Lagrangian of charged particle in electromagnetic field
Trang 1Cái này F lục lại trong Source of thì thấy từng làm rồi Công nhận hùi đó ngây thơ ghê ^^
Trường ĐH Sư phạm Tp.HCM
Khoa Vật Lý – Lớp 3B
Họ và Tên: Phạm Tiến Phát
BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT
- Xét một hạt mang điện q, khối lượng m chuyển động trong trường điện từ đặc trưng bởi thế tĩnh điện (thế vô hướng) φ và thế từ (thế vector) không phụ thuộc vào vận tốc
- Bỏ qua tác dụng của trọng lực và các hiệu ứng tương đối tính
- Biết cảm ứng từ và cường độ điện trường được tính như sau:
- Tìm hàm Lagrange của hạt mang điện chuyển động trong trường điện từ
BÀI GIẢI
- Chọn hệ tọa độ suy rộng là hệ tọa độ Cartes (q1, q2, q3) ≡ (x, y, z)
- Lực điện từ tác dụng lên hạt mang điện là:
- Phương trình Lagrange loại 2 theo tọa độ x:
- Trong đó, T là động năng của hạt, Qx là ngoại lực suy rộng tác dụng lên hạt theo phương x
- Ta có:
Vậy,
A ur
hay
(A; )ur ϕ
F q E v Br = ur r ur+ ×
x
Q
∂ ÷ ∂
&
e m
x
A
t
q qv.A i q x
∂
∂
∂
uur uur
ur
&
& &
ur
x
dA
∂
∂
r ur
Trang 2Lại có:
do không phụ thuộc tường minh vào
Vậy,
- Phương trình Lagrange loại 2 cho ta:
So sánh với phương trình Lagrange cho trường thế suy rộng:
Ta suy ra hàm Lagrange của hạt là:
và thế năng suy rộng là: U q= ϕ −( A.vur r)
0 0
v.A q
=
=
∂
∂ ϕ
ur
& &
; A
x
dt dt x
∂
∂
r ur
&
x
Q
d
∂ ÷ ∂
&
&
0
∂ ÷ ∂
&
L T q= − ϕ −v.Ar ur
2
1
2
2
x y z
v (x; y;z)
A (A ;A ;A ) 1
2
=
=
r
& &&
ur
& & &
⇒
1
= & + & &+ − ϕ − &+ &+ &