ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ ANH MỘT SỐ DẠNG BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN DƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI[.]
Một số bài tập minh họa
Bài tập 1
Biểu diễn các số nguyên tố113; 229; 373thành tổng của hai bình phương. Hướng dẫn:
Bài tập 2
a) Có giả thuyết nói rằng tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng p n 2 + (n+ 1) 2 với số nguyên n nào đó, ví dụ: 5 = 1 2 + 2 2 ; 13 = 2 2 + 3 2 Tìm 5 số nguyên tố như vậy.
Hướng dẫn: 41 = 4 2 + 5 2 và một số số có tính chất tương tự như là:
61,113,181,313. b) Một giả thuyết khác là có vô số số nguyên tố p dạng p = 2 2 +p 2 1 , với p 1 là số nguyên tố Hãy tìm 5 số nguyên tố như vậy
Bài tập 3
Tìm một số nguyên dương có ít nhất ba cách biểu diễn khác nhau thành tổng của hai bình phương, không tính dấu và thứ tự số hạng.
Hướng dẫn: Chọn số nguyên có 3 thừa số nguyên tố phân biệt dạng4k+ 1.
Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng của nhiều hơn
nhiều hơn hai bình phương
Không phải mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương, nhưng liệu điều này có đúng với tổng của ba bình phương hay không? Chẳng hạn, các số như 14, 33 và 67 không thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương, nhưng chúng có thể được biểu diễn bằng tổng của ba bình phương, bao gồm cả số 0.
Có những số nguyên dương không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba bình phương Theo Định lý 1.3.1, không tồn tại số nguyên dương nào có dạng 4n(8m + 7) (với m, n là các số nguyên không âm) có khả năng biểu diễn thành tổng của ba bình phương.
Số nguyên có dạng 8m + 7 không thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba bình phương Đối với mọi số nguyên a, giá trị bình phương của a (a^2) chỉ có thể tương đương với 0, 1 hoặc 4 khi chia cho 8.
Suy ra a 2 +b 2 + c 2 ≡ 0,1,2,3,4,5 hoặc 6(mod8), với a, b, c bất kì Vì 8m+ 7 ≡ 7(mod8) nên đẳng thức a 2 +b 2 +c 2 = 8m+ 7 là không thể xảy ra.
Tiếp theo ta giả sử
4 n (8m+ 7) =a 2 +b 2 +c 2 (1.1) với n ≥ 1 Khi đó mỗi số nguyên a, b, c đều chẵn. Đặt
Nếu n − 1 ≥ 1, chúng ta tiếp tục lập luận cho đến khi chứng minh rằng 8m + 7 có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba bình phương Điều này dẫn đến mâu thuẫn với (1.1) Do đó, định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1.5 Không tồn tại a, b, c sao cho
Tuy nhiên 7 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 Vậy vấn đề thay đổi đáng kể khi ta chuyển sang biểu diễn số nguyên dương qua tổng bốn bình phương.
Vào năm 1621, Bachet đã đề xuất và kiểm nghiệm 325 giả thuyết cho rằng mọi số nguyên dương có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương, bao gồm cả 0 Đến năm 1772, Lagrange đã hoàn thiện và công bố lý thuyết về tổng của bốn bình phương Để thuận lợi cho việc chứng minh, chúng ta sẽ trình bày hai bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.1 Nếu các số nguyênm vàn đều là tổng của bốn bình phương thì tích m.n cũng biểu diễn được như vậy.
Bổ đề 1.3.2 Nếu p là một số nguyên tố lẻ, thì phương trình đồng dư x 2 +y 2 + 1 ≡ 0(modp) có nghiệm x 0 , y 0 trong đó 0 ≤ x 0 ≤ p−1
Tư tưởng chính của chứng minh là xét hai tập hợp sau:
Hiển nhiên, không có hai phần tử nào của tập S1 đồng dư theo modulo p Thật vậy, nếu 1 +x 2 1 ≡ 1 +x 2 2 (modp) thì x1 ≡ x2(modp) hoặc x 1 ≡ −x 2 (modp).
Trong trường hợp 0 < x1 + x2 < p (trừ trường hợp x1 = x2 = 0), ta có x1 ≡ x2 (mod p), dẫn đến x1 = x2 Tương tự, có thể chứng minh rằng trong S2 không tồn tại hai phần tử phân biệt đồng dư theo modulo p Do đó, tồn tại ít nhất một số nguyên trong S1 đồng dư theo modulo p với một số nguyên trong S2, tức là tồn tại x0, y0 sao cho.
Ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.1 Cho một số nguyên tố lẻ p, tồn tại một số nguyên k < p sao cho kp là tổng của bốn bình phương.
Theo định lý đã được chứng minh, ta có thể tìm được các số nguyên x 0 , y 0 với
2 sao cho x 2 0 +y 2 0 + 1 2 + 0 2 = kp với k chọn thích hợp Từ điều kiện về độ lớn của x 0 , y 0 suy ra rằng kp= x 2 0 +y 0 2 + 1 2 < p 2
Sử dụng hai bổ đề trên ta chứng minh định lý sau. Định lý 1.3.2 Mọi số nguyên tố p có thể viết thành tổng của bốn bình phương.
Với p = 2, định lý đúng vì 2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 Như vậy ta chỉ cần xét các số nguyên tố lẻ.
Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho kp là tổng của bốn bình phương, tức là: kp = x 2 +y 2 +z 2 +w 2 và mấu chốt của luận cứ này là khi k = 1.
Xét k chẵn suy ra x, y, w đều chẵn hoặc đều lẻ hoặc hai chẵn hai lẻ. Trong mọi trường hợp ta có thể giả sử: x≡ y(mod2) và z ≡ w(mod2).
2 đều là các số nguyên và kp
2 ) 2 là một cách biểu diễn của k
2p thành tổng của bốn bình phương Điều này mâu thuẫn với k nhỏ nhất vậy k lẻ.
Với k lẻ ta đi chứng minh k = 1.
Giả sử k ≥ 3, ta có thể chọn các số a, b, c, d sao cho: a≡ x(modk), b ≡ y(modk), c ≡ z(modk), d ≡ w(modk) và
Ta có: a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =x 2 +y 2 +z 2 +w 2 ≡ 0(modk), suy ra a 2 +b 2 +c 2 +d 2 = nk.
Với giá trị n nguyên không âm ta có:
Khi n = 0, các giá trị a, b, c, và d đều bằng 0, dẫn đến k là ước của x, y, z, và w, do đó k^2 không chia hết cho kp hoặc k|p Với điều kiện 1 < k < p và nk < k^2, ta có 0 < n < k Hơn nữa, k^2 np = (kp)(kn) = (x^2 + y^2 + z^2 + w^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = r^2 + s^2 + t^2 + u^2, trong đó r, s, t, và u được xác định từ các công thức liên quan đến x, y, z, w, a, b, c, và d.
Nhận thấy r = xa+yb+zc+wd≡ (a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) ≡ 0 (mod k) và s, t, u cũng vậy đều chia hết cho k nên suy ra np r k
Vì n là giá trị nguyên dương nhỏ hơn k (0 < n < k), nên n có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương Điều này dẫn đến kết luận rằng k = 1 Kết quả này tương ứng với định lý kinh điển của Lagrange, theo đó mọi số nguyên dương n đều có thể viết thành tổng của bốn bình phương, trong đó có thể bao gồm số 0.
Ta xét hai trường hợp của n như sau:
Đối với n > 1, ta có thể phân tích n thành tích của các số nguyên tố p1, p2, , pr Theo một định lý đã được chứng minh, mỗi số nguyên tố pi có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương Sử dụng đồng nhất thức của Euler, ta có thể biểu diễn tích của hai số nguyên tố bất kỳ thành tổng của bốn bình phương Bằng cách áp dụng quy nạp mở rộng cho một số hữu hạn các thừa số nguyên tố, ta có thể khẳng định rằng n cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương.
Ví dụ 1.6 Viết số 459 thành tổng của bốn bình phương?
Ta có 459 = 3 3 17 Dùng phép đồng nhất thức Euler thì:
Ví dụ 1.7 Chứng minh rằng phương trình a 2 +b 2 +c 2 +a+b+c = 1 không có nghiệm nguyên.
HD: Đưa phương trình về phương trình:
Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng các số hạng của một cấp số cộng
Trong bài viết này, chúng ta khám phá khả năng biểu diễn của các số nguyên dương và mối liên hệ giữa tính nhân và tính cộng của chúng Đặc biệt, chúng ta tập trung vào việc biểu diễn các số nguyên dương dưới dạng chuỗi số học Các dạng biểu diễn đơn giản nhất bao gồm tổng của các số lẻ dương liên tiếp, tổng của các số chẵn dương liên tiếp, và tổng của các số nguyên dương liên tiếp.
Lịch sử đã chỉ ra rằng sự phát triển của các con số tự nhiên bắt nguồn từ những tiến bộ trong số học và được biểu thị qua các hình dạng hình học, tất cả đều liên quan đến lý thuyết số ban đầu Cụ thể, các số tam giác được hình thành từ chuỗi 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, trong khi các số vuông được tạo ra từ chuỗi 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5.
Và dưới đây là nội dung biểu diễn số nguyên dương dưới dạng cấp số cộng.
Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp
tổng các số lẻ liên tiếp hoặc tổng các số chẵn liên tiếp
Cho a, a+ 2, a+ 4, , b là một cấp số cộng, với a, b là các số nguyên và công sai là 2.
Khi đó, một số nguyên dương N bất kỳ khác có thể được biểu diễn bằng chuỗi: a+ (a+ 2) + (a+ 4) + +b.
N = r(r + a - 1), với r là số nguyên dương Mọi số nguyên lớn hơn 1 có thể viết thành tích của hai số bất kỳ trong số ước bù nhau của nó, tức là N = d.d0 (với d là một trong các ước của N) Từ đó, ta có d.d0 = r(r + a - 1), với a ≥ 1 dẫn đến r + a - 1 ≥ r, suy ra d = r và d0 = r + a - 1 ≥ d Số hạng đầu tiên của chuỗi là a = d0 - d + 1 và số hạng cuối cùng là b = d0 + d - 1 Nếu N là số nguyên tố, thì nó có một cặp duy nhất các ước bù nhau d = 1, d0 = N, do đó a = b = N, và N không thể biểu diễn thành tổng của các số lẻ hoặc số chẵn liên tiếp.
Nếu N là hợp số, nó có ít nhất một ước d > 1, cho phép N được biểu diễn thành các tổng khác nhau Theo Định lý 2.1.1, số nguyên tố không thể được biểu diễn bằng tổng của các số dương lẻ hoặc chẵn liên tiếp Định lý 2.1.2 khẳng định rằng mọi số nguyên dương N có ít nhất một ước d > 1 có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi số học với d số nguyên dương và công sai là 2, với mỗi cặp ước bù 1 < d ≤ d0.
Nếu \( d_0 - d \) là chẵn, thì tổng (2.1) sẽ bao gồm \( d \) số dương lẻ liên tiếp Ngược lại, nếu \( d_0 - d \) là số lẻ, tổng này sẽ bao gồm \( d \) số chẵn dương liên tiếp Do đó, chúng ta có hai hệ quả quan trọng từ điều này.
Hệ quả 2.1.1 Nếu hai ước bù nhau bất kỳd, d 0 của một số nguyên dương
N có hiệu là số chẵn d 0 −d = 2(c− 1), với c là một số nguyên dương, thì N có thể được biểu diễn dưới dạng một tổng của d số lẻ dương liên tiếp.
Ví dụ 2.1 Số 120 được viết: 120 = 10.12 = 3 + 5 + + 21 (có 10 số hạng).
Số 187 = 11.17 = 7 + 9 + 11 + + 27 (có 11 số hạng). Đặc biệt Khi d = d 0 (c = 1), ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.1 Mọi số chính phương N = d 2 có thể được viết dưới dạng tổng của d số dương lẻ đầu tiên:
Số Tổng Số các số hạng
Hệ quả 2.1.2 Nếu bất kỳ hai ước bù nhaud, d 0 của một số nguyên dương
N có hiệu là một số lẻ, tức là d 0 − d = 2c− 1 với c là một số nguyên dương Thì N có thể biểu diễn được dưới dạng một tổng d số chẵn liên tiếp:
198 = 11.18 = 8 + 10 + 12 + + 28 (có 11 số hạng). Đặc biệt d 0 = d+ 1,(c = 1) ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.2 Mọi số nguyên dương có dạng N = d(d+ 1) có thể viết dưới dạng tổng của d số chẵn dương đầu tiên: Lấy
Định lý 2.1.2 chỉ ra rằng với d = 2, 3, 4, , 9, có thể xác định các số nguyên dương có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số lẻ hoặc số chẵn liên tiếp Hệ quả này giúp phân tích cấu trúc của các số và xác định xem tất cả các số hạng trong chuỗi biểu diễn là lẻ hay chẵn Một câu hỏi quan trọng đặt ra là liệu có tồn tại các số nguyên nào phù hợp với điều kiện này hay không.
Số Tổng Số các số hạng
Bảng 2 dương có thể được biểu diễn duy nhất thành tổng các số lẻ hoặc tổng các số chẵn liên tiếp Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét các dạng số đặc biệt và cách chúng có thể được biểu diễn Chúng ta bắt đầu với các biểu diễn chuỗi của lũy thừa của các số nguyên tố riêng biệt, khi có một thứ tự của các cặp ước số bù nhau, từ đó dẫn đến mệnh đề quan trọng sau đây.
Mệnh đề 2.1.3 Các số có dạng p (n+1) , trong đó p là số nguyên tố bất kỳ và n là một số nguyên dương, có thể được biểu diễn duy nhất thành n+ 1
2 tổng của p k các số dương lẻ liên tiếp, trong đó k 1,2, , n+ 1
, với bxc là kí hiệu cho số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Vì vậy đối với mỗi k chúng ta có: p (n+1) = (p (n−k+1) −p k + 1) + (p (n−k+1) −p k + 3) + + (p (n−k+1) +p k −1)
2 4 = 7 + 9 (2 số hạng) hay 2 4 = 1 + 3 + 5 + 7 (2 2 số hạng);
3 5 = 79 + 81 + 83 (3 số hạng) hay 3 5 = 19 + 21 + 23 + + 35 (3 2 số hạng).
Các trường hợp cụ thể của Mệnh đề 2.1.3.
Mệnh đề 2.1.3 (a) khẳng định rằng không có số nguyên tố nào khi nâng lên lũy thừa lẻ có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng của các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1 hoặc là tổng của các số dương chẵn bắt đầu từ 2.
Mỗi số hạng trong (2.5) là lẻ, do đó mỗi biểu diễn chuỗi của p (n+1) là một chuỗi lẻ Hơn nữa, nếu n + 1 là lẻ thì 2k(n+ 1) và p (n−k+1) > p k
Do đó số hạng đầu tiên trong mỗi chuỗi là lớn hơn 2.
Mệnh đề 2.1.3 (b) Mọi số nguyên tố được nâng lên một lũy thừa chẵn có thể được viết thành một tổng các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Và tiếp theo ta tìm hiểu về biểu diễn chuỗi của các hợp số Đối với trường hợp các số lẻ ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.4 Mỗi hợp số dương lẻ có thể biểu diễn được thành tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Xét một hợp số dương lẻ có dạng nguyên tố p1, p2, , pk Trong đó p1, p2, , pk là các số nguyên tố lẻ, không nhất thiết phân biệt sao cho: p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ ≤ p k
Tất cả các ước số của số này là lẻ, và hai ước bù nhau d, d0 khác nhau bởi một số chẵn đơn vị, với tất cả các số hạng trong biểu diễn chuỗi đều là số lẻ Hơn nữa, trong tất cả các cặp có thể d, d0, tồn tại ít nhất một cặp mà 1 < d ≤ d0 Do đó, các hợp số lẻ có thể được biểu diễn thành ít nhất một tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Mệnh đề 2.1.4 được minh họa thông qua bảng 3, trong đó liệt kê tất cả các biểu diễn chuỗi của các hợp số p1p2, (p1p2)² và (p1p3)³ dưới dạng tổng của các số nguyên dương lẻ liên tiếp Ở đây, p1 và p2 là các số nguyên lẻ bất kỳ với điều kiện p1 < p2 Đặc biệt, biểu diễn chuỗi của số (p1p2)², với p1p2 số hạng, cũng có thể được viết theo cách khác.
N 2 = 1 + 3 + 5 + + (2N −1), với N = p 1 p 2 Tương tự biểu diễn chuỗi số của (p 1 p 2 ) 3 trong đó bao gồm p 1 p 2 số hạng, cũng có thể viết thành:
Các biểu diễn chuỗi của hợp số lẻ nâng lên lũy thừa lớn hơn 1 không bị ảnh hưởng bởi dạng phân tích thừa số nguyên tố của chúng Quan sát này dẫn đến một mệnh đề quan trọng.
Mệnh đề 2.1.4’ Số có dạng N (n+1) trong đó N là số lẻ lớn hơn 1 và n là một số nguyên dương, có thể được biểu diễn không duy nhất thành n+ 1
2 tổng củaN k số dương lẻ liên tiếp Như vậy đối vớik = 1,2,3, ,
Số Tổng Số các số hạng p 1 p 2 (p 2 − p 1 + 1) + (p 2 − p 1 + 3) + + (p 2 − p 1 − 1) p 1
(2.6) Các số có dạng N (n+1) trong đó N là số lẻ, luôn luôn có thể tách thành nhân tử d = N k , d 0 = N (n−k+1) với 2k ≤ n+ 1 Do đó ta suy ra (2.6).
Từ Định lý 2.1.2 rõ ràng nếu N là số nguyên tố thì (2.6) trở thành (2.5).
Với số mũ của N là số lẻ hay chẵn, chúng ta có các mệnh đề sau đây:
Không tồn tại số nào có dạng N (2n+1), với N là số lẻ lớn hơn 1 và n là số nguyên dương, có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số dương lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Cho n −→ 2n, rõ ràng trong (2.6) 2k < 2n + 1 Do đó mỗi số hạng trong các biểu diễn chuỗi N (2n+1) lớn hơn 1.
Mệnh đề 2.1.4’ (b) Mọi số hạng có dạng N 2n , trong đó N là một số lẻ lớn hơn 1 và n là một số nguyên dương có thể viết thành tổng của
N n các số dương lẻ đầu tiên.
Ví dụ 2.4 Số 15 4 có 12 ước d như vậy 1 < d ≤ d 0
Số 15 có thể biểu diễn thành 12 tổng của các số lẻ dương liên tiếp, với các nhân tử nguyên tố không ghi vào hai trong số các tổng này (d = 3.5, 3 2 5 2) Đối với d = 3 2 5 2, số 15 4 có thể được viết thành tổng của 15 2 số lẻ dương đầu tiên Ngoài ra, số 15 5 cũng có thể được biểu diễn bởi hai tổng không phụ thuộc và nhân tử nguyên tố của nó, nhưng không tổng nào bắt đầu từ 1.
Kết quả cho thấy rằng các hợp số dương lẻ và số chẵn có dạng 2(n+1), với n là một số nguyên dương, có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của các số dương lẻ liên tiếp Cụ thể, các tích của các số nguyên tố chẵn (lũy thừa của 2 lớn hơn 1) và các tích của các số nguyên tố lẻ cũng có thể được diễn đạt duy nhất thành tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Từ định lý 2.1.3, chúng ta có thể khẳng định rằng tất cả các hợp số dương lẻ và mọi số chẵn đều có thể được biểu diễn dưới dạng 2(n+1), trong đó n là một số nguyên dương Điều này cho thấy rằng những số này có thể được tạo thành từ tổng của các số dương lẻ liên tiếp.
Biểu diễn duy nhất thành tổng các số dương chẵn liên tiếp áp dụng cho tất cả các số nguyên dương, trong đó hiệu của bất kỳ hai ước số bù nhau là lẻ Các ước số của những số này không thể hoàn toàn là số lẻ và chỉ có thể có một số chẵn Do đó, nhân tố nguyên tố của các số này bao gồm một số nguyên tố chẵn duy nhất và một tích của các số nguyên tố lẻ.
Theo định lý 2.1.4, các số chẵn có dạng 2(2m + 1) với m là số nguyên dương có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của các số dương chẵn liên tiếp.
Những số nguyên dương biểu diễn được dưới dạng tổng các số nguyên dương liên tiếp
tổng các số nguyên dương liên tiếp
Cho a, a+ 1, a+ 2, , b là một chuỗi của r số nguyên dương liên tiếp. Khi đó, một số nguyên dương N bất kỳ có thể biểu diễn được thành chuỗi a+ (a+ 1) + (a+ 2) + +b nếu N = 1
Mặt khác, N luôn có thể được viết thành N = d.d 0 , trong đó d, d 0 là ước của N Do đó chúng ta có:
Vì a > 1 nên r(2a+ 1) > r Hơn nữa vì r và r+ 2a−1 có tính chẵn lẻ khác nhau, nên có ít nhất một trong các ước d, d 0 phải lẻ.
Với d = 1, r = 2 và d0 = 2a + 1 phải là số lẻ, ta có thể đưa ra định lý sau: Định lý 2.2.1 khẳng định rằng không tồn tại số nào có dạng 2(n−1), với n là số nguyên dương, có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên dương liên tiếp.
Mệnh đề 2.2.1 (a) Mọi số dương lẻ đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên dương liên tiếp.
Các số nguyên tố lẻ có thể được biểu diễn độc lập như một tổng của hai số nguyên dương liên tiếp Đối với mọi số nguyên tố lẻ p, ta có thể viết p = p - 1.
2 đối với bất kỳ cặp các ước bù nhau cho trước d và d 0 của một số tự nhiên N trong đó d là số lẻ d > 1 có thể xảy ra d < 2d 0 hoặc d > 2d 0
Nếu d < 2d 0 thì r = d và r+ 2a−1 = 2d 0 từ đó suy ra
2 Nếu d > 2d 0 thì r = 2d 0 và r+ 2a−1 = d từ đó suy ra
Định lý 2.2.2 khẳng định rằng mỗi số tự nhiên N đều có ít nhất một ước lẻ d lớn hơn 1, và ước này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số nguyên liên tiếp.
Như vậy đối với mỗi ước lẻ d > 1 của N = d.d 0 , N được viết như sau:
Với N = p[d = p, d 0 = 1], Định lý 2.2.2 quy về Mệnh đề 2.2.1 và các chuỗi (2.7), (2.8) tương ứng bao gồm d và 2d số nguyên dương.
Và số hạng đầu tiên trong biểu diễn chuổi của N là 1 Và chúng ta có các phát biểu sau:
Hệ quả 2.2.1 Mỗi số tự nhiên có dạng n(n+ 1)
2 , có thể biểu diễn thành tổng của n số nguyên dương đầu tiên. n(n+ 1)
2 = 1 + 2 + 3 + +n (2.9) Bảng 8 biểu thị các số như vậy. n Số Tổng
Theo Định lý 2.2.2, mọi số tự nhiên không có dạng 2^(n−1) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số nguyên dương liên tiếp Định lý 2.2.1 cung cấp các điều kiện cần thiết để đạt được tất cả các biểu diễn này cho bất kỳ số tự nhiên nào.
Mỗi số tự nhiên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số lẻ hoặc chẵn các số nguyên dương liên tiếp Cụ thể, Định lý 2.2.2 được chia thành ba phần, trong đó phần (a) chỉ ra rằng tất cả các số chẵn có dạng 2n(2m + 1) với điều kiện 2m + 1 < 2(n + 1) đều có thể được biểu diễn độc lập như là tổng của một số lẻ các số nguyên dương liên tiếp, với m và n là các số nguyên dương.
Một số tự nhiên N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số lẻ các số nguyên dương liên tiếp nếu d < 2d0 với mọi cặp ước bù nhau d, d0 và d lẻ d > 1 Điều này chỉ áp dụng cho N chẵn, và các tích của tất cả các thừa số nguyên tố lẻ của N phải nhỏ hơn hai lần tích của tất cả các thừa số nguyên tố chẵn Khi phân tích N thành thừa số nguyên tố dưới dạng 2^n = p1p2 pl, với n là số nguyên dương và p1p2 pl < 2.2^n, có thể thấy rằng các tích bất kỳ của các số nguyên tố này sẽ nhỏ hơn 2^(n+1) Do đó, tất cả các biểu diễn chuỗi của N được suy ra từ mối quan hệ này.
Với mọi ước lẻ d > 1 sao cho d < 2d 0
Một minh họa được liệt kê trong bảng 9. m n ≥ N = 2 n (2m + 1) Tổng Số các số hạng
Biểu diễn chuỗi của các số chẵn thấp nhất có thứ tự (nhỏ nhất n) cho m = 1,2,3, ,10.
Tất cả các biểu diễn chuỗi có thể của một số N = 2^n (2m + 1) phụ thuộc vào số ước nhân tử 2m + 1 Đặc biệt, khi m là số nguyên tố, sự biểu diễn N sẽ là duy nhất.
Số chẵn có thể được biểu diễn dưới dạng 2^n * p, với n là số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ bất kỳ, thỏa mãn điều kiện p < 2^(n+1) Điều này cho phép số chẵn được phân tách thành tổng của p số nguyên dương liên tiếp một cách độc lập.
Và (2.9) trở thành tổng của p các số nguyên dương đầu tiên Do đó chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.2 (b) nêu rằng những số N = 2^n p, với N là số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ bất kỳ, thỏa mãn điều kiện p + 1 = 2^(n+1), có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của p số nguyên dương đầu tiên.
Trong bảng 10 chúng tôi liệt kê 5 số đầu tiên và số biểu diễn của chúng. n N = 2 (n+1) − 1 N = 2 n p Tổng
Dễ dàng thấy số N = 2 n p của Mệnh đề 2.2.2.a là đúng, tức là chúng đều bằng tổng của các ước số riêng.
Thật vậy tổng này là:
Công thức (1 + 2 + 2^2 + + 2^n)(p + 1) - N = (2^(n+1) - 1)2^(n+1) - N = 2N - N = N cho thấy mối liên hệ giữa các số N = 2^n.p với p < 2^(n+1) - 1 Những số này là thừa, tức là chúng nhỏ hơn tổng số các ước số riêng của chúng Thực tế, tổng cuối trở thành N + (2^(n+1) - p - 1) > N, khẳng định rằng các số thừa cũng là số.
Biểu diễn chuỗi số 2n(2m+1) với điều kiện 2m+1 không phải là số nguyên tố và 2m+1 < 2n, cho thấy rằng số lượng lớn nhất của cặp ước bù nhau d = 2m+1, d0 = 2n, dẫn đến mệnh đề quan trọng trong nghiên cứu số học.
Mệnh đề 2.2.3 (a) Mọi số hạng 2 n (2m+ 1), với 2m + 1 < 2 (n+1) và m, n là các số nguyên dương có thể được viết thành tổng của 2m+ 1 số nguyên dương liên tiếp như sau:
Rõ ràng Mệnh đề 2.2.3(a) quy về Mệnh đề 2.2.2(a) nếu 2m + 1 là số nguyên tố, số hạng đầu tiên trong (2.10) bằng 1 với m = 2 n − 1 do đó ta có:
Mệnh đề 2.2.3(b) khẳng định rằng mọi số có dạng 2^n (2^(n+1) - 1) là số nguyên dương có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của 2^(n+1) - 1 số nguyên dương đầu tiên Nếu 2^(n+1) - 1 là số nguyên tố, thì mệnh đề này tương đương với Mệnh đề 2.2.2(b) Bảng 11 trình bày 5 số đầu tiên có dạng 2^n (2^(n+1) - 1), trong đó 2^(n+1) - 1 là hợp số, cùng với cách biểu diễn của chúng thành tổng của các số nguyên dương liên tiếp.
Bảng 11 Định lý 2.2.2 (b) khẳng định rằng số chẵn của các số nguyên dương liên tiếp có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng 2(n−1) p, với n là số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ bất kỳ lớn hơn 2n Chuỗi biểu diễn này là duy nhất.
Một số tự nhiên N có thể được biểu diễn thành tổng của một số chẵn các số nguyên dương liên tiếp nếu d > 2d0, với mọi cặp ước bù nhau d, d0, trong đó d > 1 và lẻ Phân tích N thành thừa số nguyên tố theo dạng 2^m * p1 * p2 * * pl, với m, l là các số nguyên dương và p1, p2, , pl là các số nguyên tố lẻ không nhất thiết khác nhau Nếu d > 2d0 với cặp ước d, d0, thì số nguyên l = 1, cho thấy N chứa một thừa số nguyên tố lẻ Trong trường hợp l = 2, N sẽ có dạng 2^m * p1 * p2, dẫn đến hai cặp ước bổ sung d = p1, d0 = 2^m * p2 và d = p2, d0 = 2^m * p1, thỏa mãn các điều kiện đã nêu.
Theo định lý, với N = 2^m p và p > 2^(m+1), điều này dẫn đến mâu thuẫn Mọi số nguyên tố lẻ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên dương liên tiếp, và số nguyên m có thể bằng không Các số có thể biểu diễn thành tổng của một số chẵn các số nguyên dương liên tiếp có dạng 2^n−1 p, với p > 2^n Vì những số này chỉ có một ước lẻ, nên chúng có một biểu diễn tỏng chẵn duy nhất Minh họa cho định lý này, bảng 12 trình bày các số thứ tự thấp nhất tương ứng với các số nguyên tố nhỏ nhất vượt quá 2^n.
Với p = 2 n + 1 (2.11) trở thành tổng của p− 1 số nguyên dương đầu tiên, do đó chúng tôi có thể phát biểu mệnh đề sau: