Giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng

Một chùm sáng đơn sắc với bước sóng λ được chiếu song song theo trục x đến mặt nêm; đằng sau nêm người ta đặt một thấu kính hội tụ mỏng, giữa thấu kính và nêm có một màn chắn mà ở trên đ

Giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng

4.9 Nêm có chiết suất thay đổi (Trung Quốc)

Một nêm trong suốt có góc ở đỉnh 0 và chiều cao h Người ta chọn hệ trục tọa độ có gốc ở đỉnh nêm như trên hình 4.9a Thực tế mặt nghiêng của nêm trên hình 4.9a có dạng bậc thang với

bước bậc thang rất nhỏ, mỗi bước nhỏ này nằm ở mặt trước của nêm, mặt trước của nêm nằm

trong mặt phẳng yz và song song với các bậc thang, mặt trên của nêm song song với mặt phẳng

xz Chất làm ra nêm có chiết suất n biến đổi theo tọa độ x quy luật n(x) =1+ bx, trong đó hằng số

b > 0 Một chùm sáng đơn sắc với bước sóng λ được chiếu song song theo trục x đến mặt nêm;

đằng sau nêm người ta đặt một thấu kính hội tụ mỏng, giữa thấu kính và nêm có một màn chắn

mà ở trên đó có khoét các khe nhỏ song song với trục z, sao cho ánh sáng vẫn truyền qua được các khe theo phương y như trên hình 4.9b Các mặt sóng tới nêm (mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng) và màn chắn đều vuông góc với quang trục chính của thấu kính, được đặt

trùng với trục x Ánh sáng truyền qua các khe tăng cường nhau và tạo ra một điểm sáng rất mạnh

ở tiêu cự của thấu kính Khe dưới cùng nằm ở vị trí có tọa độ y = 0 Biết rằng các tia sáng từ cùng

một nguồn sáng đến ảnh quang trình bằng nhau

1) Tìm tọa độ y của các khe còn lại

2) Chứng tỏ rằng tồn tại một cách sắp xếp sao cho các khe cách đều nhau mà điều kiện trên vẫn thỏa mãn

4.10 Giao thoa gương (Estonia)

Một nguồn điểm S phát ánh sáng kết hợp có bước sóng λ đồng đều theo mọi phương; hay nói cách khác mặt sóng là những mặt cầu đồng tâm Sóng phản xạ trên một bề mặt điện môi đặt ở

khoảng cách l=N λλ (N là một số nguyên lớn) từ nguồn điểm Hình ảnh giao thoa được quan sát trên một màn chắn đặt ở khoảng cách L ≫ l từ nguồn điểm (xem hình 4.10)

Trong các tính toán dưới đây, ta sử dụng hệ tọa độ xyz như trên hình vẽ Màn chắn đặt song song với gương và nằm trong mặt phẳng y-z

z

Hình 4.10

1) Tại tọa độ y bằng bao nhiêu (z = 0) ta quan sát được cực đại giao thoa, có thể giả sử y ≪ L 2) Hãy vẽ vài cực đại có bề rộng nhỏ nhất trên màn chắn (trong mặt phẳng y - z)

3) Bây giờ ta thay màn chắn phẳng bằng màn chắn hình cầu bán kính L, có tâm trùng với vị trí đặt

nguồn điểm Có bao nhiêu cực đại có thể quan sát được?

4.11 Cách tử nhiễu xạ (Bulgari)

Trong cả hai nửa của bài toán ánh sáng đơn sắc có bước sóng 𝜆 =600 nm.

1) Một chùm sáng chiếu vuông góc tới một cách tử nhiễu xạ có hằng số cách tử d (hình 4.11a)

Hình ảnh nhiễu xạ được quan sát trên một màn đặt cách nhiễu tử một khoảng L0 Hãy mô tả định

tính độ rộng của khe ảnh hưởng đến vị trí cực đại như thế nào Cần dịch chuyển màn đến khoảng

cách mới L nào để vị trí cực đại bậc m + 1 ở khoảng cách mới trùng với vị trí cực đại bậc m ở khoảng cách cũ L0? Giá trị nhỏ nhất của hằng số cách tử phải bằng bao nhiêu để có thể quan sát

được vân cực đại bậc 5?

2) Chùm sáng chiếu dưới góc nhỏ ∝ đến một cách tử nhiễu xạ có hằng số cách tử d.(hình 4.11b).

Dưới các góc 𝛽1 = 14° và 𝛽 2 =74° ở phía dưới đường pháp tuyến quan sát được hai cực đại giao

thoa liên tiếp Xác định hằng số cách tử d Quan sát được bao nhiêu cực đại và dưới những góc 𝛽 bằng bao nhiêu? Xác định bậc của các cực đại đó và giá trị của góc ∝

4.12 Đo đường kính sợi dây tóc (Trung Quốc)

Người ta đo đường kính của một sợi dây tóc kích thước dưới milimet bằng một giao thoa

kế hai chùm tia như trong hình 4.12a, trong đó M1,M2, M3 là hệ gương phản chiếu toàn phần, màn chắn là một camera kỹ thuật số CCD (charge coupled device - thiết bị điện tích liên kết) Chùm

S

L C

laser xuất phát từ tinh thể Iridium acid Barium sẽ đi qua một phim bán mạ để tách thành hai chùm sáng, chùm thứ nhất sau khi phản xạ trên gương M1 tới đập vào mặt trên sợi dây tóc, chùm kia phản xạ trên hai gương M2 , M3 rồi đập vào mặt dưới sợi dây tóc Hình 4.12b cho thấy ánh sáng phản chiếu để tạo ra hai chùm sáng giao thoa; θ1, θ2 tương ứng là các góc tới, D là khoảng cách từ trục dây tóc đến màn chắn (phim cảm quang trong camera), P là điểm mà hai chùm ánh sáng trên giao nhau trên màn hình Chọn hệ trục tọa độ như sau: gốc O nằm trên trục của sợi, trục x (không thể hiện trên hình vẽ) dọc theo trục sợi dây và hướng vào trong mặt giấy, trục y song song với ánh sáng tới sợi dây (chiều dương hướng lên), trục z hướng vuông góc với màn hình Bước sóng

của ánh sáng là λ, khoảng vân trên màn hình bằng a Vì khoảng cách D lớn hơn rất nhiều so với

đường kính của sợi và kích thước của màn hình, có thể coi chùm tia chiếu đến màn chắn là chùm gần song song với trục z

4.14 Ảnh mờ (Bangladesh)

Một màn chắn có hai khe hẹp song song nằm cách

nhau một đoạn d và được chiếu bởi một đèn ống thẳng có bề

rộng W, được đặt ở khoảng cách L từ hai khe Một kính lọc

được đặt giữa chúng sao cho chỉ có ánh sáng bước sóng λ tới

được hai khe Nếu thay đổi khoảng cách giữa hai khe một

cách liên tục, thì ở khoảng cách d= d0 các vân giao thoa trên

một màn đặt ở xa sẽ biến mất Tìm giá trị của W (biểu diễn

theo các tham số trong bài)?

4.15 Vệ tinh do thám (Thụy Sĩ)

Một vệ tinh do thám bay phía trên thành phố Aarau ở độ cao 300 km Đó là một kính viễn vọng không gian lớn với một chiếc gương hướng xuống và có đường kính 2.4 m Để đơn giản, giả sử rằng các vệ tinh nhìn thấy Trái Đất có màu vàng, đặc biệt là màu vàng-xanh với bước sóng 570 nm

1) Giả sử trong trường học NKSA đang có cuộc thi, vệ tinh có giúp học sinh quay cóp được không Giải thích ngắn gọn

2) Gương phải có đường kính bằng bao nhiêu để làm được điều này? Có khả thi không?

3) Bây giờ thay vệ tinh bằng một máy bay không người lái trang bị hệ thống quang và một gương

có đường kính 24 cm Máy bay phải bay ở độ cao nào để có thể giúp học sinh quay cóp?

4.16 Đo tốc độ chất lỏng bằng laser Doppler (Romania)

Để đo tốc độ dòng chảy của chất lỏng một cách trực tiếp bằng các phương pháp quang học

mà không làm ảnh hưởng đến dòng chảy, người ta sử dụng một thiết bị gọi là máy đo tốc độ laser Doppler

Phần 1

Hai chùm tia laser xuất phát từ cùng một nguồn laser và đến giao thoa nhau trong một vùng hẹp xung quanh khu vực cần đo vận tốc như hình 4.16a Mỗi chùm tia laser có thể coi là một sóng phẳng, đơn sắc và có bước sóng trong chân không là λ0 = 0.52mm Khi một hạt rắn nhỏ,

bị cuốn theo chất lỏng chảy qua khu vực này, nó sẽ đi qua cực tiểu và cực đại của giao thoa Một đầu dò sẽ thu ánh sáng phản xạ bởi các hạt khi nó đi qua vùng giao thoa Hiệu quang trình là bằng

không và chiết suất của môi trường là n = 1.33.

1a) Xác định chiều rộng của vùng giao thoa AB tại x = 0, biết rằng 2D =1mm và θ = 5º

1b) Hãy tính theo hai phương pháp khác nhau hiệu quang trình tại một điểm M trong vùng giao thoa

1c) Tính số vân cực đại tối đa có thể quan sát được trong vùng không gian giữa A và B mà tại đó

x = 0

1d) Một hạt rắn chuyển động theo trục Oy với vận tốc v v j  Tính tốc độ chảy của chất lỏng khi biết rằng thời gian nhận được tín hiệu là 50 ms

Phần 2

Để phép đo cho độ chính xác cao, các thiết bị thuộc loại này phải tính đến sự thay đổi tần

số do hiệu ứng Doppler

2a) Chứng minh rằng nếu một nguồn phát ra ánh sáng tần số riêng v0, và máy thu đang chuyển động hướng tới nguồn với tốc độ v, thì tần số mà máy thu nhận được cho bởi biểu thức

0

c v

v v

c v







2b) Công thức này thay đổi như thế nào, nếu máy thu đứng yên còn nguồn đang chuyển động hướng tới máy thu với tốc độ v?

2c) Giả sử trường hợp phi tương đối tính v 1

c  Điều chỉnh công thức thu được ở mục 2a) và 2b) nếu góc giữa v là c là θ

2d) Xác định độ dịch chuyển Doppler (v d  v0), ở đây vd và là tần số mà máy nhận được khi ánh sáng laser phản xạ từ một hạt chuyển động với tốc độ u tạo một góc θ so với chùm laser tới và

góc θ' so với chùm phản xạ (hình 4.16b)

2e) Tính sai số tương đối tối đa nếu chúng ta bỏ qua độ dịch chuyển Doppler cho trường hợp

n = 1.33, λ0 = 0.52 mm và u = 5 x 10-5 m/s Sai số này có đáng kể không với một máy đo tốc độ gió?

4.17 Quang phổ Thiên hà (Australia)

Các hệ Vũ trụ như Thiên hà (chứa một số lượng khổng lồ các ngôi sao) nói chung ở rất xa Trái Đất và hệ Mặt trời, và đang chuyển động ra xa chúng ta với vận tốc tương đối v Các ngôi sao riêng lẻ có thể chuyển động tương đối so với Thiên hà, vận tốc của chuyển động này gọi là vận tốc riêng Hinh 4.17a cho thấy Thiên hà đang chuyển động ra xa khỏi chúng ta như một vật thống nhất, các ngôi sao trong Thiên hà này, chuyển động quanh tâm của chúng và có các vận tốc riêng

Năng lượng trong chuyển động riêng, khác với chuyển động tổng thể, có điểm đặc biệt Một cách để đo vận tốc riêng đặc trưng của một ngôi sao, là đo phân bổ vận tốc của nó Độ lệch

chuẩn của vận tốc riêng gọi là tốc sai, 𝜎, và nó là một tiêu chí đánh giá vận tốc riêng đặc trưng của một ngôi sao

1) Định lý virial áp dụng cho các hệ Vũ trụ có khối lượng M rất lớn cho ta 2 GM

v R

 , trong đó v

là vận tốc trung bình của một vật thể chuyển động trên quỹ đạo bán kính R, và G là hằng số hấp dẫn Sử dụng định lý virial, đánh giá khối lượng M của Thiên hà có tập hợp sao ở khoảng cách R

từ tâm và có tốc sai đo được là σ

Khi một nguồn sóng chuyển động lại gần hoặc ra xa người quan sát, bước sóng thay đổi

Độ thay đổi tỷ lệ thuận với vận tốc của nguồn Đây chính là hiệu ứng Doppler được sử dụng rộng rãi trong Vật lý Vũ trụ bởi vì các vật thể phát ra ánh sáng trong một vùng bước sóng hẹp khi quan sát sẽ thu được các đỉnh cực đại trong quang phổ của chúng

2a) Giải thích vì sao hiệu ứng Doppler lại làm

cho các vạch phổ bức xạ của Hydrogen alpha bị mở rộng ra

trong vùng chuyển động quay nhanh của Thiên hà Trên hình

4.17Sa là quang phổ vạch alpha của Hydro, hãy vẽ phác cực

đại của quang phổ Hydrogen alpha nếu nguồn bức xạ là khí

nằm trong vùng mở rộng vạch phổ của Thiên hà

2b) Từ đó, giải thích tại sao các quang phổ quan sát có thể sử dụng để đo tốc sai của các ngôi sao trong Thiên hà

Đa số các Thiên hà đều có các lỗ đen siêu nặng ở tâm của chúng, khối lượng có thể lớn gấp hàng tỷ lần khối lượng Mặt trời Thỉnh thoảng, các hoạt động mạnh trong các siêu lỗ đen gây nên sự thay đổi lớn trong vùng không gian quay rất nhanh quanh tâm, gọi là vùng vạch phổ rộng; các thay đổi này xuất hiện muộn hơn một chút

Một kỹ thuật có tên gọi bản đồ âm vọng (reverberation mapping) sử dụng thời gian ánh

sáng di chuyển qua vùng vạch phổ rộng để đánh giá bán kính của nó Thời gian ánh sáng đi qua

là τ được đo từ khi quan sát được thay đổi ở mặt trước và mặt sau của vùng Vận tốc ánh sáng là

c và tốc sai của vùng vạch phổ rộng là σBLR

3a) Tìm biểu thức bán kính RBLR của vùng vạch phổ rộng

3b) Đánh giá khối lượng MBH của một siêu lỗ đen sử dụng phương pháp bản đồ âm vọng và định lý virial Có thể giả thiết các siêu lỗ đen có khối lượng lớn đến mức chúng gần như chứa toàn bộ khối lượng của Thiên hà trong đó

LỜI GIẢI

4.9 Nêm có chiết suất thay đổi (Trung Quốc)

1) Giả sử tia sáng đập vào mặt nước của nêm ở tọa y, ta đi tính quang

trình  y của tia sáng khi nó đi từ x0 đến x h Gọi quang trình

của tia sáng khi nó đi trong nêm là 1, và khi đi ngoài không khí là 2

Chiết suất của môi trường thay đổi liên tục, tại x0 chiết suất là

 0 1

n , và khi tia sáng đến x chiết suất là n x  1 bx Vì chiết suất

của môi trường thay đổi tuyến tính theo x từ x0 đến x h 1 (h1 là bề

dày của nêm ở tọa độ y), có thể dùng chiết suất trung bình cho cả đoạn

đường để tính quang trình 1

Suy ra

2

1 2

 Nếu bỏ qua ảnh hưởng của lớp tiếp giáp giữa các bậc thang (thực tế hoàn toàn có thể loại bỏ ảnh hưởng của chúng bằng cách chọn bước bậc thang và vị trí khoét các khe một cách thích hợp), thì phương truyền của tia sáng sau khi ra khỏi nêm không thay đổi hay

2  h h1



Từ đây

1 2

Quan hệ hình học

1 tan

Cuối cùng

2

Sau khi ra khỏi nêm và đi qua khe, chùm sáng vẫn sẽ song song với trục x Tọa độ y của khe ở đây

phải hiểu là giá trị trung bình của tọa độ các tia sáng trong chùm sáng đi qua khe, chùm này hội tụ tại tiêu điểm thấu kính

Với y0, từ trên ta có

 0 h



Hiệu quang trình của chùm tia đến tọa độ y và chùm tia đến y0

2

Vì hiệu quang trình các chùm sáng trước khi đến thấu kính và sau khi qua thấu kính là không đổi nên hai chùm sáng trên khi gặp nhau ở tiêu cự của thấu kính vẫn có hiệu quang trình như trên Để các chùm sáng gặp nhau ở tiêu cự tăng cường nhau, hiệu quang trình của chúng phải là số nguyên lần bước sóng hay

2tan2 , 1, 2,3,

b

Từ đây

Ngoài khe đầu tiên đặt ở y = 0, các khe tiếp theo sẽ đặt ở vị trí

2) Để các chùm tia tại tiêu cự có thể tăng cường nhau, không nhất thiết phải cần điều kiện vừa tìm được ở

ý 1) Tồn tại một cách sắp xếp sao cho các khe cách đều nhau mà các chùm sáng vẫn tăng cường nhau

nếu k = m, 4m, 9m,…, với m là một số nguyên dương Khi đó vị trí các khe sẽ là

ym  mA y, m2 m A y, m3 mA,

Khoảng cách giữa hai khe liên tiếp bây giờ là mA

4.10 Giao thoa gương (Estonia)

1) Tia tới ở điểm có tọa độ y sẽ tạo ra một góc  y L/ (ta sử dụng gần đúng góc nhỏ, góc đo bằng radians)

Hiệu quang trình giữa tia tới trực tiếp và tia phản xạ bằng

2



Ngoài ra phản xạ trên điện môi có chiết suất cao hơn còn làm quang trình dài ra, dó đó độ lệch pha

 2 

2

 Tại vị trí cực đại, độ lệch pha này bằng 22 N n, trong đó n là số nguyên Vậy điều kiện để có

cực đại là



Với n0,1,  N.

2) Các tia sáng có cùng số n sẽ tạo với trục x cùng một góc, do đó vân cực đại trên màn quan sát sẽ là các đường tròn đồng tâm Góc giữa các đường tròn cạnh nhau sẽ giảm dần khi n tăng Nếu chọn bán kính

vòng đầu tiên làm đơn vị, bán kính các đường tròn là 1 1, 3 1.73, 5 2.23

3) Các tia phản xạ chỉ tới được nửa cầu bên phải, độ lệch pha cực đại max 4N và min  Số cực đại là

2



4.11 Cách tử nhiễu xạ (Bulgaria)

1) Kích thước của khe cách tử không ảnh hưởng tới vị trí của các cực đại chính

Điều kiện cực đại nhiễu xạ là dsin  m , trong đó m là số nguyên.

Với góc nhỏ, ta có sin tan x m/L0, trong đó x m là vị trí cực đại thứ m khi màn ở vị trí ban đầu.

Từ đây suy ra m m L0

x

d



Tương tự, vị trí xm 1 của cực đại thứ m + 1 khi khoảng cách thay đổi sẽ là  

1

1





m

x

d



Theo đầu bài xm 1x m nên  1 0



1





m

Cực đại bậc 5 khi quan sát ở góc  thỏa mãn sin 5

d



Điều kiện sin 1, suy ra, hằng số cách tử tối thiểu là d 53 m

2) Hiệu quang trình của hai chùm tia quan sát ở các góc 1 và 2 tương ứng là Δsinsin1dsin1 sin và

Δsinsin d sin  sin (hoặc có thể là Δsinsin1,2 dsin1,2 sin) trong trường hợp chọn góc trông ở phía trên đường pháp tuyến của màn chắn)

Điều kiện cực đại Δsinsin m, với m là bậc cực đại.

Giả sử dưới góc 1 quan sát được cực đại bậc m0, và góc 2 quan sát được cực đại bậc m01, ta có:

sin 1 sin   0

sin 2 sin   01

Trừ vế của hai phương trình cho ta dsin2 sin1 , từ đây tính được hằng số cách tử

Giữa cực đại bất kỳ bậc m và cực đại bậc m0 có mối liên hệ sau

sin m sin  

sin 1 sin   0

Trong đó, m là góc quan sát cực đại bâc m Trừ hai vế của hai phương trình và thay biểu thức của d vào,

ta được sinm sin1m m 0 sin2 sin1

Điều kiện với m và m0là sinm 1

Với 1 14 và 2 74 , nên phương trình trên trở thành

sinm 0.24 0.72 m m Khi m m 0 0 ta có sinmsin1 0.24 hay m 1 14

Khi m m 0 1 ta có sinmsin10.96 hay m 2 74

Khi m m 0 1 ta có sinm0.96 hay m 29

Không tồn tại các giá trị khác của m m 0 Như vậy chỉ quan sát được ba cực đại

4.12 Đo đường kính sợi dây tóc (Trung Quốc)

1) Tia sáng AS chiếu tới mặt sợi dây tóc dưới góc 45, tia phản xạ SB sẽ đi theo trục z, đường kéo dài của nó cắt trục y tại điểm Q Hoành độ của điểm này

 

2

OQ 1

4

Xét tia sáng A S+ +đi sát tia AS, chiếu tới mặt dây tóc dưới góc 45 Δsinsin (Δsinsin rất nhỏ) Đường kéo dài của tia phản xạ S B+ + sẽ cắt trục tung tại E

Ta có:

+ + +

A S B 2 45 Δsinsin 2

Suy ra góc tạo bởi S B+ + và phương ngang là 2Δsinsin 3  

Góc OS E+ BS B+ +45 Δsinsin EOS+ nên EOS+ là tam giác cân

  +

OE S E 4

Mặt khác OS+ d/ 2, suy ra

OE cos 45 Δsinsin

d



Từ hệ thức

cos 45 Δsinsin cos 45 cos Δsinsin   sin 45 sin Δsinsin 

và sử dụng phép gần đúng

cos Δsinsin 1; sin Δsinsin Δsinsin ; khi Δsinsin  0

ta được

cos 45 Δsinsin 1 Δsinsin

2

Cuối cùng

OE 1 Δsinsin 5

4 1 Δsinsin 4







Từ (1) và (5)