Sự chia hết của số nguyên

* Chia hết trên tập hợp số nguyênGiả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau:... Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích 11... Phương pháp chứng minh q

*) Chia hết trên tập hợp số nguyên

Giả sử a, b, c là các số nguyên dương, ta có các tính chất sau:

9 Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n

10 Tính chất chia hết của một tổng, của một hiệu, một tích

11 Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6,8, 9, 10, 11

2 Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn

3 Số có tổng các chữ số chia hết cho 3

4 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4

5 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3

8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8

9 Số có tổng các chữ số chia hết cho 3

10 Số có chữ số tận cùng là 0

11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ và

tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11

12 Đồng dư thức

a) Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng

dư với b theo modun c, ký hiệu là a b modc

b) Một số tính chất:Với mọi a, b, c thuộc Z ta có:

- a a modm

- a b modm b a modm

- a b modm b c;  modm a c modm

- a b modm c d;  modm a c b d   modm

- a b modm c d;  modm a c b d.  mod m

- a b modm  a n b nmodm

13 Phương pháp chứng minh quy nạp

Muốn chứng minh một khẳng định A n đúng với mọi n1, 2,3, ta chứng minh như sau:

- Khẳng định A1 đúng

- Giả sử A k đúng với k 1, ta cũng suy ra khẳng định A k 1 đúng

Kết luận: Khẳng định A n đúng với mọi n1, 2,3,

14 Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau

- Giả sử P sai

- Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý

- Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là P đúng

B Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết

- Để chứng minh biểu thức A n  chia hết cho số m, ta phân tích A n  thành nhân tử, trong đó

+) Tồn tại 1 bội của 7 và 1 bội của 5

+) Tồn tại 2 bội của 3 (chia hết cho 9)

+) Tồn tại 3 bội của 2 có 1 bội của 4 nên chia hết cho 16

Vậy A chia hết cho 5040

A n n  n n n là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120.Vậy A 3n4 14n3 21n2 10 24n

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi n chẵn ta có:

a A n 3 6n2 8 48n b B n 4 4n3 4n216 348(n n4, n chẵn )

Lời giải

Ta có: n4 1 (n1)(n1)(n2 1) 8 vì tích của hai số chẵn liên tiếp

Ta đi chứng minh A chia hết cho 5

+) Xét n5k1;n5k2;n5k3;n5k4 đều thỏa mãn chia hết cho 5.

Vậy có 3 cách chọn e Suy ra có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết 3 không chứa thừa số 3

Suy ra có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn bài toán

Vì k k 1 k2 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên:

- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k 1 k2 2 nên A16

- Tồn tại một số là bội cuẩ 3 nên k k 1 k2 3

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà 3,16 1 nên A3.16 48.

Bài 18: HSG Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021Chứng minh 4.5n 1 2n 3 2.5n 2n

   chia hết cho 18 với mọi số nguyên dương n

Vì k k 1 k1 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k k 1 k1 chia hết cho 2và 3.

Mà ƯCLN2 3,  1 nên k k 1 k1 chia hết cho 6, suy ra 8k k 1 k1 chia hết cho 48.

Vậy n3  3n2  n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n

Bài 21: HSG Nghi Lộc, năm học 2017 - 2018Chứng minh rằng biểu thức A 75 4 2017  4 2016  4  2  5 25

Vậy A chia hết cho 4 2018.

Bài 22: HSG Lục Nam, năm học 2016 - 2017Chứng minh rằng n2  3n 12 1 chia hết cho 24 với n là số tự nhiên

Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4

Mà 2, 3, 4 đôi một nguyên tố cùng nhau  B 2.3.4  B 24

Bài 23: Olympic Mỹ Đức, năm học 2018 - 2019Cho n 1 và 2n 1 (với n  ) đều là số chính phương Chứng minh rằng n chia hết cho24

Mặt khác n1 2  n1 3n2 chia cho 3 dư 2

Mà n 1 và 2n 1 đều là số chính phương nên chúng chia cho 3 đều dư 1

Vì n 1 chia cho 3 dư 1 nên n3 (2)

Vì 3,8 1 và 3.8 24  nên từ (1) và (2) suy ra n24

Bài 24: HSG Thuận Thành Bắc Ninh, năm học 2020 - 2021

Cho M (n  2n 5)  (n 1)  2018 Chứng minh rằng M chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên

Do a1; ;a a1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab a 1 a1 chia hết cho 6

Tương tự : b 1; ;b b1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab b 1 b1 chia hết cho 6

Do vậy: A ab a  1 a1 ab b 1 b1 chia hết cho 6

Vì 21 39  1 20 21   38  21 37  1 5;39   21   1 40 39 20  39 19  1 5  

chia hết cho 5 (1)Mặt khác: 21 39  39 21 21 39  3 39  39 21  3 21  3 39  3 21

Cho a, b là các số tự nhiên không chia hết cho 5 Chứng minh rằng p a. 4mq b. 4m chia hết cho

5 khi và chỉ khi p q chia hết cho 5 (p, q, m thuộc N).

634 142 2 317 142 2 317 317 142 142

8241 ( 1) 8242 13 (8351) 1

Dạng 3 : Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết

Bài 1:

Tìm n Z để giá trị biểu thức A n 32n2 3n2 chia hết cho giá trị biểu thức B n 2 n

Lời giải Cách 1: Đặt phép chia ta được: n32n2 3n 2 (n3)(n2 n) 2

Từ (1)(2)  với mọi k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16.

Bài 10:HSG Huyện An Nhơn, năm 2016 - 2017

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho

2 2 2017.

Bài 11:HSG Thanh Chì, năm 2018 - 2019

Tìm số nguyên n sao cho n3 2018n 20202019 4

Lời giải

Ta có n3  2018nn3  n 2019n

chia hết cho 3

Ta có 20202019 4 chia 3 dư 2

Vậy không tìm được n

Bài 12:HSG Chí Linh Hải Dương, năm 2018 - 2019

Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn: 2014 2014  1

  3( trái với (*)) mâu thuẫn, suy ra điều giả sử là sai

Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn 2014 2014  1

+) n3k2 thì cũng không chia hết cho 9

Vậy n là bội số của 3 thì thỏa mãn bài toán

Bài 3:

Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của chúngcũng chia hết cho 3