Topic In Olympiad Inequalities

MathScope: Topic In Olympiad Inequalities

Topic In Olympiad Inequalities Volume 1

Lời nói đầu

Topic In Olympiad Inequalities là cuốn sách gồm nhiều tập ghi lại những bài

toán bất đẳng thức qua các kì thi Oympiad được các thành viên của Diễn đàn

MathScope(1) đề xuất đề bài và lời giải (2) Sở dĩ chúng tôi chọn các bất đẳng thức trong

các kì thi Olympiad vì bất đẳng thức là một lĩnh vực rộng, tuy nhiên cũng vì thế mà có

quá nhiều các bất đẳng thức được tạo ra một cách vô tội vạ và thiếu tính thẩm mĩ, do vậy,

một cách chủ quan chúng tôi thấy rằng những bất đẳng thức đã được chọn lọn qua các kì

thi Olympiad ít nhiều đảm bảo được độ thẩm mĩ và chất lượng

Dù đã có nhiều nỗ lực cố gắng, xong chắc chắn cuốn sách vẫn không tránh khỏi những

sai sót Vì vậy chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến phản hồi của các bạn về địa

chỉ: reddevils.info@gmail.com hoặc liên hệ qua diễn đàn MathScope- Red Devils

MỤC LỤC

Lời nói đầu……… 2

Mục lục……… ……… 3

Phần Một: Bài toán……… 4

Phần Hai: Lời giải ……… 8

Tài liệu tham khảo………20

Phần Một

Bài Toán

Bài toán 1 (Posted by Red Devils)

Cho n số thực tuỳ ý x x1, 2,¼,x n Chứng minh rằng:

Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

IMO LongList 1967 Bài toán 4 (Posted by Red Devils)

Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a+b+ c=1 Chứng minh rằng:

ab+ac+ad+bc bd+ +cd + ³ abc+abd+acd+bcd

Bài toán 6 (Posted by caube94)

Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:

Bài toán 9 (Posted by trungdeptrai)

Với a, b, c dương Chứng minh rằng:

Cho , ,x y z³ Tìm giá trị nhỏ nhất của: 0

Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng:

5

1( ) ( ) ( ) ( )( )( )

a b + c a + c a + a b b c c a ³

*** Bài toán 12 (Posted by Conan Edogawa)

Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc³ Chứng minh rằng: 1

1

1 a b+1 b c+1 c a£+ + + + + +

Romania 2005 Bài toán 15 (Posted by caube94)

Bài toán 17 (Posted by Minh Tuấn)

Cho x, y, z>0 và x+y+z=1 Chứng minh rằng:

22

xy yz + yz zx+ zx xy £

China TST 2006 Bài toán 18 (Posted by trungdeptrai)

Cho x, y, z dương và xyz=1.Chứng minh rằng:

Cho x, y, z> 0 Chứng minh rằng:

3(x +xy+y )(y +yz+z )(z +zx+x )³(x+ +y z) (xy+yz+zx)

Ấn Độ 2007 Bài toán 20 (Posted by Red Devils)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a£ £ Chứng minh rằng với mọi b c

Phần Hai

Lời giải

Bài toán 1 (Posted by Red Devils)

Cho n số thực tuỳ ý x x1, 2,¼,x n Chứng minh rằng:

Bài toán 2 (Posted by Red Devils)

Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát hơn sau:

Bài toán tổng quát (Posted by trungdeptrai)

Với , ,a b c> và 0 k³ Chứng minh rằng: 8

31

a a

Bài toán 3 (Posted by Red Devils)

Chứng minh rắng với mọi số thực dương a, b, c ta có:

IMO LongList 1967 Lời giải (Posted by Red Devils)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 3 3 2 3 3 2 3 3 8 8 8

Cộn từng vế của 3 BĐT trên cho ta đpcm

Bài toán 4 (Posted by Red Devils)

Với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a+b+ c=1 Chứng minh rằng:

49( )( )( ) 8( )9(1 )(1 )(1 ) 8( )

3 ( ) 9

ab bc ca+ + ³ abc ³ abc , do 3 1

a b c abc £ + + = Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 5 (Posted by Hung_DHSP)

Cho a, b, c, d là các số thực có tổng bằng 0 Chứng minh rằng:

12 6

ab+ac+ad+bc bd+ +cd + ³ abc+abd+acd+bcd

Lời giải (Posted by ll931110)

BĐT hiển nhiên đúng nếu tồn tại 1 số bằng 0 BĐT cũng đúng nếu trong 3 số p, q, r có 1

số âm Do vậy ta chỉ cần xét TH còn lại: có đúng 1 số dương trong 3 số p, q, r và không mất tính tổng quát, giả sử p > 0

Bài toán 6 (Posted by caube94)

Cho a b c, , ³0;a2+b2+ +c2 abc= Chứng minh rằng: 4

0£ab bc+ +ca-abc£ 2

USAMO 2001 Lời giải (Posted by trungdeptrai)

Trong ba số a-1,b-1,c- luôn có ít nhất 2 số cùng dấu.Giả sử hai số đó là 1 a-1,b- 1

Bài toán được chứng minh

Bài toán 7 (Posted by Conan Edogawa)

Vậy bài toán được chứng minh

Bài toán 8 (Posted by trungdeptrai)

Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:

Lời giải (Posted by Red Devils)

Vì abc=1 nên đặt a y,b z,c x

= = = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

(- + +x y z)(x- +y z)(z+ -y z)£xyz(Đây là BĐT Schur)

Bài toán 9 (Posted by trungdeptrai)

Với a, b, c dương Chứng minh rằng:

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương:

2 2

3 3

Bài toán 10 (Posted by Hung_DHSP)

Cho , ,x y z³ Tìm giá trị nhỏ nhất của: 0

a a b ³+

Bài toán 11 (Posted by xiloxila)

Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý Chứng minh rằng:

5

1( ) ( ) ( ) ( )( )( )

a b + c a + c a + a b b c c a ³

*** Lời giải (Posted by Red Devils)

Bài toán 12 (Posted by Conan Edogawa)

Do đó:

3 3

Bài toán 13 (Posted by Conan Edogawa)

Cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng:

3 1 3 1 3 1 1

6b 6c 6a

a+ + b+ + c+ £abc

IMO Shortlist 2004 Lời giải (Posted by Minh Tuấn)

Áp dụng BĐT Holder cho vế trái ta có:

Bài toán 14 (Posted by Conan Edogawa)

Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc³ Chứng minh rằng: 1

1

1 a b+1 b c+1 c a£+ + + + + +

Romania 2005 Lời giải (Posted by Red Devils)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 15 (Posted by caube94)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài toán 16 (Posted by Minh Tuấn)

a

a b c

a bc ab ca a

BĐT (1) đúng vì:

( )2 2

Bài toán 17 (Posted by Minh Tuấn)

Cho x, y, z>0 và x+y+z=1 Chứng minh rằng:

22

xy yz + yz zx+ zx xy £

China TST 2006 Lời giải (Posted by Red Devils)

Ta có:

22

Bài toán 18 (Posted by trungdeptrai)

Cho x, y, z dương và xyz=1.Chứng minh rằng:

Bài toán tổng quát (Posted by Red Devils)

Với x, y, z là các số thực dương có tích bằng 1, n là số nguyên không nhỏ hơn 3 Chứng

minh rằng:

3(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= = = y z 1

Bài toán 19 (Posted by Red Devils)

Cho x, y, z> 0 Chứng minh rằng:

3(x +xy+y )(y +yz+z )(z +zx+x )³(x+ +y z) (xy+yz+zx)

Ấn Độ 2007 Lời giải

Cách 1 (Posted by Minh Tuấn)

Xét tam giác ABC diện tích là S với M là điểm Torricelli trong tam giác và MA=x, MB=y, MC=z Theo định lí hàm số cos ta tính được:

a=BC = y +yz+z b=CA= z +zx+x c=AB= x +xy+y

xy yz zx S

Þ + + =Và:

2 2 2 2

Bài toán 20 (Posted by Red Devils)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a£ £ Chứng minh rằng với mọi b c

Tài liệu tham khảo

[1] Mathlinks [http://mathlinks.ro]

[2] MathScope [http://forum.mathscope.org]

[3] MathVn [http://mathvn.org]

[4] Diễn đàn Toán học [http://diendantoanhoc.net]

[5] Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ

[6] Trần Nam Dũng- Tuyển chọn các bài toán và bài viết chủ đề Olympiad Toán học [7] Rumanian Mathematical Competitions 1996- 2008

[8] Toán học & Tuổi trẻ- Tuyển tập các bài toán thi HSG Quốc Gia Việt Nam

[9] Phạm Kim Hùng- Sáng tạo bất đẳng thức

[10] Phạm Văn Thuận- Lê Vĩ- Bất đẳng thức Suy luận và Khám phá

The End -