x = 3; 5y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 7 (0.25đ)
x = 3; y – 3 = 1 ; 2 + 5 z-y = 7 = 2 + 5 (0.25đ)
Bài 3: (2 điểm)
A = 2 42 1
x
x
x = 4 12
1
x
4 3
x
=
2
1 2
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
2
1 0
1
2
Bài 4: (2 điểm)
Gọi số cần tìm là ab Ta có: _ 3
ab và a _0b2a 9ab (0.25đ)
b a b a b a a b
a
b
a
2 3 3 ) ( ) 10 ( 9 2 100
3
)
(0.5đ)
Từ 3a 2b 2b 3 mà ( 2 , 3 ) 1 b 3 do (ab) 3 a 3 mà 3a 2 a 2 (0.5đ)
Ta có a 3 ,a 2 , ( 2 , 3 ) 1 a 6 , 1 a 9 a 6 b 9 Vậy ab 69 (0.5đ)
Trang 3D C
B
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng
200 và góc đáy bằng 800) nên CE BC BC AB (0.5đ)
Và BE = BC = a, suy ra CE =
b
2 a
(0.5đ) b) Dựng AD BE, suy ra BD = 21 AB = 21 b
ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó
AB2 = BD2 + EA2 - DE2 (0.5đ)
2 2 2
2
2
b
a b b b
b
a b
b
2 2 2
4 2 2
4
2 4
3 2 2 4 4
4 b a 3a b ab
2 3
3 b 3ab
E