Bộ đề đại số toán lớp 9

Phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình : Biểu diễn một trong hai ẩn dưới dạng một biểu thức của ẩn kia : Chú ý : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax + b

Trang 1

№Bài 2 : Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm giá trị của m để :

a) Điểm M(1 ; 0) thuộc đường thẳng mx – 5y = 7;

b) Điểm N(0 ; – 3) thuộc đường thẳng 2,5x + my = – 21

№Bài 3 : phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b ?

thì (x0 ; y0) là nghiệm chung của hai phương trình ấy

№Bài 6: Trong mỗi trường hợp sau, hãy xác định đường thẳng ax + by = c đi qua hai điểm M

và N cho trước:

a) M(0 ; – 1), N(3 ; 0);

b) M(0 ; 3), N(– 1 ; 0)

Trang 2

CÂU LẠC BỘ DẠY KÈM TOÁN HỒNG SƯƠNG

Người soạn : LÊ THANH HẢI * Điện thoại : 0907.778.514 *** 0977.676.653

Truy cập website: lethanhhai.edu.mov.mn

YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP

BÀI 1 * PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1*KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

2- TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Một cách tổng quát :

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi

đường thẳng ax + by = c,kí hiệu là (d).(mỗi điểm của đường thẳng ax + by = c biểu diễn một cặp nghiệm (x ; y) của phương trình)

• Nếu a ≠0, b ≠0 thì đường thẳng (d) chính là là đồ thị hàm số bậc nhất : y = −abx + bc

• Nếu a ≠0, b = 0 thì phương trình trở thành : x = c

a và đường thẳng (d) song song với Oy nếu c

≠0, trùng với Oy nếu c = 0.

• Nếu a = 0, b ≠0 thì phương trình trở thành : y = cb và đường thẳng (d) song song với Ox nếu c

≠0, trùng với Ox nếu c = 0 Lưu ý :

• Đường thẳng x = c

a không phải là đồ thị hàm số.

• Với yêu cầu giải phương trình ax + by = c ta thường thực hiện ba bước:

* Biến đổi để chỉ ra một vài nghiệm cụ thể của phương trình

* Viết được công thức nghiệm tổng quát của phương trình

* Biểu diễn nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ

Phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình :

Biểu diễn một trong hai ẩn dưới dạng một biểu thức của ẩn kia :

Chú ý : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình ax + by = c được biểu diễn

bởi một điểm Nghiệm (x0 ; y0) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0 ; y0)

Trang 3

№Bài 2 : Cho phương trình 3x – 2y = 5.

a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhất

b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ vô nghiệm

c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có vô số nghiệm

№Bài 3 : Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

a)  =3x 6x 3y 2

 − =

 b) 3x 5y 152y= −+ 7=

 c)  =3x 62y 7

 + =

 + =

 c)  +0x 3y0x 21y 56= −8

 − =

0x 3y 8 0x 21y 50

 + = −

 − =



Trang 4

BÀI 2 * HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1- KHÁI NIỆM VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Định nghĩa

• Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x 0 ; y 0 ) thì (x 0 ; y 0 ) được gọi là một nghiệm của hệ (I).

• Nếu hai phương trình đã cho không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

• Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó

2- MINH HỌA HÌNH HỌC TẬP NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN :

Một cách tổng quát ta có :

• Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất

• Nếu (d) song song với (d’) thì hệ (I) vô nghiệm

• Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ (I) có vô số nghiệm

Chú ý: Như vậy,có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bằng cách xét vị trí

tương đối của các đường thẳng (d) và (d’)

• Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của hệ này đều là

nghiệm của hệ kia và ngược lại

• Phép biến đổi từ một hệ phương trình đến một hệ phương trình khác tương đương với

nó được gọi là phép biến đổi tương đương

Trang 5

 − =

 + =

c) 1, 3x 4,2y 120, 5x 2, 5y 5,5++ ==

№Bài 3 : Tìm giá trị của a và b :

a) Để hệ phương trình 3ax (b +1)y 93bx 4ay+− = −3 =

 có nghiệm là (x ; y) = (1 ; – 5).

b) Để hệ phương trình  −(a 2)x 5by 252ax (b 2)y 5+ =

 − − =

 có nghiệm là (x ; y) = (3 ; – 1).

№Bài 4 : Giải các hệ phương trình sau :

a)  −(x 3)(2y 5) (2x 7)(y 1)(4x 1)(3y 6) (6x 1)(2y 3)+ = + −

 + − = − +

 b)  +(x y)(x 1) (x y)(x 1) 2xy(y x)(y 1) (y x)(y 2) 2xy− = − + +

 − + = + − −



Trang 6

BÀI 3 * GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện

phương trình có các hệ số của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có thể có vô số nghiệmhoặc vô nghiệm

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quytắc thế gồm hai bước sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn

theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ ( phương

trình thứ nhất cũng được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước I)

Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

• Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong

đó có một phương trình một ẩn

• Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Trang 7

 + =

 − = −

c) 0,35x 4y0,75x 6y 9+− == −2,6

Trang 8

BÀI 4 * GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

1*QUY TẮC CỘNG ĐẠI SỐ

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương

VÍ DỤ 1: (?1/tr17 –SGK) Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đổi hệ  − =2x y 1x y 2

 + =

 (I)nhưng ở bước I, hãy trừ từng vế hai phương trình của hệ(I) và viết ra các hệ phương trình mới thu được

Bài giải :Bước 1: Trừ từng vế hai phương trình (I), ta được phương trình

Quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một

phương trình mới

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và

giữ nguyên phương trình kia)

Tóm tắc cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ

số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một

phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Trang 9

ĐỀ SỐ 18

№Bài 1: Đoạn đường từ A đến B gồm 3km lên dốc, 6km xuống dốc và 12km bằng phẳng Một

người đi xe máy từ A đến B mất 1 giờ 7 phút và đi từ B về A mất 1 giờ 16 phút Hỏi vận tốc của xe máy trên đoạn đường lên dốc và xuống dốc, biết rằng vận tốc của xe máy trên đoạn đường phẳng là 18km/h ?

№Bài 2 : Một người đi một đoạn đường dài 640km với 4 giờ đi ô tô và 7 giờ đi tàu hỏa Hỏi

vận tốc của ô tô và tàu hỏa, biết rằng vận tốc của tàu hỏa hơn vận tốc của ô tô là 5km/h?

№Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 6 giờ sẽ đầy bể Nếu

vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ và vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì được 2

5bể nước

Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể ?

№Bài 4 : Hai thùng nước có dung tích tổng cộng là 175 lít Một lượng nước đổ đầy thùng thứ

nhất và 1

3 thùng thứ hai thì cũng đổ đầy thùng thứ hai và 1

2 thùng thứ nhất Tính dung tích của mỗi thùng ?

№Bài 5 : Hai bình A và B chứa lần lượt 56 lít và 44 lít nước Nếu rót nước từ bình A sang đầy

bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình Nếu rót nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước còn lại trong bình B là 1

3 bình Tính dung tích mỗi bình

№Bài 6 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (không có nước) sau 6 giờ sẽ đầy bể Nếu vòi

một chảy một mình thì sau 10 giờ mới đầy bể Hỏi nếu vòi hai chảy riêng một mình thì sau bao lâu mới đầy bể ?

№Bài 7 : Hai máy bơm cùng bơm nước vào một bể thì sau 1

5 giờ thì đầy bể Nếu máy bơm I bơm trong 10 phút, máy bơm II bơm trong 6 phút thì hai máy bơm được 7

10 bể Hỏi mỗi máy bơm làm việc một mình thì mất bao nhiêu giờ ?

Trang 10

BÀI 5 * GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VÍ DỤ 1: (?1/tr20 –SGK).Hãy nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Bài giải :

* Để giải bài toán bằng cách lập phương trình ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Lập phương trình

• Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ chưa biết giữa các đại lượng.

Bước 2 : Giải phương trình.

Bước 3 : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm

nào không rồi kết luận.

* Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Lập hệ phương trình

• Chọn các ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn

• Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn.

• Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập hệ phương trình.

Bước 2 : Giải hệ phương trình.

Bước 3 : Thử lại nhận định kết quả và trả lời.

VÍ DỤ 2: (?2/tr21 –SGK) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số

hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ

27 đơn vị.

Nhận xét :Trong bài toán trên, ta thấy có hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị

của số cần tìm Theo giả thiết, khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số Điều đó chứng tỏ rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0.

Bài giải :

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y

Điều kiện của ẩn là : x, y ∈ Z , 0 < x ≤ 9 và 0 < y ≤ 9.

Khi đó số cần tìm là 10x + y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được 10y + x Theo điều kiện đầu bài, ta có: 2y – x = 1 (1)

Theo điều kiện sau, ta có : (10x + y) – (10y + x) = 27 ⇔ 9x – 9y = 27 ⇔ x – y = 3 (2)

Trang 11

ĐỀ SỐ 19

№Bài 1 : Tìm số có hai chữ số, biết rằng tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng

chục bằng 10 Ngoài ra, nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị

№Bài 2: Tổng của hai số bằng 59 Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7.

Tìm hai số đó

№Bài 3 : Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số

đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

№Bài 4 : Tìm hai số tự nhiên biết rằng bốn lần số thứ hai cộng với năm lần số thứ nhất bằng

18040 và ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002

№Bài 5 : Tìm một số có hai chữ số Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số này thì được

một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18

№Bài 6 : Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 6 dư 51 Tổng của số

bị chia , số chia , thương , và số dư là 969 Hãy tìm số bị chia và số chia trong phép chia này

№Bài 7 : Bảy năm trước tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 Năm nay tuổi mẹ vừa đúng

gấp ba lần tuổi con Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi ?

№Bài 8 : Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết 10000

đồng Hôm nay mẹ Lan mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt hết 9600 đồng mà giá trứng thì vẫn như cũ Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?

№Bài 9 : Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều

rộng là 20m Tính chiều dài và chiều rộng sân trường

№Bài 10 : Trong buổi dạ hội có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 15em Trong khi

khiêu vũ có 24 bạn nam và 24 bạn nữ đang trên sàn nhảy Số bạn nam không nhảy gấp đôi số bạn nữ không nhảy Hỏi có bao nhiêu bạn nam và nữ dự dạ hội ?

№Bài 11 : Hai anh Quang và Hùng góp vốn cùng kinh doanh Anh Quang góp 15 triệu đồng

Anh Hùng góp 13 triệu đồng Sau một thời gian lãi 7 triệu đồng Lãi được chia tỉ lệ với vốn đã góp

Em hãy dùng cách giải hệ phương trình để tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng

Trang 12

BÀI 6 * GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VÍ DỤ 4: (? 6 /tr23 –SGK) Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì

xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?

Phân tích : Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là xong 1 công

việc), ta suy ra trong một ngày hai đội làm chung được 1

24(công việc) Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm được trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch ( trong bài toán này, ta hiểu “số ngày” là một đại lượng không nhất thiết phải nguyên)

Bài giải :

Gọi x là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, điều kiện x > 0

Gọi y là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc, điều kiện y > 0

Mỗi ngày, đội A làm được 1

x (công việc) Mỗi ngày, đội B làm được 1y (công việc)Với giả thiết :

Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình :

Vậy, đội A làm một mình hoàn thành công việc trong 40 ngày

Đội B làm một mình hoàn thành công việc trong 60 ngày.

Trang 13

a) Hãy tính f(1), f(2), f(3) rồi sắp xếp ba giá trị này theo thứ tự từ lớn đến bé.

b) Tính f(– 3), f(– 2), f(– 1) rồi sắp xếp ba số này theo thứ tự từ bé đến lớn

c) Phát biểu nhận xét của em về sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số này khi x > 0 ; x < 0

№Bài 3: Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được tính bởi công thức

Q = 0,24RI2tTrong đó Q là nhiệt lượng tính bằng calo, R là điện trở tính bằng ôm (Ω), I là cường độ dòng điện tính bằng ampe (A), t là thời gian tính bằng giây (s)

Dòng điện chạy qua một dây dẫn có điện trở R = 10Ω trong thời gian 1 giây

a) Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau:

I(A) 1 2 3 4 Q(calo)

b) Hỏi cường độ dòng điện là bao nhiêu thì nhiệt lượng tỏa ra bằng 60 ca lo ?

№Bài 4: Một bể nước hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x mét Chiều cao của bể bằng

2 m Kí hiệu V(x) là thể tích của bể

a) Tính thể tích V(x) theo x

b) Giả sử chiều cao của bể không đổi, hãy tính V(1), V(2), V(3) Nhận xét khi x tăng lên 2 lần,

3 lần thì thể tích tương ứng của bể tăng lên mấy lần

Trang 14

* Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y giảm.

* Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng.

• Với hàm số y = – 2x 2 thì:

* Khi x tăng nhưng luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng.

* Khi x tăng nhưng luôn dương thì giá trị tương ứng của y giảm.

Tổng quát:

Hàm số y = ax2 (a ≠0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R Hàm số có một số

tính chất sau:

• Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và, nghịch biến khi x > 0

Trang 15

ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax (a ≠ 0)

№Bài 1: Cho hàm số y = ax2 Xác định hệ số a trong các trường hợp sau:

a) Đồ thị của nó đi qua điểm A(3 ; 12);

b) Đồ thị của nó đi qua điểm B(– 2 ; 3)

№Bài 3: Cho hai hàm số y = 0,2x2 và y = x

a) Vẽ hai đồ thị của những hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ của các giao điểm của hai đồ thị

c) Nhờ đồ thị xác định tọa độ của giao điểm thứ hai của hai đồ thị vừa vẽ trong câu b)

№Bài 5: a) Xác định hàm số y = ax2 và vẽ đồ thị của nó, biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(– 1 ; 2)

b) Xác định đường thẳng y = a’x + b’ biết rằng đường thẳng này cắt đồ thị của hàm số vừa tìm được trong câu a) tại điểm A và điểm B có tung độ là 8

Tiêu đề	Phương trình bậc nhất hai ẩn
Tác giả	Lê Thanh Hải
Trường học	Trường Đại Học Mỏ - Địa Chất Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sách giáo khoa
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	753 KB

Bộ đề đại số toán lớp 9

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH