introducción a la integral de lebesgue en la recta

MEDIDAS INTERIOR Y EXTERIOR, ¥ CONJUNTOS MEDIBLES LEBESGUE, ..e- ver rcecnaveas l.1, Medida Interior .... Co- menzaremos definiendo una familia de subconjuntos del cuerpo de los reales q

INTRDUUUI0N A LA

IWIEöRAL DE LEBES6UE EN LA REUTA

SEL _

INTRODUGCION A LA

INTEGRAL DE LEBESGUE EN LA REGTA

por

Juan Antonio Gatica

LAM Universidad Técnica del Estado

Santiago, CHILE

Department of Mathematics

The University of lowa

lowa City, lowa, ESTADOS UNIDOS

Programa Reglonal de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico

Departamento de Asuntos Cientificos

Secretaria General de la

Organización de los Estados Americanos

Washington, D.C - 1977

©Copyright 1977 by The General Secretariat of the Organization of American States

Washington, D.C

Derechos Reservados, 1977 Secretaria General de la Organizacién de los Estados Americanos

Washington, D.C

Esta monografia ha sido preparada para su publicacion en el Departamento de Asuntos Cientificos de la Secretaria General

de la Organizacion de los Estados Americanos

Editora: Eva V Chesneau Asesor Técnico: Dr Djairo Guedes de Figueiredo

Instituto de Ciéncias Exatas Departamento de Matematica Universidade de Brasilia Brasilia, D.F., Brasil

A à bimn

El programa de monografias cientificas es una faceta de la vasta

labor de la Organizacién de los Estados Americanos, a cargo del De-

partamento de Asuntos Cientificos de ta Secretaria General de dicha

Organizacién, a cuyo financiamiento contribuye en form importante

e} Programa Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico,

Concebida por les Jefes de Estado Americanos en su Reunién cele-

brada en Punta del Este, Uruguay, en 1967, y cristalizado en las

deliberaciones y mandatos de ta Quinta Reunién del Consejo Interame-

ricano Cultural, Llevada a cabo en Maracay, Venezuela, en 1968, el

Programa Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico es la ex-

presiốn de las aspiraciones preconizadas por los Jefes de Estado

Americanos en el sentidode poner laciencia y la tecnologia al servicio

de los pueblos latinoamericanos,

Demostrando gran visién, dichos dignatarios reconocieron que la

ciencia y la tecnologia est4n transformando la estructura econémica y

social de muchas naciones y que, en esta hora, por ser instrumento

indispensable de progreso en América Latina, necesitan un impuiso

sin precedentes

El Programa Regional de Desarrollo Cientifico y Tecnolégico es un

bee

complemento de los esfuerzos nacionales delos paises latinoamericanos

y se orienta hacia la adopcién de medidas que permitan el fomento de

la investigaciốn, la enseBanza y la đifusiốn dela cienciay ta tecnologia;

la formacién y perfeccionamiento de personal cientifico; e] intercambio

de informaciones, y la transferencia y adaptaciénalos paises latinoame-

ticanos del conocimiento y las tecnologfas generadas en otras regionea,

En el cumplimiento de estas premisas fundamentales, el programa

de monograffas representa una contribucién directa a la ensefianza de

las ciencias en niveles educativos que abarcan importantisimos secto-

res de la poblacién y, al mismotiempo, propugna la difusién del saber

cientifico,

La coleccién de monografias cientificas consta de cuatro series, en

espafiol y portugués, sobre temas de fisica, quimica, biologia y mate-

rnấtica Desde sua comienzos, estas obras se destinaron a profesores

y alumnos de ciencias de los primeros afios de la universidad; de estos

se tiene ya testimonio de au buena acogida

Esta introducci6n brinda al Programa Regional de Desarrollo Cien-

tifico y Tecnolégico de la Secretarfa General de la Organizacién de los

Estados Americanos la ocasién de agradecer al doctor Juan Antonio

Gatica, autor de esta monografia, y a quienes tengan el interés y buena

voluntad de contribuir a su divulgacién

mayo de 1977

INDICE

A los Lectores co tenet

Introducciốn y Prerrequisitoa - - " th tet

CAPITULO PRIMERO MEDIDAS INTERIOR Y EXTERIOR,

¥ CONJUNTOS MEDIBLES LEBESGUE, e- ver rcecnaveas

l.1, Medida Interior ec e eee Ÿ Ÿ + ¬

12 Medida #xterior 1 ¬¬

1.3 Conjuntos Medibles "ốc ¬

1, 4, Funciones Medibles erp reve *ˆ+ ® ® r0 mm mm “â "+, «4 8n, m 8 4

CAPITULO SEGUNDO LA INTEGRAL DE LEBESGUE

2.1 Integraciốn de Funciones Positiva8 sec Ÿ«

2.2 Funciones Integrables Ta `

2.3, Sucesiones de Funciones Integrables y Teorernan đe

Convergencia ‹ sete eee - teas

CAPITULO TERCERO, COMPARACION DE LA INTEGRAL

DE LEBESGUE CON LA INTEGRAL DE RIEMANN a

3,1, Integral de Rietaann «« «se eee n meanness

3.2 Existencia de la Integral de Riernann ‹- - -

3.3 Comparacién con la Integral de Lebesgue

CAPFÍfULO CUARTO DIFERENCIACIỐN ki va

4,1 Diferenciaci6n y la Integral de Riemann +

4,2 Funciones Monétonaa .-+ co tcece

4.3 Funciones de Variacién Acotada Diferenciacién de

IntegraleS ốc

4.4 Continuidad Absoluta, Integracién de Derivadas

Bibliografia ee ee ee) eee meee TÔ ee nh mm se

Pagina ili

INTRODUCCION Y PRERREQUISITOS

En esta monograffa daremos una breve resefia de algunos resulta- dos, ya cldsicos, sobre la integral de Lebesgue en la recta real Co- menzaremos definiendo una familia de subconjuntos del cuerpo de los reales que llamaremos medibies, y definiremos para cada uno de ellos cudi es su medida, exigiendo, entre otras cosas, que los intervalos de nameros reales sean medibles y que su medida coincida con nuestra idea intuitiva de longitud

Bien estarfa que todos los subconjuntos de la recta real fuesenme- dibles; mas por desgracia esto no ocurre, de modo que habra que con- tentarse con encontrar la familia mds extensa posible de conjuntos que

se pueden medir

Ahora se hard un resumen de los conceptos y resultados que supo-

nemos los lectores dominan Ademds, se demostraran algunos hechos

que empliearemos mds adelante y que no se suponen conocidos con an-

terioridad

También conviene advertir que, ai iguai que ocurre en todo texto de

matemấticas, la cormprensiốn de esta monografĩa exige que el lector

posea un buen grado de experiencia lógica,

Creemos reguisito indispensable para la comprensién de este texto que el lector haya seguido al menos un primer curso de Cátculo Su- pondremos, por consiguiente, que se conoce el cuerpo ordenado com- pleto de los nimeros reales

Sia y Dson ntimeros reales, por a@< 40 4>@ se indica que a es

menor que ở, y prasbo } 2a, que a es menor oa to sumo iguaia

b

Se denotara por:

N el conjunto de los enteros positivos, llamados también naturales,

es decir, V= {1,2,3, }

Z elconjunto de los enteros, es decir, Z= (0,41, +2, }

Q el conjunto de los nimeros racionales

el conjunto de los nameros reales

Sean X y A dos conjuntoa; se dice que 4 es un subconjunto de 4, lo

que se denota por 4 GZ, si todo elemento de A es tambiénelemento de

X Se dirá que A es igual a Ÿ, A=, siA y X poseen los mismos ele-

mentos SiA es un subconjunto de % y A es diatinto de Ÿ, se escribirá

AC Además, si Ÿ es un conjunto, se denotará por P(Ÿ) el conjunto

de todos log subconjuntos de ¥, el] cual se denomina también conjunto

de las partes de X

Si 4 y 2 son subconjuntos de un conjunto 4, denotaremos por 4 UB

y4 0B la unién y la interseccién respectivamente de 4 y 8

Denotaremos por:

fx: P]

el conjunto de todos los elementos x que tienen la propiedad P, y por ¢

ei conjunto vacio, es decir, el inico conjunto que no posee elementos (obsérvese que ¢ es subconjunto de cualquier conjunto), Si 4 y Z son subconjuntos de 4, se dird que A y 8 son disjuntos sid NB= ¢,

Observemos que sỉ 4, ® y@ son subconjuntos de un conjunto 4, se tiene:

(ANB) UCANC)

4n @uữ0)

AUENAC) (AUF) N (A UC)

Si A y 2 son subconjuntos del conjunto 4, denotaremos por 4\F el complemento de 2 relative a A, es decir, A4\# es el subconjunto de #, cuyos elementos son aquellos que pertenecen a A y noa B El conjunto

4\A recibe el nombre de complemento de A en X {o, cuando no haya lu-

gar a confusién, el complemento de 4) A continuacién se da una lista de los simbolos que usaremos, asi

como ei significado que se les asigna:

existen enteros 7,7 # O, tales que g = %'', 3 se traduce en:

g€Q”n,m€Z, n0, 3g =1

Sean à e Ÿ conjuntos Recordernos que una funciốn (o aplicaciốn) ƒ

de ÃÝ en Ÿ es una regla que asocia a cada elemento de XY un único ele- mento de Ÿ (en realidad se podrĩa recordar una definicién mucho més formal, perc no jo creemos necesario), En este caso se dice que Ÿ es

el dominio de f, que Y es el codominio de f,, y se usard la notacién

ƒ :Ä = Ÿ para indicar que f es una funcién de X en Ÿ, Además, sỉ xes

un elemento de Ÿ, denotaremos por f(x) el Gnico elementode Yasociado

con x mediante f y lo Wamaremos la imagen de x por f

Sì Ÿ e ¥ son conjuntos, f:4~Y es una funciốn y A C4, se define el

conjunte f(A), la imagen directa {o, simplemente imagen) de 4 porf,

como el subconjunto de Y cuyos elementos son las imagenes por f de

elementos de A En simbolos:

$4) = {ye V:d x €A dfx) = y}

El conjunto f(4) recibe el nombre de recorrido {o imagen) de ƒ Si

f(%) = ¥, diremos que f es sobreyectiva

Ahora, sif CY, se define la imagen inversade 8 por f, f8), co-

mo el subconjunto de Y cuyos elementos son aquellos cuya imagen por f

Si X e ¥ son conjuntos y f:4 ~ ¥ es una funcidén, se dice que f es in-

yectiva si, dados dos elementos distintos en 4, sus imagenes respec-

tivas (por f) son elementos diferentes en Y Es decir, f es inyectiva

Si f:¥ + Y¥ es una funcién, se dira que f es biyectiva siempre que f

sea inyectiva y sobreyectiva

Sean J y X conjuntos Una familia de elementos de 4, con conjunto

de indices J, es una funcién f:7 -% El recorrido de f es el conjunto

de elementos de la familia Por abuso de notacién, la familia f:J -¥%

se denotaré a menudo por {f(t} ie © por [ii he; donde x, = f(t) ŸÝ ¿ € 7

Obsérvese que todo conjunto se puede considerar como el conjunto

de elementos de la familia T:4-~-42, donde I(x) = x, Yx€#

Si X es un conjunto y {A shsey es una familia de subconjuntos de 4% (es

decir, una familia de elementos de P{X)), la uniến de la familia, UA,

At = {xexX:F LETIxXEA,},

y la interseccién de esta familia, sáo se define como el conjunto:

B41 = (xe Xie eAy, VEE TI,

Điremos que una familia t4: ]:er đe subconjuntos de XY es disjunta si

tJEe€l,te# fs 4á, = g

Sim es un nimero natural, se denotard por 7({(n) elconjunto de todos los nimeros naturales menores 0 iguales a Es decir:

Tín) = {%x€W:E s n}

Recordemos que un conjunto Ÿ se dice finito sỉ Ÿ = 4 0 si existe una

funcién biyectiva f:4 -J{n) paraaiginné€N Sid = ¢, se dice que X tiene 0 elementos, y si X es finito y no vacfo, el (anico) nimero natu- ral 7 tal que existe una biyeccién de Z en J(n) recibe el nombre de nt-

mero de elementos de % Si ¥ es un conjunto no finito y tai que existe

una biyeccién de X sobre J’, se dice que Y es enumerable Un conjunto

X se dice numerable siZ es finito co enumerable Si X no es finito, se dice que % es infinito

Sean X un conjunto y {x.},-, una familia de elementos de % Dire-

mos que ésta es finita, numerable, enumerable, infinita, en caso que

f sea del tipo respectivo

Si4 ca, yA # es un subconjunto finito de 7 (o una familia finita

de nGmeros reales), entonces existen % y 4 €A tales que:

⁄eSx*<„xy Vo ued,

Es claro que X%) y x¡ son los únicos que poseen esta propiedad, Di-

remos que xX, es ei menor elemento de 4 {o minimo de 4}, y que 4 es

et mayor elemento de 4 (o maximo de 4) Los denotaremos por:

Si ¥ es un conjunto, una sucesién de elementos de XY es una familia

de elementos de % con N como conjunto de indices En este caso se

escribird a menudo {x,},=, en vez de {xs }ecn- Sỉ m€ N, se dirấ que x,

es el término de orden 7 de la sucesién {ay Ta Si fmho VY {ya duck

son dos sucesiones de elementos de Ÿ, diremos que {y,}"_, es una sub- sucesién de {x,}™_, en caso de que exista una funcién g: N~ N tal que:

a) nym EN, n< ms gín) < gin),

Ahora se hará una breve resela de ìos conocimientos imprescindi-

bles sobre andlisis en la recta real

Si {x }%, es una sucesién de nimeros reales y % €7, se dice que

% es el limite de la sucesión [z„}2=¡, o que la sưcesiốn {xạ ̧=y conver-

ge hacia x), 0 que ¥, tiende a x al tender n al infinito, si:

e€R, c>O0 > EVENS Ix -ml cc FnNEN, ne,

Si x% es el limite de tuy ng, se escribe

“

X = lim #„

nm

Es muy fAcil ver que si [x,}™, es una sucesién de nimeros reales

que converge hacia Xa, ÿ si fy, $a es cualquier subsucesiénde [3 độn,

también fy,}%, converge hacia x

Si {x} es una sucesién de nimeros reales, y si existe xạ € # tal

que % = lim x, se dice que (x1 es convergente, Es casi inmedia-

Uwe

to que toda sucesiédn convergente de nimeros reales tiene un limite

único

Si {x,]", es una sucesién de nimeros reales, se dice que es:

a} Mondtona creciente si: nmMEN, N2mM> x zx

b) Monốtona đecreciente sỉ: "é,m € N, ? >m® Xa XS Ky

c) Monétona, simplemente, si es mondétona creciente o monétona

decreciente

d) Acotada si existe ¥ EA, M20, tal que

|x„| <# ŸÝ n€N

Una consecuencia de facil deduccién de la completitud de los nime-

ros reales es que toda sucesién monétona yacotada de estos es conver-

gente

Dada una sucesién de nimeros reales, interesa a veces poder de-

terminar sies o no convergente, sin necesidad, en el caso de conver-

gencia, de hallar su limite Para ello recuérdese que la sucesién de

nameros reales {x }i-, se dice ''de Cauchy" si dado ¢ > 0, existe YE N

Recordemos ahora algunos hechos concernientes a las sucesiones

convergentes de nimeros reales Sean {x, i V (wy̬ dos de ellas,

ambas convergentes ya € En tal caso:

1) La sucesién fax,}2, es convergente y

lim {œxa) = @(lim x,}

noo

yy

2) La sucesién {x, + y joc, eS Convergente y

lim (4 +y) = (lim x) + (lim >2)

3} La sucesién {x,y Jom es convergente y

lim (7s) = (ấn x,)(iim y)

4) Si TH 1a Z 0, existe #e € N tai que z„ 0, para todo númerona-= tural ? mayoz o igual que #, y la sucesiốn { es convergente, y

la sucesién definida por:

8, = & td2at ta, VYnNEN

La sucesién fs, an recibe el nombre de sucesién de sumas parcia-

les de la serie y @, Diremos que Ệ a, ©3 convergente Bi { sa Ì—y

Es facil demostrar que si , es absolutamente convergente tam-

œ n=

biến es convergente ) dạ, Esto se consigue observando que ) đạ ©B

convergente si, y sốlo sì, la sucesiốn de sumas parciales es de Cauchy,

y recordando que aÏđ, , du € #, resulta |œ + +a„[< |ay| + +

+ [os]

a

Recuérdese ahora que, si ) dụ, ) bạ son dos series convergentes

n1 s=1

de nameros reales y ¢ €7 se tiene:

1} » (ea,) es convergente y ), {oa,} = e(), Ga)

Sia,b€R yas b, se definen:

1) El intervalo abierto de extremos @ y b, denotado por (4,4), co-

3) Los intervalos semiabiertos {o semicerrados), [a@,b) y (2, >],

como los conjuntecs:

(a,b) = [x€A:asx<}}

(, b1 fee R:a<xsbd}, Sia €F, los conjuntos (2,%), (-~,@), [a,*), (-~,a], (-",°), sedefinen

[a,®) Se dird que £ es un intervale abierto si es de la forma (a,b) 6 {2,7} 6 (-7,a)6(-™,~) Se dirấ que # es un intervalo cerrado si puede denotarse por [a,)] 6 [a,=} 6 {-*,a] 6 {-»,&),

Es f4cildemostrar que, si £ es un subconjunto de #, entonces # es

un intervalo si, y s6lo si:

@a,b€#, a<b = (da #

Si Y es un subconjunto de A, diremos que 7 es abierto si posee la siguiente propiedad:

x €U > existe un intervaio abierto 7 tal que x€ 7C Ử,

Es inmediato que un subconjunto U de 2 es abierto si, y sdlo si:

x€ÙỮ=dec,€7, £e,>03(x-€,,x+€,)C 7,

Si @ es un subconjunto de , se dirá que Ø es cerrado si R\C es

abierto

Es fấc¡l demostrar que sỉ 7 G # es un intervalo, resuÌta:

i} J es un intervalo abierto # J es un conjunto abierto

ii) J es un intervalo cerrado © J es un conjunto cerrado

Aigunas propiedades evidentes de Ics conjuntos abiertos y de los

conjuntos cerrados son:

1) Si {Ug lacs es una familia de conjuntos abiertos (de #), entonces

U UY es un conjunto abierto,

GA

2) Si{%, , %} es una coleccién finita de subconjuntos abiertos

de 2, entonces A Y¥, es un conjunto abierto

3) Si {Cahaga es una familia de conjuntos cerrados, entonces ae, Pa

B' = {x € Rix es punto de acumulacién de 3}

Veamos que B€ # es cerrado si, y sdlo si, #'S 2 Enefecte, con- sideremos primero § © # cerrado y supongamos que existe x, €#' tal que x, £2 Entonces, por ser cerrado, A\B es abierto y % € F\B Por

lo tanto existe 6 EF, 6 > O tal que

(xạ-ô, xe +ô) A\Z

Pero entonces es claro que no puede haber una sucesiốn đe elemen- tos de 2 que converja hacia xạ, ya queningún elemmento de # puede estar

a una distancia de x, menor que 6 Esto contradice la suposicién x €

€ 8

Lauego:

B cerrado = §' € B&B

Supongamos ahora que ' G?Ø Hay que demostrar que 2 es cerra-

do Supongamos que 8 no lo fuese Entonces A\B no puede ser abierto,

y como consecuencia existe un % € {#\B) tal que si J es cualquier in-

tervalo abierto y xạ € 7, entonces J € (A\B), es decir TN BF g

Luego, para todo 2 € N, el conjunto (Xe - i Xo ta) NB es, necesa- riamente, infinito (la deraoatraciốn de este hecho se deja como ejerci-

cio) Ahora se puede construir inductivamente una sucesién de ele-

mentos de 8 de? siguiente modo:

Elijase 4 come un elemento de (4-1, % + 1) 1 8 Entonces se puede encontrar x, € | - 3, xạ + #1] NB (ya que (xe -5; Xo +430

NB es infinito) En general, si se supone que se hanelegido 4, ,x%, €

entonces, como (Xe - nF? Xo + nF) f B es infinito, se puede elegir un

elemento x4; de [ œ& - ah Xo +b \in, wee 2,3 | n 8

De este modo se obtiene una sucesién inyectiva fxn de elemen- tos de 8 tai que lắm x„= xạ Es decir, x es un punto de acumulacién

Un hecho importante relative a intervalos cerrados es el Principio

de Encaje de Cantor, que en este contexto se enuncia delsiguiente mo~

- œ= `4 -

do: si (Lan, Yn) J yer es una sucesién de intervalos cerrados tal que [a,.,

ber) = [2,,5,] ¥2 € Ny lim (b,-a,) = 0, entonces existe xạ € # tai que

A [a,,2,} = {x} Este resultado se demuestra facilmente por medio

1=

de sucesiones monétonas

Sean # unsubconjuntode 7, f: Zÿ ¬ # una funciốn y x;€ Z Se đice que

f es continua en x, si dado ¢ > 0, existe 46 > 0 tal que:

10

x EL, [x-m] <6 = |7(x) -f()| <e

Otra forma de decir lo mismo es: f es continua en % si, y sdlo si, dado cualquier intervalo abierto J tal que f(m,) € J, existe un intervalo abiertod tal que x, EV y:

ƒW n3) c 1

Esto muestra que f es continua en x si, y sdélo si, dado cualquier

intervalo abierto J tal que f(%) € J, hay un intervalo abiertod tal que:

% &€ UNE) S fr)

De aqui se obtiene de inmediato que f es continua en x sỉ, y sốlo

si, dado cuaiquier conjunto abierto Ƒ de # tal que f(x.) € Y, hay un con- junto abierto UY de # tal que:

meE(UNZ) S FW),

Si#ỨC ®y f:#->F es una funcién, se dice que f es continua si f es continua en % para todo % €# Es unejerciciosenciilo elmostrar que f:2-F es continua si, y sélo si, dado ƒ Œ ð abierto, existe J < R, también abierto, tal que:

Une s pty)

Un hecho importante relativo a los conjuntos abiertos es el siguien- te: si ỨC ? es abierto, existe una familia numerable y disjunta de in- tervalos abiertos, digamos [7q xen, tal que:

Para probarlo, definase la siguiente relacién en UY; si x,y €U, se

dice que x~y, si existe un intervalo abierto # tal que {x,ÿ} C/ C ữ,

Es facil demostrar que ~ es una relacién de equivalencia en Ứ Por

tante ~ particiona a Y en clases de equivalencia Para cada x € U, de- nétese por Xa la clase de equivalencia gue contiene a x Demostra- remos gue ¥ es un intervalo abierto V x € U En efecto, sea x € JY, Véase primero que ¥ es un intervalo; para ello tomemos a,b € Ÿ, 4< bd,

Los casos posibles son los siguientes:

bSx,a<x<b, xSa

Se tratard sdlo el caso b “, ya que los otros se tratan de modo

similar Sia@<45 x, por la definicién de ~, setiene (a,x)C UW, (b,x) ©

& UY, y por tanto:

(a,b) & (a,x) S Ú

Luego ¥ es un intervalo Para demostrar que ¥ es un intervalo a-

bierto, basta probar que ¥ es un conjunto abierto, Pero si y€X, re-

sulta que hay un intervato abierto J, tal que {x,y} Jy & U, y es inme-

diate que, en este caso, J, S ¥ Por tanto, ¥ es un abierto

Se tiene pues que ¥ es un intervalo abierto

Ahora bien, se sabe que todo intervaloabierto no vacio contiene né-

meros racionales, ycomo @ es enumerable, se sigue que [¥:% € UV} tam-

bién es numerable

Como ademas, six,y €U, entoncesoxNV=¢6xX=F, se tiene que

Y es la unién de una familia numerable y disjunta de intervalos abier-

tos,

No es dificil mostrar que si {Zglac, y {Zg]}ae, son dos familias dis-

juntas y numerables de intervalos abiertos no vacios tales que:

TO gear = gee 7h

entonces [J,:a €4} = {7g:B € PB}

De aqui en adelante se adoptara la siguiente convencién: si Ya Ff es oe

un abierto no vacio, se escribiraé Y= YU J, donde (73, es una su-

n=1

cesién disjunta de intervalos abiertos Se entiende que si Yes la unién

de una familia finita de intervalos abiertos, entonces existe 7p € N tal

que /, = @ para todo nimero natural mayor que 7%) 0 iguala ếl Como,

wo abiertos tal que 75 U s5; entonces debe verificarse {Tin €N}= ĐC

a™

n€N}, se dird que Y= Ủ Ta es la Única expresiốn de Y como unién nu- ax

merable y disjunta de intervales abiertos {aun cuando, como sucesio-

nes, {Ia}ier y {0 }iny no tienen porqué ser iguales}

Sean ahora # un subconjunto de # y {Ug lacs una familia de abiertos

Diremos que {U},¢, es un cubrimiento abierto de # si:

# 6 Uử%

Gea

Si {Ug]ae, es un cubrimiento abiertode #Ÿ y sỉ BC A es tai que ty }aep

es también un cubrimiento abierto de 4, diremos que (Ug does es un sub-

cubrimiento de { ỦgÌae

SeaC CGR Diremos que 0 es compacto si tiene la siguiente propie-

dad: {Yalacs cubrimiento abierto de 0 > existe un subcubrimiento {Ualeee

de (Uglega tal que 8 es finite

Ahora se caracterizaran a todos ios subconjuntos cornpactos đe Ff

Para ello se requiere la siguiente nocién: se dice que & ¢ Pf es acotado

sỉ existe €7, M20, talque [x] <sW Y x€Z

Teorama (Heine-Borel-Lebesgue) Seal SR Entonces 0 es com-

pacto et, y adlo si, C ee cerrado y acotado

II

là

Demostracién, Supongamos primero que ( es compacto

Gomo {(-7, 7) }ia, es un cubrimiento abierto de Ở, se tiene que exis-

te un 7; € Ÿ ta! que Ÿ G (=ne,nọ) Por consiguiente, C tiene que seraco-

tado

Veamos que Cescerrado Para ello demostraremos que A\C es abierto

Sea xo €J\Œ, En tal caso, para todo x €C, se elige ",= $| xe - x[ >

>0, Se tiene entonces que {(x-r,,x + PD) eee es un cubrimiento abierto

@eC Por ser C compacto hay wn subconjunto finito de (C, digamos t1,.- vyt, tal que

Por lo tanto, (2% - 7, % + 7%) S A\C Como x € {A\C) es arbitrario,

se tiene que A\C es abierto y por lo tanto C es cerrado

Supéngase ahora que ( es cerrado y acotado Se debe demostrar

que 0 es compacto,

Obsérvese que por ser © acotado, existena,b EF, a< bd, tales que

CS [a,b] Por tanto, basta demostrar que {a, b] es compacto (ya que

si (Va sace es un cubrimiento abierto de C, al agregar F\C a esta familia

se obtiene un cubrimiento abierto de [a@, b))

Demostraremos, por lo tanto, que si a,b € #, a < b, entonces (a, b] es compacto

Supongamos, pues, que [a,b] no es compacto

Si (2, b} no es compacto, entonces existe un cubrimiento abierto {Yaloge de (a, b] que no posee un subcubrimiento finito Puesto que loa subintervalos [a, “2| ; |2, >| dividen a [a,b] endos partes iguales

y (a, 2) = [e, a+b] U [242 bị, se deduce que no pueden existir subcu- brimientos finitos de {Uglaes para ambos subintervalos Supongamos, sin pérdida de generalidad, que no hay un subcubrimiento finito para

subintervalos que dividen a [¢, a5?) en dos partes iguales Suponga-

gamos que no existe un subcubrimiento finito de {Uy lea para [#2, 5l

Siguiendo este proceso se encuentra una sucesién de subintervalos ce-

rrados de [¢, 2], digamos f{[a,, 2 si], tai que

i) No hay un subcubrimiento finito de {Ug]ge, para la,, 4), ¥ rn € N

ii) Coun, Mur] S [a,,o,) Vn EN,

ili) lim (},-@,) = 0

7%

Por el Principio de Encaje de Cantor, existe % € [a,5] tal que

A (a,,2,]= {x} Ahora bien, como x €[a,d] y (Uglag, es unm cubri-

miento abierto de [a,b], debe existir a, € A tal que » €%, Pero co-

mo Ta, es un abierto, existe un p > 0 tal que (4-9, m+) S Ya, -

Como lim, (b, -a,) = 0, existe ¥ € N tal que d,-a,<p Ahora dedu-

cimos de los datos % € [ay,2,J, dy-ay <P, que [ay, 2] & Wo - P, m+

+p) 5 ° lo que implica una contradicciốn a la propiedad ¡) de [ấw, by,

ya que {Vag } es un subcubrimiento finito de {Ua hae para [ay, dy]

Esto concluye la demostraci6n

Los subconjuntos compactos de # poseen propiedades muy impor-

tantes en relaciốn con las funciones continuas Una de ellas es ta si-

guiente: sif or es compacto y f:X~ Fes continua, entonces f(i)} es

compacta, Este es un hecho de demostracién muy simple que se deja

como ejercicio De aqui deducimos de inmediato que el conjunto ima-

gen de cualquier compacto por cualquier funcién continua es, necesa-

riamente, un conjunto cerrado y acotado

Ademas, siC © Res compacto y no vacfo, entonces, como C es

acotado, se tiene que existen inf (C), sup (C)

Se observa que inf (C} €C y sup (C) €C, lo que es inmediato sỉ es

finito y resulta del hecho que ( contiene a todos sus puntos de acumula-

cién (por ser cerrado) si@ noes finito Una econsecuencia de esto es

el siguiente hecho: si X es un subconjunto compacto y no vacio de F y

si f:4 + es continua, entonces existen % y 4 € X tales que Fino) = fix} s

S f(4) ¥x EHX Para demostrarlo, basta observarque f{K) es compac-

to y que por io tanto sup (f(K)) € fC), inf (f (K)} € Fi}

Se definird ahora lo que se entiende por ta recta real completada 5

Consideremos los simbolos -*, +” (que no son nimeros reales) ÿ

definase el conjunto # como:

R= Ru{-~, +},

Si x,2 €R, diremos que x es menor que 2, x <2, si se verifica uno

de los siguientes casos:

8

1) x,2 €F y x es menor que 2 en el sentido de los nữmeros reales, 2) x= -m, 2 ER,

Si {Xala=t es una sucesién de elementos de #, se dird que:

i) {x, hot converge hacia +*, lo que se denotard por lim x, = +2,

wars

sidado € FR, existe ¥ € N tal que

n›> Ý = x, >

2 - “ ~- ii) ÍX,Ì„¿„\ converge hacia -=, lo que se dehotara por iim x = $

ro

gi dado # € Ff, existe V € N tai que:

nmj > x <M

Si {x, Jin, ¢8 una sucesién de elementos de 7, se dird que es moné-

tona creciente si X„ Ấ Xu¿i Ÿ Ø3 €Ÿ, y se dirấ que es monótona decre-

Finalmente obsérvese que si {v,},_, es una sucesién mondtona de

elementos de #?, entonces converge hacia un elemento de f

lỗ

MEDIDAS INTERIOR Y EXTERIOR, Y CONJUNTOS

MEDIBLES LEBESGUE

k.i, MEDIDA INTERIOR

En esta seccién se definirá una funciốn m„ : P(Œ) - [0, + =), que Ha-

Tnaremos ''medida interior!', E2sta no es laznedida que se busca según

lo explicado en la introducciốn, síno un paso para poder llegar a su

definicién,

Đefiniciến t,],1 SiZ es un intervalo finito, de extremos @ y b,

as b, la longitud de J, 2(Z}, se define por:

i(q} = ồ-¬ 6g

El paso préximo seré ampliar esta nocién de longitud

Definicién 1,1,2 SiG es un subconjunto de ? abierto, no vacĩo y

acotado, se define la longitud de G, 1(G) por:

i(@} = » 1a)

n=1

donde ở = Uv es la {inica) descomposicién de G como unién de una colec- as

ciéna io sumo numerable y disjunta de intervalos abiertos, tal como se ha

explicado en la introduccién,

Observacicnes

1) La longitud del conjunto vacio es 0 (ya que, si@€R, = (2,@))

2} La longitud de un conjunto abierto acotado está bien definida,

3) SiG es un conjunto abierto acotado, resulta 1(G) <«= (Véanse

los ejercicios ] y 2 de este capitulo),

4} SiG, y G, son dos conjuntos abiertos acotados, y G, € Gg, se tiene

IG) $ 1G)

5) SiG es un conjunto abierto acotado y ¥ EA, se sigue queG + %

es un conjunto abierto acotado, y 1(G + xa) =2)

Lema t.1.3, Sean: GS #?un conÍunto abierto y {J, J cổ 7, bế doa

Sucesiones de intervalos abiertoa acotados, tales que Ưạ Cượm:, J, ©

€ đạay ŸY n€N, v

18

En tal caso:

lim J(@ nạ) = lĩm 2@ ng”)

Demostracién, Puesto que LGN) 5 1G Ns) YnEN, se tiene

que existe lim /7(Œ ñ J} como nimero real extendido Del mismo

De aqui se sigue que@ NJ, CGAL VeEN, 2K Por lo tanto:

HR ENDS LGN) < LENT) VYREN, 42K

1) La longitud de un conjunto abierto no acotado no depende de la

sucesién {7,}5_, de intervalos abiertos adoptadaen su definicién Esta

es una consecuencia del lema !, 1, 3,

2) SiG, y Gz son dos conjuntos abiertos no acotados y ổ¡ Cớa, seve- rifica

+J(@\) < 1G)

3) SiG es un conjunto abierto no acotado puede suceder que ?(Œ) = ® (por ejemplo, siG = (0, °}); pero también puede suceder que J(¢}<=

x2 (por ejemplo, si G = U {n - LL nm + +), entonces /(Œ} = 1 <

<0),

4} SiG es um subconjunto abierto de y x €F, se tiene queG + %,

es un conjunto abierto y 1G@ + x;) = 1Œ

Lama 1.1.5 SiG ¢ ñ es un conjunto abierto e J unintervalo abier-

to acotado, resulta que:

LG@UI) = 2() +20)

Demostraci6n, Supéngase primero que @ es un conjunto abierto aco-

tado y eacribase G = Ju, (Q,, 2), J = (a, dB}

SiGnNnI=¢, entoncesG UT = [ 0 (đạ; h)] U 7, que es una uniốn đỉs-

Se demostrard solamente el caso i), pues los demas se demuestran

de manera similar y, por lo tanta, se los deja como ejercicio,

lo que constituye una unién a lo sumo numerable y disjunta Luego,

Finalmente, el caso G no acotado se sigue de lo recién demostrado

y de la definicién de longitud en este caso

Por induccién se obtiene de inmediato el siguiente corolario

Corolario 1.1.6, Sean n€WN e (J, }2., una familia finita de interva-

los abiertos y acotados, Entonces:

n

bì

TU, dy) 3S y 4y)

k=1 Ahora se generalizara este resultado,

Teorema 1,1,7, Seam {G,},_, una sucestdn de conjuntos abtertos de

FR Entoncea:

41

Demostraci6n, Para evitar casos triviales supondremos que todos

los G, son no vacios Sea:

Astimase primero que @ es un conjunto acotado

a

En este caso, se tiene G = yu Je, donde {.7,}5_, es una sucesién dis- n= =

junta de intervalos abiertos acotados, Como i(đ} < *, se sigue que

si6n disjunta de intervalos abiertos acotados, cuya unién es G,

Seae > 0, Entonces existe un ¥ € N tal que

Además, la uniốn U X; es un conjunto cerrado y acotado y por lo

n=1

tanto es compacto Como este conjunto compacto est4 contenido en G,

se sigue que existe un ndmero finito de los I? que lo cubren, digarmos

m ty he I! Fr,"

†ntonces;:

we, &n GJ U UZ’

Como cada #, est4 contenido en.J, y los J, son diajuntos de @ pares,

se tiene que los X, son disjuntos deq@ pares Luego:

) 20,) < J029U U77) < ) 107)

Por tanto:

L(Gy) + J (0a) = L(y U Ga} + L(G, ñn Go)

Demostraci6én Supéngase primero que & y G,s0n conjuntos abier-

tos acotados, expresados como unién de un némero finito de intervalos

abiertos, En este caso se empleard el método de inducci6n matemiatica, Primero supondremos que @, es un intervalo abierto (acotado}, di- gamos Ớ; = 7 = (a,b), Sea ahora; S = {n € N: LI U Gs) + 2IT NGe) =

= 1T} *+41(¿), Ge= U +T⁄, {7,]L, uma familia de intervalos, abiertos,

k“t

acotados y disjuntos}

Es inmediato que 1¢€S,

atl sf +

Supongamos pues n€S' y que G3 = ws J, (union disjunta de intervalos

abiertos acotados) Se trata de demostrar que:

17 Uớạ) + 17 nứa) = J7) +2)

Si 7ñứđa = ó, entonces:

ntl i{Z) + Z(Z,) = 1(7) +2@a),

Ahora bien, gi 7 Ñ T;# ớ, se sigue que 7U 7¡ eø un intervalo abier-

to acotado, y luego, por la hipốtesis de inducciốn, se tiene:

+) +(02) i LIU Ga) + 1 NGe)

Sil M7, =¢, nuevamente por la hipdétesis de inducciốn y observan-

đo que 7ñđ¿ =7 ña:

1} + 1(4) + 10) J4ƒUđ¿) + 27 0ñ) + 2Œ}

17 U01) + 1Ư/U + 1 Ga)

23

ZiT U GSU Ty) + LUT NG)

(7 UGe) + LIT NGe)

y de nuevo obtenemos el resultado deseado

Por consiguiente, S = N, es decir, si G, es un intervalo abierto y

acotado y Gz ea una uni6n finita y disjunta de intervalos abiertos y aco-

tados, entonces

1Gy) + 1G) = 2G, U Gy) + 1G, Ge)

Valiéndose del mismo método y aplicando lo recién concluido, se

demuestra sin mayor dificultad que si G, y Gg son dos conjuntos abier-

tog, cada uno de los cuales es una unién finita disjunta de intervalos

abiertos acotados, entonces:

Lema 1.1.9 Sean đ; y đ¿ dos subconjuntos abiertos acotados de ?,

y#CGñ cerrado tai que C2, f6 đạ Entonces resulta:

IG} +1(Ge\ F) = 1G, U Ge) + 1UQ NG_)\ F)

Del mismo modo:

1G) + 1G,\ F) = 1G, U Ge} + 1G, NG2)\ F)

Por ser G, y Gz conjuntos abiertos y acotados, la igualdad sigue de

inmediato

Definici6n 1,1,10 a)Sea FP GF, donde F es cerrado y acotado, Se

define la longitud de ?, J{?), por:

iF) = 1@)-1¢\F),

25

donde @ es cualquier conjunto abierto acotado que contiene a F,

b) SeaF & FR, donde F es cerrado (y no necesariamente acotado)

Se define la longitud de F, 1{F7}, por:

1(F) = lima, (lu? A Len, nn)

Observaci6n, De acuerdo conel lema 1 1,9, la longitud de un con-

junto cerrado est4 bien definida en e1 caso a}; y en el caso b), se sigue

de que {l(F 7 [-m,m 3) 1=: ©s una sucesiốn monótona creciente de nú-

meros reales Ademds es claro que siF,y F, sondos subconjuntos ce-

rrados y Fy SF,, resulta 1(F,} = 1(F5}

Ahora se est4 en condiciones de definirla medida interior de cual-

quier subconjunto de 7 Para ello se recurrea lanoci6én de ''supremo'

de cualquier subconjunto de ff en el sentido de que si este subconjunto

es acotado superiormente, entonces el''supremo'' es la menor de las

Cotas superiores, y sie! subconjunto no es acotado superiormente, su

26

Observacién, Es claro de esta definicién que:

i) EOR, Eacotado= m,.(Z) < », li) By, Hy €P(R), B,C By 2 mà(f) S my(a)

iii) # € P(P), # cerrado 2 mx() = 1(£)

iv) Si EPR) y x EF, resulta m(F + x) = my(Z)

Veamos ahora algunas propiedades de esta medida interior, Proposiciốn l,1,12, Si #; y £, € F(R), entonces:

mự(Ếy) + my(Ea) S my{#y UH) + my(Z, 9 Ee)

Demostraciốn, Si mự(Z;) = ® 6 m,(£,) =~, todo es trivial

1uego supondremos m,(Ÿy) < ® y mự(E2) < ©

Seae >0 Entonces existen subconjuntos cerrados #: y #„tales que fọ€Z\ va Œ Fạ y

Por lo tanto:

MnlBy) + mye(Bg) < LP, UF3) + FL A Fa) te <

wv Mx(Z, U £5) + mx(Z, Ny) +

Como e¢ > 0 es arbitrario, la proposicién queda demostrada

Corolario 1,1,13, Sean Z;, ,Z € P(#}tales que Z,ñ 8y =6, ¿# J Entonces:

) myữi) s med U #4)

i=i

Teorema 1,1,14, Sea {£,}2, una suceetin disjunta de aubconjuntos

de R Entonces:

N

) mmữA) < m(Ũ &) VN EN

i=

1,2, MEDIDA EXTERIOR

Ahora definiremos una funcién m*: Pi?) +=[O0,ồệ], Mamada "medida

exterior y, mds ain, estudiaremos algunas de sus propiedades Nue-

vamente, ésta no es la medida buscada, pero juntamente con la medida 27 interior definida en la seccién anterior, permitird definir cudles serdn

los conjuntos medibles y cual ser4 su medida

Definici6n 1.2.1, Sea Ữ Ạ P(?) La rmedida exterior de Ữ, m*(Ỳ), se

define por el nốmero real extendido:

me(B) = inf {1(G):G GF es abierto y EcG}

La funcién m* asi definida recibe el nombre de medida exterior en P

Observacionea

1) Es inrmediato que, si # Ạ P(Ỳ) es acotado, entonces m*(#) < ệ

2) Si 4 y Za Ạ P(P) y Zự\ Ể ZƯ, entonces m*(Z,} s m*(ặQ)

3) Si ặ Ạ P(Ể) es abierto, entoncea ?#+(Ọ} = 2(E)

4} 5i # Ạ P(Ể} y xa ẠỲ, entonces m*(% + Xa) = m*(E)

Proposicién 1.2.2 Sỉ #y y Zạ Ạ P(P), se tiene

m*(E,) + m(a) > m#(ự U Z2) + m*(đự\ ự Ọa)

Demostraci6n, Si m#(1) = Ủ Ó m*(F2) = ệ se obtiene, trivialmente,

la igualdad Supongamos, pues, m*{Z,) <ồ, m*(Z,) <> y seac > 0 En-

tonces existen conjuntos abiertos G, y Gz, tales que 2, CG,, #2 SG, y

m>() tổ > 1G), t = 1,2

Entonces, por el teorema 1, 1.8, se tiene:

m*(ñ+) + m#(Eạ) +e > 1G) +2(G2) = IG, UG,) + 1G, NG) Pero:

2, UE SG, UGs, BNR SG, NG

Por consiguiente:

m*%(E;) + m#*(5¿) + > mt#(Øy U BA) + m*(2, 1 Ø2}

Como € > 0 es arbitrario, se obtiene Ja desiguaidad deseada

Teorema 1,2,3, Sea {£,}"_, una sucestdn de subconjuntos de PR En-

tonees:

œ

m*({Ú EL) < y me (Ey

n= n=}

Demostraciốn, Si, para algiin n € N, m*(Z,)=°, todoestrivial Por

tanto se supondrd que m*{F,)<@, Yné€N Bajoeste supuesto se puede

28 afirmar que, dado ¢ > 0, para cada n€WN existe un conjunto abierto ¢,

de # tal que FP, OG, y m#(E,) < 1(G,) -

Ahora, por el teorema I, 1.7, se tiene Ũ E,G Ù ứạ, y esta đltima

Proposici6én 1.2,4, Si ÿ € P(P), resulta m„(#) < m%(#)

Demostraciốn, Sean ' Cñ cerrado y2 ?# abierto tales que:

FCEcCG

Entonces J(F) s 1(G) (véase el ejercicio no, 8)

Luego, sỉ €[1(P):ƑG#, Ƒ cerrado}ys €{1():EG0đ,0 abierto},

se tiene ý «se Por consiguiente, sis € [1(¢):2 9G, đ abierto}, se

tiene mu(Z) = sup Í1(P):Ƒ' G7, # cerrado} <Se De aqui es inmediato

my (6) & m* (EZ),

Proposici6n 1,2,5, Sia, DER, a<b, T=fa,bly EoT, resulta:

mE) +m (I \ BE) = b- a, Demostracién, Primero obsérvese que, en virtud del problema 9,

basta suponer FC (a,b), Sea, pues, G © (4,5) un conjunto abierto tal

que #OG Entonces J \ G es un conjunto cerrado y es facil ver que:

L@)+1I\G) = b-a

{(véanse ios problemas 7 y 8),

Pero, como£G&@, se tiene (7 \G)& (7 \ Z) Como consecuencia:

y del mismo modo se obtiene que:

m%(E) + mự(TNE) Ss b-a, 1o que corapleta la dernostración,

1.3, CONJUNTOS MEDIBLES

Por fin estamos en condiciones de definir cudles son los conjuntos

medibles, cudl es su medida y qué propiedades tienen

Definiclốn 1.3.1, Sea Z € P(P) Se dice que # es medible Lebesgue

(o, simplemente, medible}, si

m*(E) = mx (EZ)

Denotaremos por el conjunto de todos los # € P{#) que son tmmedi- bles, Si €M, se define la medida de By mE), por mL) = m*(E) = mx(Z)

La funcién m: ¥ ~[0,°] recibe el nombre de medida de Lebesgue en ñ

Observacién, Es claro que ¢, FR €M y que m(g) = 0, m{F7) =, Ade- mag es evidente que, si F € P{R) es tal que mx{F} = ®, entonces F es me- dible y m(Z) =™, Adem&s, si £ € P(R), entonces # EM si, y s6lo si,

mx(Z) z m*(Z}, También es claro que ai F € P(R) es tal que m*{Z) = 9,

entonces š#' es medible y m(#) = 0, y en este caso, todo subconjunto đe #

es medible y tiene medida cero, Obsérvese ademas que, si f ¢ Res medible y 6i % € Ff, entonces # + % es medible y m(F + x) = m(#)

Veamos ahora algunas condiciones que nos permitan asegurar cudn-

do un subconjunto de ? es medible

Proposicién 1,3,2 Seana,b¢€R, a< by FC [a,b] = Entonces

# es medible si, y sélo si,

m*{(E) + m+w(7\ E) s b- da,

Demostraci6n, Sabemos por la proposicién I 2.5 que:

mạ(#) + m+(7 Nữ) #= b-a

Si se supone que # es medible, se tiene ms{£) = m*(#), de donde:

me(E) +me(I\ FE) = b- a

Por }o tanto, la condicién es necesaria

Supé6ngase ahora que:

m*(#) +me{T \ BY s b¬ da

Entonces, de m,.(Z) + m*(J \ Z) = b- a, se obtiene ahora que:

m%*(š) - mự(E) < 0,

y por lo tanto, m*(Z} S mz(EZ), lo que completa la demostraci6n

Corolario 1.3,3, Si a,b € F, a< b, entonces [a,b], (a, d), (a, d),

(a, >) son conjuntos medibles, Teorema 1.3.4, Seana,b€R,a<by ES(a,b) Entonces EF es me-

dible et,y sdlo si, dado e > 0 exiaten conjuntos abtertos G, ¥ Gz talea

Sin pếrdida de generalidad se puede suponer que G, y Gz son subcon-

juntos de (a,b) Entonces, en virtud del teorema 1.1, 8, se tiene:

IG, Ge) = Gy) + 1tG2) - 1G, UG)

Por lo tanto:

1G, NGa) < mB) + mea, db) \ BE) +e - 1G, U Ge)

Pero G; U G3 = (a, b) y, por lo tanto:

1G, Ge) < m*(Z) + m*((a, bd) \ BE) - (b- a) te

Pera;

m*(Z) = m,{2),

de donde:

m*(E) + m*((a,by\ £) = mx(Z) + m*({a,b)\ BE) Ss

w mựụ(E) + m#([a, bìN ø < bo

Por lo tanto;

Se concluye que la condicién es necesaria

Ahora supốngase que F € {a,b) es tal que, dado ¢ > 0, existen con-

juntos abiertos G, y G, tales que FOG,, ((e,b)\ Z)S Gey 1G, NGa) <6,

Corolario 1.3.5, Sia,bER, a< by FO (a, d) esun conjunto medi-

ble, se sigue que (a, b) \ ¥ es medible y

m(a,b)\ EZ} = (b - a) - m2)

Demostracién, El hecho de ser medible (a,b) \ # es claro, ya que

la condicién del teorema 1.3.4 es simétrica con respecto a # y (a,b) \

`.

La igualdad que se desea mostrar resulta đe que:

mx(#Ÿ) = m(Ỹ) y m„((ø, bì N8) = m((ø, b) \ £)

Teorema 1,3.6, Sean a,b€R, a<b Entonees ai G es un aubcon-

junto abterto de Rk,GS (a,b), G es medible, Ademde si F ee un cerrado

de FR, PF ¢ (a,b), entonces F es medtible

Demostraci6n, SiG € (a, b) es abierto, entonces ms(7)= 1G) Aho-

ra bien G = nea f,, donde esta Ultima es una unién disjunta de intervalos abiertos, Dadoe > 0, existe un WEN tal que ) i(J,) < ¢; entonces,

n=N+}

paran=1, ,¥, elegimos unintervalo abierto ¥, tal que , Cư, y

LiJ,)< 1K,) + 7 Estas condiciones implican que Ù, Ÿ, es cerrado y az que m*(G) < TU K,) + 2e Luego:

mF) < m„(7) + 2e, Comoe > 0 es arbitrario, se sigue que m*(@) <= my(G), lo que demuestra

que G es medible,

Ahora bien, si Ff es un subconjunto cerrado de F y F € (a,b), enton- ces (a,b) \ # es un conjunto abierto contenido en (a,b), y como conse- cuencia es medible, Pero entonces (a, 6} \ [(a,b)\ FJ] =F es medible también,

Proposicién 1.3,7, Si, y #, son subconjuntos medibles y acotados

de #, resulta que 2, UE, 1 & son también medibles y:

m(#y) + m(Zy) = m(Z, U £2) + m(£, M Za)

Demostracién, Por hipdétesis, m*(Z,)=m,(2;)= m{Z,), t= 1,2 Lue-

go, 4 partir de la proposicién 1 1 12 se obtiene:

m(ễny) + ma) < mx( U 5a) + mự(ấy Í Bà)

y de la proposicién 1, 2.2:

mE) + m(5ạ) > m+#(E U Eạ) + mt(E¡ n Z-)

Por lo tanto:

mE, U Ea) + m*(E, 1 5a} = ma (By U 5g) + m, (2 0 Đà)

Como #, y £3 son acotados, todos los términos de esta igualdad son fi-

nitos Luego:

[m* (Ey U Ea) - mM (Ey YU Z2) Ì + [m*( Fy N £3) - Maye (By n Z2)] = 0,

de donde se saca la conclusién deseada

Corolario 1.3.8, Si Z, y Z son dos conjuntos medibles y acotados,

y gi) C Zạ, entonces Z2 N ấy ca medible y

mBa \ #,) = mE) - m(Ey)

Demostracién, Como #, y Zz son acotados, hay a,d€ RF, a< db, ta~

les que #, © (a, d} y £, & (a, d)

Ahora bien por el corolario 1.3.5 {a,b) \ #, es medible y en virtud

de ja proposicién 1.3.7,

Fo\ By = Fa (fa, d)\ Ay)

es medible

Ahora bien, Z2 = (Z2 N\NZy)U Ø y ñ¡ ñ (¿ NÊ) =0 Por consiguiente

y de nuevo por Ìa proposiciốn | 3.7, se tiene:

mB.) = m(B, \ Ey) + m(Ey)

y como todas estas cantidades son finitas,

mE \ ÂN) = m(R£) - m(E)

Teorema 1.3.9 Si{E,}-, es una sucesién disjunta de conduntoa

medibles, entoncese @ &, ee medible y:

Demostraci6n Puesto que cada Z„ es medible, se tiene;

Mx(E,) = mx*({E.) = mE) YneN

Luego, por ios teoremas 1 l 14 y 1.2.3, se tiene:

2 mE.) $s ma( U EL) s mr 20, #,) < py my),

de donde la conclusi6én es inmediata

Corolario 1.3.10, Si TT es una sucesiốn de conjuntos medibles

tal que £, es acotado y F,C fy, YneN, entonces ai #, es medibie y

& ~~

m0, Z4) = Mim, milly)

Demostraci6n, Escribase F, = 2, y Fan 2 Fao \E, ¥n EN, Entonces,

por el corolario 1.3.8, se tiene que #, es medible YneE Ny

mM(NH) = mE) - mh) Yn€N, Ademé4s, por ser {F,}*_, una aucesiốn disjunta de conjuntos medibles,

se obtiene del teorema 1.3.9 que:

œ

in- Ja

Corolario 1.3,11, Sí {Z„Ì —¡ es una sucesión de subconjuntos aco-

tados y rmaedibles de # tai que Zy., CF, YneEN, resulta que NM & es

nz1

raedible y m( Ey) = lima m(,) =L n¬

Demoatraci6n Definase, para n € N, 7, =7 \#, En tal caso F,

es medible Vne€ Ny mF.) = m(\) - m2) Ademds, F, SFP, YneNy

UF, = oth (By \ £,)

wo

Luego, por el corolario 1.3.10, % \ (MM £,) es medible y: , > 2 n= 2 ¥

mE, \ fi BE) = iim, mF) n= iim (m2) - m(B,)1

Pero ahora se puede afirmar que J, \ (F, \ A E,)= ñ ñy ¢8 medi-

Demoatracién Definase #\ z= Zy Y Puy =F, \ CŨ, Ey} Yn€N En-

tonces {Z,]—; es una sucesién disjunta de conjuntos medibles y, por lo

tanto, U F,= § £, ¢3 también medible Ademdas:

Una pregunta que ahora surge de manera natural es la de si hay o

no un subconjunto de # que no sea medible Lebesgue, El siguiente ejem- plo da una respuesta afirmativa,

Ejemplo En 7 sedefine larelacién ~:; six ey€#, diremos que x~ y

si, y s6losi, x-y€Q@ Esclaro que~ es una relacién de equivalencia

en Ê y, por lo tanto, origina ¿na particiến de 7 en clases de equivalen-

cia

Kn primer lugar, obsérvese que si x€F, hay un s € (0,1) tal que

x~s

Ahora se elige un subconjunto # de (0, 1) que contenga exactamente

un elemento de cada clase de equivalencia (la existencia de tal # se ba-

sa en el Axioma de Selecci6n)

Se afirma que # noes medible Para justificar esta afirmacién es

necesario observar antes lo siguiente:

4} Six e€(0,1), existe un racional 7 en (-1,1) tal quex€(F +7)

Esto es consecuencia de la existenciade uny € Z tai que xX~ y, y por lo

tanto, haciendo r= x - y, se tiene que x € (F + 7)

2} Sir,s €Q@, r #8, entonces (Z + r) n ( +a)= 9

En efecto, si suponemos x € (# + ?) ñ (# + s), enfonces existen ⁄,z €

€ # tales que X = ý ty x= 2# *+e, de donde 1 - # = s - r# 0, y por lo

tanto, Z# contendrá đos elementos diferentes de una mmisma cÌase de

equivalencia, lo que es una contradiccién,

Supongamos ahora que # es medible Lebesgue Entonces # + ” es

Como @ f) (-1, 1) es enumerable, se sigue que:

S = U(Œ+?, réQni(-l, 1)

es medible, ya que es la unién de una familia numerable y disjunta de

subconjuntos medibles Como:

mE) = mE +r) Yn€@Nn(-1,1),

y como 5'C{-1,2), se debe tener que mz(# +?) = 0 YreQn(-i, 1) tya

que m(S')< =}, y por lo tanto, m(S) = 0

Pero, por l) se sabe que (0,1) SS, concluyendo que m{S) 2 1

Esta contradiccién nacié de suponer que Fes medible Luego, F no

es medible Lebesgue

1,4, FUNCIONES MEDIBLES

Definiciốn 1,4,1, Sean 4 CF un conjunto medible y f:4 ~ Runa

funciédn Se dice que f es medible si:

œ€? 5 Íx€A:ƒf(xy)>aœ} = ƒ? ((%, ®)) eøs tan conjunto medible,

Ahora ae dar*á una serie de condiciones equivalentes que establecen

que una funcién es medible,

36

Proposicié6én 1.4,2 Sean 4 < FP un conjunto medible y f:4-F una

funci6n En tal caso los siguientes asertog son equivaientes;

f2((-@,a})) = ftw\ fa, 2)) = 4\ f(a, @)}

Y como 4 y ƒ”({œ, ®)) son conjuntos medibles, se tiene que ƒ*((=®,œ)) también lo es,

Las implicaciones restantes se demuestrande manera similar De esta proposicién se deducen los siguientes corolarios cuya demostracién

es muy sencilla y se deja como ejercicio:

Corolario 1.4.3, Sean 4 ¢F un conjunto medibley f:4 -Auna fun- cién, Entonces f es medible si, y sélo si, la imagen inversa por f de

cualquier intervalo es un conjunto medibie

Corolario 1,4,4 Sean 4 ¢ 7 un conjunto medibley f:4-~F una fun- ciến Entonces f es medible si, y sélo si, la imagen inversa por f de cualquier subconjunto abierto de 2 es un conjunto medible

Una consecuencia inmediata del corolario 1 4.4 es que toda funciốn real continua definida en un conjunto medible es una funcién medible

Definicién 1.4.5 Sean A SF un conjunto medible y f,g:4 +A dos

funciones Dirermos que f es igual a g casien todas partes (c,t.p.), lo

que denotaremos por f =gic.t.p.), gi{x €A: ƒ(x)# g(x)} es un conjun-

to medible cuya medida es cero,

Proposici6én 1.4.6 Sean 4 CF un conjunto medible, f:A 7 Z2 una

funciốn medible y g: A ¬ una funcién tal que f = g(c.t.p.) En tal ca-

se g es medible

Demostracién, Seak ={x€A: f(x) ¥# glx)} Entonces # es medible

y m(Z) = 0 Luego todo subconjuntode £ es medible {y tiene medida ce-

ro)

Sea ahoraa € Ff Entonces:

g(a, °)) = {x EA: gin) >a} =

II ({x€A: ƒ(x) >ơÌN#)U{x€#:ø(x)> af

Como cada uno de los conjuntoe đe] đltimo raiembro de estas igual-

dades es medible, se tiene que gt ((a, *)) es un conjunto medible

Definicién.i.4.7 Sean 4 un subconjunto de #, f,2: A4 ¬ PF funciones

ye €R Se definen las funciones f +c, cf, ft+g, fg: ad ~F, respecti-

Teorema 1.4.8, Sean 4 OF un conjunto medible, f:A-7F una fun-

ciốn medible yo € RP Entonces las functones f +a, ef :A~R son fun-

ectones medtbles

Demostracién, Veamos primero que f +ces medible Para ello

t6émese a € 7 y obsérvese que:

(ƒ te} *((œ, ®)) {x€A:(ƒ +c)(x)> ad} =

[x€A:ƒf(z) te >a} =

n {x €A:fix)>a-ec} =

fˆ ((œ - ø, ®))

Luego, como f es medible, (ƒ + ey (a, ®)) esun subconjunto rmmedi-

ble de4 Va€?, Por tanto f +¢ es medible,

Considérese ahoracf Se distinguen tres casos, a saber ¢ = 0

Sic = 0, cf es una funciénidénticamente nula Luego, sia € FR, se

tiene:

(cf)* (fa, 2)) = A sia<d,