cálculo diferencial en varias variables

La demostraci´on de esta proposici´on queda como ejercicio.. En un espacio m´etrico, toda sucesi´on de Cauchy es acotada.. Puede ocurrir que la intersecci´on de una familia infinita de a

ESCUELA DE MATEM ´ATICALABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la primera parte del curso deAn´alisis II de la Licenciatura en Matem´atica de la Universidad Central de Venezuela y son

el resultado de la experiencia de los autores en el dictado de dicho curso

En este curso se debe dar una visi´on rigurosa del c´alculo en varias variables Se suponeque el estudiante ya ha visto un curso riguroso de c´alculo en una variable, que domina

la topolog´ıa b´asica de la recta y que ha visto un curso introductorio de c´alculo en variasvariables

Los siguientes temas son tratados en forma exhaustiva:

(1) Rn como espacio m´etrico:

M´etricas Ejemplos, bolas, esferas, di´ametro

Conjuntos abiertos, vecindades Conjuntos cerrados

M´etricas equivalentes

Conjuntos densos Separabilidad Bases L´ımites Sucesiones de Cauchy pletitud Compacidad

Com-(2) L´ımites y continuidad de funciones de Rn en Rm

(3) Derivadas en Rn , derivadas parciales y direccionales, gradiente

Funciones compuestas y la regla de la cadena

Teorema del valor medio Aplicaciones geom´etricas, planos tangentes

Derivadas de orden superior F´ormula de Taylor

Teoremas de la funci´on impl´ıcita y de la funci´on inversa

Extremos, multiplicadores de Lagrange

Tanto el trabajo de mecanograf´ıa como la elaboraci´on de los gr´aficos estuvo a cargo delos autores Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar

Ram´on Bruzual.Marisela Dom´ınguez

Julio 2005

iii

Cap´ıtulo 1 El espacio m´etrico Rn 1

1 Nociones b´asicas de espacios vectoriales Producto interno Norma 1

2 Definici´on de espacio m´etrico Ejemplos Bolas Di´ametro 4

Cap´ıtulo 3 Bases del c´alculo diferencial en varias variables 51

2 Derivadas de orden superior para funciones de dos variables 59

v

10 C´alculos aproximados y errores 77

El espacio m´ etrico Rn

.

1 Nociones b´asicas de espacios vectoriales Producto interno Norma.Definici´on 1.1 Un espacio vectorial (sobre el cuerpo R de los n´umeros reales) es unconjunto V en el que est´an definidas dos operaciones, + : V × V → V y · : R × V → V , quesatisfacen:

(i) x + y = y + x para todo x, y ∈ V ;

(ii) x + (y + z) = (x + y) + z para todo x, y, z∈ V ;

(iii) Existe un elemento, 0∈ V , tal que x + 0 = x para todo x ∈ V ;

(iv) Para cada x∈ V existe otro elemento, −x ∈ V , tal que x + (−x) = 0;

(v) 1· x = x para todo x ∈ V ;

(vi) (αβ)· x = α · (β · x) para todo α, β ∈ R, x ∈ V ;

(vii) α· (x + y) = α · x + α · y para todo α ∈ R, x, y ∈ V ;

(viii) (α + β)· x = α · x + β · x para todo α, β ∈ R, x ∈ V

es un espacio vectorial

1

(f) Sean a, b ∈ R, a < b y sea C[a, b] = {f : [a, b] → R : f es continua}, con lasoperaciones

(f + g)(x) = f (x) + g(x),(α· f)(x) = αf(x),C[a, b] es un espacio vectorial

Definici´on 1.3 Sea V un espacio vectorial Un producto interno en V es una funci´on

h , i : V × V → R que satisface:

(i) hx, xi ≥ 0 para todo x ∈ V ,

(ii) hx, xi = 0 si y s´olo si x = 0,

(iii) hx, yi = hy, xi para todo x, y ∈ V ,

(iv) hαx, yi = αhx, yi para todo x, y ∈ V , α ∈ R,

(v) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi para todo x, y, z ∈ V

Entonces h , i es un producto interno en Rn

(b) Sean a, b∈ R, a < b Para f, g ∈ C[a, b] sea

hf, gi =

Z b a

f (t) g(t) dt

Entonces h , i es un producto interno en C[a, b]

Ejercicio 1.5 Interpretar geom´etricamente el producto interno en Rn definido en elejemplo anterior para los casos n = 2 (el plano) y n = 3 (el espacio) y concluir que elproducto interno de dos vectores es igual al producto de sus longitudes por el coseno del

´angulo que forman

Proposici´on 1.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea V un espacio vectorial y sea

h , i un producto interno en V Entonces

|hx, yi| ≤ (hx, xi)12 (hy, yi)12

para todo x, y ∈ V Adem´as se cumple la igualdad si y s´olo si x e y son linealmente

depen-dientes.

Demostraci´on Sean x, y ∈ V Entonces

hx − λy, x − λyi ≥ 0 para todo λ ∈ R,por lo tanto

hx, xi + λ2hy, yi − 2λhx, yi ≥ 0 para todo λ ∈ R,

de donde se concluye que

4hx, yi2 − 4hx, xihy, yi ≤ 0

y de esto ´ultimo se deduce inmediatamente la desigualdad

(b) Si f, g : [a, b] → R son funciones continuas, entonces

f (t)2 dt

¶

1

µZ b a

(i) k x k≥ 0 para todo x ∈ V ,

(ii) k x k= 0 si y s´olo si x = 0,

(iii) k αx k= |α| k x k para todo α ∈ R, x ∈ V ,

(iv) k x + y k≤k x k + k y k para todo x, y ∈ V

Ejemplo 1.9

(a) Las funciones

k (x1, , xn)k1 =|x1| + · · · + |xn|,

k (x1, , xn)k∞ = max{|x1|, , |xn|},definen normas en Rn

Proposici´on 1.10 Sea V un espacio vectorial Si h , i es un producto interno en V y

para x ∈ V definimos k x k= hx, xi12, entonces k k es una norma en V

Demostraci´on Sean x, y ∈ V , por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

(a) Demostrar que si k k es una norma en el espacio vectorial V que ha sido definida

a partir de un producto interno entonces se satisface la siguiente igualdad (ley delparalelogramo):

k x + y k2 +k x − y k2= 2k x k2 +2k y k2,para todo x, y∈ V

(b) Dar ejemplos de normas que no es posible definirlas a partir de un producto interno

2 Definici´on de espacio m´etrico Ejemplos Bolas Di´ametro

Definici´on 1.13 Un espacio m´etrico es un par (X, d) donde X es un conjunto y

d : X × X → R es una funci´on tal que:

(i) d(x, y)≥ 0 para todo x, y ∈ X,

(ii) d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y,

(iii) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y∈ X,

(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X

La funci´on d se llamar´a m´etrica (o distancia) y los elementos de X se llamar´an puntos.

Es importante notar que no se supone que el conjunto X tenga estructura de espaciovectorial

Ejemplo 1.14

(a) d(x, y) =|x − y| define una m´etrica en R

(b) Todo subconjunto de un espacio m´etrico tambi´en es un espacio m´etrico

(c) Sea X cualquier conjunto, definamos

Proposici´on 1.15 Sea V un espacio vectorial y sea k k una norma en V Entonces la

funci´on d definida por d(x, y) = k x − y k es una m´etrica en V

La demostraci´on de la Proposici´on anterior es muy sencilla y quedar´a como ejercicio.Ejercicio 1.16 Dar ejemplos de espacios vectoriales con m´etricas que no se puedendefinir a partir de normas

Ejemplo 1.17 Como consecuencia de la proposici´on 1.15 y los ejemplos que han sidoestudiados tenemos que:

(a) En Rn las siguientes funciones son m´etricas:

(b) EnC[a, b] las siguientes funciones son m´etricas:

(1) d1(f, g) =

b

R

a |f(t) − g(t)|dt,

(3) d∞(f, g) = supt∈[a,b]|f(t) − g(t)|.

(c) El intervalo [0, 1] con la m´etrica d(x, y) =|x − y| es un espacio m´etrico

Definici´on 1.18 Sea (X, d) un espacio m´etrico, a∈ X, r ∈ (0, +∞)

La bola abierta con centro a y radio r es el conjunto

B(a, r) ={x ∈ X : d(x, a) < r}

La bola cerrada con centro a y radio r es el conjunto

B(a, r) ={x ∈ X : d(x, a) ≤ r}

Notar que la bola abierta no incluye el borde, la bola cerrada s´ı lo incluye

Ejercicio 1.19 Representar gr´aficamente la bola abierta y la bola cerrada con centro

0 y radio 1 para los siguientes espacios m´etricos:

(a) (Rn, d2),

(b) (Rn, d∞),

(c) (Rn, d1)

en los casos n = 2 y n = 3

Definici´on 1.20 Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A⊂ X

Se dice que A es acotado cuando existen a∈ X y r > 0 tales que A ⊂ B(a, r)

Si x ∈ X, la distancia de x a A se define como

d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}

El di´ametro de A es

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}

Proposici´on 1.21 Sea A ⊂ X A es acotado si y s´olo si el di´ametro de A es finito.

La demostraci´on de esta proposici´on queda como ejercicio

3 Sucesiones

Sea (X, d) un espacio m´etrico

Definici´on 1.22 Una sucesi´on en (X, d) es una funci´on de N en X.

Notaci´on Es usual utilizar las letras a, b, c para denotar sucesiones Si a es una cesi´on, en vez de escribir a(k), suele escribirse ak.

su-La sucesi´on a se suele denotar por {ak}, (ak) ´o {a1, a2, }

Definici´on 1.23 Una sucesi´on{ak} es acotada si el conjunto {a1, a2, } es un conjuntoacotado

Como ejercicio, probar:

Proposici´on 1.24 Una sucesi´on {ak} es acotada si y s´olo si existe M ∈ R tal que

diam{a1, a2, } ≤ M.

3.1 L´ımites

Definici´on 1.25 Una sucesi´on {ak} converge en (X, d) a un punto L ∈ X si para cada

ε > 0 existe un n´umero natural N tal que si k > N entonces d(ak, L) < ε

Definici´on 1.28 Sea {ak} una sucesi´on Diremos que {ak} es de Cauchy si para cada

ε > 0 existe N ∈ N tal que d(ak, am) < ε si k, m > N

Geom´etricamente esto quiere decir que a medida que k crece los t´erminos de la sucesi´on

se van juntando

Proposici´on 1.29 Toda sucesi´on convergente es de Cauchy.

Demostraci´on Sea {ak} una sucesi´on convergente Sea L = limk→∞ak en (X, d).Dado ε > 0 sea N tal que d(ak, L) < ε

(a) Las dos sucesiones dadas en el Ejemplo 1.27 son de Cauchy

(b) En (R, d2) sea ak= (−1)k Dado k ∈ N se tiene que d2(ak, ak+1) = 2 As´ı que{ak}

no es una sucesi´on de Cauchy Por lo tanto {ak} no converge

Luego {ak} no es una sucesi´on de Cauchy, y por lo tanto no converge

Teorema 1.31 En un espacio m´etrico, toda sucesi´on de Cauchy es acotada.

Demostraci´on Sea{ak} una sucesi´on de Cauchy en el espacio m´etrico (X, d), entoncesexiste N tal que d(ak, am) < 1 si k, m≥ N Sea

Corolario 1.32 En un espacio m´etrico, toda sucesi´on convergente es acotada.

4 Completitud.

Sea (X, d) un espacio m´etrico

Definici´on 1.33 X es completo si toda sucesi´on de Cauchy en X es convergente en X.

Ejemplo 1.34 (R, d2) es un espacio m´etrico completo

El resultado del ejemplo anterior es un teorema conocido del an´alisis en R En el pr´oximoteorema lo extenderemos al caso de n variables

Ejemplo 1.35 ((0, 1), d2) no es un espacio m´etrico completo Para probar esto bastaobservar que la sucesi´on dada por ak = 1

k es de Cauchy pero no converge a un punto de(0, 1)

Teorema 1.36 (Rn, d2) es completo.

Demostraci´on Sea {ak}k una sucesi´on de Cauchy en (Rn, d2) Entonces

ak= (ak1, , akn),donde, para j = 1, , n, {ak

j}k es una sucesi´on de n´umeros reales

Primero probaremos que para cada j = 1, , n, la sucesi´on {ak

j}k es de Cauchy en(R, d2) Notemos que

|akj − amj | ≤

q(ak

j}k es una sucesi´on de Cauchy en (R, d2)

Como (R, d2) es completo, para cada j ∈ {1, , n}, existe Lj ∈ R tal que

1 − L1)2+ + (ak

n− Ln)2.Dado ε > 0, sea γ = ε/√

n, entonces para cada j = 1, , n existe Nj tal que si k > Nj

entonces |ak

j − Lj| < γ

Sea N = max{N1, , Nn} entonces |ak

j − Lj|2 < γ2 si k > N Luego

kak− Lk ≤pγ2+ + γ2 =√

nγ = ε

5 Abiertos, cerrados, densidad, frontera, m´etricas equivalentes.

Definici´on 1.37 Sea (X, d) un espacio m´etrico Sea A⊂ X

A es abierto si para cada a∈ A existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A

A es cerrado si su complemento Ac= X − A es abierto

(h) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 < 1} es abierto en (R3, d2)

(i) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 < 1, z = 0} no es abierto en (R3, d2)

(j) {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 ≤ 1, z = 0} es cerrado en (R3, d2)

Ejercicio 1.39 Sea (X, d) un espacio m´etrico, x∈ X y r > 0

Demostrar que B(x, r) es abierto en (X, d) y que B(x, r) es cerrado en (X, d)

La demostraci´on queda como ejercicio

Observaci´on 1.41 Puede ocurrir que la intersecci´on de una familia infinita de abiertos

no sea abierto, dar ejemplos

Definici´on 1.42 Sea (X, d) un espacio m´etrico.

Si a∈ X, una vecindad o entorno de a en X es un conjunto abierto V tal que a ∈ V

(c) Si B es un abierto y B ⊂ A entonces B ⊂ int(A).

Esto se expresa diciendo que int(A) es el mayor abierto contenido en A.

La demostraci´on de esta proposici´on queda como ejercicio

Proposici´on 1.45 A es abierto si y s´olo si A = int(A).

Demostraci´on Supongamos que A = int(A) Por la proposici´on anterior int(A) esabierto Luego A es abierto

Supongamos que A es abierto Ya sabemos que int(A) ⊂ A Veamos que A ⊂ int(A).Sea a∈ A, como A es abierto existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A Luego a es un punto interior

de A

¤5.1 Puntos de acumulaci´on Clausura de un conjunto

Sea (X, d) un espacio m´etrico

Definici´on 1.46 Sean x∈ X, A ⊂ X Se dice que x es un punto de acumulaci´on de A

o un punto l´ımite de A cuando para cada r > 0 se tiene que

A∩ (B(x, r) − {x}) 6= ∅

Ejemplo 1.47

(a) 0 es un punto de acumulaci´on de {1/n : n ∈ N} en (R, d2)

(b) 3 es un punto de acumulaci´on de (3, 7).

(c) −1 es un punto l´ımite de {(−1)n+ 1/n : n∈ N} en (R, d2)

Notaci´on Sea A⊂ X,

A′ ={x ∈ X : x es un punto limite de A}

Ejemplo 1.48 Sea A = {1/n : n ∈ N}, entonces A′ ={0} Este ejemplo muestra quepuede ocurrir que A′ no est´a contenido en A

Proposici´on 1.49 Sea A un subconjunto de X A es cerrado si y s´olo si todo punto

l´ımite de A pertenece a A.

Demostraci´on Tenemos que∅ y X son abiertos y cerrados a la vez

(⇐) Supongamos que A 6= X Entonces AC 6= ∅ Por hip´otesis A′ ⊂ A

Sea x∈ AC, entonces x /∈ A′ Luego existe r > 0 tal que A∩ (B(x, r) − {x}) = ∅ Dedonde B(x, r)⊂ AC

Por lo tanto AC es abierto

(⇒) Supongamos que AC es abierto Si x /∈ A entonces existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ AC,

de donde A∩ B(x, r) = ∅ Luego A ∩ (B(x, r) − {x}) = ∅ Por lo tanto x /∈ A′

Definici´on 1.50 Sea A ⊂ X La clausura de A es la uni´on de A con el conjunto de

todos sus puntos l´ımites Es decir, la clausura de A es: A = E∪ A′

Esto se expresa diciendo que A es el menor cerrado que contiene a A

La demostraci´on de esta proposici´on queda como ejercicio

Proposici´on 1.53 A es cerrado si y s´olo si A = A.

La demostraci´on de esta proposici´on queda como ejercicio.

Ejercicio 1.54 Demostrar que, en (Rn, d2), la bola cerrada con centro a y radio r es laclausura de la bola abierta con centro a y radio r

5.2 Densidad Separabilidad Sea (X, d) un espacio m´etrico

Definici´on 1.55 Sea A⊂ X, decimos que A es denso en X cuando A = X.

Ejemplo 1.56 Q es denso en R con la m´etrica d2

Definici´on 1.57 Decimos que el espacio m´etrico (X, d) es separable cuando X contiene

un subconjunto denso y numerable

Ejemplo 1.58

(a) (R, d2) es separable pues Q es denso y numerable

(b) (Rn, d2) es separable pues Qn es denso y numerable

5.3 Frontera de un conjunto Sea (X, d) un espacio m´etrico

Definici´on 1.59 Sea A un subconjunto de X, la frontera de A es:

∂A ={x ∈ X : A ∩ B(x, r) 6= ∅ y AC ∩ B(x, r) 6= ∅ para todo r > 0}

(g) A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 9, x2 + y0 < 1} no es abierto, no es cerrado La fronteraes

(a) Demostrar que ∼ es una relaci´on de equivalencia

(b) Demostrar que dos m´etricas equivalentes dan origen a la misma familia de abiertos.Ejercicio 1.63 Demostrar que en Rn las m´etricas d1, d2 y d∞ son equivalentes

6 Funciones continuas

Sean (Z, dX) y (Y, dY) dos espacios m´etricos

Definici´on 1.64 Sean D⊂ X, a ∈ X un punto de acumulaci´on dy D, f : D → Y unafunci´on y L ∈ Y Decimos que el l´ımite de f(x) cuando x tiende al punto a es L si para

cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ D y si 0 < dX(x, a) < δ entonces dY(f (x), L) < ε.Abreviado:

lim

x→af (x) = L

Definici´on 1.65 Sean D ⊂ X, a ∈ D, f : D → Y una funci´on Decimos que f es

continua en a si para cada ε > 0 existe δ > 7 tal que si x ∈ D y sh dX(x, a) < δ entonces

dY(f (x), f (a)) < ε

Observaci´on 1.66 Notar que si a es un punto de acumulaci´on de D entonces f escontinua en a si y s´olo si limx→af (x) = f (a)

Definici´on 1.67 Sean D ⊂ X y f : D → Y una funci´on Decimos que f es continua

en D cuando f es continua en a para todo a∈ D

Lema 1.68 Sea f : X → Y una funci´on Las siguientes condiciones son equivalentes: (a) f es continua en a∈ X

(b) para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que

f (BX(a, δ))⊂ BY(f (a), ε)

Teorema 1.69 Sea f : X → Y una funci´on Las siguientes condiciones son

equivalen-tes:

(a) f es continua en X.

(b) f−1(G) es abierto en X para todo abierto G ⊂ Y

Demostraci´on

(a)⇒ (b) Sean G abierto en Y y a ∈ f−1(F ) Entonces f (a)∈ G

Como G es abierto en Y entonces existe ε > 0 tal que BY(f (a), ε)⊂ G De la continuidad

de f y del Lema anterior, sigue que existe δ > 0 tal que

f (BX(a, δ))⊂ BY(f (a), ε)

De donde

BX(a, δ)⊂ f−1(BY(f (a), ε))⊂ f−1(G)

(b)⇒ (a) Sean ε > 0 , a ∈ X Como BY(f (a), ε) es abierto en Y entonces f−1(BY(f (a), ε))

es abierto en X y contiene al punto a Por lo tanto existe δ > 0 tal que

BX(a, δ)⊂ f−1(BY(f (a), ε))

Luego

f (BX(a, δ))⊂ BY(f (a), ε)

Definici´on 1.70 Sean D ⊂ X, y f : D → Y una funci´on Decimos que f es formemente continua en D cuando para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x′, x” ∈ D y

uni-0 < dX(x′, x”) < δ entonces dY(f (x′), f (x”)) < ε

7 Compacidad en Rn.Supondremos conocido el hecho de que todo subconjunto infinito y acotado de R posee

al menos un punto acumulaci´on

Teorema 1.71 (Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto infinito y acotado de (Rn, d2)

tiene al menos un punto de acumulaci´on.

Demostraci´on Sea A ⊂ Rn un conjunto infinito y acotado Entonces existe unasucesi´on{~ak}k ⊂ A tal que ~ak 6= ~ap si k 6= p

Tenemos que ~ak = (a(k)1 , , a(k)n ), donde cada una de las sucesiones {a(k)i }k es una cesi´on acotada de n´umeros reales Por lo tanto {a(k)1 }k tiene una subsucesi´on convergente{akj1 }j,{a(kj)2 }j tiene una subsucesi´on convergente{a(kjj)2 }j, si continuamos con este proceso

su-obtenemos una subsucesi´on {~bk}k de {~ak}k tal que cada sucesi´on coordenada de {~bk}k verge y por lo tanto{~bk}kconverge El l´ımite de esta sucesi´on es un punto l´ımite del conjuntoA.

con-¤Corolario 1.72 Toda sucesi´on acotada en Rn posee una subsucesi´on convergente.

Definici´on 1.73 Se dice que un subconjunto A de Rn es compacto si es cerrado y

acotado

(En el curso de topolog´ıa se encontrar´an con otra definici´on de compacto, que en el caso

de Rn es equivalente a la anterior)

Teorema 1.74 (Heine-Borel) Sea A un subconjunto de Rn.

Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) A es compacto.

(b) Todo subconjunto infinito de A tiene un punto de acumulaci´on en A.

Demostraci´on

Supongamos (a)

Sea S un subconjunto infinito de A

Como A es acotado, S tiene que ser acotado

Por lo tanto S tiene un punto de acumulaci´on, por ser A cerrado este punto de laci´on debe estar en A

acumu-Supongamos (b)

A debe ser cerrado puesto que (b) implica que A contiene todos sus puntos de laci´on Si A no es acotado entonces se puede construir una sucesi´on de elementos de A cuyanorma tiende a +∞ El conjunto formado por los t´erminos de esta sucesi´on no puede tener

acumu-un pacumu-unto de acumulaci´on Por lo tanto A debe ser acotado ¤

8 Espacios topol´ogicos

Si Ω es un conjunto no vac´ıo, P(Ω) para denotar´a al conjunto de partes de Ω

Definici´on 1.75 Un espacio topol´ogico es un par (Ω,T ), donde Ω es un conjunto novac´ıo y T es un subconjunto de P(Ω) tal que

(i) ∅ y Ω pertenecen a T

(ii) La uni´on de una familia de elementos de T es un elemento de T

(iii) La intersecci´on de usa familia finita de elementos de T es un elemento de T

En este caso se dice que T es una topolog´ıa en Ω y se dice que los elementos de T son

conjuntos abiertos.

Ejemplo 1.76 Si consideramos un espacio m´etrico (X, d) yT es el conjunto de lo quehemos llamado los conjuntos abiertos de X entonces (X,T ) es un espacio topol´ogico.Observaci´on 1.77 Todo subconjunto de un espacio topol´ogico tambi´en es un espaciotopol´ogico M´as precisamente:

Sea (X,TX) un espacio topol´ogico y A ⊂ X un subconjunto no vac´ıo Si definimos

TA={A ∩ V : V ∈ TX}tenemos que (A,TA) es un espacio topol´ogico

Es natural definir continuidad en espacios topol´ogicos de la siguiente manera

Definici´on 1.78 Sean (X,TX), (Y,TY) dos espacios topol´ogicos y f : X → Y una

funci´on Se dice que f es continua si la imagen inversa bajo f de un abierto en Y es un

abierto en X, es decir f−1(V )∈ TX para todo V ∈ TY

Ejercicio 1.79 Dar un ejemplo de un conjunto Ω y una topolog´ıa T en Ω tal que noexiste ninguna m´etrica en Ω cuyos abierto sean los elementos de T

Si r ∈ (1, +∞), , x = (x1, , xn), y = (y1, , yn)∈ Rn entonces

k x + y kr≤k x kr +k y kr

(2) Demostrar que en un espacio m´etrico una sucesi´on no puede tener dos l´ımites rentes

dife-Nota: esta propiedad se conoce como unicidad del l´ımite

(3) Sea X un conjunto no vac´ıo y sea d : X × X → R una funci´on que satisface:(a) d(x, y) = 0 si y s´olo si x = y para todo x, y ∈ X

(b) d(x, z)≤ d(x, y) + d(z, y) para todo x, y, z ∈ X

Probar que d es una m´etrica en X

19

(4) Representar gr´aficamente B(0, 1) en R2 con las m´etricas d∞, d1 y d2.

(5) Sea X cualquier conjunto, definamos

(6) Sea (X, d) un espacio m´etrico Demostrar que si x0 ∈ X y r > 0 entonces B(x0, r)

es un conjunto abierto

(7) Sea A un conjunto abierto y sea x∈ A Pruebe que A − {x} es abierto

(8) ¿ Cu´ales de los siguientes subconjuntos de R son abiertos? ‘¿ Cu´ales son cerrados?Hallar su interior, sus puntos l´ımites y su clausura

(g) {n1 : n∈ N, n 6= 0} (h) {x ∈ R : x es irracional} (i) (−∞, 1) ∪ (3, 4) ∪ (4, 5](j) {1, 3, 5} ∪ (1, 2)

(9) ¿ Cu´ales de los siguientes subconjuntos de R2 son abiertos? ¿ Cu´ales son cerrados?Hallar su interior, sus puntos l´ımites y su clausura

(c) (0, 1)× (0, 1) (d) (0, 1)× [0, 1]

(e) {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1} (f) {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1, x≥ 0}(g) {(x, y) ∈ R2 : y = sen1x, x∈ (0, 1)}

(10) Sea (X, d) un espacio m´etrico Demuestre que:

(a) La uni´on de una familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto

(b) La intersecci´on de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto

(c) La intersecci´on de una familia finita de conjuntos abiertos es un conjuntoabierto

(11) Mostrar con un ejemplo que puede ocurrir que la intersecci´on de una familia infinita

de conjuntos abiertos no sea un conjunto abierto

(12) Sea (X, d) un espacio m´etrico Demuestre que:

(a) La intersecci´on de una familia de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.(b) La uni´on de dos conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

(c) La uni´on de una familia finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado

(13) Mostrar con un ejemplo que puede ocurrir que la uni´on de una familia infinita deconjuntos cerrados no sea un conjunto cerrado

(14) Demostrar que todo subconjunto abierto y no vac´ıo de R es una uni´on contable deintervalos abiertos disjuntos

(15) Sea (X, d) un espacio m´etrico y sean{xn}, {yn} sucesiones en X tales que xn→ x,

yn→ y Probar que d(xn, yn)→ d(x, y)

(16) Sea (X, d) un espacio m´etrico Definamos

D(x, y) = d(x, y)

1 + d(x, y).Demostrar que (X, D) tambi´en es un espacio m´etrico

(17) Probar que (C[a, b], d∞) es completo

(18) Sean X e Y espacios m´etricos, sea f : X → Y una funci´on Demostrar que f escontinua si y s´olo si f−1(C) es cerrado en X para todo C ⊂ Y cerrado

(19) Demostrar que si f : R→ R es continua y f(x + y) = f(x) + f(y) entonces existe

a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R

Ayuda: Pruebe primero que f (x) = xf (1) para todo x ∈ Q, h´agalo primeropara x∈ N, luego para x ∈ Z y finalmente para x ∈ Q

(20) Sea X un conjunto no vac´ıo y d la m´etrica dada por

(b) ¿ Cu´ando una sucesi´on en X es convergente ?

(c) ¿ Es X completo ?

(d) Caracterizar los subconjuntos abiertos de X.

(e) Si x0 ∈ X y r > 0, ¿ c´omo es B(x0, r) ?

(f) Caracterizar las funciones f : X → R que son continuas

(21) En cada uno de los siguientes ejercicios sea S el conjunto de todos los puntos (x, y)del plano que satisfacen las condiciones dadas Hacer un dibujo mostrando el con-junto S Decir si S es abierto o si es cerrado y hallar su frontera Indicar la frontera

(22) En cada uno de los siguientes ejercicios, sea S el conjunto de los puntos (x, y, z)

de R3 que satisfacen las condiciones dadas Determinar si S es abierto o no, si escerrado o no y hallar su frontera

4 ≤ θ ≤ 3π

4 (d) r ≤ 4 cos θ, −π

(c) Si B es un abierto y B ⊂ A entonces B ⊂ int(A)

Esto se expresa diciendo que int(A) es el mayor abierto contenido en A

(26) Sean (X, d) un espacio m´etrico y A⊂ X Demostrar:

(a) A⊂ A

(b) A es cerrado

(c) Si C es un cerrado y A⊂ C entonces A ⊂ C

Esto se expresa diciendo que A es el menor cerrado que contiene a A

(27) Sean (X, d) un espacio m´etrico y A⊂ X Demostrar que A es cerrado si y s´olo si

A = A

(28) *Demostrar que (C[a, b], d1) y (C[a, b], d2) no son completos

y m son enteros mayores o iguales que 1.

Consideraremos funciones f definidas en un conjunto D ⊂ Rn y que toman valores en

Rm El conjunto D se llama el dominio de la funci´on f y lo denotaremos mediante Dom(f ).

Definici´on 2.1 Sea D ⊂ Rn y f : D → Rm una funci´on

(a) Si n = m = 1 la funci´on f se llama funci´on real de una variable real.

(b) Si n = 1 y m > 1 a f se le llama funci´on vectorial de una variable real.

(c) Si n > 1 y m = 1 la funci´on f se llama funci´on real de una variable vectorial o

25

f (t)dt.

A continuaci´on daremos algunos ejemplos de funciones de Rn en Rm A partir de laf´ormula que las definen indicaremos cu´al es el dominio m´as grande en el que pueden serconsideradas

Ejemplo 2.3

(a) La f´ormula

f (x, y) = 1

x2+ y2− 1define una funci´on en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 6= 1}

(b) La f´ormula

f (x, y) = 1

px2+ y2− 1define una funci´on en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 > 1}

El rango o imagen de f es el conjunto de todos los vectores ~y ∈ Rm tales que ~y = f (~x)para alg´un ~x∈ D ⊂ Rn

Ejemplo 2.4 Sea f : R3 → R2 definida por

f (x, y, z) = (x2+ y2+ z2, x + y + z)para todo (x, y, z)∈ R3 Entonces

Rango(f ) ={(u, v) ∈ R2 : u≥ 0}

Definici´on 2.5 Sea f : D⊂ Rn → Rm una funci´on tal que

f (~x) = (f1(~x), , fm(~x)),donde f1, , fm son funciones escalares

Las funciones f1, , fm se llaman funciones coordenadas de f

Es usual usar la notaci´on abreviada f = (f1, , fm)

En el caso n = 2 y m = 1, es decir cuando tenemos f : R2 → R entonces Graf(f) ⊂ R3

En este caso el gr´afico de f es la superficie

Graf(f ) ={(x, y, z) ∈ R3 : (x, y)∈ Domf, z = f(x, y)},que puede ser visualizada en casos particulares

Ejemplo 2.8.

(a) Sea f (x, y) =p1 − x2 − y2

Veamos que su gr´afico es la parte de arriba de una esfera de radio 1

El domino de f es el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1} Si consideramos

z =p1 − x2− y2 para x2+ y2 ≤ 1 entonces z ≥ 0 y x2+ y2+ z2 = 1

x

y z

Los llamados conjuntos de nivel de una funci´on nos dan una idea de su comportamiento

Definici´on 2.9 Sean c∈ R y f : D ⊂ Rn → R El conjunto de nivel de f,

correspon-diente al valor c es:

1 y

c=0 c=1/2 c=3/4

Figura 2.3 curvas de nivel de f (x, y) =p1 − x2− y2

(b) Si f (x, y, z) = x2+ y2 + z2 entonces las superficies de nivel son esferas (justifique)

(c) Sea f (x, y) = x2+ y2 , las curvas de nivel de f son circunferencias con centro en elorigen

Tenemos que si f (x, y) = c si y s´olo si c≥ 0 y x2+ y2 = c

Por lo tanto, debe ser c ≥ 0 La curva de nivel que corresponde a c es unacircunferencia con centro en el origen y radio√

c

La siguiente figura ilustra las curvas de nivel de f

3 2 1 0 1 2 3 y

3 2 1 1 2 3 x

c=1

c=9 c=4

Figura 2.4 curvas de nivel de f (x, y) = x2+ y2

(d) Sea f (x, y) = x2− y2 entonces las curvas de nivel de f son los conjuntos en los que

x2− y2 = c Estos conjuntos nos dan una idea de como es el gr´afico de f

3 2 1 0 1 2

3 y

3 2 1 1 2 3 x

c=1 c=1 c=3 c=3

c=-1

c=-1 c=-3

c=-3

x

z

y

Figura 2.5 curvas de nivel y gr´afico de f (x, y) = x2− y2

Esta superficie se conoce con el nombre de paraboloide hiperb´olico o “silla demontar”

2 L´ımites.

La definici´on de l´ımite est´a basada en la noci´on de proximidad y ya hemos visto que

la nociones de l´ımite y continuidad pueden ser extendidas a funciones entre dos espaciosm´etricos

Sabemos que Rn con la m´etrica euclidiana d2 es un espacio m´etrico, donde

d2(~x, ~y) = k~x − ~yk2,

es decir,

d2((x1, , xn), (y1, , yn)) =p(x1− y1)2+ + (xn− yn)2.Salvo que se indique expresamente lo contrario consideraremos la norma euclidiana k k2

en Rn y la denotaremos simplemente con k k

Por lo tanto, para el caso de las funciones Rn en Rm, podemos considerar los conceptos

de l´ımite y continuidad vistos anteriormente

Ejemplo 2.11 Sea

L = lim

(x,y)→(1,2)2x + 5y

Probaremos, a partir de la definici´on, que L = 12

Sabemos que limx→12x = 2 y limy→25y = 10

Por lo tanto, dado ε > 0 existe δ1 > 0 tal que si |x − 1| < δ1 entonces |2x − 2| < ε/2 yexiste δ2 > 0 tal que si |y − 2| < δ2 entonces |5y − 10| < ε/2

Sea δ = min{δ1, δ2} Sea (x, y) tal que

0 <k(x, y) − (1, 2)k < δ,entonces

|x − 1| < p(x − 1)2+ (y− 2)2 <k(x − 1, y − 2)k = k(x, y) − (1, 2)k < δ,

|y − 2| <p(x − 1)2+ (y− 2)2 <k(x − 1, y − 2)k = k(x, y) − (1, 2)k < δ

Luego

|2x + 5y − 12| = |2x + 5y − (2 · 1 + 5 · 2)| = |2x − 2 + 5y − 10| ≤ |2x − 2| + |5y − 10| < ε.Proposici´on2.12 Sean D un subconjunto de Rn, f : D → Rm una funci´on y ~a un punto

de acumulaci´on de D Supongamos que f (~x) = (f1(~x), , fm(~x)) y ~L = (L1, , Lm)∈ Rm Las siguientes condiciones son equivalentes:

(ii) k~yk ≤ k(y1, 0, , 0)k + k(0, , 0, ym)k = |y1| + + |ym|.

Ejemplo 2.13 Sea f (t) = (t, t2, sen(1t)) No existe limt→0f (t), ya que limt→0sen(1t) noexiste

Lema 2.14 Sean D un subconjunto de Rn, f : D → Rm una funci´on y ~a un punto de acumulaci´on de D Si lim~x→~af (~x) existe entonces existe un entorno V de ~a tal que f es

kf(~x)k < k~Lk + 1

Lema 2.15 Sean D un subconjunto de Rn, f : D → Rm una funci´on y ~a un punto de acumulaci´on de D Si lim~x→~af (~x) = ~L 6= ~0 entonces existen m > 0 y un entorno V de ~a

tales que kf(~x)k ≥ m para todo ~x ∈ (V \ {~a}) ∩ D.

Demostraci´on Considerando ε = k~Lk/2 en la definici´on de l´ımite obtenemos queexiste δ > 0 tal que si ~x∈ D y 0 < k~x − ~ak < δ entonces

kf(~x) − ~Lk < k~Lk2 Sea V = B(~a, δ), supongamos que ~x∈ (V \ {~a}) ∩ D entonces

|kf(~x)k − k~Lk| ≤ kf(~x) − ~Lk < k~Lk2 ,

de manera natural a los campos escalares, m´as precisamente:

Teorema 2.16 (Propiedades del l´ımite para campos escalares)

Sean λ ∈ R, D ⊂ Rn, ~a un punto l´ımite de D, sean f, g : D → R funciones tales que

lim

~ x→~af (~x) y lim

~ x→~ag(~x)

existen y son finitos Entonces

(a) lim

~

x→~aλf (~x) = λ lim

~ x→~af (~x).

(b) lim

~

x→~a(f (~x) + g(~x)) = lim

~ x→~af (~x) + lim

~ x→~ag(~x).

(c) lim

~

x→~a(f (~x) g(~x)) = (lim

~ x→~af (~x)) (lim

~ x→~ag(~x)).

µ f (~x)g(~x)

¶

=

lim

~ x→~af (~x)lim

~ x→~ag(~x) .

La demostraci´on se deja como ejercicio

Proposici´on 2.17 (L´ımite a lo largo de una curva) Sean D ⊂ Rn, ~a un punto l´ımite

de D, I un intervalo abierto y g : I → D tales que:

(a) existe to∈ I tal que g(to) = ~a,

Es decir: Si ~x se acerca al punto ~a a lo largo de g entonces f (~x) se tiene que acercar a

lim~x→~af (~x).

Hacer la demostraci´on como ejercicio.

Tal como muestran los siguientes ejemplos, esta proposici´on es muy ´util para demostrarque un l´ımite no existe

f (x, y) = xy

x2+ y2.Entonces tenemos que

Si ~a = (a1, , an), ~b = (b1, , bn)∈ Rn el producto interno usual es: