Kỹ thuật đánh giá thuật toán

Kỹ thuật đánh giá thuật toán Nội dung: 1. Công cụ sơ cấp 2. Hàm sinh 3. Nhóm Hoán vị 4. Định lý Master Phép toán chủ yếu trong các đoạn mã là phép gán và so sánh. Phƣơng pháp này không giải quyết đƣợc hết các trƣờng hợp tổng quát

C HƯƠNG 2

1

sum = sum +i*j;

sum = sum +i*j;

n P

Gan n

1 1 1

2 2

2

2 2

2

) ( 1

i i

i

2

1)(

20

2 2

2

2 2

2

2

n i

khi n

i

n i

khi

n i

khi i

n i

n i

n i

n

n i

n

n i

i n

i

i

i n

n

n i

n n

12

22

12

22

2

22

2

2

41

12

22

2

22

1

12

22

2

n

n n

n n

n

i n

n n

n

n

n i

(thể hiện rõ ràng trong đoạn mã)

 Loại 2: Số lần lặp không tường minh

 Có thể tính toán xác định Ví dụ: Tổng n số nguyên

 Biến ngẫu nhiên phụ thuộc dữ liệu nhập Ví dụ: Tìm số lớn nhất

11

 Vòng lặp trong số vòng lặp khôngxác định một cách hiển nhiên

 Không phụ thuộc vào dữ liệu ngẫu nhiên

 Rẽ nhánh phụ thuộc tính ngẫu nhiên

 Dùng xác xuất

15

B ÀI T ẬP

 2.1.1 Tính số phép so sánh của ví dụ trong slide 5

Từ đó xác định thời gian thực hiện của thuật toán đó.

 2.1.2 Xác định thời gian thực thi của đoạn mã sau:

17

sum = 0;

i = 1;

while (i ≤ n) {

j = i;

while ( j > 0 ) {

N ỘI DUNG

 1 Công cụ sơ cấp

 2 Hàm sinh (Generating function)

 2.1 Giới thiệu về hàm sinh

n

nz a z

z a z

f

n

n n

  an n0  f ( z )

0

0 1

,

0 , 0

,

1

0

0

0 0

,

0 , 0

z z

1 1

,

1 , 1

z

1 1

1

0

n a

a

a

n n

n

n

n z a z

f

n n n

n

a z

z zf

1

2

7 )

(

k

k k

k

k

a z

1 )

7 2

1 )

(

1

0 0

7 2

1 )

zf

7 )

( 2

1 )

z f

z zf

7 )

( 2

1 )

z

a z

f z

7 2

1 )

( 2

1

0

z

a z

f z

z

1

1 2

7 3

)

( 2

1

z f

z z

z

z f

z z

z

z f

z

z f z

2

8 )

(

1 2

2 1

1 7

1 2

6 )

(

1 2

1

7 1

2

6 )

(

1 2

7 3

)

( 2

1 2

2 H ÀM SINH

2.1 GIỚI THIỆU VỀ HÀM SINH

 Ví dụ: Xác định hàm sinh của dãy sau:

) ( )

1 (

7 )

0 (

n n

n T n

T T

2 H ÀM SINH

2.2 TÍNH CHẤT CỦA HÀM SINH

 F(z) là hàm sinh của dãy {an} có bán kính hội tụ là R1

 G(z) là hàm sinh của dãy {bn} có bán kính hội tụ là R2

1 0

2

2

1 0 0

1

1

0 0

0

n

k n k

c

b a b

a b

a

c

b a b

3 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1

(

1 )

z H

G

1 2

1 3

1 )

2 H ÀM SINH

2.3 HÀM SINH CỦA DÃY PHÂN BỐ XÁC SUẤT

 Tính chất hàm sinh của dãy phân bố xác xuất

 Định lý:

a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

(trong đó G là hàm sinh tương ứng với X)

0

G np

Mean G

1 ( '' )

)

11 6

1 9 2

1 4 3

1 )

(

6

11 2

1 1 3 1

2 2

0 2

n X

Var

np X

1 ( ' [ ) 1 ( ' )

1 ( ' )

(

1 ) ( '

6

11 )

1 ( '

2

1 3

1 ) ( ' 6

1 2

1 3

1 ) (

2

2 3

G X

Var

z z

G

G X

z z

z G z

z z

z G

và F(z) là hàm sinh của dãy {rn} đƣợc xác định nhƣ sau:

35

) (

) (

) (

) (

) (

) (

H Var

G Var

F Var

H Mean

G Mean F

1 1

0 0 0

n

k n k

n p q r

q p q

p r

q p r

3 4

1 2

1 4

1 3

3

2 )

F

2 )

(

1

z z

3

1 3

,3

1,32

1 4

1 )

4

1 2

1 4

,4

1,2

1,41

2 H ÀM SINH

2.3 HÀM SINH CỦA DÃY PHÂN BỐ XÁC SUẤT

nên là hàm sinh của dãy xác suất

 Mean(F) = Mean(F1)+Mean(F2)+Mean(F3)

3 )

8

5 8

,8

5,0,0

,83

n

nz a z

a a p

( n là biến ngẫu nhiên  {0, …, n-1})

1



n



1

)

| (

1 1

)

| (

1

)

| (

) (

)

| (

).

( )

(

1 1

M k

P n

M k

P n p

M k

P M P M

k P

M P k

P

k n k

n nk

n n

nk

n n

1 0

1 0

1

1 1

1 1 0

1

1 1

1 0

1

0 0

1 1

1 1

1

1 1

1

n k

k k n k

k

k n n

k

k k n k

k

k n n

k k

k n k

n n

k k

nk n

k k

nk n

p z

p n

z

p n

z p

z

p n

z

p n

p

z

p n

p n p

z p p

z p z

G

0 1 0

1 0

1 0

1 1

1 1

n n

n k

k k n k

k

k n n

n

p z

G n

z

G n

z p

p z

p n

z

p n

z p

10

1 0

n

P p

n n

n n





1 1

1

1

1 1

1 1

1

1 1

1

1 1

1 1

0 1 1

1 0

G n

n z

z

G n

z

G n z

n n

z

G n

z

G n

z n

p z

G n

z

G n

z p

z

G

n

n n

n n

n n

n n

n

n

z z

G n

n

z z

G

z G

z

z z

G

z z

G

z G

z z

G

n

1 2

3

1 2

2

1

1

2 1

1

2

1 3

1 3

2 2 1

2 2

1

1 )

1 ( '

 3.2 Phần tử cực đại bên phải

 3.3 Ứng dụng phân tích các thuật toán sắp xếp

 4 Định lý Master

49

31

321

Xét hoán vị  = (5 9 1 8 2 6 4 7 3)Bảng nghịch thế = (2 3 6 4 0 2 2 1 0)

b I

1



 nN, b1, b2, …, bn là dãy thỏa điều kiện 0  bi  n-i, i=1, 2,

, n thì luôn có duy nhất một hoán vị  sao cho bảng nghịch thế

của  là b1, b2, …, bn

Ví dụ: Xét b = (2 3 0 0 0) Hãy viết hoán vị  có 5 phần tử

53

 nN, b1, b2, …, bn là dãy thỏa điều kiện 0  bi  n-i, i=1, 2,

, n thì luôn có duy nhất một hoán vị  sao cho bảng nghịch thế

3 N HÓM HOÁN VỊ

3.2 PHẦN TỬ CỰC ĐẠI BÊN PHẢI

 Định nghĩa

 Cho hoán vị  của tập S = {1, 2, 3, …, n} Phần tử j  S đƣợc

gọi là phần tử cực đại bên phải nếu nó lớn hơn tất cả các phần

tử nằm ở bên phải nó

 Ví dụ:  = (5 7 3 2 6 1 4)

7, 6, 4 là phần tử cực đại bên phải

55

3 N HÓM HOÁN VỊ

3.2 PHẦN TỬ CỰC ĐẠI BÊN PHẢI

 Mệnh đề

 Cho hoán vị  của tập S = {1, 2, 3, …, n} Nếu j  S là phần tử

cực đại bên phải thì bj = n – j

 Gọi M là tổng số các phần tử cực đại bên phải của một hoán vị

 thì giá trị trung bình của M là và Hn = O(logn)

3 N HÓM HOÁN VỊ

3.3 ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH CÁC THUẬT TOÁN SẮP XẾP

 Xét bài toán sắp xếp mảng R[0], R[1], …, R[n-1] với các

khóa tương ứng là R[0].key, R[1].key, …, R[n-1].key.

 Giả sử các khóa khác nhau từng đôi một

57

3 N HÓM HOÁN VỊ

3.3 ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH CÁC THUẬT TOÁN SẮP XẾP

 Sắp xếp bằng cách đếm

 Sử dụng một mảng tạm Count[0], Count[1], …, Count[n-1]

với Count[i] = số phần tử trong mảng R có khóa nhỏ hơn R[i].key

CHÈN TRỰC TIẾP – INSERTION SORT

 Cho dãy số :

i=1

i=2

CHÈN TRỰC TIẾP – INSERTION SORT

CHÈN TRỰC TIẾP – INSERTION SORT

i=6

i=7

R[pos+1] = R[pos];

pos ;

} R[pos+1] = x];

}

  = số nghịch thế

) ( n O nlogb a

) ( )

( n O nc

a b

c

c n

O n

f ( )  ( ) ,  log

0 ,

log ,

) log (

) ( n  O n c  k 

) log

( )

( n O n 1 n

a b

c

c n

O n

f ( )  ( ) ,  log

4 Đ ỊNH L Ý M ASTER

 Định lý Master dùng để tính độ phức tạp của các thuật toán chia để trị Các thuật toán này thường chuyển bài toán lớn về các bài toán nhỏ rồi kết hợp lời giải các bài toán nhỏ để tạo ra kết quả của bài toán ban đầu

 Bài toán lớn được chia ra thành a bài toán có kích

thước n/b để giải rồi dùng f(n) phép tính để kết hợp lời giải các bài toán con lại

67

( 8 )

T ) 10

2

( 2 )

 n n  O  n n  O  n n 

O n

T ( )  loga b logk1  1 log1  log

2

) 2

( 2 )

( n T n n

) ( n O n O n

T  c 

ĐỆ QUI VÀ ĐÁNH GIÁ

69

P HÂN TÍCH C HƯƠNG TRÌNH ĐỆ QUI

 Để phân tích chương trình đệ qui ta cần:

 Thành lập phương trình đệ qui

 Giải phương trình đệ qui, nghiệm của pt đệ qui sẽ là

thời gian thực hiện chương trình

70

A

T HÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỆ QUI

 PT đệ qui là mối quan hệ giữa T(n) và T(k), với

T(n) và T(k) là thời gian thực hiện chương trình có

kích thước dữ liệu là n, k

 Trường hợp dừng: thời gian thực hiện là C(n)

 Gọi đệ qui  Có bao nhiêu lời gọi đệ qui có kích thước

k ta sẽ có bấy nhiêu T(k)

 Ngoài ra, thời gian để tổng hợp bài toán f(n)

72

T HÀNH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐỆ QUI

 Dạng tổng quát của phương trình đệ qui

 C(n): thời gian thực hiện chương trình trong th dừng

( (

)

( )

(

n f k

T g

n

C n

T

0)

(

2

1

n khi C

n T

n khi

C n

T

0)

(

2

1

n khi C

n T

n khi

C n

T