Luyện Tập Chung Các Dạng Toán Về Phân Số.docx

LUYỆN TẬP VỀ HỖN SỐ, SỐ THẬP PHÂN, PHẦN TRĂM VÀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM I Lý thuyết 1 Hỗn số Nếu phân số dương lớn hơn 1, ta có thể viết nó dưới dạng hỗn số bằng cách chia tử cho mẫu, thương tìm được là phần[.]

LUYỆN TẬP VỀ HỖN SỐ, SỐ THẬP PHÂN, PHẦN TRĂM VÀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM

I Lý thuyết

1 Hỗn số

Nếu phân số dương lớn hơn 1, ta có thể viết nó dưới dạng hỗn số bằng cách: chia tử cho mẫu,thương tìm được là phần nguyên của hỗn số, số dư là tử của phân số kèm theo, còn mẫu vẫn là mẫu đãcho

Muốn viết một hỗn số dương dưới dạng một phân số, ta nhân phần số nguyên với mẫu rồi cộngvới tử, kết quả tìm được là tử của phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho

Khi viết một phân số âm dưới dạng hỗn số, ta chỉ cần viết số đối của nó dưới dạng hỗn số rồi đặtdấu trước kết quả nhận được Cũng vậy, khi viết một hỗn số âm dưới dạng phân số, ta chỉ cần viết sốđối của nó dưới dạng phân số rồi đặt dấu “-” trước kết quả nhận được

2 Số thập phân

Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của 10

Số thập phân gồm hai phần:

+ Phần số nguyên viết bên trái dấu phẩy

+ Phần thập phân viết bên phải dấu phẩy

Số chữ số của phần thập phân đúng bằng số chữ số 0 ở mẫu của phân số thập phân

Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Viết phân số dưới dạng hỗn số ta được

Câu 2: Viết phân số dưới dạng số thập phân ta được

1 Dạng 1: Viết phân số dưới dạng hỗn số và ngược lại

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc viết phân số dưới dạng hỗn số và quy tắc viết hỗn số dưới

dạng phân số

Ví dụ 1: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số:

Lời giải:

Ví dụ 2: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số:

Lời giải:

Bài 1: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số:

Bài 2: Viết các hỗn số sau dưới dạng phân số:

Bài 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

2 Dạng 2: Viết các phân số đã cho dưới dạng phân số thập phân, phần trăm và ngược lại

Phương pháp giải: khi viết cần lưu ý số chữ số của phần thập phân phải đúng bằng số chữ số 0 ở

mẫu của phân số thập phân

Ví dụ 3: Đổi ra mét (viết kết quả dưới dạng phân số thập phân rồi dưới dạng số thập phân): 3dm,

85cm, 52mm

Lời giải:

3dm = m = 0,3m

85cm = m = 0,85m

52mm = m = 0,052m

Ví dụ 4: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân và dùng kí hiệu phần trăm:

Lời giải:

Bài 4: Viết dưới dạng phân số thập phân, số thập phân và phần trăm

Bài 5: Viết các phần trăm sau dưới dạng phân số, số thập phân: 6%, 9%, 125%, 120%, 15%

Bài 6: Viết các số thập phân sau dưới dạng phần trăm, phân số, hỗn số: 2,25; 2,5; 1,75; 1,6

Bài 7: Đổi ra mét và viết kết quả dưới dạng phân số thập phân: 34cm, 524mm, 70mm, 93dm

3 Dạng 3: Cộng trừ hỗn số

Phương pháp giải:

+ Khi cộng hai hỗn số ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép cộng phân số

Ta cũng có thể cộng phần nguyên với nhau, cộng phần phân số với nhau (khi hai hỗn số đều dương)

+ Khi trừ hai hỗn số, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép trừ phân số Tacũng có thể lấy phần nguyên của số bị trừ trừ phần nguyên của số trừ, phần phân số của số bị trừ trừphần phân số của số trừ, rồi cộng hai kết quả với nhau (khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơnhoặc bằng số trừ)

+ Khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ nhưng phần phân số của số bịtrừ nhỏ hơn phần phân số của số trừ, ta phải rút một đơn vị ở phần nguyên của số bị trừ để thêm vàophần phân số, sau đó tiếp tục trừ như trên

b) 9,67 + 1,54

c) 8,76 – 2,15

d) 8,9 – 2,5 + 2,9

f) 12,87 – 14,7 + 14,13 – 37,3g) 126 + 2,34 – 125,6 + 24h) 187 – 12,56 + 13 – 47,44

Bài 10: Thực hiên phép tính

4 Dạng 4: Nhân chia hỗn số

Phương pháp giải: Thực hiện phép nhân hoặc phép chia hai hỗn số bằng cách viết hỗn số dưới

dạng phân số rồi làm phép nhân hoặc chia phân số

Khi nhân hoặc chia một hỗn số với một số nguyên, ta có thể viết hỗn số dưới dạng một tổng củamột số nguyên và một phân số

g) 12,4.125%.4

5 Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải: Để tính giá trị của các biểu thức số, ta cần chú ý:

Phương pháp giải: Số thập phân có thể viết dưới dạng phân số và ngược lại phân số cũng được

viết dưới dạng số thập phân Các phép tính về số thập phân cũng có các tính chất như các phép tính vềphân số

Bài 13: Thực hiện phép tính

Bài 14: Tìm x

Bài 15: Tính giá trị của biểu thức:

Bài 16: Tính giá trị của biểu thức:

Bài 17: Lớp 6A có 50 học sinh, trong đó có 20 học sinh đạt loại giỏi.

a) Tính xem số học sinh đạt loại giỏi bằng mấy phần cả lớp

b) Viết phân số trên dưới dạng dùng kí hiệu phần trăm

c) Số học sinh không đạt loại giỏi chiếm bao nhiêu phần trăm.

Bài 18: An đi quãng đường AB trong 0,3 giờ với vận tốc 35km/giờ rồi đi tiếp quãng đường BC trong 1

giờ 20 phút với vận tốc 36km/giờ Tính quãng đường tổng cộng An đã đi

Bài 19: Diện tích một hình chữ nhật thay đổi như thế nào, nếu chiều dài của nó tăng 20%, chiều rộng

của nó giảm 20%?

Bài 20: Một hình chữ nhật có diện tích tăng 140%, chiều dài tăng 60% Hỏi chiều rộng đã tăng bao

nhiêu phần trăm?

Bài 21: Một lớp có 25% học sinh giỏi, 55% học sinh khá còn lại là học sinh trung bình Tính số học

sinh của lớp đó biết số học sinh trung bình là 5 bạn?

Bài 22: Tính tuổi hai anh em biết 62,5% tuổi anh hơn 75% tuổi em là 2 tuổi và 50% tuổi anh hơn

37,5% tuổi em là 7 tuổi

Bài 23: Lượng nước trong cỏ tươi là 55%, trong cỏ khô là 10% Hỏi phơi 100 kg cỏ tươi ta được bao

nhiêu kg cỏ khô?

Bài 24: Một người vay 10 000 000 đồng với lãi suất 1% tháng Hỏi sau 3 tháng người đó phải trả bao

nhiêu tiền?(Biết lãi được nhập vốn để tính lãi tiếp tháng sau)

Bài 25: Giá hoa ngày Tết tăng 20% so với tháng 11 Tháng giêng giá hoa lại giảm 20% Hỏi giá hoa

tháng giêng so với giá hàng hoá tháng 11 thì tháng nào rẻ hơn và rẻ hơn bao nhiêu phần trăm?

Bài 3: Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho

Bài 4: Tìm các chữ số a, b, c khác nhau sao cho:

Bài 5: Giá rau tháng 7 thấp hơn giá rau tháng 6 là 10%, giá rau tháng 8 cao hơn giá rau tháng 7 là

10% Hỏi giá rau tháng 8 so với tháng 6 cao hơn hay thấp hơn bao nhiêu phần trăm?

Bài 13:

Bài 14: Tìm x

a,

Bài 2:

A = 1,01 + 1,02 + 1,03 + … + 9,98 + 9,99 + 10

Số số hạng (10 - 10,01) : 0,01 + 1 = 900 số hạngTổng A = (10 + 1,01).900 : 2 = 4954,5

Với

Với

Bài 5:

Giá rau tháng 7 bằng 100% - 10% = 90% giá rau tháng 6

Giá rau tháng 8 bằng 100% + 10% = 110% giá ru tháng 7

Do đó giá rau tháng 8 bằng 110%.90% = 99% giá rau tháng 6

Vậy giá rau tháng 8 thấp hơn giá rau tháng 6 là 1%

Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:

Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn

đến đây, ta sẽ so sánh với như sau:

Ta có: bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số với 96 để được hai phân

Chiều thứ hai, ta cần chứng minh:

Ta làm tương tự như sau :

Từ (1) và (2) ta có :

Bài 3: Chứng minh rằng:

HD :

Ta biến đổi:

Đặt , và tính B rồi thay vào tổng A ta được

Bài 7: Chứng minh rằng:

HD :

Ta có :

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì không là số tự nhiên

, Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có :

, thay vào A ta được :

Bài 40: CMR:

Bài 41: CMR:

13

1

3

13

13

1

99 3

HD:

Dùng công thức tính tổng theo quy luật S = 1 + a + a 2 + a 3 + ….+ a n để tính tổng rồi so sánh.

1

3

13

13

12

A =

1

32− 1

34 + +

Bài 48: Cho tổng T =

2

21+

3

22+

4

23+ +

2016

22015+

2017

22016 So sánh T với 3HD:

4

22+ +

2016

22014+

1

22+………+

1

22015-

1

22+………+

52+ 9

112+ 9

172+ + 9

3052 Chứng minh: A< 34

Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường

, lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung 1 phân số đầu hoặc cuối,

TH1: Ta chứng minh thì ta có:

(1)

Nên ta chứng minh được , mà

Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A

lớn hơn , do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc

Bài 12: Cho , Chứng minh rằng:

Ta có: (25 ngoặc)

Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng , nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 1 số ta

nhóm sao cho phân số có dạng ở cuối ngoặc :

HD:

Phương pháp:

Với dạng tích ta sử dụng tính chất: với m>0, và ngược lại

Bài 1: Cho Chứng minh rằng: 14 < A < 20

Bài 6: Cho Chứng minh rằng:

Bài 8: Chứng minh rằng với n là số thự nhiên thì:

Bài 9: Thực hiện so sánh: C = 1 3 5 7 … 99 với D =

51

2 .522 .532 1002

HD :

=1 3 5 7 … 99 2.4.6 100 (1.2).(2.2).(3.2) (50.2)

Dạng 4: BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ

Phương pháp:

Với chương trình lớp 6-7 các dạng bài toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử dụng tính

chất: hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu

Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng: có giá trị không nguyên

HD:

Ta có: và , Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có:

Vậy M không nguyên

Bài 2: Cho x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng:

có giá trị không nguyên

HD:

, Vậy M không nguyên

Bài 3: Cho a, b, c, d Chứng minh rằng:

Có giá trị không nguyên

HD:

Vậy A có giá trị không nguyên

Bài 4: Cho a, b, c là các số dương, và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại

Chứng minh rằng:

HD:

Chúng ta có thể làm theo cách ở trên, hoặc làm theo cách thứ hai như sau:

Giả sử:

Khi đó: , cộng theo vế ta được:

Bài 5: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:

HD:

Bài 6: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng:

HD:

Ta có:

Cộng theo vế ta được: 2<A<3

Bài 7: Cho các số x,y,z nguyên dương, CMR:

Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại nên ta có :

Tương tự ta có :

và Cộng theo vế ta được :

Bài 10: Cho ba số dương , CMR:

1 Cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu

2 Cộng phân số không cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết các phân số đó dưới dạng hai phân số có cùngmột mẫu rồi cộng các tử và giữa nguyên mẫu chung

3 Tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số có các tính chất cơ bản sau:

- Hai số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0

2 Phép trừ hai phân số

- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ Nghĩa là:

* Chú ý:

- Muốn trừ một phân số cho một phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu rồi lấy từ của phân số

bị trừ trừ đi tử của phân số trừ và giữ nguyên mẫu chung

nguyên

III – PHÉP NHÂN

+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:

+ Lưu ý: Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta

nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu:

+ Lưu ý: Muốn chia một phân số cho một số nguyên (khác 0), ta giữ nguyên tử của phân số và

nhân mẫu với số nguyên:

V – HAI BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ

Muốn tìm của một số a cho trước ta tính a

Muốn tìm một số biết của nó bằng a, ta tính a :

- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết các phân số đó dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữa nguyên mẫu chung.

b) Trước hết ta sẽ đưa phân số thành phân số có mẫu dương, nghĩa là:

Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép cộng hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu cóthể):

Vậy 7)

Vậy

12)

Vậy 14)

Bài 6.Tính tổng các phân số sau:

Lời giải:

Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị

Người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ Suy ra trong 1 giờ làm được công việc

Người thứ hai làm xong công việc trong 7 giờ Suy ra trong 1 giờ làm được công việc.

Bài tập tương tự

Bài 5: Hai người cùng làm chung một công việc Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người

thứ hai phải mất 8 giờ mới xong công việc Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấyphần công việc?

Đán án:

Bài 6: Hai người cùng làm chung một công việc Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 9 giờ 15

phút, người thứ hai phải mất 11 giờ 18 phút mới xong công việc Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả haingười làm được mấy phần công việc?

Đán án:

Bài 7: Hai người cùng làm chung một công việc Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 7 giờ 10

phút, người thứ hai phải mất 5 giờ 24 phút mới xong công việc Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả haingười làm được mấy phần công việc?

Đán án:

Bài 8: Hai vòi cùng chảy vào 1 bể Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất 6 giờ mới đầy bể Nếu vòi thứ

hai chảy thì phải mất 8 giờ mới đầy bể Hỏi trong 1giờ, hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

Đán án:

Bài 9 : Hai vòi cùng chảy vào 1bể Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất 4 giờ 25 phút mới đầy bể Nếu

vòi thứ hai chảy thì phải mất 8 giờ 12 phút mới đầy bể Hỏi trong 1 giờ, hai vòi chảy được bao nhiêuphần bể?

Đán án:

Bài 10: Hai vòi cùng chảy vào 1 bể Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất 72 phút mới đầy bể Nếu vòi

thứ hai chảy thì phải mất 58 phút mới đầy bể Hỏi trong 1giờ, hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ Nghĩa là:

II Bài toán.

Bài 1.Thực hiện phép trừ

Lời giải:

Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép trừ hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu có

thể):

Áp dụng:Trừ các phân số (rút gọn nếu có thể)

Lời giải

Bài 6 Toán thực tế:

Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy vào được

bể, vòi thứ hai chảy vào được bể Hỏi vòi nào chảy nhanh hơn và trong một giờ, cả hai vòi chảyđược bao nhiêu phần bể?

Lời giải:

Coi toàn bộ bể là 1 đơn vị

Ta có phép trừ:

Vậy trong 1 giờ, khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy chậm hơn vòi thứ hai

Bài tập tương tự

1) Hai người cùng làm chung một công việc Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 5 giờ, người thứ

hai phải mất 8 giờ mới xong công việc Hỏi trong 1 giờ, người nào làm nhanh hơn và nếu làm chungthì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Đán án:

Trong 1 giờ:

- Người thứ nhất làm nhanh hơn

- Cả hai người làm được ( công việc )

2)Hai người cùng làm chung một công việc Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất 4giờ15, người thứ

hai phải mất 6 giờ 30 phút mới xong công việc Hỏi trong 1 giờ, người nào làm nhanh hơn và nếu làmchung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Đán án:

Trong 1 giờ:

- Người thứ nhất làm nhanh hơn

3)Hai người cùng làm chung một công việc Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người thứ

hai phải mất 6 giờ 15 phút mới xong công việc Hỏi trong 1 giờ, người nào làm nhanh hơn và nếu làmchung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Đán án:

Trong 1 giờ:

- Người thứ nhất làm nhanh hơn

4)Hai vòi cùng chảy vào 1 bể Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất 4 giờ mới đầy bể Nếu vòi thứ hai

chảy thì phải mất 9 giờ mới đầy bể Hỏi trong 1 giờ, vòi nào chảy nhanh hơn và hai vòi chảy được baonhiêu phần bể?

Đán án:

Trong 1 giờ:

- Vòi thứ nhất chảy nhanh hơn

5)Hai vòi cùng chảy vào 1 bể Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất 8 giờ mới đầy bể Nếu vòi thứ hai

chảy thì phải mất 14 giờ mới đầy bể Hỏi trong 1 giờ, vòi nào chảy nhanh hơn và hai vòi chảy đượcbao nhiêu phần bể?

Đán án:

Trong 1 giờ:

- Vòi thứ nhất chảy nhanh hơn

6)Hai vòi cùng chảy vào 1 bể Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất 15 giờ mới đầy bể Nếu vòi thứ hai

chảy thì phải mất 10 giờ12 phút mới đầy bể Hỏi trong 1 giờ, vòi nào chảy nhanh hơn và hai vòi chảyđược bao nhiêu phần bể?

Đán án:

Trong 1 giờ:

- Vòi thứ hai chảy nhanh hơn

7)Một kho chứa tấn thóc Người ta lấy ra lần thứ nhất tấn, lần thứ hai lấy ra tấn thóc Hỏitrong kho còn bao nhiêu tấn thóc?

10)Một kho chứa tấn thóc Người ta lấy ra lần thứ nhất tấn, lần thứ hai lấy ra tấn thóc Hỏitrong kho còn bao nhiêu tấn thóc?

Đán án:

Dạng 3: Phép nhân, chia các phân số

I Phương pháp giải.

- Rút gọn (nếu có thể) các phân số trong đề bài;

- Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số

- Áp dụng các tính chất cơ bản của phép nhân phân số

II Bài toán.

Bài 1 Nhân các phân số:

Lời giải

Bài 2 Điền các số thích hợp vào bảng sau: