tài liệu vật lí phần 16

Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử CHƯƠNG I LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao động

SEMINAR QUANG LƯỢNG TỬ

GVHD: TS VÕ TÌNH

HV : PHẠM TÙNG LÂMLớp VLLT_VLT K21

1.6 Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt

và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử

CHƯƠNG I

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ

Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao

động tử điều hòa lượng tử là tương đương về

mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt.

Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể

tích V.

Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ ψrs ( )r

p q k N

n = N

r

Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt bên trong thể tích V, ta xét trường hợp đơn giản hệ có 3 hạt boson.

Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu của hệ 3 hạt:( nurp = 2,n kr =1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

! 3

p k

n n N

Hàm sóng mô tả trạng thái sau của hệ 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i i

Tiếp tục tính cho 8 tích phân còn lại, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Để thuận lợi cho việc tính toán ta giữ lại hai số hạng

8 4

13

Dùng phương trình hàm sóng của hệ 2 hạt boson có

Bây giờ ta xét hệ khí Bose gồm N hạt chứa trong thể tích

V Xét quá trình tán xạ của một hạt đơn lẻ trong hệ N hạt từ trạng thái đầu có hàm sóng thông qua thế tương tác cho hàm sóng ở trạng thái cuối như sau:

1

! ! !

, ,

!

Ta sử dụng biểu thức hàm sóng của hệ (N-1) hạt như sau:

n n n N p

p k

Nhận xét: Khi hủy một hạt ở trạng thái thì sinh một hạt

ở trạng thái tức là tổng số hạt được bảo toàn

p

ψ ur

k

ψ r

* Véc tơ trạng thái cho hệ nhiều hạt n nurp, , , , qr n kr

* Các toán tử sinh - hủy cho hạt boson

Bằng cách sử dụng các toán tử sinh hủy ta cũng có thể

nếu ta có thế tương tác được biểu diễn như sau:

Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung lượng

theo các toán tử sinh hủy như sau:

p

ur

* Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử

Các toán tử sinh hủy của dao động tử:

+ +

Ψ = Ψ

Khi đó toán tử Hamiltonian có dạng:

=> Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một

tập những dao động tử điều hòa lượng tử về mặt động lực

$ $

s s

s s s

n = a a+

KẾT LUẬN

* Mỗi hạt boson tương ứng về mặt động lực học với một dao động tử điều hòa lượng tử

* Dirac viết: “Hệ động lực học gồm có tập hợp của những

hạt boson tương tự tương đương với hệ động lực học gồm

có một tập của các dao động tử - Hai hệ thống đó chỉ là các

hệ thống tương tự đứng trên hai quan điểm khác nhau Có

một dao động tử liên kết với mỗi trạng thái boson độc lập Ở

đây ta có một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng

tử, cho phép thống nhất giữa lý thuyết sóng và các hạt của

ánh sáng