elementos del álgebra lineal y geometría analítica

Sin embargo, ésta puede cousiderarse como el desarrollo del nuevo đeterminante por Jos elementos de la j-€sima fila, y entoncos, es igual al valor del nuevo determinante, Pero este filti

Ya.S.Bugrov S.M.Nikolski Matematicas superiores Elementos

de algebra

lineal y

geometria analitica

Editorial

Mir

Moscu

Ø1 BVTPOB € M HHTKOJIBGRP BBICHIÀR MATEMATHKA

97IEMEHTEI JIWHEWHOW AJITEBPLL

MW AHAJIMTUGECKON TEOMETPHA SIATESIBCTBO +HAYKA®

Ya.S Bugrov S.M.Nikolski Matematicas superiores

Versién eapañola por

ANTONIO APARICIO CORTES,

Licenciado en Ciencias Matométicas

por EMILIANO APARICIO BERNARDO

Cendidato a Doctor ea Oieaoias Fisico-MatemAtica Por la Universidad Eatatal Íomonsov do Mosed, tor en Cieueias Matermátieas Por la Universidad de Bilbao

jeterminantes de n-Gsimo orden ‹

, Método de resolucién de un sistema imé

Propiedades do Mộ pyEgduee de 10s vectores jar de vee số trai angular Ge coordesadas > %

eres cnelideo n-dimensional Producto Gai 6:2 Producto escalar en ol espicio real Ry cio n-dimensional Ry Phe 6.3 Producto escalar en el espacio complejo ay 6.4, Desigualdad de Buniakowsli

‘Eeuacién dol plano en ia forma normal’ * 7

2 Eevacién del plano en la forma general -

Indice Posicién reciproca de dos planos PHBINHEE 72 se z2 bys v2 S2

‘roducto vectorial-oscalar (mixto) Sistema do yactoraslinealimento independ Oporadores lineales «= = +

- Supenficie de segundo orden on ot ‘espace onsional ie

‘ori gon ‘de segun

ie claude tidal gs

Indice alfabético 6.4 se eae

lineales transformacioncs ortogonalos, operadores autoconjugados

(hormiticos), forma cuadratica y su reduccién a la forma candnica Se incluyen los elementos de geometria analftica: la recta, el plano, la recta en el espacio y las curvas y superficies de segando orden Por regla general, los razonamiontos van acompaiiados do de- mostraciones complotas No obstante, la exposicién se hace de tal modo que puedan ser omitidas las demostraciones del caso general n-dimensional, conservando no s6lo los enunciados de Jos teoremas

sino también la explicacién detallada de lo que ocurre en cada caso

para dos o tres dimensiones Las formas canénicas de Jas curvas y superticies de segundo orden

se exponen muy abreviadamente, ya que se supone que en adelante éstas se estudiarén complementariamente como problemas por los métodos del andlisis matemético La forma cuadritica so estudia por los métodos del andlisis matematico 0, mejor dicho, por los mé- todos del anáÌisis funcional

‘Aunque a oste libro lo lamamos primero de nuestra serie, en realidad, el material del mismo y el del segundo libro (dedicado al eálenlo diferencial e integral) tienen una estrecha conexidn Es bien sabido el orden en que se debe prosontar el material contenido en ambos El libro abarea todas las cuestiones que comprenden los programas

de los centros de ensefianza técnica superior (con un volumen de 400—500 horas lectivas)

§ 1 Deferminantes de segundo

orden

Sean dados los mimeros 4,, ag, b,, by (reales o complejos) Estos deter minan un niimoro ab, — aby, que se Joma determinante de segundo orden y se escribe asi:

nante: El valor del determinante

a) no varta al sustitutr las filas por las columnas correspondientes:

b) cambia su signo al permutar tas jilas (0 las columnas):

ay ay] fly = “đ đy a 4,

Đo |” let ab [ot o, al?

©) queda multiplicado por k st se multiplican los elementos de una

fila o columna por k (real 0 complejo) Por ejempl

đã hức P bị

Kg by jaz be

0 sea, el factor comtin a todos los elementos de una fila o una columna se

puede sacar como factor fuera del determinantes d) es igual @ cero si los clementos de alguna fila 0 columna son iguales a cero Por ejemplo:

§ 2, Determinantes

reoro y n-ésimo orden

A continuacién se intreducen Jos determinantes de tercero y,

en general, de n-ésimo orden Para éstos se conservan las propiedades a), b) ©) d) ye)

donde ay; son wnos nứmeros (teales 0 complejos), se lama determi-

nante de tercer orden

En el determinante (2) se distingnen la primera, segunda y tercera filas, asi como la primera, segunda y tercera columnas El nimero

a, se Nama elemento del doterminanie; el primer subindice # denota

el nimero de orden de la fila, mientras que el segundo subfndice È,

el mimero de orden de ]a columna También diremos que el elemento

ay, esta situado en la interseecién de la k-ésima fila y L-ésima columna Los elementos @3, Gay, 4s forman la diagonal principal de\ determi-

nante, y los olementos a3, deo, Gy, 1a diagonal secundaria,

‘La estructura de 1a oxpresion (|) es bastante sencilla Representa

un ntimero que se caleula según los elementos a, de acuerdo con Ja clara regla_ (de Sarrus) siguiente:

formemos la tabla (de Sarrus) ~~ fe fu 8

obtenida por los elomentos del de- ` ox P.4 ff

terminante (2) añadiendo la pri-

meray segunda colummas del de-

terminante (fig 1) Vemos que hay — „⁄ „/ `,

que tomar todos jos productos 4°" "AC

posibles do los elementos borrados =

por las rectas; los tres produetos Fig 4

correspondientes a las rectas para- ‘j

lelas a Ja diagonal principal se tomian con el signo més, mientras que los otros tres productos correspondientes a las rectas paralelas a la Giagonal secundaria se toman con ol signo menos

40 $2

rminantes de torcoro ý n-ésimo ordon

Cada uno de los productos junto con el signo sefialado se Hama término del determinante (2) Entre los elementos que figuran en un producto hay representantes de cada una de las filas y de cada una

de las columnas, Estos elementos pueden colocarse en cada uno de los términos en orden de crecimicnto del primer subindice, o sea,

de los números de orden de las filas a Jas que pertenecen Precisa- mente esto se ha hecho en la suma (1) En lo que s0 reficre a Jos subin- dices de las columnas a las que portenecon estos elementos, su ordena- ciớn viene dada a continuacién:

se ama principal Se dice que en una permutocién se ha efectuado una transposicion

de dos elementos delerminados, si ostos elementos han sido intorcam- biados de sitio Después de una transposicién 1a permutacién se con- vierle en otra permutacién A su ver, en osta diltima se puede hacer tuna transposicién, obteniéndose una tercera permutacién (no se 6x- cluye que resulte la primera) Por ejemplo, la permutacién

Es importante sefialar que, si una pormutacién se ha obtenido

do la principal mediante V transposiciones y esta misma permuta~ ciôn sẽ ha obtenido de la principal de otro modo mediante NV, transpo- siciones, ontonces ambos niimeros NV y N, son simultdneamento pares

‘© impares Una permutacién de los némeros 1, 2, 3 so ama par

{0 impar), si se obtione de la permatacién principal mediante un número par (impar) de transposioiones.

§ 2 Determinantes do tercero ÿ n-6gimo orđen “

Sea dada una permutacion j = (j,, ja, fa), donde j,, Jey jy son los números 1, 2, 3, tomados en cierto orden E) niimero de transposiciones mediante los cuales se puede obtener esta permutacién a partir de la permutacién principal lo denotaremos por ¢ (j) EntoRees, la permu- tacién j es par (impar), si # (/) es un numero par (impar) Las permutaciones (3) son pares, miontras que las permutaciones

2.2, Determinantes de n-éstimo orden

Se ama determinante de n-ésimo orden y se denota por

anes the ayy

A= lanl = (3)

(y2 đàm,

el némero que se calcula a pactir de unos nũmeros dados đ¿, (roales © complejos) denominados elemontos dol determinante, sogặn la

regla siguiente: A es la suma

B= 3(— 1! a15,025, tats

extendida a todas las pormutaciones distintas posibles j =

= (is - - +) Jn) de los néimeros 1, 2, 2 El valor de t (/) es igual

al nimero de transposiciones que hay quo realizar para pasar de la permutacién principal 4, 2, ., ø a la permutacién j = m= (iv ss +s fq): El producto (1)! ay dqy, $0 Mama término

del determinante

Los determinantes de n-ésimo orden satisfacen las proptedades a), b),

©), đ), e) enunciadas en el parrafo anterior

DEMOSTRAGION a) Después de cambiar en el determinante las filas por las colamnas correspondientes, los niimeros de las filas quedarán denotados com segundos subindices Por ejemplo, para el

2 § 2 Detorminantes de tercero y_n-ésimo orden

determinante de tercer orden (2), tendremos:

(199 ait oo dium = (— AM ag, «nin

se han multiplicado por k c) La multiplicacién de una fila (0 columna) de] determinante por

un némero k se reduce ala multiplicacion de todos sus términos por k, puesto que cada uno de los términos contjene un elemento de la fila (o columna) en cuestin Pero, entonces, el valor de Ja suma de los términos queda multiplicado por &

Agi + Og24y + đạn 4ạy

địa ịy Hy 2| đụ địa

=a, tas aes! nh lam aal Pa, aan = +a,

Mg, (212224 — is8na) *T đạp (8ịsđại — 8yạg) + 8ạ (Rạt8ay —y4,,) = »

La suma (10) so lama desarrollo del determinante por los elementos

de la t-sima fila, y la suma (10°), desarrollo del determinante por los elementos de la k-ésima columna ByeMPLo 1, Si en ol determinante A (véase (9)), ayy = ay, = - ++ =4q; = 0, ontoncos A= a,4yx, 0 soa, el caleulo de este determinante se reduce al caleulo de un adjunto del mismo, que es

un determinante de (n — 1)-ésimo orden vsemrto 2, Si todos los elementos de A, situados debajo (encima)

de In diagonal principal de A, son iguales a cero (a4; = 0, si k > 1 (<G Ö), entonees A = 4v2¿; đạn Esto se deduce del ejemplo anterior PRoPmEDAD g) La suma de los productos de los elementos ayy de una fila (0 columna) del determinante por los adjuntos correspondientes de

“ § 2 Determinantes de tercero y n-Ssi

Los elementos de otra fila (0 columna) es igual a cero:

Dandn= Bandy 0 (Hy

GALL} En efecto, fijemos nuestra atencién en Ja primera suma Esta = 4) 7)

no depende de Jos elementos de Ja j-ésima fila Sustituyamos en el determinante los elementos de 1a j-ésima fila por los elementos corres- pondientes de la i-ésima fila Con ello, In suma en cuestién no varia Sin embargo, ésta puede cousiderarse como el desarrollo del nuevo đeterminante por Jos elementos de la j-€sima fila, y entoncos, es igual

al valor del nuevo determinante, Pero este filtimo es igual a cero segiin la propiodad e), ya que tiene dos filas iguales, la i-ésima y la i-ésima

PROPIEDAD h) Sean dados dos determinantes de n-ésimo orden A, y

Ag, tales que todas sus filas (0 columnes) son iguales salvo una determi- ida La suma de tales determinantes es igual a un determinante A ésimo orden en el que Ia fila (columna) en cuestin eslá formada por

la suma de los elementos correspondientes de esta fila (columna) de los

determinantes Ay y Ax Por ejemplo:

de una fila (0 columna) se les anaden los elementos correspondientes de

otra fila (columna), multiplicados por un mimero k Por ejemplo,

meee aR veces |= lal +h-0= foul,

any Hg py ++ On, naan

en virtud de las propiedades h), e) y ¢)

§ 2 Determinantes do tercoro y n-ésimo orden 45

La aplicacién adecuada de esta propiedad reduce el céileulo de

un determinante al célculo de otro determinante de orden inferior Rupwmro 3,

214) | o1 0

-Ít# ‡Í=[—s =tl==|E; 4 § let [446] [-74 2 pe alent

Evemrto 5 El determinante

ta at at lay đ° sận

Este determinante es igual a cero sỉ algún par đo númeFo§ đ; ÿ 2,

son iguales entre si Si todos los ay son distintos, entonces,

© sea, es valida Ja formula ($2) Supongamos que esta formula os da para n =k — 1 y demostremos que también es vilida para

n = k, Aplicaremos Jas propiedades i) y ¢) del determinante Multi- pliquemos la (&— 4)-ésima columna del determinante O, por a

y restémosla de la k-ésima, multipliquemos Ja (k — 2)-6sima columna

3) A T Vandermonde (1735—4796), matemético francés,

46 Doterminuntes de tereoro y n-Gslmo o1

E1 último determinante también es un determinante de Vandermonde

đe orden (k—4), engendrado por los nimeros az, ; đạ, por lo cual, sogin 1a hipétesis, se tiene:

y= (ay) (4,4

(0,04) (2

$0,442) (đạn —a-2)*

¬=

mula (12) es vilida para cualquier n > 2 ProvtzpaD j) Sean

A,A¿=l Ÿ ban |EA

Asf pues, el clomento y,;, portenecionte a la k-ésima fila y la

Lésima columna del determinante A, es igual, como suole docirse,

al producto de la k-ésima fila del determinante A por Ia I-ésima columna del determinante A En realidad, esto os la suma de los productos do

corrospondientes do la L-ésima columna del determinante Ay

Como en los determinantes A, y A, se pueden cambiar filas por

columnas resulta, evidentemente, que los elementos yx) del producto

4 también se puede obtener tomando el producto de la k-ésima fila

ear y n-ésimo ordon 7

de A, por la L-ésima fila de Az, o bien, tomando el producto de la k-ésima columna de A, por la /-ésima columna de A., o finalmente, tomando el producto de la A-Gsima columna de A; por la I-ésima fila

de Ag,

DeMosmRActoN, Comprobemos la propiedad en el caso de deter-

minantes de segundo orden:

Tu =Ön8u-EÐis#a+ Tia—Öufia-Ð Öpsgza,

Tạ = Đan + Đan - Ta =Dnfap- Öạnđạạc

En virtud de las propiodades hì, e) y 6), so tiene:

hóa Nugàn Bung

Sa Sang v.v nam (—1)'9) Ay = AA

2-0952

18 a

trices

Al caleular cada uno de los elementos de A podemos tomar cualquier subindice

de sumacion s (741 = S° enabai)s pero, para lo que sigue, resulta més eémodo

tomar para la primera fila de A ol subindice , para ]a segunda fila, el subindice đu ¥ aa sucesivamonte La segunda igualdad'so'vorifies nviriud de las propls=

Je sume méltiple 3} 3) 3) seextiendea todas Ins ` permutaciones posibles Ép, sạ: ‹ sọ); dendo 4<? Cn No obstanto, si entrovst (o = ty, 1-3 )), entonces ol determinante | Dyqz | = 6 Por esta Fazin, on la realidad, en la suma méltiple so pueden dejar colamente tos términos corresponden & distlatas pormutaclones (j, , 4p) de los mimeros naturales ẤẢ, mì Además, evidentemento, resuitark que el doterminante

Una tabla de ntimeros a; (reales » complejos) de la forma

Gy San | (On Can

Am eee eee fat eee.) [lay

Crary

(iy, () m1 sec đnn

compuesta por m filas y n columnas, so llarna zmaizrjz Los números

su se aman elementos de la misma Esta es una matriz rectangular, Sim =n, se lama matris cuadrada de orden n Una segunda matriz B = |j Bis || con los elementos Bj), com puesta por m filas y n columnas, se considera igual a la matriz A

y sélo si, los elementos correspondientes de ambas matrices son

iguales (œ„; = Bi,) En este caso, se escribe A = B Una matsiz

Ia, || no es un numero, es una tabla, Sin embargo, para una matriz cuadrada se puede considerar un número | aj; |, el determinante en- gendrado por esta matric

‘Sea kun namero natural no superior a m y an (k <m, n) Supri-

mamos en la matriz (1) & columnas y & filas cualesquiera Los el mentos a4, situados on la interseccién de las columnas y filas supri-

midas forman una matriz cuadrada, la cual engendra un determinante

de k-ésimo orden El determinante obtenido se llama determinante

de k-ésimo orden engendrado por la matriz A Se Hama rango de la matriz A al miximo néimero natural k tal para el cual existe un determinante no nulo de k-ésimo orden en- gendrado por la matriz A (vénso § 4)

Gye Gel —

=| - |Eisu,

Oar +++ Fan denominada matriz compleja conjugada de A

La matric

se llama matriz conjugada de A

Si A es una matriz real, 0 sea, con elementos reales (24: = a1),

entonces, evidentemonte,

A=Z, Alea At

Las matrices de una misma dimensién, 0 sea, compuestas por el mismo mimero de filas y columnas, pueden suroarse Se llama suma

de dos matrices tales A = |i az, || y B= |) By ll la matriz C = = |i vy || cuyos elementos son iguales a la suma de los elementos co-

rrespondientes de las matrices A y B: ys= ay + Bry Simbélica- mente se escribe asi

20 § 4 Sistema de scuacionos lineales

Segiin la definicién de suma de matrices y del producto de una matriz por un niimero, se tiene:

se lama vector nulo

Consideremos un sistema de 7 ecuaciones lineales con ø incógnitas

el sistema (A) admite sản tiniga para cualquler vector y3 esta soluciém

se calcula por las leon de Cramer *

= AIA =1 n) @)

— que se obtiene del determinante A al sustituir

en el mismo los ntimeros de la j-ésrma colurand por los ntimeros Ys, + + « + +s Uns Pespectivamente:

ay

Ai=lsee se

54 Ya Mt pene an najag nal “4

2, anti = SUÈ) A4 =ziA a

y que

lồ 2M9Ám = ty 2 muận =zy-0=0 51),

obtenemos œ;â = A1, donde

a De đán cc8ip NHSS W/AwSE| se sẽ sự so

= Yn Gnas +-nn

Por consiguiente, como segiin la hipétesis A 0, resulta x,

AMA

*) G Gomer (1704—1752), matemátieo suiso

22 § 4, Sistoma de ecuacionos linealos

En el caso goneral, para un j arbitrario, multiplicamos la primera

ecuacién del sistema (1) por A,j, la segunda por 4;;, la n-ésima

por Any, ¥ sumamos estas ecaciones, de donde, en virtud de las propiedades f) y g), obtenemos la igualdad

By >) ayyAny= 1.2, iu — ), Any Urns

De aqui, como A 0, se deduce la igualdad (3)

Hemos demostrado que si (z;, , z,) es una solucién dol sistema (4), entonces los números x, se determinan por las formulas (3”)

Reciprocamente, el conjunto de los nfimeros z) = £ Ay acy

+++) n) es una solucién del sistema (1) En efecto, sustituyendo z,

G = 4, ., n) en el primer miembro de la -ésima ecuacién (k =

=4, ,n) del sistema (1), en virtud de las propiedades †), g) de los determinantes, se tiene:

se ama homogéneo Este os un caso particular del sistema (1) para

Va =.+- = yq = 0 EstA claro que el vector nulo

=0, ,% 20 satisface el sistoma homogéneo (5) Pero puede ocurtir que so satisfa-

ga cl sistema homogéneo (5) por un vector no nulo x= (2, - Zn)s © soa, un vector qué tenga al menos una componente no nưÌa #¡ 2 Ù,

§ 4 Sistoma do ecuaciones lineales 23

Este vector se Hama entonces solucién no trivial del sistema homogénto (5), mientras que el vector nulo se lama solucién trivial del mismo TEORENA 2 Siel determinante A del sistema homogéneo (5) es distinto

de cero (A 0), entonces este sistema shlo admite solucién trivial , En sfecto, en virtud de Ia propiedad d), todos los determinantes ce (4), por Yo cual, en vintad do las lgualdsdes @), Taam Sil aap deans (6) tiene soluctén no apa entonces su delerminante A necesariamente es igual a cero (A = 0) En efecto, si fueso A > 0, entonces, segiin el teorema 2, el Tiatgna () sélo tendria solucién trivial Antes habiamos estudiado el sistema lineal (1) en'el caso en que

su determinante 4 # 0 Como se demostré (teorema 4), en este caso

el sistema (1) admite solucién Gnica, la cual puede calcularse por las

formulas (3), para cualquier segunda miembro y = (y;, ‹ ‹ ‹+ ữa}‹

4.4 Reglas para la resolucién de un sistema

de ecuaciones lineales

Estudiaremos el sistema (1) en ol caso en que su determinante A = 0 Supondremos que al menos un elemento do la matriz A (véase (2)) 6s distinto de cero y denotaromos el rango de A por ie (k = rango A) Por lo tanto, 1<k <n

Nuestro objetivo es demostrar las siguientes reglas (de una ma- ner explicita fueron enunciadas y demostradas por Kronecker ý

Capelli)

Si queremos resolver un sistema (1) del que se conoep que eÌ rango

de ls matriz A es igual a k, tendremos que hallar e} rango de la matris ampliada

" wn

ws [_| % |

Yn Un 4) Si el rango de Ja mateiz B es mayor quo ol rango de la matriz A (rango B > rango A = &), entonees oÏ sistema (1) no admite solucio- nes Este sistema es contradictorio; no existe ningin vector &

= (ey «+ Zq) que Satisfaga simulténeamente todas las ecuaciones

@

3ú § 4 Sistema de ccuaciones lineales

2) Si cl rango de Ja matrix B es igual al rango de la matriz 4 (rango B = rango A = È), entonces eb sistema (S) tiene soluciones Para hallar las soluciones se deben tomar en el sistema (1) it ecnaciones

tales que la matriz de sus coeficientes sea de rango k; después se deben

resolver estas ecuaciones Este sistema de k ecuaciones puede tener infinitas solueiones, pero pueden escribirse de una forma expresiva

En este caso, cualquier solución de las & ecuaciones tomadas sera también solucién de las demas n — k ceuaciones del sistema Las reglas 4) y 2) agotan todas las situaciones posibles ya que el rango de # no puede ser menor que &, Hay que tener on cuenta que, por hipólesis, la matriz A engendra un delerminante no nulo de ke-6simo orden, el cual es engendrado también por la matriz 2

§ 4, Sistema de ecuaciones lineales 25

es de rango 2 Como rango B > rango A, el sistema (6) no tiene solucién Por cierto, esto esta claro sin necesidad do teoria alguna, pues un mismo niimero no puede ser igual a 1 y a2 simulténeamente, EJEMPLO 3 Bl sistema

de la ccuacién (8) Estas tambien son soluciones de ]a sagunda ecua- ciớn đel sistema (7), pues rango A = rango B En este caso, este resultado es trivial sin necesidad de aplicar Ja tesria de los rangos

de las matrices Los coeficientes de las ecuaciones (7) junto con sus segundos miembros son proporcionales, respectivamente, por lo

queda claro que toda solucién de una do estas ecuaciones también

z8 § 4, Sistoma de ocuaciones linoales

32

§ 4, Sistema do ecuactones lineales 2

es de rango 3, pues ol determinante engondrado por esia matriz

144

19 1Ì=1z.0, +8

224 2242

tidnen el mismo rango, siondo rango A=rango B=2 Tomenos

en ol sistema (10) dos ecuaciones de tal modo que el rango de la matriz A’ de los coeficiontes de estas ecuaciones sea igual a 2 En este caso se pueden tomar la primera y segunda ecuaciones 0 la primera y tercera As{ pucs, consideremos ef sistema

#+ư+ ¿=1 )

#++Đz=1, Pasomos una do las incốgnitas a los segundos miembros de eslas eeuacionos đe tal modo que los coefioientes đo las ine6gnitas restantes formen una matriz 4” tai que rango 4” = 2, En este caso se puede pasar z 0 y

En resumen, el sistema no homogéneo

(14)

(12) tiene ef determinante

La regla 1) se basa en el teorema 4 (véase la pag 23), puesto que

si rango B > rango A, entonces no se cumple la condicién necesaria de compatibilidad del sistema (1)

DENOSTRACION DEL THOREALA &, Supongamos gue el sistema (1) admite sole cién ¥ que rango A =k, Tonemon que demostrar que rango B= mo, por hipétesi ran i

tạo orden engendmdo poe la mtr 4, por coniguienty tamien {GiB Por ltanto, ogo B > No quide més que demestiar que todo detox minanto de (et f)-éslmo orden engendrado por ta matriz B, ef igual a cero,

51 tal determinants consta s6l0 de los elementos a, entonces; naturalmente, e& igual a coro, ya que también es engendrado por In-matriz A, la cual, por bipé=

tesls en de rạngo È, AsÍ pues, hay que demostrar quo cualquier determinante de (dp f}-ésime ordon ongondrado por ia matriz B y convinenle une columnna come puesta por les nmoros yy, os igual a cero Sin festringir generalidad so puede Suponer que te es el ‘dotorminante

Siempre se puede reducir a este easo cualquier otro, reordenando de un modo adecuado Iss ccuaciones y las incégoitas 2 Yor hipotesis, el sistema (1) tà compatible, © sea, existe un vector # =

= (xj, + vy tq) Que satisface a las eouaciones del sistema Pero, entonces, en

particular, el vector satisface las k + 1 ecuaciones del sistema nuevamente

Feordenado.” Por consiguiento,

đun + tan Ty SỐ, £ nộp 32074) 6 8112 Su co (8) Shot, Erbe he, REE A

donde

ha Pot ree oe $e 0) tài, Âu ZRại cv "hp, nến — hết

Formemos el siguiente sistema con las ine6gnites 2, 23) , ther?

_- ax Spies Sie Ware wai d5) Okey cb ooh One, AER 1214 =

En virtud do (13) y (14), este sistema se satisface por los néameros 2 « 4} entre los euales, en todo caso, hay uno no nulo Pero, entonces, el detén me

§ 4 Sistoma do eouacionss lineales 29 ante dol sistoma (15) es igual a coro (véase el teorema 3), 0 sea,

`

¬— ts Matsa e+ Sheth URAL Esto ultimo se debe a que los determinantes (j de (#-+4)-€simo orden |) quo figu- fen on a suma 3} son iguals coro, ya que el ango do Ta matris A es igual ak,

ay oe Ons +++ On

El sistema reordenado (1) lo escribiremos tambiớn asÍ:

Como ol doterminante o 7:0, a cualquier sistoma de números zk+, , zạ

mento pueden expresarse asi: *

$0 § 4 Sistema do øcuacionss Iineales

m

so ealeulan según las iómulas (I8) Vemos pues, que el sistema (17)

ˆf8tiltas eolucionesr @remos comprobar ahora que sỉ, rango 4 = rang Z = š, entonces eualgbier soluetén hallada x de las primerus ecuaciones đại sistema (1) e& simulténeamonte solucién de Ing denids ecuaciones del sistema Para preci emostremos gue es solucién de Ia (F >} 4)-ésima eeuacién Aai pucs, Tết hạ primeras + 2) ocuaciones del sistema (quo is eueribifem forma (13) Hay que demostrar.que toda solucién x de las primeras & oct (is iquldbcamentesluelớn de la (E+ “alma ooiaciớn, Sa ø vn Xactor

au camp lg primera E sasinnl las ineégnitas Beran donde dy, = dy sẽ caleulan cog las lớ” ch H9) emia Ins seIaclote (5)

‘mulas (14) mediante Ins eomponentes sy:j1, "=," del vector ø ©] determic nante del sistema (15) es igual a coro, EU so ve por las ecuaciones (16) que hay erecha es igul a cero, Pore, entnees ef sstenn (He ul Zp số Ú, Ya que ei so a

Use “ind soluclon' Ws tntorsig 7 «ag 0, entouees 24,

fnularse pus ol dotorminante @ 2:0, Perot entonces, = Oyel sistoma 2, + sass seria trivial Como el sistema (15) ea homoggaeo, = Fesulta que no s616 2,, ' 1 tya satisfacen este sistema, sino quo tambien los

= lady oe oe a alt

posoen esta misma propiedad Pero, entonces, 2{, einen el sistema

do las & primoras eevacignes (18) cuyo detorminante ¢ ~ 0 Ya,sabemos que este

ng dsteme sdiite ln soluclon's, scr sp pron viniod do's uiclaeds

SỈ “lu sen SỆ ” 2h

Yelvinde s lạ đhin connlfn co (), veöo% qua la tuific le núnA Hy G 1), 0 sa, que los niimeros (23, - tisfacen la (k -} 4)-4

a acide đả silen G3) y, on vitud de 3), 3 Veelor considerado 2 satis (Œ +'s)-deima eonacin del siste-

ma{h.Gon ato At Baa 2) queda Nhanh

4.7 Método de resolucién de un sistema mediante eliminacién de incégnitas

Se puede recomendar el siguiente método de resolucién de un sistema

de ecuaciones lineales, que es el método de eliminacién de incdgnitas

(0 método de Gauss *), Sea dado el sistema

Oy2 + Aint = by

Omit t +++ + Anat

Multiplicando una ecuacién cualquiera del sistema (1”) por una constante y afiadiéndola a otra ecuacién del mismo sistema, obtene- mos un nuovo sistema equivalonte al anterior Bl nuevo sistema de ecuaciones tendra su matriz B’, que resulta de la matriz B mediante

una transformacién correspondiente (2 => B’), La transformacién

ma (4°), obteniendo, por lo tanto, formalmente, un nuevo sistema, pero equivalente al sistema inicial En este caso, la transformacién

B => B" so reduce «Ja permutacion de dos filas de la matriz B Las tres transformacionos sefialadas B => B’ se aman transjor- maciones elementales de la matriz ồn la práctica, en lugar de escribir el nuevo sistema de ecuaciones,

se limitam a escribir solamente 1a matriz correspondiente B’ Apli- cando adecuadamente operaciones elementales sobre el sistema de ecuaciones, 0 lo que es lo mismo, sobre la matriz B, siempre se puede conseguir resolver cl sistema dado (1*), 0 bien, obtener un sistema claramente contradictoriv Como este diltimo sistema es equivalente al sistema (1"), esto demuestra quel el sistema (1")

es contradictorio A-continuacién se exponen ejemplos de aplicacién de este xiếtodo

La operacién B = 8’ denota quo B se obliene de # mediante una

© varias transformaciones elementales EJEMPLO 7 Resolver el sistema

32 § 4, Sistema do ecuaciones lineales

dola a la tercera y cuarta filas, obtenemos la matrix

0 1238 1 0-200 —3

0 128 1 0-122 4 También se puede mutliplicar la segunda fa por —1, para quo se simplifique su expresién:

4234 5

0 200 8

0 123 1ƒ 0-422 -4 Las Uransformaciones siguientes do las matrices son ovidentes:

§ 4 Sistoma do ecuacion Consideremos desde este punto de vista el ejemplo 5:

48 Célculo del rango de una matriz

Si s6lo nos interesa averiguar el rango do Ìa matriz Z, entonces las operaciones elementales indicadas anteriormente B <>'B’ las exten- demos no solamente a las filas, sino que también a las columnas de

Ja matriz Ademés, si en el proceso de estas transformaciones aparece

en [a matriz una fila o una columna compuesta totalmente por ceros, entonees éstos hay que suprimirlos de la matriz, o sea, hay que considerar luego una matriz de orden inferior,

Los siguiontes ejemplos ilustran este método

song

4 § 4 Sistema de ecuaciones lineales

ipwnro 8, Hallar el rango de la matriz

este caso, a); = 140, Multiplicando le primera fila por (—1) y añadiểndola a la tercera, obtenemos:

La segunda colusnna ya consta de ceros, salvo el elemento

<0 Multiplicando la segunda columna por (—4) y añadtendola a

=|o o -2 0 0 0 of **={0 0 -2 0 of 7B

00 00045, 00 045,

10 000 10 00 _f[o4 ooo) =(o 0 -2 0 , fo1 00 of*¥={o0 0 -2 0

00 040 00 04

la matriz, 0 sea, se cumple la igualdad

rango E = rango 7P, Fsta regla es evidente si la transformadión elertehta] se reducø ala permutacién de files o columnas de la matriz o a Ja eliminacién

de la matriz de una fila o columna compuesta de ceros Queda tn caso més que expresaremos en forma de un teorema

‘TeonEMA $ Supongamos que la matriz B se ha sometido a una trans-

formaciin B => B", que consiste en que a una de sus filas (0 columnas)

se le ha afadido alguna otra fila (0 columna), mulliplicada por un

la matriz BY consta de los elementos edgy Supongamos que rango B =r, rango B’ =r’, + by 7 = 1, - n)-

Es suficiente demostrar quer’ <r, ya que por analogia se demucs-

tra que r<r', de donde resulta + = 1"

Sir = 0, entonces todos los elementos de Ja matriz B son iguales

a cero y, por consiguiente, también son iguales a cero todos los cle- mentos de Ia matriz B’, de donde r Sea ahora r > 0 Entonces existe una matriz A de orden z, engen- drada por la matriz 8, con el determinante distinto de cero (| A'| + 0),

36 § 5 Espacio tridimon Vectores Sistema cart de coord mientras que todas las matrices A engendradas por Ja matrix B y de orden mayor que r tienen cl determinante igual a cero En la trans- formacién B= B’ la matriz A se transforma en ma matriz « (4 =A"), Supongamos quo la matriz A es de orden mayor que r Sĩ la /-éima fila de la matriz B no participa en la formacién de

la malriz A, entonces, evidentomente, A = A’ y0 = |A | =| A" |

SỈ en la formacién do la mateiz A participan la k-ésima_y Lésima filas de la matriz B, entonces 0=|A}=|A'| En

efecto, para obtener el determinante | A’ | hay que añadi a alguna fila del determinante | A | otra fila determinada del mismo multiplicada por cl número e, con Jo que el valor del determinante

no varia Finalmente, supongamos que en la formacién de la matriz A

participa la L-ésima fila, pero no participa la k-ésima fila Esta claro

(vase la propiedad h) de los determinantes) quo

14 '1=141+e1Al (9) donde \ es una matriz de orden mayor que r, engendrada de A por sustitucion de los elementos dela D-ésima fila por los elementos corre: pondientes de la i-ésima fila de la matriz B Evidentemente, sĩ trasladamos al £-Gsimo lugar Ja fila obtenida de este modo en el Lésimo lugar, resulta una matriz de orden superior a r, engendrada por la matriz B Pero, entonees, | A | = 0 De (19) obtenemos | A’ | = 0 + 0 = 0

Hemos examinado todos los casos en que el orden de la matriz A’

es mayor que r y siempre ha resultado que | A’ | = 0 Bsto muestra que ” = tango B’ <r, como se queria demostrar

‘En este parrafo consideraremos el espacio real El concepto de vector

en el espacio real ya Jo conoce el lector por la geometria elemental

Se Nama vector (en el espacio real) a un segmento orientado AB, con el origen en el punto A y con el extremo en el punto B, que se puede trasladar paralelamente a si mismo Por lo tarito, se considera

TY Sefislomos quo.en este libro primero se expone el producto gscalar de

‘vectors, luego 1a geometria analftica en Ia rocta y en el plano y después de eto, en los 94 14—43 se dan los conceptos do Yoctores: Si so desen, estos phrtfos pueden exponerse inmediataments do" de producto vectorial y producto mixto pus deb §

§ 5 Espacio tridimen Vectores Sistema cart de coord a7

= que dos sogmentos orientados AB y AyB;, que tienen longitudes iguales (| AB | = | A,B, |) y una misma direccién, determinan un

mo vector a, y en este sentido se escribe: a = AB = A,B, (tig 2)

Si los puntos A y # eoinciden, entonces AB = AA = 0 también

so considera como wn vector; ésto es el vector nul Su longitnd es igual a vero (/0 | = 0), y la direccién carece de sentido

Fig 3 Fig 4 Fig 5

En geometrfa se considera la suma y diferencia de vectores, ast como el producto de vectores por mimeros reales Por defiuicion,

el producto aa = aa de un vector a por un numero œ, o hien, el producto del néimero & por el vector a, es un vector cuya longitud

es igual a |aa |= | |-|@ | y euya direccién coincide con la de a sia >0 y es opuesta a la dea si a <0 Sia = 0 Ja longitud | 2@ | 6s igual a cero y el vector aa se convierte en el vector mulo

5.2 Proyección de un veclor

Se Nama proyeccida de un punto A sobre una recta L ifig 6) al punto A’

en el que se rorta la recta Z con el plano que pasa por el punto A

¥ es perpendicular a la recta L, Tomomos una veeta orienlada L (fig 7) y un vector a

AB

Se Hama proyeecién det vector a = AB sobre la recta orientada L

al vector 4’B’, donde A’ B’ son lax proyeeciones de los puntos A y

B, vespoctivamente, sobre 7: (véase la lig 7)

La proyeceién del vector a sobre la recta orientada L se denota por pra

Dada una recta orientada L, las proyecciones A’B’ de cuales-

quiera xuetores 4 sobre L estén situadas en Z y Hevan Ja misma direceion que Lo la direecién opuesta

Por cierto, si el vector AB os nulo o es perpendicular a L, enton- ces, evidentemente, su proyeccion sobre L es un vector nulo, que no tiene direceidn

Junto con la proyeccién del vector ø sobre la recta orientada L, que representa un vector, introduciremos un nuevo concepto, el de Proyeccién numérica del vector a sobre la recta orientada L Es un húmero que se donota por pry @ (sin flecha) y se define del modo siguiente

Se Hama proyeccién numérica del vector a = AB sobre la recta orientada Lal producto de la longitud del vector a = AB por et coseno del dngulo œ formado por el vector a y la direcetén de L: prra = |a|cos(a, L)=|alose 0<o <a) Sefialemos los casos siguientes:

Sia=0 0 bien, si o =F, entonces prpa = 0: si