introducción al álgebra

Suponemos la existencia de un conjunto R cuyos ele= mentos se liaman nimeros reales.. En el conjunto R se define una opera cién llamada suma, que asocia a cada par ordenado de niimeros r

UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

INSTITUTO DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

INTRODUCCION

AL ALGEBRA

Ing MARIO RAUL AZOCAR

(Master of Science - New Nork University - New York City)

1975

UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

INSTITUTO DE MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Ing MARIO RAUL AZOCAR

(Master of Science - New York University - New York City)

1975

PROLOGO

El presente trabajo estd principalmente preparado para los estudiantes de Estadistica de la Universidad Catcé Lica de Chile

Su propésito fundamental es entregarles una guia de estudio que constituya una ayuda para su introduccién en les métodos del dligebra Se pretende que el joven estudiante lo- gre habilidad operatoria y conocimientos tedricos que respal~ den su trabajo

Bien conocida es, la falta de hdbitogs de estudios y

1a modesta preparacién matemdtica con que los estudiantes de secundaria ingresan a la universidad Pareciera que, en la ensefianza media, los reformadores educacionales hayan puesto

en dlgebra el énfasis en el formalismo teérico de Las estruce turas, relegando al abandono la ejercitacidén que busca la des treza Ello es comprensiuie cuando no hay propdésitos, pues una destreza sin propdésitos carece de sentido

Para nuestros estudiantes de Estadfstica, el conoci~ miento de la matemdtica, obviamente tiene metas bien defini- das Por ello es necesario ir en busca de la capacidad operae toria, la cual se adquiere con la ejercitacién, base tradicio-— ral de todo aprendizaje

Finalmente como la simple ejercitacidén, sin respaldo conceptual carece de consistencia, pretendemos que este tra-

hajo sea un paso provechoso hacia la coexistencia entre la

tedria y la prdctica

Ing MARIO RAUL AZOCAR

tot FU CUERPO DE LOS REALES

Desde los estudios de Secundaria nues- tros alumnos estan faniliarizados con las propiedades funda-

mentales Gel cuerpo R dé los nimeros reales Por esta razén

nuestre principal objetivo serd sistematizar estas propieda- des para luego poter hacer adecuado uso de ellas,

Suponemos la existencia de un conjunto R cuyos ele= mentos se liaman nimeros reales

AQ Axiomas de adicién

En el conjunto R se define una opera cién llamada suma, que asocia a cada par ordenado de niimeros

reales: ay b un numero real: a+ b, de tal modo que se

cumplen los axiomas siguientes:

ñ1)., a+ be=b+a ¥a,b, EGR A2) (a+b) +c2 a+ (b+) ¥ a,b,c 6 R M3), Bristes OGR, tal que: a+O0z=a ¥YacGR

£1 nimero 0 se llama elemento neutro de la suma y (-a)

es el opuesto del numero a,

B) Axiomas do multiplicacién,

En el conjunto R se define una operacidn llamada producto que asocia a cada pareja ordenada

de niimexos reales a y b un nifmero real ab, de tal modo que

Se verificana los axiomas siguientes:

M3) Existe en Rs 10 tai que: ai = a #ac<hR

Bl nimero real 1 es elemento neutro đe 1a multiplicacién

y el niimero (a7!) es el inverso o recfproco de a,

CC), Axioma de diatribucisén

Dt) (a + b) ec = ac + be ¥Via,b,c oR

Un conjunto de elementos en el cual se ha definido dos

operaciones (+) y (*) que verifican la axiomdtica (A), (B) y

(G) es un cuerpo conmutativo o campo

pb), Bl elemento neutro: O es đnieo oc), El epuesto de cada numero a, es unico

đc Bl opuesto de {=a} es a, o sea: - (a) = a

Supongamos que en R, ademds de O hay otro nứmero 6,

Supongamos que un niimero a < R, tenga dos opuestos:

(~a) y 3, entonces:

=(€ +a) + (=a) = 0+ (~a) = -a

E1 nứmero opuesto de (~a} es -{-a) luego:

(ma) + ((-a)} = O pero a + (=a) = 0

y como el opuesto de (~a) es Unico, queda: —(-a) = 2

De inmediato tenemos:

= b+ (ec + (-c))= b+ Oe b

TEOR 1.22

34) Dados a&R yy b &R existe un tinico real x,

tal que: a+kxe=b

a) abs O implica: (a= 0) x (b= 0)

aj}e Afirmamos que x = b+ (-a) es solucidn de a + xe bẹ,

en efectos

8 + 1x m a + (b+ (=g)) = Ía + (=a)) + bz=0x+b=b Falta mostrar que x = b + (-a) es la Unica solucidén

Supongamos que hay otra xX, entonces der: at+tx=b y

b)e ataz a implica: (a +a) + (ma) & a + (ma)s

luego: a+ (a+ (—a))= 0 Agi: a + 0z 0, o Sea: az 0

c)e De inmediato tenemos: Oa = (0 + 0) a = Ôa + Oa,

entoncess Qa = 0

Fata igualdad muestra que el O no tiene recf{proco,

đ}, Supomendo b # 0, existe bp”! tal que ‡ bb”! = 1 enton=

cess

a = 1a = (bb )}) a=b (ab) = b O0s=QO,

And@logamente si a #0 se encuentra b= 0, Finalmente si

a, bo ambos son cero, la tesis es trivial

DEF 1.1 Dados dos reales a y b, el Unico real x, tal que:

@+ x= by, se llama diferencia entre by ay se

a)s De inmediato tenemos:

a+ (<1)a = la + (=1)a = (1 + (-1))a = 0a = 0

O y como el opuesto de a es tinico, con= (-a)

fl

Ademds: a + (-a)

cluimos: (-1)a

Recordando que: «(#x) = x, tenemos:

tal que: ax= b

entonces:

a} De inmediato tenemos:

tal que bx = a, se llama cuociente entre a y b

De esta definicidn resulta inmediato que:

a”Ì « t.a7! = (1/a)

a/b = ab! = a(1/b)

4) (ab)(B”Ì a”Ì) = a(bpb"Đa”Í = sa” „ ‡

Asi el invereo de (ab) es ‘cm a7!) y como el inverse

de (ab) es (an)7', tenemos: (ap)"Ì = pÌ a1,

đ}a (a/b)! = (ap7!)71 = (6 1ạT1a-! = ba! = b/a

verso de 1, tenemos: 1 f0 = 1 Comparando ambas igual-

Woo ab ~ ab?

Y B

- abe + ab*

@e~ Si: x+y +22 0, demostrar que; x + y + z3 = 3XY1«

3e= Bi a, by c Son reales, demuestre que; aa + b + Ae ro

4.~ Pactoriaar la expresión: A = (x + ÿy + zZ} — x =y ~ø

5= Diviđir (a> + b? + c3 - 3abe) por (a + b + c), luego đe=

mostrar que si: a> + b + e3 = 3abe, se tiene:

(a” 3 + b + c } (x + va + 2°) = (ax + by + aaa

10.- Sia, bs C; Xp Y, 2 30m positivos, tales que:

factorizar las expresiones:

A= (a-b)> + (b- e)) + (e~ a)3

B= a> (b ~ e)3 + b° (ec - a)? + c (a - b)?

t3.— Demostrar la identidad de Lagranges

(a +b +6 }(x +y +.) = (ax + by + oz)” + (ay - TC +

19 —

+ (a# ~ ` + (bz ~ ova

14 Demostrar ques

a” - po = (a - By cae aay tesaet ae + pint)

15„= Descomponear en un producto de dos factores de cuatro

térmimos cada uno:

Sin embargo, creemos también que un buen manejo de operatoria algebraica debe estar respaldado por una adecuada comprensidn de los conceptos Buscando satisfacer esta nece— sidad, incluimos a continuacién un conjunto de ejercicios

orientados a un mejor logro de los aspectos conceptuales

Finalmente deseamos dejar constancia que todos los ejercicios propuestos han sido ordenados, adoptando como

criterio de orden el de complijidad no decreciente

1e3 EJSECTCIOS PROPUESTOS

1.- Usando unicamente axiomdtica de los reales, demostrar:

5e- Usando axiomdtica de los reales, demostrar que:

j) — a/(be)= (a/b) (1⁄e)

Ge~ Demostrar ques

Tom Usando axiomdtica de los reales, demostrar que:

i} (a/b)(c/4) = ac/ba con bd x 0

k) (a/b) + (c/a) = (ad + be) / bd con ba # O

8.— Usando axiomftica de los reales, demostrar que:

3)v a/o = c/d sii a/o = (a + c)/(b + a)

k) a/b = c/a sii (atb)/(a—b) = (c+d)/(c-d)

9.— Demostrar ques

3)» Para b #0 se tiene: (a/b)=O sii a=0O

10.— Demostrar gue:

4

n+ a J

1+4 TOS REALES: UN CUERPO ORDENADO

En el acdpite 1.1, hemos su~

yuesto la existencia de un conjunto R de elementos llamados

nimeros reales Luego, en dicho conjunto R, hemos introdu-

eidc dos operaciones: suma (+) y producto (+) que verifican

tres grupos de axiomas y con ello el conjunto EF ha quedado

algebraicamente estructurado, pasando a ser el cuerpo :

(BR, +, *)-

Ahora pretendemos introducir en el cuerpo(R, +, *)

una relacién de orden y con ello obtendremos el cuerpo orde= nedo de los reales

La introducciédn de esta relacidén de orden nos dard

la oportunidad de considerar dos nociones ge primera impor~=

tancia en el campo de las matemdticas aplicadas, ellas son

las Desigualdades y las Inecuaciones

kì, @ ER aA bd @R* implica (a + b) © Rt

1) a GR A DER impliea ab & RT

Dm Supongamos que: 1 & RT, entonces por (j) tenemos:

(~1) € RŸ, pues i #0 Ahora (-1) © RY, implica (-1)(-1) =

= 1¢ RY, conclusién que contradice la suposicién: 1 ch, Asi hemos demostrado que: 1€ RY

COR 1 El econjunto R* ao es vacfo, o sea RY BØ

Ø9R 22 (1+ 1) =2€ RY, (241) = 3 GR yeccone

DEF 1.4 RF = (aéR | -a € RẺ)

TEOR 1.8 El conjunto R” no es vacfo, o sea R x Ø,

dm Suponiendo 0 € R”, tendremos: (=0) € Rt y como (-0) = 0, queda 0€ Rt, conclusién falsa, pues contradice (i) Asi 0

Bm Supongamos ral R £ Ø, entonces existe a lo menos un

(.2) € RT laesd: a + (~a) = O€ R’, canclusidn que se cone

Kate teorema nog indica que ningtin nimero real es

Si a € RỶ conelufmos: a€ Ru { o}WR,

18u=

Este taorema nos garantiza que cada real es posi-

tive o negativo o nulo,

Dm En efectoa>O sii (a -0) =a €R* Ahora:

a <0 sii O> a, pero O>a sii (0 ~ a) = (-a) € RỶ, fi~ nalmente (-a) € R* sii: ae Re

COR 1 Para todo real a, se tiene una y solo una, de las ex

En efecto a € R implica:

~* M) ° Ị

COR 2, (a 3 0) si y solo si: (-a < 0)

TEOR.1.13 Para cada par de reales a y b se tiene una y golo

una de las expresiones:

a,* ob a= b ax<b

Dm Sea a- b= x, como x& R, se tiene que x cumple una y

solo una de las expresiones:

x@ RY x= 0 (=x) € Rt

Ahora, sỉ x€ RY, tenemos a> be Si x = 0, tenem mos a= b y finalmente si (~x) G R* tenemos que:

b>» ec implica (b- c) € RỲ, Ahora como:

a —C€Œ= (a ~ b) + (b ~ a)

tenemos: (a — c)€ RT, 0 gea3; a > Ce

la propiedad de la relacidn (>) contenida en el

teorema precedente, se expresa brevemente diciendo que la

vrelacién de orden (>) v (<) es transitiva

20 e=

TECK 1075 (a > b) implica (ate > b+c©)

(a +c) - (b+ 0) = (a - b)

rtesulta: ( Ía + c) ~ (b+c) )€ RT, 0 8ea A + > b+ Ceo

COR 1 (a+e> b+e) implica (a> b)

De acuerdo al teorema recién demostrado tenemos que

đuđauna desigualdad se puede sumar a ambos mienbros de ella

un mismo nimero y la degigualdad se mantiene

Finalmente por transitividad se tiene: a+c> b+d,

COR (a<b) y (e< da) implica (a + oœ < b+ da)

Este teorema se suele expresar brevemente diciende que desigualdades del mismo sentido pueden sumarse mienbro a

mienbro

21,~

tiene x€ Rr, luego: x (a — b) = (ax - bx) € RT, Asi tene-

mos; ax > Dbke

Este teorema se expresa brevemente diciendo que:

si se multiplica una desigualdad por un mifmero positivo la

desigualdad'se mantiene

(-x) (a - b) = (bx ~ ax) € R*, Asis bx > ax

Tal como en el caso anterior, este teorema se sue

le expresar diciendo: si una desigualdad se multiplica por

un nimero negativo, la desigualdad cambia de sentido

TEOR.1¢19 (a >b> 0) A (x>»y> 0) implica: ax> by

Dm De (a > b}) A (x > 0) tenemos ax > bx Ademds de

{x > yJA (b> 0) resulta: bx > by Finalmente por transi-e

tividad tenemos: ax> bye

P2 h2 ° Ị

TPORe1,2©0 5i a€G R y a #0, se tiene: a O

2

resuita: saa = a € RT, es decir: ae > O Si (=a) € RY,

tenemos: (maJ (#a) = ae RY, o sea? ao 0

COR 1 (1 > 0) En efecto: t= > or

COR 2 Si a # b, tenemos: a® + be > 2ab

se (a7! > 0) De este modo tenemos demostrado que si un ni-

mero a es positivo su recfproco aw! también es positivo La

otra proposicién se demuestra de andloga manera

TEOR 1.22

(a> b) y (ab>0) implica (1/a) < (1/b)

que: {a > b) con a y b de signos contrarios implica:

TEQOR1e24 (aéb) y (bờya) implica a= bẹ

(a < b) sii (a<b) x (a = b) a

Como (a 6 b) y (a2 »b) se cumplen simultaneamen~

te, se presentan las siguientes alternativas:

Finalmente siendo verdadera p = (a = b) también es

implica (a= b)

CBSV: Hacemos notar que a estas alturas de nuestro desarro—

116, tenemos el cuerpo (R, +, *), estructurado con una re~ lacién de orden (¢) y en estas condiciones hemos obtenido

el cucrpoe ordenado de los reales; (R, +, *; S)

Finalmente deseando que el joven estudiante logre

hacer un efectivo uso de los teoremas contenidos en este

acdpite, le entregamos un conjunto de ejercicios: para resol- ver, los cuales han sido cuidadosamente elegidos y ordenados

en orden de dificultad creciente, si es que se puede hablar

de dificultad frente a ejercicios que son de simple operato—

ria algebraica fundamentada en la directa aplicacion de los

(a/b) + (b/a) » 2

(1⁄a + 1/b + 1⁄e) > 9/(a + b + c)

(a<b) y (e¢> 4) impliea (a/c) < (B⁄4)

at + v4 » ab + abŠ

ab(a + b) + bc(b + c©) + ca(c + a) > 6abe

a3 + b> > a’b + ab”

a> + t/a > a+ t/a > 2

(a+ b)/2 > Yab X 2ab/(a + b)

2/(a + b) + 2/{b + e) + 2/(c +a) < 1fa + 1/b + 1/c

(\fa+ fa) vBE+(vbB+ v3) /E+(vẽ+ v5) aK

2(a + b+ e) (8 +b +óổ) > 8 7+ bfˆ + œ7 + 15abe gˆ(b +c) + bade +a) + e (a + b) > Gabe

(a+ b+ 0c) (ab+ be + ca) » 9abe

(a-+b-) /(a+b)+(b-40-) /(b+c)+(c-#a~)/(o+a) > arbre

(a+ b+e)“ y 3(aA“ + b + eo)

ah” + to” + ca” » abe(a + b + ©)

(a+ b+ e) « 3(ab + be + ca)

ate pte ei + at y 4abed 4a(a + b) (a + e) (a+b+e) + bo > 0

a’ + 2ab + 3b° + 2a + 6b+ 4 x 1a

Sea (a, b, ¢) y (x, y, 2), reales tales que:

a” + Đ + oe = xe + oe + a* z= 1 Demostrar que:

Sean a, by ¢ reales positivos, tales que la suma de dos

de ellos es mayor que el] tercero, demostrar:

i) (a + b=c) (b+c=a) (c +a — b) < abe

4) 1⁄(a + b-—-c) + 1f(b+ ec -a) + †1⁄(c + a - b) >

1⁄a + 1b + 1/©

15.— Demostrar ques ab> O0 implica

(a» 0 y by0) w (a<0 y b<0)

16,.— Sea a> O demostrar que:

1.6 LOS RosLes; UN CUBRPO COMPLETO

Todos los axiomas precedentes,

vale decir, los axiomas de adicidén, de multiplicacidn, de distribucién y de orden, son indudablemente muy familiares

para los jovenes estudiantes de secundaria Creemos que no ocurre lo mismo con el llamado axioma de completitud Oo axioe

ma de completividad, que es el que realmente permite diferen—

ciar al campo de los niimeros reales de cualquier otro campo

ordenado

Con el propdédsito de presentar en forma adecuada ese

te axioma de completitud, debemos introducir previamente al- gunas nociones de fundamental importancia

DEF 1.9 Un conjunto S de numeros reales acotado superiormen=

te, si y solo si, existe un real b, tal que:

¥xes ge tiene: x &b

El niimero b se llama cota superior del conjunto S

EJEM.1.1 El conjunto R de los reales negativos es acotado

Asi el némero 0 es cota superior de R’

De acuerdo a la definicidn anterior tenemos si un

conjunto 5 de niimeros reales es acotado superiormente, nin-

gin niimero S es mayor que la cota superior b Ademds si b

es cote superior de S, todo nimero real c mayor que b, tam~

30

bién es cota superior de 5S, pues: (¥xES, x <b) y (b«<c) implican: (¥xG@S, x<c)-

Finalmente es conveniente observar que hay conjun~

tos de nimeros reales que no son acotados superiormente, Tal

cosa ocurre, por ejemplo, con el conjunto R

EJEM.1.2 El conjunto R de los realea.no es acotado superior- mente

En efecto supongamos gue R es acotado superiormen—

te, entonces existe un real r, tal que:

¥xerR se tiene: XS Te

Particularmente tomando x = r + 1, resulta;

(r+ 1)4r y entonces 140 Conclusidn falsa, pues 1> 0

Asi el canjunto R de los reales no es acotado superiormente

DEF 1.10 Un conjunto S de nimeros reales es acotado inferior-

mente, si y solo si, existe un real a, tal que:

#x€ 85 se tiene: x> Aa

B1 nứmero a se llama cota inferior del conjunto 5

EJEM.1.3 El conjunto Re de los reales positivos es acotado

inferiormente En efecto: ¥xé& R se tiene: x >0, Asi el nimero O es conta inferior de RY,

Obviamente hay conjuntos de reales que no Son aco

tudcs inferiormente Veamos un ejemplo

EJEM.1.4 El conjunto de los reales no es acotado inferiormen~

t9s

En efecto supongamos que R es acotado inferiormen-

te, entonces existe un real r, tal que:

%¥xe R se tiene: x» Ye

Particularmente tomando: x= r- 1, resulta:

(r-i)yr y entonces (=†1) >» O0, o sea: 1 < 0, Conclusién falsa , pues 1> 0 Asi el conjunto R de los reales no es

acotado inferiormente

DEF 1.11 Un conjunto S de nifmeros reales es acotado, si es

acotado superiormente e inferiormentes

Come ejemplos de conjuntos acotados podemos men-~ cionar los intervaloss:

32.=

l[IEt 1.12 Un nứmero real M es supremo de un conjunto 5, ao

vaefo de nimeros reales, si y solo si:

1) ¥ x€S8 se tiene; x <M 2), ¥VEP?O Ädx<sS tal que; xờM=£

Para indicar que M es supremo del conjunto S, pone

mo el niimero M = 0,

En efecto, de acuerdo a la definicidn de S, tene-

mos: ¥reés se cumple r<M= 0

EJEM.1.6 El conjunto S= { reéeR } r <0 } tiene como supre-

mo el niimero M = 0,

En efecto, de acuerdo a la definicidn đe 5, se verifica: ¥r€S se tienes r<Me= 0,

Ademds tomado €>0, tenemos: ~ E<0, entonces para

zs =€ resulta: Jr =~£eé S tal que: r =-Š> M=£= =€

Asi M = 0 es supremo de 5,

PEOR.1ec5 Sea M el supremo de un conjunto no vacfo S, entone

cess

Dm

i) Como M es supremo de S$, tenemos que: Vx€e8

se tiene: x < M Luego M es cota superior de S

Entonces, como M es supremo tomado Ex M —- M > 0, existe:

x € 5S, tal que;

resultado que contradice el hecho de ser M cota superior de

5 Asi el supremo M de un conjunto S es la menor de sus co-

tas superiores

COR: Si M es supremo de S y Me es cota superior de S, siem-

De este teorema se infiere que si un conjunto 5, tiene supremo éste debe ser Unico De todos modos para no

dejar ninguna duda al respecto, demostraremos esta afirma-=

ciển,

TEOR.1-26 Si un conjunto 5 de niimeros reales tiene supremo,

éste es dinico.

Dia Supougamos que el conjunto no vaecfo S de reales, tenga

dos supremos My y Mo» entonces:

M, > My por ser M, cota y¥ M, supremo

Mis My por ser M, cota y M, supremo

1

luego M, = M,e Asi,si el conjunto S, tiene supremo, é1 es

Unico

ademfs k€ A, entonces sup (A) = k,

Dm» Como k es cota superior de A, tenemos;

Ahora tomado, arbitrariamente E> 0, siempre se tiene k > k -E y como k € A, resulta que:

Asi tenemos demostrado que: M = sup (A) = ke

EJEMo.1.7 Los intervalos abierto y cerrado que se indican:

a

(a,b)= (x |] acxcb)

tienen, ambos como supremo al niimero b Pero an.el primer

conjunto, b no es elemento del intervalo y en el segundo,

b es elemento del conjunto

DEP 1.13 Un niimero real m es infimo de un conjunto 5; no

vacfo đe niimeros reales, si y solo si:

Para indicar que m es infimo del.conjunto 8, pon~

dremos: m= inf(S),

fimo el niimero: m= 1¢

En efecto, de acuerdo a la definicidn de 5, te-

nemoss ¥reés se cumple "»m = 1s

r<¢i1+€ , pues tomado r=1 resulta: 1 <m + £

infimo e1 nimero: m= 1

23 infimo de 5

TEOR.1.27 Sea m el infimo de un conjunto no vacfo 5,

enton-36.=

Czss

j}- m es lamayor cota inferior de S

ejercicio

COR: Sim es infimo de S y m, es cota inferior de 8S, siem=

pre se tiene: m,<m

De este teorema se deduce sin dificultad que si un

conjunto 8, tiene infimo, éste debe ser nico

TEOR.1.28 Si un conjunto S de ndmeros reales tiene infimo,

éste debe ser tnicoa

Dm Es andloga a la dada en el teorema 1.26 Se deja como

ejercicio

TEOR.1.29 Sih es cota inferior del conjunto ACR y

ejercicio.e

HJEM.1.10 Los intervalos semi-abierto y semi-cerrado por

la izquierda,que se indican;

(a,bJ= (xf a<x <b)

ambos tienen como {nfimo al nifmero a En el primero de ellos

& no es elemento del conjunto y en el segundo a pettenece

se tiene: n+1>n, es decir: (n+ 1)/n >1 , 0 sea: para

todo x€ S , se tiene: x » 1

Para la condiciédn (2) tomemos € positive arbitrario

Entonces hay un entero positivo a, tal que (1/n,) <& Asis

Es decir, hay x = (n+ 1)/n, en 5, tal que: x < m + &@

OBSV: Introducidas las nociones de fnfimo y de supremo esta-

mos en condiciones de dar el llamado axioma de completitud,

que como hemos dicho es el que permite diferenciar el campo