Các chuyên đề số học bồi dưỡng hsg thcs (1)

Môc lôc Trang Chủ đề 1 Các bài toán về chia hết Chủ đề 2 Các bài toán về đồng dư thức Chủ đề 3 Các bài toán về số nguyên tố Chủ đề 4 Các bài toán về số chính phương Chủ đề 5 Cá

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Môc lôc

Trang

Chủ đề 1 Các bài toán về chia hết

Chủ đề 2 Các bài toán về đồng dư thức

Chủ đề 3 Các bài toán về số nguyên tố

Chủ đề 4 Các bài toán về số chính phương

Chủ đề 5 Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên

Trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư

Khi a chia cho b có thể xảy ra b số dư, r∈{0;1;2; ;b}

Đặc biệt r= ⇒ =0 a bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a

+ +

Vậy 2 4 1

2 n+ +  với 7 11 n∈(dfcm)

Bài 1.CMR v ới mọi n ∈ và n là số tự nhiên lẻ ta có * 2 2

Bài 8.Tìm n∈sao cho n3 −8n2 +2n n 2 +1

Bài 9 Ch ứng minh A n( )=16n −15n− 1 225v ới mọi n ∈ *

Bài 10.Ch ứng minh rằng số được lập thành bởi 3n ch ữ số giống nhau thì chia hết cho

3n v ới n là số nguyên dương

BÀI GI ẢI TỪ BÀI 01 ĐẾN BÀI 10

Bài 1 Với n= ⇒1 (m+1)(m−  (vì 1 8) m+1;m− là hai s1 ố chẵn liên tiếp nên tích

của chúng chia hết cho 8)

⇒ ∈ − mà n=-2 không thỏa mãn Vậy n∈ −{ 8;0;2}

Bài 9.Với n =1n= ⇒1 A n( )=225 225 ,vậy n=1đúng

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11.Bi ết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5 Chứng minh

A= H ỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao ?

Bài 15.T ổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không ? Vì sao ?

a) Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2

b) Tích c ủa 3số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20

Bài 11.G ọi số đã cho là a

Ta có: a và 5a khi chia cho 9 có cùng một số dư

Thay vào (1) suy ra a=3,b= 6

Bài 14.Có 1980=2 3 5.112 2 , vì 2 chữ số tận cùng của alà 80 chia hết cho 4 và 5

Tổng của 2 số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ nên không chia hết cho 2

Có 46 số tự nhiên liên tiếp nên có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ nên tổng 23 cặp

không chia hết cho 2 Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46

a) Trong hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn nên số đó chia hết cho 2

Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên

liên tiếp cũng chia hết cho 2

b) Trong 3 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3

Nên tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, kết hợp vs ý a

Ta có tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

Với k ≥2nên k −2,k −1,k +1,klà 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số có 1 số chia hết

cho 2 và 1 số chia hết cho 4⇒(k −2)(k −1)(k +1)k 8

T ừ bài 26, mục pp3: xét tập hợp số dư trong phép chia

Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là n n, +1,n+2, ,n+1989 1( ), trong 1000 số tự

nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0 ,khi đó n0có tận cùng là 3 chữ số 0

( )

( ) ( ) ( )

Bài 37.CMR n4−4n3−4n2 +16 384n với mọi n chẵn, n≥4

Bài 38.CMR :v ới mọi n l ẻ thì :

N = kp− p− k∈ đều chia hết cho p

Bài 36 Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là n−1; ;n n+ Ta có : 1

Bài 40 Giả sử 1900số tự nhiên liên tiếp là ;n n+1;n+2; ;n+1989(1)

Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp ;n n+1;n+2; ;n+999

Có 1 số chia hết cho 1000,giả sử n0, khi đó n0có tận cùng là 3 chữ số 0 Giả sử tổng

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 41 ĐẾN BÀI 50

Bài 41.CMR n2 +3n+ 5 121v ới mọi n∈

Bài 42.CMR v ới mọi n∈

n + n+ không chia h ết cho 8, với mọi số n l ẻ

Bài 46.V ới những số nguyên nào của x(0 ≤ ≤x 9)thì các s ố  44 4

xx x

đồng thời là tích của hai số tự nhiên liên tiếp với mọi số tự nhiên n

Bài 47.Tìm s ố tự nhiên n thỏa mãn n+S n( ) = 94với S n( )là tổng các chữ số của n

Ta thấy 1 trong 2 thừa số nvà 7n +1 là số chẵn Nên A( )n  Ta chứng minh 2 A( )n  3

Lấy nchia cho 3 ta được n=3k +1(k∈ với ) r∈{0;1;2}

Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì 2 2 2

a +b +c chia cho 5 dư 1 hoặc 4 nên 2 2

A(n) bằng tổng của ba hạng tử, trong đó hai hạng tử đầu đều chia hết cho 8, duy chỉ có

hạng tử 2 không chia hết cho 8 Vậy A(n) không chia hết cho 8

Bài 46.Phương pháp quy nạp

Với n= 1, hai số 4xvà 1xđồng thời là tích của hai số tự nhiên liên tiếp chỉ với

 cũng là tích của hai số tự nhiên liên tiếp với mọi n≥ 1khi x=2

Bài 47.Vì n+S n( )= 94nên n< 94,do đó n có hai chữ số , suy ra S n( )≤ 18

Giả sử tồn tại n≥ 1,n∈  *sao cho n2−  1 n

Gọi d là UCLN khác 1 của n⇒ ∈d ( )p , theo định lý Fermat ta có :

3 n− 2 nchia hết cho 35 với mọi n∈N

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 51 ĐẾN BÀI 60

Bài 51.Ch ứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức

Bài 53.Ch ứng minh rằng trong 12 số tự nhiên bất kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số

sao cho khi ghép chúng l ại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho 11

Bài 54.Ch ứng minh rằng với mọi số nguyên n, số 3

A= n + n chia h ết cho 18

Bài 55.Bi ết a,b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2

a −ab b+ chia h ết cho 9, chứng minh

r ằng cả a và b đều chia hết cho 3

Bài 56.Tìm t ất cả các số nguyên dương n sao cho 9n+ 11là tích c ủa k (k∈  ,k≥ 2)s ố tự

nhiên liên tiếp

Bài 57

a) Ch ứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt tồn tại 4 số có tổng

là h ợp số

b) B ạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1,2,3,….2018 rồi viết ra 2018 số dư tương

ứng, sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1,2,3,…,2019 rồi viết ra 2019 số dư tương

ứng Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu

Bài 58.Ch ứng minh rằng tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ không thể

bằng 2019

Bài 59 Với mỗi số thực x,ta định nghĩa phần nguyên của x,ký hiệu [ ]x là số nguyên

lớn nhất không vượt quá xHãy tìm phần nguyên của:

Bài 60.a) Ch ứng minh rằng : 3

A=a − a+ luôn chia h ết cho 6 với mọi số a∈ 

b) Ch ứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương

Khi ghép chúng cạnh nhau ta được số có sáu chữ số abcmnp

Với mọi số nguyên n, (n− 1) (n n+ + 1) 6nchia hết cho 6

Vậy A=  − 3(n 1) (n n+ + 1) 6nchia hết cho 18

Vậy cả a và b đều chia hết cho 3

Bài 56.Ta có tích từ ba số tự nhiên liên tiếp trở lên thì chia hết cho 3

Theo đề bài 9n+ 11là tích k số tự nhiên liên tiếp mà 9n+ 11không chia hết cho 3 nên

Ta có a,b,c có cùng một cặp là số lẻ nên hiệu và tổng của hai số lẻ đó chia hết cho 2

Ta có a,b,c có một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của hai số lẻ chia hết cho 2

Hai trường hợp đầu có ba cặp số thỏa mãn đề bài Hai trường hợp cuối có 1 cặp số

thỏa mãn đề bài Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên

là hợp số

Áp dụng quy tắc số dư ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0;1;2;3;4 Xét

các trường hợp sau :

+Cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4); (0,1,4,2);, (0;4;2;3), (1;2;3;4) bao giờ

cũng có ít nhất một cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2 3 + )nên tổng 1 cặp số đó chia hết

cho 5 Với nhóm có số dư (1,2,3,4) nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5 Với nhóm

số dư (1,2,3,4) nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5

+Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đôi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5

+Cả 2 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của hai cặp số đó bằng 0 nên chia hết cho 5

+Cả 1 cặp số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 nên chia hết cho 5

Vậy ít nhất cũng chọn ra một cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5 Hay

trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số

b) Gọi T là tổng các số dư của Thắng, V là tổng các số dư của Việt Gọi t t1 , , , 2 t2018

là số dư khi chia 2018 cho 1;2;….;2018 Gọi v v1, 2, v2019là số dư khi chia 2019

Bài 58.Ta biết rằng tổng các chữ số của một số tự nhiên thì có cùng số dư với số tự

nhiên đó khi chia cho 9 Mà một số chính phương khi chia cho 9 thì có số dư là 0;1;4;7

Nhưng 2019 chia cho 9 dư 3 Do đó tổng các chữ số của một số chính phương bất kỳ

Vậy A chia hết cho 6 với mọi a∈ 

b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là n n, + 1,n+ 2,n+ 3(n∈ )

ĐỀ BÀI TỪ BÀI 61 ĐẾN BÀI 70

Bài 64 Tìm dư trong phép chia : 200 91

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số

đôi một khác nhau lớn hơn 2019

Vì , ,x y znguyên dương nên x+ + > Vậy y z 1 2 2 2

Như vậy, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

a) Chứng minh rằng : Tồn tại 1 bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1

b) Ch ứng minh rằng với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia

d) Ch ứng minh rằng với mọi n∈  *và n là s ố tự nhiên lẻ ta có 2 2

1 2

m −  +

e) Ch ứng minh rằng số được thành lập bởi3n ch ữ số giống nhau thì chia hết cho 3n

v ới n là số nguyên dương

n −n chia h ết cho 30 với mọi n∈ 

b) n4− 10n2+ 9chia h ết cho 384v ới mọi n lẻ và n∈Z

g) Ch ứng minh rằng : với mọi n∈N thì A( )n =n(2n+ 7 7)( n+ 1)chia h ết cho 6

h) Ch ứng mimh rằng : Nếu n không chia h ết cho 3 thì ( ) 2

k) Ch ứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có

a) 9n+ 1không chia h ết cho 100

n + +n không chia h ết cho 9 với mọi n∈ 

b) n2+ 11n+ 39không chia h ết cho 49 với mọi n∈ 

( ) ( ) (1.2.3 2019 4.5.6 2022) ( )

2 n 4n 16 3

A

Nếu a b c, , đều không chia hết cho 3 2 2 2

đó có ít nhất một số chia hết cho 3 Vậy M 3

Chia các số cho 5 ta được 17 số dư ắt phải có 5 số dư thuộc tập hợp {0;1; 2;3; 4}

Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng của chúng sẽ chia hết

cho 5

Nếu trong 17 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho 5 thì tồn tại 5 số có số

dư khác nhau nên tổng các số dư là 0 1 2 3 4 + + + + =  10 10

Vậy tổng của 5 số này chia hết cho 5

n= ⇒ m − = m+ m−  (vì m+ 1;m− 1là hai số chẵn liên tiếp nên tích

của chúng chia hết cho 8)

Với k≥ 2nên k− 2,k− 1, ,k k+ 1là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia

hết cho 2, 1 số chia hết cho 4⇒(k− 2)(k− 1)(k+ 1)k 8

Và (k− 1) (k k+ 1)(k+ 2)là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2,3,4

nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16.24 = 384

( ) ( )

⇒  với mọi nmà ( )2,3 = 1 Vậy A( )m 6với mọi n∈ 

h) Vì n không chia hết cho 3 nên n= 3k+r k( ∈ );r∈{ }1; 2

2 k − 1 7  ⇒ 2n− 1chia cho 7 dư 3

j) a) Khi n= 2k k( ∈ )thì 3n− = 1 32k − = 1 9k − 1chia hết cho 8

Tương tự nếu n= 3k+ ⇒ 2 5n− 2nkhông chia hết 9

Vậy 5n− 2nchia hết cho 9 khi n= 3k k( ∈ )

k) a) Ta có 9n+ ≡1 2 mod 4( )⇒9n+1không chia hết cho 4 nên 9n+ 1không chia hết cho

Khi mkhông chia hết cho 5 thì ( ) 4

h) Cho n là m ột số nguyên dương , chứng minh rằng 3 2 ( )

j) Ch ứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 4n+15n− 1 9 1( )

k) Ch ứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : 4 1 ( )

777 + 333 chia h ết cho 10 p) Ch ứng minh với mọi n∈  *ta có : 24 1 34 1

7 n+ + 4 n+ −  65 100

q) Ch ứng minh 102 102

8 − 2 chia h ết cho 5 r) Ch ứng minh 101 101

s)Cho s ố p>3, p∈( )P CMR 3p − 2p −  1 42p

t) CMR v ới mọi số nguyên tố p đều có dạng 2n−n n( ∈ )chia h ết cho p

u) Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết

cho 5

w) Cho ba s ố lẻ, chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8

x) Cho ba s ố nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu

chia hết cho 12

y ) Ch ứng minh rằng trong n+1 số nguyên bất kỳ có hai số có hiệu chia hết cho n

z) Ch ứng minh rằng tồn tại 1 bôi số 1993 chỉ chứa toàn số 1

a − không chia h ết cho 5 với mọi a∈ 

d) Có t ồn tại n∈N sao cho n2+ + n 2 49không

e) Chứng minh rằng 2

1

n + +n không chia hết cho 9 với mọi n∈  *

f) Ch ứng minh rằng 2

4n − 4n+ 18không chia h ết cho 289 với mọi n∈N

g) Tìm s ố dư trong phép chia

a) A= 3638+ 4133+ 2cho 7

b) B= 570+ 750cho 12

h) M ột số chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 2 Hỏi số đó chia cho 60

dư bao nhiêu ?

i) Tìm dư trong phép chia 2004

2004 cho 11 j) Tìm s ố dư trong phép chia 1515

15 cho 49 k) Tìm dư trong phép chia 345

109 cho 14 l) Tìm dư trong phép chia 11

11

11 cho 30 m) Tìm s ố tự nhiên n có bốn chữ số sao cho khi chia n cho 131 thì dư 112, chia n

cho 132 thì dư 98

n) 7n+ 3n− 1chia h ết cho 9

p) CMR 4n + 15n− 1chia h ết cho 9 (2)

q) Cho C n = + + + 3 32 33 3 + 100 Ch ứng minh rằng C n chia h ết cho 120

r) Cho a,b là các s ố tự nhiên không chia hết cho 5 Chứng minh rằng 4m 4m

pa +qb chia h ết cho 5 khi và chỉ khi p+q chia h ết cho 5 (với p q m, , ∈  )

t) Cho f(x)là đa thức với hệ số nguyên : ( ) 1

f x =a x +a − x − + +a x+a ( a i∈  , 0,1, , ); ,

n +n + n là s ố nguyên với mọi n∈ 

.u2) Ch ứng minh với n chẵn thì 2 3

phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên

w) Cho a n = 22n+1+ 2n+1+ 1và b n = 22n+1− 2n+1+ 1.Ch ứng minh rằng với mỗi số tự nhiên có

m ột và chỉ một trong hai số a b n, n chia h ết cho 5

x) Ch ứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥ 1và k là s ố tự nhiên lẻ ta có 2 2

a

=

∑  Ch ứng minh rằng 3

1 1

i)Tìm t ất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của nó

j) Vi ết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số ta được số A=192021……7980 Hỏi số A có

chia h ết cho 1980 không ? Vì sao ?

k) Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không ? Vì sao ?

a) Tích c ủa hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2

b) Tích c ủa 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

n) CMR : T ổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9

t) CMR : Trong 1900 s ố tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27

u) CMR :N ếu n 3thì A( )n = 32n+ +  3n 1 13v ới mọi n∈ 

p) Ch ứng minh A( )n = 16n− 15n−  1 225v ới mọi n∈  *

q) CMR : với mọi n∈  *và n là số tự nhiên lẻ, ta có : 2 2

y) CMR : Trong n+ 1s ố nguyên bất kỳ có hai số có hiệu chia hết cho n

d) 3663− 1chia h ết cho 7 nhưng không chia hết cho 37

e) 24n − 1chia hết cho 15 với n∈ 

Câu 2 Ch ứng minh rằng :

a) 5

n −n chia h ết cho 30 với n∈ 

b) n4− 10n2+ 9chia h ết cho 384 với mọi n lẻ và n∈ 

c) 10n+ 18n− 28chia h ết cho 27 với n∈ 

Câu 3.Ch ứng minh rằng với mọi số nguyên a thì

b) Giải bài toán trên nếu n∈ 

Câu 13.Tìm số nguyên n sao cho :

Câu 14.Tìm n∈ sao cho 2n− 1chia h ết cho 7

Bài 86.Ch ứng minh rằng A= 4n+ 17chia h ết cho 3 với mọi số nguyên dương n

Bài 87 Tìm t ất cả các số tự nhiên n sao cho C =2019n +2020là số chính phương

Bài 88 Cho a b c là ba s, , ố nguyên thỏa mãn 3

A=n + n + n với n nguyên dương

i) Xét với n= 1, ta có C=  10 5 Vậy (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k,tức là 2 2 2 1 ( )

7.2 k 3 k 5 2

Phải chứng minh ( )1 đúng với n= +k 1,tức là phải chứng minh

l l

+ +

u) Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là 0;1;2;3;4

Trong 6 số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư

(nguyên lý Dirichlet)⇒Hiệu của 2 số chia hết cho 5

w) Một số lẻ chia cho 8 thì số dư chỉ có thể là một trong 4 số 1;3;5;7 Ta chia 4 số này

thành 2 nhóm

Nhóm 1: dư 1 hoặc dư 7

Nhóm 2: dư 3 hoặc dư 5

Có 3 số lẻ mà chỉ có 2 nhóm số dư nên tồn tại hai số thuộc cùng 1 nhóm

- Nếu 2 số dư bằng nhau thì hiệu chia hết cho 8

- Nếu 2 số dư khác nhau tổng chia hết cho 8

x) Một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 12 thì số dư chỉ có thể là 4 số 1;5;7;12

Lý luận giống câu w

y) n+ 1số nguyên đã cho chia cho n thì được n số dư nhận 1 trong các số sau:

Vậy trong n+1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n

z) Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là

Chia các số cho 5 ta được 17 số dư ắt phải có 5 số dư thuộc tập hợp {0;1; 2;3; 4}

Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng của chúng sẽ chia hết

cho 5

Nếu trong 17 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho 5⇒tồn tại 5 số có số

dư khác nhau nên tổng các số dư là 0 1 2 3 4 + + + + =  10 10