Động lực học chất điểm

Lực là đại lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng của vật này vào vật khác, là số đo của tác động cơ học do các đối tượng khác tác dụng vào vật.. Chương này không nghiên cứu sự biến dạng c

Chương 2

ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

Động Lực Học nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến đổi trạng thái chuyển động của vật và nguyên nhân làm biến đổi trạng thái của chuyển động đó Chương này nghiên cứu mối quan hệ giữa gia tốc của chất điểm, hệ chất điểm với các lực tác dụng lên nó Các phương trình động lực học rút ra chỉ được áp dụng cho các vật có

kích thước nhỏ – các chất điểm Vì thế, khi nói “vật” ta hiểu vật đó là chất điểm

§2.1 – CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON

Cơ sở của Động Lực Học là ba định luật của Newton Isaac Newton – nhà Vật

Lý người Anh (1642 – 1727) Trong công trình “Các tiên đề toán học của triết học tự nhiên”, công bố năm 1687, ông đã phát biểu những định luật cơ bản của cơ học cổ điển, thiết lập được định luật vạn vật hấp dẫn, nghiên cứu sự tán sắc ánh sáng và khởi thảo những cơ sở của các phép tính vi phân và tích phân

1 – Định luật Newton thứ I:

Một vật cô lập, nghiã là hoàn toàn không chịu tác dụng của các vật khác, sẽ mãi mãi đứng yên (nếu nó đang đứng yên) hoặc chuyển động thẳng đều (nếu nó đang chuyển động) Nói các khác, một vật cô lập sẽ bảo toàn trạng thái chuyển động của nó

( ) Đây là một thuộc tính của vật chất, và được gọi là quán tính của vật Vì

thế, định luật I Newton còn gọi là định luật quán tính

→

→

= const

v

Trên thực tế, không có vật cô lập tuyệt đối, mà chỉ có những vật chịu tác dụng

của những lực cân bằng, khi đó định luật I Newton cũng nghiệm đúng

2 – Định luật Newton thứ II:

a) Khái niệm về lực: Trong cuộc sống, ta thấy rõ nhiều hiện tượng vật này tác dụng

vào vật kia Chẳng hạn như: khi nâng một vật lên cao, tay ta đã tác dụng vào vật và vật

đã đè lên tay ta; khi nam châm để gần đinh sắt sẽ hút đinh sắt, … Để đặc trưng cho

các tác dụng đó, người ta đưa ra khái niệm về lực

Lực là đại lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng của vật này vào vật khác, là số

đo của tác động cơ học do các đối tượng khác tác dụng vào vật Số đo ấy đặc trưng cho hướng và độ lớn của tác dụng

Lực được kí hiệu là F (Force) Trong hệ SI, lực có đơn vị là newton (N) Lực

là một đại lượng vectơ ( ) và là một khái niệm cơ bản của Động Lực Học →F

- Phương của lực : cho biết phương tác dụng →F

- Chiều của →F : cho biết chiều tác dụng

- Độ lớn của →F : cho biết độ mạnh, yếu (cường độ) tác dụng

- Điểm đặt của : cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng →F

Dưới tác dụng của lực, vật có thể thu gia tốc hoặc bị biến dạng Chương này không nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm với các lực tác dụng vào nó

Nếu tổng vectơ của hai lực đặt vào chất điểm bằng không thì sự có mặt của các tác động đo bởi các lực đó không được phản ánh trong chuyển động của chất

điểm Hai lực như vậy được gọi là hai lực cân bằng

Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực:

ƒ Các lực hút tương hỗ giữa các vật – gọi là lực hấp dẫn

ƒ Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau Các

lực này có chung bản chất là lực đàn hồi

ƒ Các lực là kết quả của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển

động tương đối với nhau Các lực này gọi là lực ma sát

Bản chất và đặc điểm của các lực này, được trình bày rõ hơn ở §2.2

b) Khái niệm về khối lượng:

Mọi vật đều có xu hướng bảo toàn trạng thái chuyển động ban đầu của mình Thuộc tính đó gọi là quán tính của vật Mức quán tính của vật được đặc trưng bởi một đại lượng vật lý đó là khối lượng Ta nói: khối lượng là số đo mức quán tính của vật

Quán tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng

và được định lượng bởi định luật II Newton: F = ma Ta thấy, với cùng một lực tác dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc càng nhỏ) khi khối lượng (quán tính) của vật càng lớn và ngược lại

Khối lượng còn là đại lượng đặc trưng cho mức hấp dẫn giữa vật và các vật khác Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái đất và vật là F = mg Như vậy, đối với cùng một vật, ta có thể viết: F=mia và F = mgg Trường hợp thứ nhất, khối lượng là số

đo quán tính của vật, nên gọi là khối lượng quán tính và được kí hiệu là mi Trường hợp thứ hai, khối lượng là số đo tương tác hấp dẫn của vật với Trái đất, nên gọi là khối lượng hấp dẫn và được kí hiệu là mg

Tuy nhiên, trong sự rơi tự do, mọi vật đều có cùng gia tốc a = g như nhau nên suy ra khối lượng quán tính và khối lượng hẫp dẫn bằng nhau về trị số:

m m

Hệ thức (2.1) là một trong những kết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại

Trên cơ sở đó, ta đi đến khái niệm về khối lượng như sau: Khối lượng là số đo mức

quán tính của vật và mức hấp dẫn của vật đối với vật khác Trong hệ SI, đơn vị đo

khối lượng là kilôgam (kg) và là một trong bảy đơn vị cơ bản

Khối lượng không phải là đại lượng bất biến Thuyết tương đối hẹp của Einstein đã chỉ ra rằng, khối lượng m của vật tăng theo vận tốc v của nó (xem chương 5) theo công thức:

2 2 0c

v1

mm

−

Trong đó m0 là khối lượng của vật lúc đứng yên (khối lượng nghỉ), c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không Tuy nhiên, trong phạm vi cơ học cổ điển, v << c nên m ≈ m0, ta coi khối lượng là đại lượng bất biến

c) Phát biểu định luật Newton thứ II:

Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực , nó sẽ thu một gia tốc theo hướng của lực, tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật:

→

m

Fa

m

F

F F m

F m

3 – Định luật Newton thứ III:

Nếu vật A tác dụng vào vật B một lực thì vật B cũng tác dụng ngược trở lại vật A một lực Hai lực này tồn tại đồng thời, cùng giá, bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều:

→

F

→

' F

' F

F được gọi là lực tác dụng vào vật thì F gọi là phản lực của vật Lực và phản lực là

hai lực trực đối nhưng không cân bằng nhau, vì đặt vào hai vật khác nhau Chúng có cùng bản chất, cùng tồn tại và mất đi đồng thời

→

'

Định luật III Newton khẳng định tác

dụng giữa các vật bao giờ cũng là “tương tác”

(có tính hai chiều) Điều này thể hiện mối liên

hệ biện chứng giữa các vật

BA

F '

→

Hình 2.1: Lực và phản lực

4 – Phương trình cơ bản của động lực học chất điểm:

Từ các định luật cơ học của Newton, ta khái quát nên một phương trình diễn

tả mối quan hệ giữa lực tác dụng (nguyên nhân) và gia tốc của vật (kết quả):

→

→

=

∑F ma (2.6) Phương trình (2.6) được gọi là phương trình cơ bản của Động Lực Học chất điểm Từ (2.6) suy ra:

• Khi ngoại lực = 0 thì gia tốc = 0 và do đó : ta có chuyển động thẳng đều (2.6) thể hiện định luật Newton thứ nhất

M

→ n

F

→ n

a

→

a

→ ta

Khi chất điểm chuyển động cong, vectơ gia

tốc được phân tích làm hai thành phần:

Suy ra: , nghĩa là lực tác dụng

lên vật cũng được phân tích làm hai thành

tuyến (vì nằm trên tiếp tuyến qũi đạo),

có tác dụng làm thay đổi độ lớn của

vectơ vận tốc (gây ra gia tốc tiếp tuyến)

→

→

t m a F

• Thành phần gọi là lực pháp tuyến (vì nằm trên pháp tuyến qũi đạo),

có tác dụng làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc (gây ra gia tốc pháp tuyến)

→

→

n m a F

Như vậy, vật chuyển động cong thì ngoại lực tác dụng phải có thành phần pháp tuyến:

R

mv ma

Fn = n = 2 (2.7)

Từ phương trình cơ bản (2.6) suy ra: nếu biết lực tác dụng vào vật (nghiã là biết được nguyên nhân) thì sẽ tìm được gia tốc của vật và từ đó biết được tính chất chuyển động của vật (kết quả) Bài toán xác định tính chất chuyển động của vật khi

biết các lực tác dụng vào vật được gọi là bài toán thuận Trong một số trường hợp đơn

giản, nếu biết trước tính chất chuyển động của vật, ta có thể tìm được nguyên nhân

gây nên tính chất của chuyển động ấy – bài toán ngược

ma sát Vì vậy trong cơ học cổ điển, xét về bản chất, có ba loại lực gọi là lực cơ học: lực hấp dẫn, lực đàn hồi và lực ma sát Về mặt hình thức, người ta chia các lực cơ học

làm hai loại: các lực trực tiếp tác dụng vào vật (lực hấp dẫn) và các lực liên kết với

chuyển động của vật (phản lực, lực ma sát, lực căng dây) Chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu đặc điểm của các lực này

1 – Lực hấp dẫn – Trọng lực:

Các vật trong vũ trụ đều hút lẫn nhau bằng các lực có cùng bản chất – gọi là

lực hấp dẫn Newton là người đầu tiên phát hiện ra rằng, nguyên nhân làm cho quả táo

rơi xuống đất, Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, hay nguyên nhân làm các hành tinh

quay xung quanh Mặt Trời đó chính là lực hấp dẫn Ông đã thiết lập được biểu thức định lượng của lực hấp dẫn và phát biểu thành định luật vạn vật hấp dẫn

a) Định luật vạn vật hấp dẫn (định luật hấp dẫn):

Hai chất điểm bất kì luôn hút nhau một lực gọi là lực hấp dẫn Lực này tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng

2 21 hd

r

m m G

r

m m G

∫

=

) V ( 2

1 2

hd

r

dm Gm

Kết quả tính tích phân (2.9) cho phép rút ra một số kết luận sau:

• Lực hấp dẫn của một quả cầu đồng nhất lên một chất điểm ở ngoài quả cầu tựa

hồ như toàn bộ khối lượng của quả cầu tập trung tại tâm của nó

• Lực hấp dẫn của một quả cầu rỗng đồng nhất lên một chất điểm ở trong quả cầu luôn bằng không Nói cách khác, vỏ cầu đồng nhất không hấp dẫn bất kì vật nào bên trong nó

Từ kết quả trên suy ra, lực

hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên

một vật nhỏ ở ngoài Trái Đất là:

2 hd

) h R

của Trái Đất, h là độ cao từ mặt đất

F = , với M’ là khối lượng

phần Trái đất nằm trong hình cầu bán

kính r Coi mật độ khối lượng Trái

' V M ' M V

Vậy: trong lòng Trái Đất, lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với bán kính r; tại tâm Trái Đất, lực

hấp dẫn triệt tiêu; tại bề mặt Trái Đất, lực hấp dẫn đạt cực đại; bên ngoài Trái Đất, lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật Hình (2.3) biểu diễn phân bố lực hấp dẫn của Trái Đất lên một vật nhỏ theo khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật

Trong trường hợp tổng quát, tích phân (2.9) khá phức tạp, nên ta có thể tính gần đúng lực hấp dẫn giữa các vật thể bằng cách coi chúng là những chất điểm đặt tại khối tâm của chúng

Bảng 2.1: Lực hấp dẫn của các vật trong vũ trụ

Vật thể m1 (kg) m2 (kg) r (m) Fhd (N)

Mặt trời – Trái đất

Mặt trời – Sao Thủy

Mặt trời – Sao Diêm vương

Do trị số của G quá nhỏ nên lực hấp dẫn chỉ đáng kể đối với vật có khối lượng rất lớn (các thiên thể) Chính vì thế, trong cuộc sống, ta không phát hiện ra lực hấp dẫn

của các vật xung quanh Bảng 2.1 cho ta một số giá trị của lực hấp dẫn giữa các vật thể khác nhau

b) Trọng lực – gia tốc rơi tự do:

Trọng lực của một vật, theo nghĩa gần đúng là lực hấp dẫn của Trái Đất tác

g

(2.12)

Trong đó: M và m là khối lượng của Trái Đất và

vật; r khoảng cách từ tâm của Trái Đất đến vật và:

2

hd

r

M G m

R

M G

g = ≈ 9 , 8 m/s2 (2.14) Khi lên cao, lực hấp dẫn giảm nên gia tốc g giảm theo qui luật:

2

2 o 2 h

) h R (

R g ) h R (

M G g

+

= +

với go là gia tốc tại mặt đất

Ở độ sâu h so với mặt đất, từ (2.11) suy ra gia tốc rơi tự do là:

) R

h 1 ( g R

h R g r R

GM (

Thực ra, vật luôn tham gia vào chuyển động tự quay của Trái Đất, nên ngoài lực hấp dẫn của Trái Đất, nó còn chịu tác dụng một lực - gọi là lực quán tính li tâm (chúng ta sẽ nghiên cứu sau) Hợp lực: (2.17)

Vậy, theo nghĩa chính xác, trọng lực của một vật là lực mà Trái đất hút nó khi có kể

đến sự tự quay của Trái đất

Vì lực quán tính li tâm phụ thuộc vào vĩ độ, nên trọng lực cũng phụ thuộc vào vĩ độ, kéo theo trị số của g thay đổi theo vĩ độ Càng xa xích đạo, g càng tăng (ở xích đạo: g = 9,78 m/s

→

2; ở điạ cực: g = 9,83m/s2) Các kết quả tính toán cho

thấy thành phần quán tính li tâm rất nhỏ, chỉ làm g thay đổi tối đa 0,5%, nên để

đơn giản, ta hiểu trọng lực theo nghĩa gần đúng, và khi đó, gia tốc rơi tự do g được

tính theo các công thức (2.14), (2.15) và (2.16) Trong đa số các trường hợp, để đơn giản, ta thường chọn g = 10 m/s

Trọng lượng của một vật là lực mà vật ấy tác dụng lên giá đỡ hoặc dây treo

nó, do bị Trái Đất (hoặc rộng hơn là các thiên thể ) hút mà không được tự do chuyển động

Thuật ngữ “trọng lượng” và “trọng lực” thường hay bị lầm lẫn, thực ra chúng

là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau Trọng lực là lực hút của Trái đất tác dụng lên vật, có điểm đặt tại trọng tâm của vật; còn trọng lượng là lực mà vật tác dụng vào giá

đỡ hoặc dây treo, có điểm đặt tại giá đỡ hoặc dây treo Ở điều kiện bình thường, khi

vật đứng yên so với mặt đất thì trọng lượng và trọng lực có cùng trị số Nhưng khi vật chuyển động có gia tốc, thì trị số của trọng lượng có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn trị

số của trọng lực P (hiện tượng tăng giảm trọng lượng – đọc thêm §6)

d) Đo khối lượng:

Để đo khối lượng của một vật, ta dùng một dụng cụ gọi là cái cân Sơ đồ

Nguyên lý hoạt động của cái cân được mô tả ở hình (2.5)

Giả sử khối lượng vật cần cân là m, khối lượng chuẩn (quả cân) là mo Vì ở cùng một nơi, gia tốc rơi tự do là không đổi, nên:

Đo chiều dài các cánh tay đòn OA, OB và biết

khối lượng của quả cân mo ta sẽ tính được khối lượng của vật

Hình 2.5: Sơ đồ nguyên

lý của cái cân

Cái cân có sơ đồ nguyên lý ở hình (2.5) được gọi là cân đòn Trong đó, cánh

tay đòn OA là cố định, cánh tay đòn OB có các vạch chia sẵn tương ứng với khối lượng m của vật Di chuyển quả cân (thay đổi chiều dài cánh tay đòn OB) đến vị trí cân thăng bằng, ta sẽ có số chỉ của khối lượng m

Nếu cố định chiều dài các cánh tay đòn bằng nhau thì phải thay đổi khối lượng chuẩn mo cho đến khi cân thăng bằng Lúc đó khối lượng m sẽ bằng tổng khối lượng

các quả cân Đó chính là nguyên lý hoạt động của cân đĩa (cân Rôbécvan)

Đo khối lượng bằng phương pháp trên được gọi là phép cân Mặc dù khi ta

cân vật ở các địa điểm khác nhau thì gia tốc g có khác nhau, nhưng (2.18) không phụ thuộc vào gia tốc g nên phép cân không phụ thuộc vào địa điểm cân

Một phương pháp đo khối lượng khác là dựa vào lực kế lò xo (cân lò xo) Ta biết độ giãn của lò xo tỉ lệ với lực đàn hồi Nếu ta móc vật vào lò xo thì khi vật đứng yên cân bằng (trong hệ qui chiếu gắn với Trái Đất), độ lớn của lực đàn hồi chính bằng trọng lượng mg của vật Do đó khối lượng của vật tỉ lệ với độ giãn của lò xo Dựa vào

độ giãn của lò xo, ta có thể suy ra khối lượng của vật Phương pháp cân vật bằng các cân lò xo khá tiện lợi, nhưng kết quả không thật chính xác vì phụ thuộc vào gia tốc g (nghĩa là phụ thuộc vào địa điểm cân) Tuy nhiên, sai số là không đáng kể, nên trong đời sống hàng ngày, cân lò xo được sử dụng khá rộng rãi

Trong đó k: là hệ số đàn hồi (hay độ

cứng) của vật, đơn vị đo là niutơn trên

mét (N/m); ∆ : là độ biến dạng của vật

(m); dấu “ – “ chứng tỏ lực đàn hồi

ngược với chiều biến dạng

A

Độ cứng của một vật phụ thuộc vào chiều

dài ban đầu , tiết diện ngang S và bản

chất của vật liệu làm ra nó:

A

A

S E

trong đó E là hệ số tỉ lệ đặc trưng cho vật liệu, gọi là suất Young Từ (2.20) suy ra, với

cùng một loại vật liệu và cùng tiết diện ngang, vật nào càng ngắn thì càng cứng Bảng 2.2 cho biết suất Young của một số vật liệu thông dụng

Lực đàn hồi có bản chất là lực điện từ Vì khi biến dạng, khoảng cách giữa các phân tử thay đổi nên xuất hiện các lực hút và lực đẩy tĩnh điện giữa các phân tử

Lực đàn hồi thể hiện rõ nhất là ở các lò xo, các dây thun Một số dạng khác của lực đàn hồi, đó là lực căng dây, phản lực vuông góc của bề mặt tiếp xúc Chúng ta

sẽ lần lượt tìm hiểu sâu hơn

Bảng 2.2: Suất Young của vài vật liệu thông dụng

Vật liệu Suất Young E (N/m2) Vật liệu Suất Young E (N/m2) Đồng

trường hợp này được gọi là lực căng dây

Để đơn giản hoá các tính toán, người ta

thường coi dây như không bị giãn và không có

khối lượng Khi đó lực căng có độ lớn bằng nhau

tại mọi điểm trên dây Ta nói sợi dây truyền

nguyên vẹn lực từ đầu này đến đầu kia

Ví dụ: Xét vật m được treo ở đầu sợi dây,

đầu kia của sợi dây treo vào điểm cố định C (hình

2.7) Trong quá trình chuyển động của vật, sợi

dây luôn được căng thẳng Tại điểm A bất kì trên

dây, nó chịu tác dụng của hợp lực bằng không

Nếu cắt đứt sợi dây tại A, muốn cho đoạn AC vẫn căng thẳng như trước, ta phải tác dụng lên A một lực Ngược lại, muốn cho vật m vẫn có chuyển động như cũ, ta phải tác dụng lên A một lực và cùng độ lớn, cùng giá nhưng ngược chiều

và được gọi là lực căng dây

→

' T

A A

A m

Xét hai vật (1) và (2) tiếp xúc nhau, do áp lực của

vật (1) tác dụng vào vật (2) làm bề mặt của vật (2) bị biến

dạng Khi đó vật (2) xuất hiện lực đàn hồi chống lại sự

biến dạng đó Lực này tác dụng ngược trở lại vật (1) theo

hướng vuông góc với bề mặt tiếp xúc nên được gọi là phản

lực vuông góc hay phản lực pháp tuyến (hoặc ngắn gọn là

phản lực) của mặt tiếp xúc, và được kí hiệu là N→

a) Lực ma sát trượt:

Giả sử vật m trượt trên mặt sàn nằm ngang

Trong quá trình chuyển động, vật m sẽ tác dụng vào

mặt sàn một lực Theo định luật III Newton, mặt

sàn sẽ tác dụng ngược trở lại vật m một phản lực liên

Gỗ – gỗ Cao su – đất cứng Cao su – gang Nước đá – nước đá

0,25 – 0,5 0,4 – 0,6 0,83 0,03

Đặc điểm của lực ma sát trượt:

• Xuất hiện tại bề mặt tiếp xúc khi hai vật trượt tương đối với nhau

• Có phương tiếp tuyến với bề mặt tiếp xúc và hướng ngược chiều chuyển động

• Có độ lớn tỉ lệ với áp lực vuông góc với bề mặt tiếp xúc, không phụ thuộc vào diện tích mặt tiếp xúc: fms = µQ = µ N (2.22)

với µ: là hệ số tỉ lệ, được gọi là hệ số ma sát trượt Giá trị của µ phụ thuộc vào bản chất của hai vật tiếp xúc và tính chất của bề mặt tiếp xúc Bảng 2.3 cho biết hệ số ma sát trượt của vài vật liệu thông thường

b) Lực ma sát lăn:

Khi vật có chuyển động lăn thì xuất hiện lực ma sát lăn cản trở chuyển động của vật Thực nghiệm chứng tỏ rằng, lực ma sát lăn cũng tỉ lệ với áp lực vuông góc với mặt tiếp xúc và tỉ lệ nghịch với bán kính R của vật lăn hình trụ hoặc hình cầu:

fms lăn = µL N =

R

N 'L

với µL là hệ số ma sát lăn µL nhỏ hơn µ rất nhiều Chính vì thế mà trong kĩ thuật, để giảm ma sát, tại chỗ tiếp xúc ta thay bằng các ổ bi, bánh xe

c) Lực ma sát nghỉ:

Trường hợp ngoại lực tác dụng không

đủ mạnh, ta thấy vật vẫn đứng yên Điều này

có mâu thuẫn với định luật II Newton hay

không? Thực ra khi vật có xu hướng trượt, tại

bề mặt tiếp xúc sẽ xuất hiện lực ma sát nghỉ,

cân bằng với thành phần tiếp tuyến của

ngoại lực, làm cho tổng các lực tác dụng lên

vật vẫn triệt tiêu, kết quả vật không trượt Nếu thành phần F

→ t

F

t tăng lên thì lực ma sát nghỉ cũng tăng theo, cho đến khi fmsn = µ N thì vật bắt đầu trượt

chuyển Khi nó bắt đầu dịch

chuyển, ta thấy dễ đẩy hơn) Đồ

thị hình (2.11) biểu diễn sự biến

thiên của lực ma sát theo vận

tốc tương đối v Khi vật bắt đầu

trượt, lực ma sát nghỉ cực đại

lớn hơn lực ma sát trượt Khi

vận tốc v tăng thì lực ma sát tăng chậm Nếu bỏ qua các chi tiết nhỏ này, đồ thị (2.11a) được thay bằng đồ thị (2.11b) Khi đó, ta có công thức (2.24)

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ma sát lại rất cần thiết Không có ma sát, con người và tất cả xe cộ đều không thể chuyển động được Quan sát một chiếc ôtô đi trên đoạn đường bùn lầy, ta thấy có lúc bánh xe quay rất nhanh mà ôtô không tiến lên được Đó là vì ma sát của đường không đủ lớn để giữ cho bánh xe khỏi trượt Trong

trường hợp này, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động làm vật chuyển

trường lỏng hoặc khí Nếu nó đứng yên thì

chỉ cần một lực rất nhỏ cũng làm cho nó

chuyển động (thí dụ một người không thể

làm nhúc nhích chiếc tàu mắc cạn, nhưng

nếu tàu đậu trên bến thì người ấy có thể

đẩy nó chuyển động dễ dàng) Có thể nói

rằng, chất lỏng và chất khí không có ma

sát nghỉ

a) b) c)

Khi vật rắn chuyển động trong

môi trường chất lỏng, hay khí thì nó chịu

lực cản đáng kể, ta gọi là lực cản của môi

trường Nguyên nhân của lực cản này, một

Đặc điểm của lực cản môi trường:

• Tỉ lệ với tiết diện cản S – là tiết diện ngang lớn nhất của vật vuông góc với

có cùng tiết diện cản S, chuyển động trong không khí với cùng vận tốc v, nhưng có hình dạng khác nhau Nếu lực cản đối với vật hình trụ là lớn nhất bằng 1 thì lực cản

của vật có dạng (d) là nhỏ nhất, chỉ bằng 1/25 Ta gọi dạng (d) là dạng khí động học

Thân các loài chim, cá đều có dạng này Người ta cũng chế tạo thân máy bay, ô tô theo dạng này để giảm tối đa lực cản môi trường

§2.3 - PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC

Trên cơ sở hiểu biết về bản chất và các đặc điểm của các lực cơ học, chúng ta

sẽ vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài toán cơ bản của động lực học Phương pháp vận dụng các định luật Newton để khảo sát các bài toán cơ học còn được

gọi là phương pháp động lực học

Bài toán thuận của cơ học là bài toán biết các lực tác dụng lên vật, tìm tính chất chuyển động của nó Để giải tường minh bài toán này, cần phải biết thêm các

điều kiện ban đầu, tức là vị trí (toạ độ), vận tốc của vật ở một thời điểm nào đó được

qui ước làm gốc thời gian Trình tự giải bài toán này là:

• Xác định các lực tác dụng lên chất điểm

• Vận dụng (2.6)

• Chiếu lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz cần thiết để tìm các thành phân ax,

ay, az của vectơ gia tốc rồi sử dụng các điều kiện ban đầu, tìm phương trình chuyển động của chất điểm

Trong quá trình nghiên cứu, đôi khi ta gặp bài toán ngược của cơ học: biết tính chất chuyển động của vật, xác định các lực tác dụng lên nó Ví dụ nổi tiếng của

bài toán này là việc Newton tìm ra lực hấp dẫn từ chuyển động của các hành tinh Trong kĩ thuật, ta cũng thường hay gặp bài toán ngược Thí dụ: trong một ống phóng điện tử (như đèn hình chẳng hạn), electron phải có qũi đạo và vận tốc xác định, người

kĩ sư phải tính các lực điện, lực từ tác dụng lên electron, để từ đó thiết kế các mạch điện hợp lý Trình tự giải bài toán này là:

• Từ chuyển động của vật suy ra gia tốc của nó

• Vận dụng (2.6) suy ra lực tác dụng lên vật

Trên thực tế, nhiều bài toán không thuần tuý là thuận hay ngược Thí dụ trong bài toán thuận, thường ta không biết đầy đủ về lực ma sát, lực liên kết, để giải được, phải có thêm các dữ kiện như hệ số ma sát hoặc biết một vài yếu tố của chuyển động Dưới đây là vài ví dụ điển hình

Ví dụ 2.1: Vật có khối lượng m được kéo trượt trên mặt sàn ngang bởi một lực

không đổi, tạo với phương ngang một góc α Hệ số ma sát giữa vật và mặt sàn là µ Tính gia tốc của vật Xác định góc α để gia tốc lớn nhất

mg ) sin (cos

F

a = α + µ α − µ = α + µ α − µ (2.27)

Từ (2.27) suy ra: khi lực kéo có độ lớn không đổi, gia tốc của vật là lớn nhất khi (cosα + µ sinα)max Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

(cosα + µ sinα)2 ≤ (12 + µ2 )(sin2α + cos2α)

⇒ cosα + µsinα ≤ 1 + µ2 = const

⇒ (cosα + µsinα)max = 1 + µ2 khi µ cosα = sinα

⇒ tgα = µ (2.28) Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợp với mặt nghiêng một góc αo sao tgαo = µ

Ví dụ 2.2: Vật có khối lượng m được kéo trượt lên một mặt phẳng nghiêng có góc

nghiêng α so với mặt phẳng ngang bởi lực hợp với mặt nghiêng một góc β Hệ số

ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là µ

→

Fa) Tìm gia tốc của vật Từ đó suy ra lực kéo tối thiểu để vật có thể đi lên

b) Giả sử lực kéo có độ lớn không đổi, hãy tìm góc β để gia tốc lớn nhất

c) Trong trường hợp không có lực kéo, hãy tìm biểu thức tính gia tốc trượt xuống của vật Từ đó suy ra góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu trượt xuống

Giải

→ t

P

→ t

P

→ n

F

→

Fβ

α) α

Thay (3) vào (2) ⇒ F(cosβ +µsinβ) –mg(sinα + µcosα) = ma

Từ đó tính được gia tốc của vật là:

) cos (sin

g ) sin (cos

α µ + α

=

sin cos

) cos (sin

mg

Nếu lực kéo có hướng song song mặt nghiêng (β = 0) thì:

) cos (sin

g m

F

b) Từ (2.29) suy ra: khi lực kéo có độ lớn không đổi, gia tốc của vật là lớn nhất khi (cosβ + µ sinβ)max Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, tương tự như ví dụ 1, ta có: tgβ = µ Vậy để gia tốc nhất thì lực kéo phải hợp với mặt nghiêng một góc βo sao cho tgβo = µ

c) Nếu không có lực kéo, vật có thể sẽ trượt xuống dốc Khi đó lực ma sát hướng ngược lên trên dốc Làm tương tự như câu a, ta sẽ thu đựợc gia tốc của vật khi nó trượt xuống dốc: a = g(sinα – µ cosα) (2.32) Vật thực sự trượt xuống khi a ≥ 0 (2.32) ⇒ sinα µ cosα ⇒ tgα µ ≥ ≥

Vậy góc α nhỏ nhất để vật bắt đầu trượt xuống dốc (khi không có lực kéo) là:

αmin = arctgµ (2.33)

Ví dụ 2.3: Thang máy chuyển động với

đồ thị vận tốc như hình (2.15) Khối

lượng của thang máy là 500 kg, lực

căng lớn nhất của dây cáp cho phép sự

an toàn của thang máy là Tmax = 12000

N Tính trọng tải của thang máy

10 13 2

5

v (m/s)

t (s)

Giải

Gọi m và M là khối lượng thang máy và

tải trọng Hình 2.15: Đồ thị vận tốc của thang máy

Lực tác dụng lên hệ (thang máy + tải)

lên hệ (thang máy +người)

trong đó gia tốc a có giá trị đại số, nó có

giá trị dương hay âm tùy theo vectơ

hướng lên hay hướng xuống

→

a

Khi thang máy chuyển động đi lên nhanh dần hoặc đi xuống chậm dần thì hướng lên , suy ra a > 0, khi đó từ (2) ta có lực căng dây lớn nhất :

→

a

T = Tmax = (m + M)(g + amax) và do đó: m

ag

TM

max

max −+

Từ đồ thị vật tốc, suy ra: 2 , 5

2

5 t

12000m

ag

TM

Ví dụ 2.4: Hai vật có khối lượng m1, m2 buộc

vào hai đầu sợi dây, vắt qua ròng rọc Bỏ qua

khối lượng dây và ròng rọc Coi dây không giãn

Chứng tỏ hai vật chuyển động ngược chiều với

cùng độ lớn gia tốc Tính gia tốc của các vật và

lực căng dây

→ 2

P

→ 1

P

→ 1

T

→ 2

Gọi x1 và x2 là tọa độ của m1 và m2 Do dây

không giãn nên chiều dài dây: Hình 2.17: Hệ vật vắt qua ròng rọc

A = x1 + x2 +C = const (5)

với C là hằng số biểu diễn phần dây vắt qua ròng rọc

Lấy đạo hàm cấp 2 của (5) ta được: a1 + a2 = 0 ⇒ a1 = – a2 = a (6)

Phương trình (6) chứng tỏ hai vật luôn chuyển động ngược chiều với cùng độ lớn gia tốc a

Mặt khác, dây rất nhẹ nên T1 = T2 = T (7)

Thay (6) và (7) vào (3) và (4) rồi trừ vế với vế, suy ra gia tốc:

2 1

2 1mm

g)mm(a

2 1mm

gmmT

+

Thay số: m1 = 6kg; m2 = 4kg; g = 10m/s2 vào (8) và (9) ta được: a = 2m/s2; T = 24N

§2.4 – ĐỘNG LƯỢNG – XUNG LƯỢNG

i heä

trong đó F→i và →fi là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i Theo định luật III Newton, các vật trong hệ tương tác nhau bằng những cặp lực trực

đối, vì thế ∑→fi =0 Suy ra: → →

→

=

p d

i

dt

heä

Định lí 1: Đạo hàm của vectơ động lượng của một chất điểm (hay hệ chất điểm) theo

thời gian bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên chất điểm (hay hệ chất điểm) đó